Notas de Aulas 5 - Funções Elementares e Cálculo de Limites - Parte II Prof Carlos A S Soares

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1 Notas de Aulas 5 - Funções Elementares e Cálculo de Limites - Parte II Prof Carlos A S Soares Noção Intuitiva de ites. O Conceito de Limites Através de Gráficos Nesta subseção estaremos apresentando o conceito de ites através do gráficos de várias funções. Estaremos interessados em, supondo f uma função, entender o significado de cada uma das epressões f(), f() e a a + Eemplo Seja f : R R a função f() = +. f(). a Sabemos que o gráfico de f é o que se encontra esboçado abaio. 4 y No caso desta função, o que significa a epressão f(), ou, ainda, ( + )?

2 Determinar f() é simplesmente verificar de qual número a imagem (y) se aproima quando nos aproimamos de no eio, isto é, podemos pensar que partimos de um certo ponto no eio e caminhamos em direção ao número. É importante observar que esta aproimação pode se dar em dois sentidos, vindo da direita ou da esquerda. Durante o percurso, iremos observando o que está acontecendo com a imagem a cada passo e continuamos de forma a nos aproimarmos cada vez mais de. A pergunta a ser respondida é a seguinte: Pergunta Eiste um número do qual a imagem(y) se aproimará à medida que formos nos aproimando cada vez mais de, sem pensarmos em atingir o, mas nos aproimando cada vez mais de? Observando a figura é fácil constatar que tal número eiste e é igual a 3. Eemplo 3 Seja a função O que concluir neste caso sobre { se f() = + se < f()? 4 y Você, certamente, percebe que a resposta à pergunta acima sobre esta função dependerá de como nos aproimamos de, isto é, dependerá de nos aproimarmos de pela direita de ou pela esquerda de. Daí, neste caso, num certo sentido, podemos dividir a nossa pergunta em duas, quais sejam: Pergunta 4 Eiste um número do qual a imagem(y) se aproimará à medida que formos nos aproimando cada vez mais de caminhando sempre à direita de, isto é, através de números maiores que? Pergunta 5 Eiste um número do qual a imagem(y) se aproimará à medida que formos nos aproimando cada vez mais de caminhando sempre à esquerda de, isto é, através de números menores que?

3 A análise do gráfico acima, nos permite concluir que em ambos os casos eiste sim o número, sendo 3 na caso da pergunta 4 e no caso da pergunta 5. Este eemplo ilustra os chamados ites laterais, respectivamente, ite lateral à direita e ite lateral à esquerda, isto é, f() e + f(). Escreveremos, então, neste caso, f() = 3 e + f() =. Observe que o número do qual nos aproimamos depende da maneira como nos aproimamaos de, pela direita ou pela esquerda e, então, diremos que o ite não eiste, isto é, f(). Temos, aqui, um eemplo do caso onde não eiste o ite, mas eistem os ites laterais e estes são diferentes. Outro detalhe a ser salientado é que a função tem um salto no ponto =, o que eemplifica uma função que não é contínua em =. Informalmente, uma função é dita contínua num ponto 0 se não possui salto em 0. Eploremos tais noções através de mais alguns eemplos. Eemplo 6 Consideremos, agora, a função { se f() = + se < Pede-se: (a) Faça um esboço do gráfico de f (b) Determine, se eistirem, + f(), f() e f() (c) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em =. (d) Determine, se eistirem, 0 + f(), 0 f() e 0 f() (e) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em = 0 Solução 7 (a) O gráfico está colocado a seguir. (b) Observando o gráfico é simples ver que + f() =, f() = e, portanto, f(). (c) Observe que em = há um salto da gráfico, logo a função não é contínua em. (d) Novamente, observamos que 0 + f() = 0 f() = 0 f() =. (e) Não havendo salto em = 0 temos que a função é contínua em = 0. 3

4 4 y Eemplo 8 Seja a função + 3 se f() = se < 3 se > Pede-se: (a) Faça um esboço do gráfico de f (b) Determine, se eistirem, + f(), f() e f() (c) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em =. (d) Determine, se eistirem, + f(), f() e f() (e) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em = (f) Determine, se eistirem, + f(), f() e f() (g) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em = Solução 9 (a) O gráfico vem dado a seguir. (b) Novamente, observando o gráfico, é simples concluir que + f() = 3, f() = 3 e f() = 3 (c) Não havendo salto em =, temos que f é contínua em =. (d) Temos: + f() = 0, f() = 0 e f() = 0 (e) Notando que não temos salto em = vemos que f é contínua em =. (f) O gráfico nos leva a concluir que + f() = 0, f() = e, novamente, f() (g) f não é contínua em = pois temos salto neste ponto. 4

