CURSO DO ZERO. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula A, B, C... e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y,...

Transcrição

1 ssunto: Conjunto e Conjuntos Numéricos ssunto: Teoria dos Conjuntos Conceitos primitivos. Representação e tipos de conjunto. Operação com conjuntos. Conceitos Primitivos: CURSO DO ZERO Para dar início à teoria dos conjuntos, Georg Cantor ( ) admitiu os conceitos primitivos, conceitos aceitos sem definição, de conjunto e de elemento é a de um conjunto. idéia de conjunto é a mesma de coleção e a de elemento é a de um objeto dessa coleção. Ex.: a) Uma coleção de cartões telefônicos e um conjunto. Cada cartão é um elemento desse conjunto. b) Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto. Cada aluno é um elemento desse conjunto. Indicação de um conjunto e de um elemento: Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula,, C... e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y,.... Relação de pertinência São as relações que envolve elementos e conjunto. e. Cujo símbolos usados são E ou e C Ex.: = {1,,, 4}, o elemento 1 (lê-se 1 pertence a ), ao contrário 5 (lê-se 5 não pertence a ). Representação de conjunto Ela se dá de três formas, a seguir: Forma tabular ( tabela ): É aquela em que os elementos. São apresentados entre chaves e separados por vírgula. Ex.: a) = {a, e, i, o, u} b) = {1,,, 4} Forma de diagrama de Euler-Venn: É aquela em que os elementos são simbolizados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada que não se entrelaça. a e i o u Conjunto vazio: É aquele que não possui elemento algum. Obs.: representação do conjunto vazio é dada por ou por { }. Veja: { } não é um conjunto vazio é unitário. Conjunto finito: É todo conjunto que, contando os elementos, um a um, chega-se ao fim da contagem. Ex.: ={a, b, c, d, e} ={x/x é dia da semana} C = 1

2 Conjunto infinito: É todo conjunto que não é infinito. Ex.: {,, 5, 7, 11, 1, 17,...} Conjunto Universo O conjunto universo de um estudo é aquele ao qual pertencem todos os elementos desse estudo. Relação de Inclusão São as relações que envolvem conjuntos. Cujos símbolos usados são. C ou C Ex.: Seja = { 1,,, 4}, o conjunto {1} ( lê-se {1} está contido em ), ao contrário {5} ( lêse {5} não está contido em ). Subconjunto Um conjunto é subconjunto de um conjunto se, e somente se, todo elemento de pertence também na. ( x)( x x ) Propriedades:,, ( x)( x x ) ( x)( x x ) Conjuntos das partes Dados um conjunto, chama-se conjunto das partes de, aquela que é formado por todos os subconjuntos de, ou a notação é P(). Ex.: Seja o conjunto = {a,b,c}, os elementos do conjunto das partes de são P() = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}. Números de elementos do conjunto das partes: Se é um conjunto finito com n elementos, então o número de elementos do P() é dado por: P( ) n( ) Onde: n() é o número de elementos de. Ex.: Seja o conjunto = {1,, }, o número de subconjuntos de. será calculado da seguinte forma: P P( ) 8 n( a) ( ) P( ) Operações com conjunto União ou Reunião de conjuntos Dados dois conjuntos e, chama-se união de e o conjunto formado pelos elementos que pertencem a ou a. { x/ x ou x ( x)( x x )

3 Veja: Intersecção de conjuntos: Dados dois conjuntos e, chama-se intersecção de e o conjunto formado pelos elementos que pertencem a e a. { x e x } ( x)( x x ) Dados dois conjuntos e, chama-se diferença entre e conjunto formado pelos elementos que pertencem a e que não pertencem a. { x/ x e x } VEJ: ( x)( x x ) Conjuntos complementar: Dados dois conjuntos e, tais que chama-se complementar de em relação a o conjunto, isto é, o conjunto cujos elementos são todos aqueles que pertencem a e não pertencem a. C { x/ x e x } ( x)( x x ), C Complementar em relação ao um universo U: Quando tivermos um conjunto universo U previamente fixado, indicaremos o

4 C U U Propriedades do complementar: C C,, ( ),, ( ),, PROLEMS SORE QUNTIDDES E ELEMENTOS DE CONJUNTOS FINITOS Seja e dois conjuntos finitos, o números de elementos de um conjunto finito seguinte fórmula: é dado pela n( ) n( ) n( ) n( ) ( x)( x x ) CONJUNTOS DOS NÚMEROS NTURIS (IN) N={0, 1,,, 4, 5,...} ( x)( x x ) Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*: IN*= {1,,, 4, 5,...} o zero foi excluído do conjunto. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z) O conjunto IN é subconjunto de Z. Temos também outros subconjuntos de Z: Z*=Z-{0} = conjunto dos inteiros não negativos {0, 1,,, 4, 5,...} Z Z={..., -, -, -1, 0, 1,,,...} ( x)( x x ) Z= conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1, -, -, -4, -5...} Observe que Z =IN. Podemos considerar os números inteiros ordenando sobre uma reta, conforme mostra o gráfico abaixo: Então: 5,, 1,,1, 4 5 por exemplo, são números racionais. a)

