Pensamento. (Provérbio Chinês) Prof. MSc. Herivelto Nunes

Transcrição

1 Aula Introdutória Matemática Básica- março 2017

2 Pensamento Não creio em números, não creio na palavra tudo e nem na palavra nada. São três afirmações exatas e imóveis: o mundo está sempre dando voltas. (Provérbio Chinês) Prof. MSc. Herivelto Nunes

3 Unidades Conjuntos. Conjuntos Numéricos.

4 Conjuntos A noção de conjunto usada na Matemática é a utilizada na linguagem do dia a dia. Georg Cantor ( ), matemático russo, foi quem, em seus trabalhos deu as noções iniciais sobre conjunto, elemento e pertinência.

5 Conceitos Primitivos Entende-se por conjunto, um agrupamento, uma coleção, uma coleção. Elemento é qualquer um dos componentes, objetos, coisas, de uma conjunto.

6 Exemplos: a) A = {dó, ré, mi, fá, sol, lá, si}. b) B = { domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado}.

7 Formas de Representar Conjuntos 1ª) Por extensão: Esta forma consiste em escrever os elementos do conjunto, separadas por vírgula, entre uma par de chaves. Ex.: A = {a, e, i, o, u} Obs.: Podemos utilizar essa representação mesmo que o conjunto seja finito ou infinito.

8 Formas de Representar Conjuntos 2ª) Por compreensão: O conjunto é representado por meio de uma propriedade que caracteriza seus elementos. Ex.: A = {x/x é vogal}

9 Formas de Representar Conjuntos 3ª) Por diagramas: Os diagramas (figuras) que representam os conjuntos por curvas fechadas denominadas Diagramas de Venn Ex.: A a. e. i. o. u.

10 Conjunto Universo É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo é simbolizado por U ou S. Importante: Se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto universo U é R.

11 Conjunto Vazio e Conjunto Unitário Conjunto Vazio é o conjunto que não possui elemento e é representado por { } ou. Ex.: Seja A um conjunto de números maiores que 10 e menores que 5. Este conjunto não possui elementos, logo: A = { } ou.

12 Conjunto Vazio e Conjunto Unitário Conjunto Unitário é o conjunto que possui apenas elemento. Ex.: A = {x/x é solução da equação 2x 3 = 0} Logo, A = 3 2 unitário.

13 Relações Relação de Pertinência: é a relação entre uma elemento e o conjunto ao qual pertence. Assim, um elemento pode ou não pertencer a um determinado conjunto. Símbolos: pertence; não pertence Ex.: A = {a, e, i, o, u}. a A; c A

14 Relações Relação de Inclusão (subconjuntos): dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em B ou A é um subconjunto de se, e somente se, cada elemento de A for também um elemento do conjunto B. Indicamos a relação por: A B ou B A. Símbolos: está contido; contém; não contém e; não contém.

15 Conjunto das partes de um conjunto O conjunto das partes de um conjunto A ou conjunto potência de A é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Se um conjunto A possui n elementos, o número de subconjuntos de A é dado pela expressão: P(A) = 2 n

16 Exemplos: 1) Escreva o conjunto das partes de A, sendo A={1,2,3}. Solução: P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} 2) O conjunto das partes de A possui 32 elementos. Determine o número de elementos do conjunto A: Solução: P(A) = 2 n 32 = 2 n 2 5 = 2 n n = 5

17 Operações com Conjuntos I- União A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou B e é representado por A U B. A B = x\x A ou x B Obs.: a) A B = B A b) A A = A c) A = A d) A B A B = B

18 Operações com Conjuntos II Intersecção A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. E é representado por A B. A B = x\x A e x B Obs.: a) A B = B A b) A A = A c) A = d) A B A B = A e) Se A, B e A B =, dizemos que A e B são disjuntos.

19 Operações com Conjuntos III - Diferença Dados dois conjuntos A e B, o conjunto diferença A B é formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertençam a B. A B = x\x A e x B Obs.: a) A B = A B = A e B A = B b) A = A e A =. c) A B A B = d) A B = B A A = B e) Se B A, a diferença A B denomina-se Complementar de B em relação a A

20 Exemplo 1: Sejam ao conjuntos A e B representados a seguir: A B Determine: a) A B b) A B c) A B

21 Solução: a) A B = 1,2,3,4,5,6,7 b) A B = 3,6 c) A B = {1,2,7}

22 Exemplo 2: Sejam os conjuntos A e b representados a seguir: B A Determine o complementar de B em relação a A.

23 Solução: Neste caso, o conjunto B está contido em A, logo a diferença entre A e B, será indicada por: C A B = A - B = {3,6}

24 Problemas que envolvem conjuntos Na teoria dos conjuntos é possível resolver problemas que tratam de conjuntos de elementos que podem ou não, ter características comuns.