5 4 y Eemplo 0 Seja a função + 3 se f() = se < 3 se > Pede-se: (a) Faça um esboço do gráfico de f (b) Determine, se eistirem, + f(), f() e f() (c) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em =. (d) Determine, se eistirem, + f(), f() e f() (e) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em = (f) Determine, se eistirem, + f(), f() e f() (g) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em = Solução (a) Observe o gráfico a seguir. (b) Temos: + f() = 3, f() = e f() (c) f não é contínua em = em função do salto. (d) É simples ver que + f() = 0, f() = 0 e f() = 0 (e) Não havendo salto neste ponto temos que f é contínua em =. (f) + f() =, f() = 4 e f() (g) Novamente, pelo salto que observamos no gráfico, temos que f não é contínua em = 5

6 6 y Eemplo Seja a função Pede-se: f() = (a) Faça um esboço do gráfico de f {, se < +, se < ou (b) Determine, se eistirem, + f(), f() e f() (c) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em =. (d) Determine, se eistirem, + f(), f() e f() (e) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em = Solução 3 (a) Observe o gráfico a seguir. 4 y (b) Temos: + f() = 5, f() = 5 e f() = 5 (c) Sim, f é contínua em = pois não temos salto. (d) + f() =, f() = e f() 6

7 (e) f não é contínua em = pois eiste salto neste ponto. Eemplo 4 Seja a função, se < f() = + se < se Pede-se: (a) Faça um esboço do gráfico de f (b) Determine, se eistirem, + f(), f() e f() (c) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em =. (d) Determine, se eistirem, + f(), f() e f() (e) Observando o gráfico, verifique se f é contínua em = Solução 5 (a) O gráfico segue abaio. 4 y (b) Temos: + f() = 4, f() = 4 e f() = 4 (c) Sim, f é contínua em = pois não temos salto. (d) + f() =, f() = e f() = (e) f é contínua em = pois não eiste salto neste ponto. Eemplo 6 Considere a função f() =. Sendo y =, teremos y = e, portanto, o gráfico desta função é a parte da parábola = y que está acima do eio, incluindo os pontos sobre o eio. Observe o gráfico a seguir. O que dizer, neste caso, de f(), f() e f()? 7

8 4 y Inicialmente, observemos que para pontos à esquerda de 0 não temos imagem, pois os pontos à esquerda de 0 não estão no domínio da função e, portanto, em casos como este, não tem sentido a epressão 0 f() e a determinação do ite se resume a 0 + f(). É simples ver que 0 + f() = 0 e, portanto, teremos f() = 0. 0 A análise do eemplo acima nos leva ao seguinte comentário: A epressão a f() só tem sentido se a função está definida num intervalo, por menor que seja, à esquerda de a e começando em a, não necessariamente contendo a, isto é, deve eistir um intervalo do tipo ]b, a[ contido no domíno de f. A epressão a + f() só tem sentido se a função está definida num intervalo, por menor que seja, à direita de a e começando em a, não necessariamente contendo a, isto é, deve eistir um intervalo do tipo ]a, b[ contido no domíno de f. A epressão a f() tem sentido desde que pelo menos umas das situações ocorra. Se as duas situações ocorrerem, então, teremos a f() = l a a f() = f() = l. + É claro que se somente uma das situações ocorre, tal como no eemplo anterior, o ite se resumirá a esta situação.. Eercícios Em cada item abaio, trace um esboço do gráfico da função e encontre os ites indicados, justificando caso o ite não eista. Determine, ainda, os pontos onde cada função é contínua. se <. f() = se = 3 se < (a) + f() (b) f() (c) f() 8