5 1 b) 1 1 ssim, podemos escrever: a Q { x / x, com a Z, b Z e b 0} b ( x)( x x ) Lembre-se que não existe divisão por zero! É interessante considerar a representação decimal de um número racional que obtém dividindo a por b. Exemplos referentes às decimais exatas ou finitas: ,5 1, 5, Exemplos referentes às decimais periódicas ou infinitas: Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional. a b 1 6 0,... 0, , CONJUNTOS DOS NÚMEROS IRRCIONIS ( I OU Q ) Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja os números que não podem ser escrito na forma de fração ( divisão de dois inteiros ). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de e a raiz quadrada de : 1, , Um número irracional bastante conhecido é o número, CONJUNTO DOS NÚMEROS REIS ( IR ) Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais, definimos o conjunto dos como: números reais IR 0 I { x/ x 0 ou x O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos: Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais são todos números reais. R Q I IR = conjunto dos números reais não positivos. Obs.: Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Por exemplo: Entre os números 1 e existem infinitos números reais: 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ; 1, ; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1, Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais: 5

6 5,01 ; 5,0 ; 5,05 ; 5,1 ; 5, ; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5, EXERCÍCIOS: 01. ( UFC 90. ) Um subconjunto X de números naturais contém exatamente: 1 múltiplos de 4,7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 1 e 8 números ímpares. Então, o número de elementos de X é igual a: a) b) 7 c) 4 d) e) 0. ( Unifor/001.1 ) Considerando-se os conjuntos Z, dos números inteiros, e Q, dos números racionais, qual dos números seguintes não pertence ao conjunto ( Z Q) ( Z Q)? a),01 b) c) -, d) 0 e) 5 ( X Y) ( X Y) 0. ( Unifor/001.1 ) Se X e Y são dois conjuntos não vazios, então: é igual a: X Y a) Y b) X c) d) e) X Y 04. ( Unifor/001.1 ) Os editores das revistas Fotomania e Musical fizeram uma pesquisa entre os 400 alunos de uma escola. pesquisa revelou que, desses alunos, 10 lêem a revista Musical, 190 lêem a revista Fotomania e 50 não lêem revistas. O número de alunos que lêem somente a revista: a) Musical é 180. b) Musical é 160. c) Fotomania é 150. d) Musical é 170. e) Fotomania é ( Unifor/001. ) Num grupo de.500 pessoas, universitárias, delas são colegiais, e as demais não. O número de estudantes desse grupo é: a) 00 b) 00 c) 400 d) 500 e) ( Uece 00.1 ) Das informações: I Se a e b são dois números naturais tais que a b IN, então a < b. II condição para que um número racional forma p *, p z e q z, seja inteiro é que p seja múltiplo de q. q III Se k é um número inteiro, então o maior número racional menor que k é k 1. Somente: a) I e III são verdadeiras. b) I é verdadeira. c) II é verdadeira. d) III é verdadeira. e) I e II são verdadeira. 07. ( Uece 00.1 ) Sejam: conjunto dos eleitores da revista, o dos eleitores da revista, e C o dos eleitores da revista C. Uma pesquisa entre 1000 das três revistas obteve os seguintes resultados: N( U U C )= 1000, N ()= 5, N() 00, N(C)= 64, N ( )= 80, N ( C)= 7 e N ( C)= 6. empresa, no entanto, sentiu falta, aos resultados apresentados, da informação sobre o número de leitores que lêem todas as três revistas. É correto afirmar que este número é igual a: a) 0 b) 19 c) 11 d) 17 e) ( Cefet / 00. ) Sejam e dois subconjuntos de R. Se existem elementos de que pertencem a, então. a) e são dijuntos. b) c) d) 6

7 09.( Uece / 00. ) Num certo grupo de pessoas, metade lê o jornal noticia e um terço lê O informativo mas somente um sexto lê ambos os jornais. Do grupo a quantidade de pessoas que não lêem nem noticia e nem O informativo é: a) a metade. b) um quarto. c) um terço. d) um sexto. 10. ( Cefet / 00. ) Se um conjunto possui 104 subconjuntos então o número de elementos do conjunto menos é igual a: a) 6 b) 7 c) 8 d) ( Cefet/ 00. ) Dado o conjunto = {, 0, {1}, } é correto afirmar que: a) { 1, } b) {{1}} c) {1} d) {1} 1. ( UFC / 00 ) Sejam M e N conjuntos que possuem um único elemento em comum. Se o número de subconjunto de M é igual ao dobro do número de subconjuntos de N, o número de elementos do conjunto M N é: a) O triplo do número de elemento de M. b) O triplo do número de elemento de N. c) O quadruplo do número de elementos de M. d) O dobro do número de elemento de M. e) O dobro do número de elementos de N. 7