25 Exemplos: 1) Numa escola com 630 alunos, 350 deles estudam Matemática, 210 estudam Física e 90 deles estudam as duas matérias (Matemática e Física). Pergunta-se: a) Quantos alunos estudam somente Matemática? b) Quantos alunos estudam somente Física? c) Quantos alunos estudam Matemática ou Física? d) Quantos alunos não estuda nenhuma das duas matérias?

26 Solução: São dados: n(u) = número total de alunos = 630. n(m) = número de alunos que estudam Matemática = 350. n(f) = número de alunos que estudam Física = 210. n(m F) = número de alunos que estudam Matemática e Física = 90.

27 Solução:(cont.) a) Se 350 estudam matemática, e 90 deles estudam Matemática e Física, então o número de alunos que estudam somente Matemática é: = 260. b) Se 210 alunos estudam Física e 90 deles estudam Matemática e Física, então o número de alunos que estudam somente Física é: = 120. c) O número de alunos que estudam Matemática ou Física é: = 470. d) O número de alunos que não estudam nenhuma das matérias é: = 160

28 Exemplo: 2) Numa pesquisa pessoas foram consultadas sobre o uso de um produto A e de um produto B. Verificou-se que o produto A é usado por 850 pessoas e que 180 pessoas usam os dois produtos. Quantas pessoas usam o produto B?

29 Solução: São dados: n(a U B) = número que usam os produtos A ou B = n(a) = número que usam o produto A = 850. n(b) = número que usam o produto B =?. n(a B) = número que usam o produto A e B = 180. Assim, temos: 1500 = B 180 B = = 530

30 Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Naturais São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N. Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um * ao lado do N: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...} N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...}

31 Conjuntos Numéricos O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são: - Inteiros não negativos São todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais. Z + = {0,1,2,3,4,5,6,...}

32 Conjuntos Numéricos - Inteiros não positivos São todos os números inteiros que não são positivos. Z - = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

33 Conjuntos Numéricos - Inteiros positivos É o conjunto Z + excluindo o zero. Z* + = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...} Z* + = N*

34 Conjuntos Numéricos - Inteiros não positivos e não nulos São todos os números do conjunto Z - excluindo o zero. Z* - = {... -4, -3, -2, -1}

35 Conjuntos Numéricos - Conjunto dos Números Racionais (Q) Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros, números decimais finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12, ", são também conhecidas como dízimas periódicas.

36 Conjuntos Numéricos - Conjunto dos Números Irracionais É formado pelos números decimais infinitos nãoperiódicos. Um bom exemplo de número irracional é o número π (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale 3, Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o π. Também são irracionais todas as raízes não exatas, como 2 =(1, ).

37 Conjuntos Numéricos - Conjunto dos Números Reais (R) É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com os irracionais).

38 Conjuntos Numéricos - Resumindo:

39 Importante: Dízima Periódica As dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais, representado pela letra Q e que engloba os números inteiros (Z), os números decimais finitos

40 Classificação das dízimas As dízimas periódicas podem ser classificadas em: Dízimas periódicas simples: Quando o período apresenta-se logo após a vírgula. Observe os exemplos a seguir: 4/13 = 0, (Período: ) 2/3 = 0, (Período: 6) 31/33 = 0, (Período: 93)

41 Classificação das dízimas Dízimas periódicas compostas: Quando há uma parte não periódica (não repetitiva) entre o período e a vírgula. Observe os exemplos a seguir: 44/45 = 0, (Período: 7; parte não periódica: 9) 35/36 = 0, (Período: 2 ; parte não periódica: 97) 35/42 = 0, (Período: 3 ; parte não periódica: 8)

42 Geratriz de uma dízima periódica A geratriz da dízima periódica é a fração (número racional) que deu origem a essa dízima periódica. Exemplos: 1) 1/3 é a geratriz da dízima periódica simples 0,333 2) 23/30 é a geratriz da dízima periódica composta 0, 7666

43 Referências Bibliográficas: IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos, funções. Vol.1. São Paulo: Atual, DANTE, L. Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. Único. São Paulo: Ática, GOES, H.; TONA, U. Matemática para concursos. São Paulo: Editora ABC,