9 { + 3 se. f() = 3 se < { + se < 3 3. f() = 0 se 3 (a) + f() (b) f() (c) f() (a) 3 + f() (b) 3 f() (c) 3 f() { se 4. f() = 8 se < + 3 se < 5. f() = se = 7 se < 3 + se < 6. f() = 0 se = se < (a) + f() (b) f() (c) f() (a) + f() (b) f() (c) f() (a) + f() (b) f() (c) f() 7. f() = 5 (a) 5 + f() (b) 5 f() (c) 5 f() 8. f() = (a) + f() (b) f() (c) f() 9. f() = (a) 0 + f() (b) 0 f() (c) 0 f() Cálculo de Limites Ainda que não tenhamos a pretensão de apresentar um estudo formal da teoria de ites, apresentamos, a seguir, alguns resultados que nos permitem o cálculo de alguns ites, já que seria etremamente complicado dependermos do gráfico da função a todo momento. Alguns desses resultados, tais como o que vem logo abaio, são de fácil aceitação. Vale notar que, quase sempre, utilizaremos o cálculo de ites para nos ajudar a esboçar os gráficos de algumas funções. Se estivéssemos interessados na demonstração dos resultados, deveríamos lançar mão do conceito formal de ites o que, neste curso, não nos parece apropriado. Vejamos tais resultados. Resultado 7 (Limite de uma função do primeiro grau) Se f é uma função do primeiro grau, então 0 f() = f( 0 ). Em outras palavras, se a e b são números reais, teremos (a + b) = a 0 + b. 0 Ressaltamos que o resultado acima ainda é válido para funções constantes, isto é, Eemplo 8 () = = () 5 + / = 5 + / (3) 0 = k = k. 0 9

10 Resultado 9 (Propriedades operatórias de Limites) Sejam f e g funções tais que Então: (a) 0 (f() ± g()) = l ± m f() = l e 0 g() = m. 0 (b) 0 (f()g()) = lm. Em particular, se n é um número natural, teremos 0 (f()) n = l n (c) Se f() g() está bem definida e m 0, teremos 0 f() g() = l m (d) Se n é um número natural e n f() está bem definida, teremos 0 n f() = n l. (e) 0 f() = l. Observação 0. Quando trabalhamos com 0 f() não estamos interessados no valor de f quando = 0. Pode acontecer do ite eistir ainda que 0 não esteja no domínio de f. Esta situação será eemplificada abaio mas já foi abordada logo após o eemplo 6.. Os resultados acima ainda permanecem válidos se trocarmos ite por ites laterais! 3. Uma consequência dos itens (a) e (b) acima é que 0 a n n + a n n a + a 0 = a n n a 0 + a 0. Eemplo Calcule os ites abaio: (a) 3 + (b) (e) h 0 (+h) 3 3 h (f) (i) (5 + ) (j) +0 + Solução (a) 3 + = 3 +. = 5 (c) 4 (d) (g) (h) 0 (l) (b) Temos: + = () + = e 4 + = 4 +. =, o que nos leva a, + = = e, portanto, = =. 4 + (c) Temos: 4 = 4 = 0 e = = 0 e, portanto, não podemos aplicar o item (c) do resultado anterior. Mas, observemos que 4 = ( )( + ) e, daí, teremos, 4 = ( )(+) = +, sendo. Como no ite 4, não nos interessa quando =, vem 4 = + = 4. (d) Novamente, temos, ite do numerador e do denominador iguais a zero. Mas, observemos que =. + + = ( ) ( )( + ) = +, 0

11 sendo ±. Logo, teremos, = + =. Uma outra solução poderia ser obtida, simplesmente, observando que = ( )( + ) e, daí, teríamos = ( )( + ) = +. Agora, terminamos como acima. (e) Mais uma vez temos o caso 0 0. Observemos que (+h)3 = 3 +3h +3h +h 3 (confira observação 3 a seguir) e, daí, temos ( + h) 3 3 h = 3 + 3h + 3h + h 3 3 h = h(3 + 3h + h ) h = 3 +3h+h, pois h 0. Logo, vem ( + h) 3 3 h 0 h = h h + h = 3.(Confira observação 3 abaio) (f) Novamente, temos o caso 0 0. Observe que as raízes do denominador são = /, = /3 e as raízes do numerador são = /, = / e, daí, teremos = 6( /)( /3) e 8 = 8( /)( + /)(Observação 3 novamente). Logo, vem Logo, = 8( + /)( /) 6( /)( /3) = 8( + /) 6( /3) 8( + /) =, pois /. 6( /3) = 8(/ + /) 6(/ /3) = 8. (g) Mais um item do tipo 0. Neste caso, o mais interessante é usar uma mudança de 0 variáveis, isto é, podemos fazer 4 = y. È muito importante observar que sempre ao fazermos uma mudança de variáveis devemos verificar qual mudança ocorrerá no ite, já que nossa variável era e agora será y. Note que, como 8, teremos 4 3, isto é, y 3, pois estamos usando y = 4. Como y = 4 = 4, teremos y = ( 4 ) = =. Logo = y 3 3 y 9 y = y 3 3 y (3 y)(3 + y) = y y = 6. Observando, como acima, que ( 4 ) = ( 4 ) = obtida fazendo =, uma segunda solução pode ser = ( 4 ) = (3 4 )(3 + 4 ) = = 6.

