CÁLCULO I. Calcular o limite de uma função composta;

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 06: Limites Laterais. Limite da Função Composta. Objetivos da Aula Denir ites laterais de uma função em um ponto de seu domínio; Utilizar os ites laterais para vericar a existência de um ite; Calcular o ite de uma função composta; Limites Laterais Ao discutirmos a ideia intuitiva de ite de uma função f num ponto p na aula passada, zemos questão de sempre exibir uma tabela tomando valores maiores que p (à direita de p) e menores que p (à esquerda de p). Essa preocupação pode ser exemplicada no seguinte exemplo: Exemplo. Considere a função de Heaviside, denida por é possível calcular t 0 H(t)? H(t) = { se t 0 0 se t < 0 Figura : Gráco de Função de Heaviside Antes de responder a essa questão, devemos entender que considerar pontos x tendendo a um número real p pela direita, signica dizer que estamos nos aproximando de p por valores maiores que ele. Sempre que zermos isso, utilizaremos a notação x p +. Analogamente, se considerarmos pontos x tendendo a um número real p pela esquerda, signica que estamos nos aproximando de p por números menores que ele, e isso será denotado por x p. No caso da função de Heaviside, H, notamos que H(t) = e + H(t) = 0. Formalizando essa ideia:

2 Denição. Dizemos que L é o ite à direita da função f(x) quando x p + e escrevemos x p + f(x) = L se, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, se p < x < p + δ, então f(x) L < ε. Denição 2. Dizemos que L é o ite à esquerda da função f(x) quando x p e escrevemos f(x) = L x p se, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, se p δ < x < p, então f(x) L < ε. Como não existe um único número real para o qual a função H(t) se aproxima quando t 0 (independente do lado pelo qual se aproxima do ponto p), dizemos que H(t) não existe e esse fato é enunciando t 0 no nosso próximo teorema, que relaciona a denição de ite com as denições de ite à esquerda e à direita: Teorema. x p f(x) = L se, e somente se f(x) = L = f(x) x p + x p Portanto, o teorema acima é um bom critério para sabermos se o ite de uma função existe ou não, como podemos observar nos seguinte exemplos: Exemplo 2. Calcule o valor de, se existir. Solução: Por denição, f(x) é dada por f(x) = { x se x 0 x se x < 0 Observemos que f(x) = x se x 0 + e f(x) = x se x 0. Logo, calculando os ites laterais, temos que f(x) = x = e Logo, pelo Teorema, = 0. Exemplo 3. Vamos vericar que o ite x Note que f(x) = x = 0 não existe. + x = x + x = = () + x = x x = = (2) Como f(x) f(x) então, pelo Teorema, temos que + x não existe. 2 Limite de uma Função Composta Nosso intuito nessa seção é estudar o ite de uma função composta. Apresentaremos dois resultados importantes para o nosso estudo, que nos permitirão calcular certos ites que por ora ainda não são possíveis. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 2

3 Teorema 2. Sejam f, g duas funções tais que Im f D g. Se f(x) = b e g é contínua em b, então x a ( ) g(f(x)) = g f(x). x a x a Exibiremos agora alguns exemplos de utilização do resultado anterior. Exemplo 4. Calcule: (a) (b) (c) (d) cos ( x x ; ) (3 x 3 ) 4 6 x 3 Solução: x +. ; ; (a) Um primeiro passo a ser dado é identicar na composta g(f(x)) = cos f(x) e g(u). Nesse caso, ca claro que ( ), qual é a função e que f(x) = x g(u) = cos u Agora, devemos vericar se as funções dadas satisfazem as hipóteses do Teorema 2. Primeiramente, vamos calcular f(x). Observe que x = 2 ( x) 2 x = ( x)( + x) = + x = 2. O segundo passo a ser dado é vericar se g(u) é contínua em u = 2. g(u) = cos u é contínua em R. Logo, pelo teorema 2, temos que ( ) ( cos ) ( ) x = cos = cos 2 De fato, pois a função (b) Note que h(x) = Note também que x = g(f(x)), em que g(u) = u e f(x) = x2 x. x (x = )(x + ) x = x + = 2 Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 3

4 Como a função g(u) = u é contínua em 2, então segue do teorema 2 que x = x 2 x = 2 (c) Observe que não podemos enxergar nitidamente que a função h(x) = (3 x3 ) 4 6 x 3 pode ser representada como a composta de duas outras funções. Para isso, fazemos o seguinte método, chamado mudança de variável no ite. Como o nome diz, devemos mudar a variável x para uma variável u de tal forma que o ite possa ser facilmente resolvido. Dessa forma, façamos u = 3 x 3. Observe que, desta equação, podemos concluir que x 3 = 3 u (que utilizaremos para fazer a substituição no denominador da fração). Portanto, a função h(x) será escrita, em termos da variável u, como q(u) = u4 6 2 u Agora, devemos determinar a nova tendência de u: u = (3 x3 ) = 2. Logo, se x, então u 2. E assim, calculamos: (3 x 3 ) 4 6 x 3 u 4 6 = u 2 2 u u 4 6 = u 2 (u 2) (u 2 4)(u 2 + 4) = u 2 u 2 (u = 2)(u + 2)(u 2 + 4) u 2 u 2 = ((u + 2)(u 2 + 4)) = 4. 8 = 32 u 2 (d) Assim como no exemplo anterior, vamos aplicar a mudança de variável no cálculo do ite x + Fazendo observe que e que, como u = 3 x + 2, x = u 3 2 u = 3 x + 2 =, Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 4

5 temos que se x então u. Logo, x + u = u u 3 u = u (u )(u 2 + u + ) = u u 2 + 2u + = 3 O próximo teorema é uma consequência imediata o teorema anterior e arma propriedade extremamente útil para a determinação de ites, pois garante que a composta de duas funções contínuas também é contínua: Teorema 3. Sejam f, g funções tais que Im f D g. então a função composta (g f)(x) = g(f(x)) é contínua em a. A utilidade desse último resultado é mostrado nos seguintes exemplos: Se f for contínua em a e g for contínua em f(a) Exemplo 5. Determine o maior subconjunto A de R em que a função h(x) = cos(x 2 ) é contínua. Solução: Note que a função h(x) pode ser reescrita como (g f)(x) em que f(x) = x 2 e g(u) = cos u. Note que f é contínua em R e g é contínua em R. Logo, pelo teorema 3, temos que a composta g f é contínua em A = R. Exemplo 6. Determine o maior subconjunto A de R em que a função h(x) = ln( + sen x) é contínua. Solução: Note que a função f(x) = + sen x é contínua em R. Mas, a função g(u) = ln u é contínua em seu domínio, que é o conjunto (0, + ). Sendo assim, devemos tomar os valores de x D f tais que f(x) > 0, ou seja sen x >. Desse modo, a composta não estará denida para os valores de x em que sen x =, isto é, para x = ± 3π 2, ±7π,..., sendo a mesma contínua nos outros valores. Portanto, 2 { } 3π A = R 2 + 2kπ, k Z Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 2.2 e 2.3 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das seções 2.2 e 2.3 do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri 5