12 (h) Este caso, ainda do tipo 0 merece um maior cuidado. Devemos buscar einar os 0 radicais que ocasionam o zero tanto no numerador, quanto no denominador(comparar com a solução do item (d) acima) e, para tanto, faremos: 6 = = 0 +4 ( +4+)( +9+3) ) ( +4+)( = +9+3) 0 ( +4 4)( ( +9 9)( = +4+) 0 (i) Temos 5 + = 5.( ) + = 5 + = 4. Logo, pelo item (b) do resultado acima, temos (5 + )0 = ( 4) 0 = = (j) + 0 = + 0. = 0 e + = + =. Logo, teremos = 0 = 0. Agora, pelo item (e) do resultado anterior, teremos = 0 = 0. (l) = + (+)( ) = + ( ) =. Usando, novamente, (e), vem + = =. Observação 3 È bom lembrar que:. Se, são as raízes da função f() = a +b+c, então, a +b+c = a( )( ).. (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 e (a b) 3 = a 3 3a b + 3ab b 3 3. a n b n = (a b)(a n + a n b + a n 3 b ab n + b n. Em particular, temos, a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ). Uma situação que deve ser muito bem compreendida está descrita no resultado abaio. Resultado 4 (Limite de uma função definida por várias sentenças) Sejam f e g funções tais que eistam 0 f() e 0 g(). Então a função { f() se 0 h() = g() se > 0 é tal que 0 h() = 0 f() e h() = 0 g(). + 0

13 Vale observar que, para efeito de determinação do ite, o resultado ainda permanece válido se a função h está definida por { { f() se < 0 f() se < 0 h() = ou h() = g() se > 0 g() se 0 Observação 5 (Sobre eistência do ite e ites laterais) Ainda que já tenhamos abordado insistimos que, sendo f uma função definida à direita e à esquerda de 0, não necessariamente em 0, eiste 0 f() se, e somente se, eistem e são iguais os ites laterais. Neste caso, teremos, 0 f() = + f() = f(). 0 0 Vale salientar que, quando uma função está definida somente à esquerda de um número 0, 0 f() se reduzirá ao ite lateral à esquerda, isto é, neste caso, teremos 0 f() se, e somente se, 0 f() e, sendo este o caso, teremos f() = 0 0 f(). É claro que, quando a função estiver definida somente à direita de um número 0, 0 f() se reduzirá ao ite lateral à direita, isto é, neste caso teremos f() se, e somente se, f() e f() = f() Eemplo 6. Sendo f() =, determine: (a) 0 f() (b) 0 + f() (c) 0 f() + se <. Sendo f() = se, determine: se < (a) f() (b) + f() (c) f() (d) f() (e) + f() (f) f() + se < 3. Sendo f() = + se < se, determine: (a) f() (b) + f() (c) f() (d) f() (e) + f() (f) f() a se < 3 4. Sendo f() = a + b se 3 3 b 5 se 3 < 3 f() e 3 f() eistam., determine os valores de a e b tais que 3

14 {, 0 Solução 7. Como =, < 0, teremos { f() =, > 0, < 0 = {, > 0, < 0 Note que a função não está definida em = 0, isto é, = 0 não pertence ao domínio de f. Usando o resultado 4 teremos: (a) 0 f() = 0 = (b) 0 + f() = 0 = (c) 0 f(), pois os ites laterais são diferentes.. Teremos (a) f() = (+) = 0 (b) + f() = = (c) f(), pois os ites laterais são diferentes. (d) f() = = (e) + f() = = (f) f() =. 3. Teremos (a) f() = ( + ) = 0 (b) + f() = + = + = 0 (c) f() = 0, pois os ites laterais são iguais. (d) f() = + = + = (e) + f() = = (f) f(), pois os ites laterais são diferentes. 4. Os ites 3 f() e 3 f() eistem se, e somente se, eistem e são iguais os ies laterais, isto é, devemos ter Mas, f() = f() e f() = 3 + f(). 3 e 3 f() = (b 5) = b 5 e f() = (a + b) = 3a + b 3 f() = (a + b) = 3a + b e f() ( a) = 6 a. 3 3 Logo devemos eigir que b 5 = 3a + b e 3a + b = 6 a, o que nos leva ao sistema { 3a + b = 5. a b = 6 Resolvendo, teremos, a = 3 e b = 6. Voltemos ao conceito de função contínua sem que tenhamos que esboçar o gráfico, já que, como dissemos anteriormente, em muitos momentos a determinação do ite será crucial para esboçarmos o gráfico de uma função. Conceito 8 Uma função f será contínua num ponto 0 se, e somente se, as três condições abaio se verificam: () Eiste f( 0 ), isto é, 0 pertence ao domínio de f () Eiste 0 f(), isto é, 0 f() é um número real (3) 0 f() = f( 0 ) 4

15 Bem entendido, uma função será contínua em um número 0 pertencente ao seu domínio se o ite desta função quando tende a 0 for igual ao valor de f em 0, isto é, f( 0 ). Quando f é contínua em todos os pontos do domínio dizemos simplesmente que f é contínua! Eemplo 9 ) Qual o domínio da função f() =? Esta função é contínua em = 0? Justifique! Solução: Devemos ter 0, logo o domínio de f é D = [0, [= { R; 0}. Como sabemos que 0 pertence ao domínio da função devemos comparar f(0) e 0 f() = 0. Note que, neste caso, 0 f() se resume a 0 + f() já que a função não está definida à esquerda de 0 e, daí, temos f() = = f() = = Portanto, f é contínua em = 0. Note que f é uma função contínua, isto é, f é contínua em todos os pontos de seu domínio!. ) Com os valores encontrados, a função do eemplo anterior, item 3, é contínua em = 3? E em = 3 Solução: Com os vslores encontrados, temos + 3 se < 3 f() = 3 se se 3 < Daí, vem 3 + f() = 3 ( 6 5) = ; 3 f() = 3 ( 3 ) = 3 f() = e, como, f(3) =, temos que f é contínua em = 3. De maneira análoga, temos 3 f() = 3 ( + 3) = 3; 3 + f() = 3 ( 3 ) = 3 3 f() = 3 e, como, f( 3) = 3, temos que f é contínua em = 3. 3) Dada f() = contínua em = 0. Solução: Observe que { 3 +a 3 a se 0 b se = 0 f() = 0 0, determine os valores de a e b tais que f seja 3 + a3 a (tipo 0 0 ). Faremos a mudança de variável y = 3 + a 3. Como 0, teremos y a e = y 3 a 3. Logo, teremos a3 a = y a y a y 3 a 3 = y a y a (y a)(y + ya + a ) = 3a. Para que f seja contínua em 0 devemos ter 0 f() = f(0), isto é, devemos ter 3a = b, ou ainda 3a b =. 5

16 4) Em quais pontos as funções do eemplo anterior, itens e, são contínuas? Solução: A função do item () é contínua em todos os pontos do domínio, já que é dada pelo quociente de duas funções contínuas, quais sejam, e. Observamos que 0 não é um ponto do domínio! No caso da função do item (), os únicos pontos onde poderíamos ter problemas seriam = ou =. Em = não eiste o ite, logo a função não é contínua. Em = temos o ite igual a que é o valor da função em =. Logo, a função é contínua em todos os pontos do domínio, eceto em =. Observação 30 (MUITO IMPORTANTE!) Como consequência das propriedades operatórias de ites, sendo f e g duas funções contínuas em 0, teremos as funções f + g, f g, f.g, f, kf, n f e f/g contínuas em 0 desde que bem definidas e, no caso do quociente, tenhamos g( 0 ) 0. Em particular, qualquer função do tipo f()a n n + a n n a + a 0 (função polinomial) é contínua em todos os pontos e, consequentemente, quociente de duas funções polinomiais é uma função contínua em qualquer ponto que não anule o denominador. De maneira informal, estamos dizendo que se duas funções f e g não possuem salto num ponto 0, então as funções f + g, f g, f.g, f, kf, n f e f/g também não possuem salto em 0. Se as funções f e g não possuem salto em ponto algum, então as funções f + g, f g, f.g, f, kf, n f e f/g também não possuem salto em ponto algum, desde que observadas as condições de eistência. 3 Eercícios. Calcule os ites abaio: (a) ( + + ) (b) + + (c) (d) 3 +8 (e) 4 + (f) (g) (h) 7 (i) (j) 4 0 (k) 3 h+ 0 h (l) (m) 3 + (n) (o) Para cada função abaio, determine, se eistirem, os ites indicados. 3 se > ) f() = se = 4 + se < (a) + f() (b) f() (c) f() { 3 se ) f() = 4 se < (a) + f() (b) f() (c) f() 6

17 { 5 se 3 3) f() = 4 5 se < 3 (a) 3 + f() (b) 3 f() (c) 3 f() se < 4) f() = 0 se = se > (a) + f() (b) f() (c) f() { 5) f() = 3 + se 3 8 se > 3 (a) 3 + f() (b) 3 f() (c) 3 f() 3 se < 6) f() = se = se < (a) + f() (b) f() (c) f() 3. Considere a função f() = 4 (a) Determine o domínio de f (b) Determine, se eitirem, (b.) f() (b.) f() (c) (c.) A função é contínua em =? Justifique! (c.) A função é contínua em =? Justifique! 4. Considere a função f() = 3+. Pede-se: (a) Determine o domínio de f (b) Determine, se eitirem, (b.) f() (b.) 0 f() (b.3) f() (c) (c.) A função é contínua em = 0? Justifique! (c.) A função é contínua em =? Justifique! (c.3) A função é contínua em =? Justifique! 5. Sejam f e g as funções e + 3 se < f() = se = 7 se < 3 + se < g() = 0 se = se < Determine as funções(e respectivos domínios): f + g, fg, f g, f/g e f + 4g. Para cada função encontrada, determine o ite quando tende a e o ite quando tende a -, justificando caso não eista. Caso julgue necessário, determine os ites laterais. Determine, ainda, para cada função encontrada e as funções dadas, os pontos onde é contínua.. 6. Determine a, se eistir, para que a função seja contínua no ponto especificado. { 5+6 se (a) f() = = a se = 7

18 { se (b) f() = 3 = a se = { se > 4 (c) f() = 4 = a se 4 { + se > 0 (d) f() = a se 0 = 0 7. (a) Determine (a.) + + (a.) (a.3) + + (b) Determine (b.) (c) Determine (c.) (a.)(b.) 5+4 (c.) 3 5 (b.3) + + (c.3) Limites Infinitos e Limites no Infinito 4. Limites Infinitos Anteriormente, vimos que um dos problemas no cálculo de ites surge quando desejamos f() calcular a. A estratégia incial é calcular g() a f() e a g() separadamente. Sendo a g() 0 usamos que f() a g() = a f() a g() e o ite está determinado. Se a g() = 0, nossos problemas começam. Sendo a f() = 0, temos um caso de indeterminação e devemos buscar outro meio de resolver tal ite. Já abordamos alguns problemas deste tipo anteriormente e retornaremos a este mesmo tema um pouco mais tarde, após desenvolvermos a teoria de derivadas. O que fazer quando a g() = 0 e a f() = l 0? Vejamos um eemplo. Eemplo 3 Consideremos a função f() = e busquemos determinar 0 f() = 0. Devemos responder à seguinte pergunta: O que acontecerá com a imagem(y) ao nos aproimarmos de zero no eio? Não é difícil constatar que nos aproimando de zero, como o numerador é igual a, iremos sempre crescendo o resultado da fração, pois seu denominador, isto é,, sempre positivo, se tornará cada vez menor. Assim, vemos que se tornará maior que qualquer número, bastando para isso que nos aproimemos suficientemente de 0. Para representar tal situação ( a imagem crescer indefinidamente ) introduziremos o símbolo (infinito) e anotaremos 0 =. 8

19 Note que isto independe do lado em que nos aproimemos de 0, isto é, temos 0 + = e 0 =. Observamos que não é um número, somente representa um crescimento além de qualquer número. Vejamos um caso com ites laterais, qual seja Eemplo 3 Determinemos 0 + e 0. No primeiro caso, tal como no eemplo anterior, não é difícil observar que y = crescerá além de qualquer número positivo, bastando para isso que nos aproimemos cada vez mais de zero á direita e, portanto, tal como no eemplo acima, teremos 0 + =. O que dizer sobre 0? Neste caso, um pouco mais delicado, gostaríamos de saber o que acontecerá com a imagem quando se aproima de 0 pela esquerda. Observamos, inicialmente, que y = é negativo, já que, neste caso, < 0. Não é difícil perceber que y = ficará menor que qualquer número negativo bastando que nos aproimemos cada vez mais de 0. Abaio, colocamos lado a lado, alguns valores de e os respectivos valores de y =, obeserve. y = / / /0 0 / / Neste caso, escreveremos 0 =. Nos casos estudados acima é simples verificar que se no numerador, ao invés de tivessemos uma função indo para, não teríamos alteração no resultado, isto é, temos a seguinte conclusão: Conclusão 33 Suponhamos que desejemos calcular Inicialmente calculamos f() a g(). f() e a g() a e se o segundo ite for diferente de zero, não teremos problema pois o ite final será simplesmente o quociente dos ites encontrados separadamente. Se o ite do denominador 9

20 for zero, iremos verificar o ite do numerador. Se este for igual a zero, temos uma forma indeterminada, qual seja, 0 e, daí, devemos buscar uma forma de determiná-lo; se for diferente 0 de zero, então o ite do quociente sera necessariamente igual a ou. Pode ser útil observar que: (a.)) Se o ite do numerador é um número positivo e o denominador tende a 0, sendo positivo próimo de a à direita, teremos f() a + g() = (a.) Se o ite do numerador é um número positivo e o denominador tende a 0, sendo positivo próimo de a à esquerda, teremos f() a g() = (b.) Se o ite do numerador é um número positivo e o denominador tende a 0, sendo negativo próimo de a à direita, teremos f() a + g() = (b.) Se o ite do numerador é um número positivo e o denominador tende a 0, sendo negativo próimo de a à esquerda, teremos f() a g() = (c.)) Se o ite do numerador é um número negativo e o denominador tende a 0, sendo positivo próimo de a à direita, teremos f() a + g() = (c.) Se o ite do numerador é um número negativo e o denominador tende a 0, sendo positivo próimo de a à esquerda, teremos f() a g() = (d.) Se o ite do numerador é um número negativo e o denominador tende a 0, sendo negativo próimo de a à direita, teremos f() a + g() = (d.) Se o ite do numerador é um número negativo e o denominador tende a 0, sendo negativo próimo de a à esquerda, teremos f() a g() = 0

21 Em particular, teremos (i) 0 + n = (ii) 0 n = { se n é par se n é ímpar Não há necessidade de preocupação em memorizar com os casos acima a., a., etc. Basta lembrar que quando tivermos a forma a 0 o resultado será ± e 0 a decisão spbre qual deles virá da regra de sinais, isto é, divisão de números de mesmo sinais resultam em positivo e divisão de números de sinais contrários resultam em negativo. Ressaltamos que todas as observações feitas nas seções anteriores para ite laterais e ites continuam válidas nestes casos! Eemplo 34 Determine Solução 35 Inicialmente, determinemos separadamente os ites do numerador e do deno minador. No caso do numerador, teremos 0 ( ) = = =. Para o denominador vem, 0 4 = 0 4 = 0. Estamos no caso número sobre zero e, como o denominador é positivo, teremos, e, portanto, = e; =. 0 4 = Observe com atenção o eemplo a seguir. Eemplo 36 Determine Solução 37 Numerador: ( ) = = 7. Denominador: = = 0 Novamente, temos o caso número sobre zero, só nos restando decidir entre ou. Notando que o denominador muda de sinal etamente em e, portanto, assume sinais diferentes à esquerda e à direita de dois partimos para determinação dos ites laterais. Daí, vem ) =, pois o denominador é positivo à direita de (valores maiores que =, pois o denominador é negativo à esquerda de (valores menores que ) Observe que, independente do caso(direita ou esquerda), o numerador é sempre positivo próimo de.

22 Vejamos ainda, um último eemplo. Eemplo 38 Sendo f() = (a) f() (b) 3 f() (c) f() 3 determine: 5+6 Solução 39 (a) Numerador: ( 3) = 3 = Denominador: ( 5 + 6) = =. Caso em que não temos problemas e o ite é determinado diretamente por (b) Numerador: 3 ( 3) = 3 3 = = = Denominador: ( 5 + 6) = = 0. Caso 0/0(indeterminado) e devemos buscar uma forma de calcular. Lembremos que se e são as raízes da equação a + b + c = 0, então a + b + c = a( )( ). No nosso caso, como e 3 são as raízes da equação 5+6 = 0, teremos = ( )( 3). Logo = 3 (c) Numerador: ( 3) = 3 = 3 ( )( 3) = 3 Denominador: ( 5 + 6) = = 0. = = Caso número/0 e, portanto, o resultado será necessariamente ou. Para decidirmos em que caso estamos, devemos conhecer o sinal da função próimo de, já que o numerador sabemos que é negativo ( - ). No caso, sendo uma função do segundo grau, sabemos que entre as raízes a função tem sinal contrário ao de a e fora das raízes mesmo sinal de a, isto é, > 0 se < ou > 3 e < 0 se < < 3. Como a função tem sinais distintos à direita e à esquerda de, partimos para os ies laterais e teremos: 4. Eercícios Calcule os ites abaio: = e =.

23 4 (a) 4 (b) 4 3 (c) (d) + + (e) 4 (f) (g) 0 (j) 4 3+ (h) 3+ 0 (i) (k) 0 ( ) (l) ( 3 4 ) 4.3 Limites no Infinito Para finalizarmos este estudo sobre ites, abordaremos os casos f() ou f(). Escreveremos f() = l, para indicar que a imagem se aproima do número l quando cresce indefinidamente. f() =, para indicar que a imagem cresce além de qualquer número quando cresce indefinidamente. De maneira análoga teremos f() = l, f() =, f() =, f() =. Vejamos alguns eemplos: Eemplo 40 Não é difícil constatar que, sendo n um número natural não nulo, teremos (a) ± = 0 n { se n ímpar (b) n = se n par (c) n = Eemplo 4 (ite de um polinômio quando ± ) Busquemos determinar ( ). Inicialmente, obsrvemos que = e e portanto se usamos a propriedade operatória de ite de uma diferença, teremos ( ) = = o que vale ressaltar, também é uma indeterminação e devemos buscar uma forma de tratar tal ite. Neste caso faremos ( ) = ( ) e como teremos = e ( ) = ( ) =. 3

24 No caso geral, não é difícil verificar que (a n n + a n n a + a 0 ) = a n n, ± ± isto é, basta tomar o ite do termo de maior grau desprezando os termos restantes. Eemplo 4 ( ) = 4 3 = 4 3 = e ( ) = 5 4 = 5 4 =. De maneira análoga, trataríamos o caso polinômio dividido por polinômio, isto é, ± a n n + a n n a + a 0 b m m + b m m b + b 0 = ± a n n b m m. 4 Eemplo 43 (a) = 4 ++ (b) = = 4 = 4 (c) = = 4 = 0 = 4 = 4.4 Alguns eercícios resolvidos ) =? Notemos que + 7 = + 7 = e 7 = 7 = e, inicialmente, teríamos = (indeterminação). Faremos então = ( )( ) = ( +7) ( +7) ( = +7) ( 7) +7+ = = 0 +7 ) + =? Se usarmos que o ite de um quociente é o quociente dos ites, teremos (indeterminação ). Faremos então, + = + = + = = Observe a diferença no ite abaio 3) + =? De maneira análoga faremos + = + 4 = + =

25 Lembre-se que { { se 0 = = se < 0 e portanto = se 0 se < 0 e como neste caso,, teremos negativo e daí =. 4) ( + + ) =? Novamente, temos um caso de indeterminação do tipo. Faremos então ( + + ) = ( + + ) + = = Se calcularmos o ite do numerador e do denominador ainda teremos uma indeterminação do tipo. Daí, continuando, teremos = + = = = = = = 4.5 Eercícios Calcule os ites abaio: (a) + 5 (b) 4 +3 (c) (d) +5 (e) (f) (g) (h) (i) ( + ) (j) + (k) ( ) (l) (m) ( ) t+ t+ t t+ 5