Unidade 3. Funções de uma variável

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1 Unidade 3 Funções de uma variável Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de unção. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne pelo consumidor, por eemplo, pode depender do seu preço atual no mercado; a quantidade de ar poluído numa área metropolitana depende do número de veículos na rua; o valor de uma garraa de vinho pode depender da sara. Essas relações são matematicamente representadas por unções. Sejam A e B dois conjuntos. Uma unção é uma relação que a cada elemento de A associa um único elemento de B, e é indicada por : A B. A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação epressa na orma y (). Deinição (Função): Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que é uma unção ou aplicação, de conjunto A em conjunto B, se e somente se, todo elemento de A, está em correspondência com um único elemento de B. Escrevemos : A B deinida por y () onde y é o valor de em. Domínio: É o conjunto dos valores de tais que a unção está deinida. Anotamos D() A ou Dom() A. Contra-domínio: O conjunto B é o contra-domínio da unção CD() B. Imagem: É o conjunto dos valores y B tais que y () para algum. Anotamos Im() B. Assim: e D()() para algum A y y B, Im() y B eiste Acom () y. Por eemplo, seja : A B deinida por (), onde,,3 A e,,4,6,7 D, CD(),,4,6,7 e Im(),4,6 Neste caso, (),,3 B.. Veja a igura abaio:

2 A D() B CD() Im() Figura 3. Uma unção : A B é dita unção real de uma variável real se A e B. Figura 3. Normalmente, representamos por y (), A e y B. Veja a seguir alguns eemplos de unções. (i) () (ii) () (iii) () (iv) () (v) (), para todo, D()., para todo, D(), para todo, D() 0,,, D(),, D(), (vi) (),, D() 3 (vii) (), 0 D() 0 (viii) (), para todo, D().,,

3 3 (i) (), D() / e Im(). () () /. Neste caso, (i) () 0 e D() / 3/. º Caso: 0 e 3 0 e 3 º Caso: 0 e 3 0 e 3. Assim, D() /, 3, Vamos veriicar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos eercícios propostos. Eercícios Propostos - Determine domínio nas seguintes unções: ) 3) () () 3 ) 4) () () 3 5) () 3 6) () 3 7) () 5 8) () 4 4 9) () 0) () ) () ) () 3 3 3) () 4) () 3 Respostas. R ) ) R 0 3) R,

4 4 4) R 5) 6) 3 3 R, R, 3 3 R 0, 5 7) 8) R 4 ou 9) R, 0) R, ) R, 3 3 R 3 3, ) 3) R 3, 3 4) R 0 0, Gráico de uma Função É o subconjunto do plano ormado pelos pontos,(), para todo, quando percorre o campo de deinição de unção :. Im()() G. Eemplo 3.. Seja (), para todo. D() e Im(). Figura 3.3 Eemplo 3.. Seja (), para todo. D() e Im().

5 5 Figura 3.4 Eemplo 3.3. Seja :, (), D() e Im(). Figura 3.5 Eemplo 3.4. Seja (), para todo, D() e Im(). Figura 3.6 Duas unções e g são iguais se e somente se tem o mesmo domínio e ()() g, para todo D().

6 6 Eemplo 3.5. : A B, () e g() B 0,,,3, 4,5. Neste caso, ()() g, para todo A., onde A,,3 e Eemplo 3.6. Sejam, g :, deinidas por () 4 e g(). Neste caso, temos ()() g, para todo, pois. 4 Eemplo 3.7. Sejam, g :, () e () g. Neste caso, ()() g,, para todo 0. Eemplo 3.8. Sejam () 0. e g() são iguais se, e somente se, o domínio de ambas é Operações com Funções Dadas às unções e g deinidas. Então valem as seguintes: (i) Soma de e g : ()()()() g g ; (ii) Dierença de e g : ()()()() g g ; (iii) Produto de e g : ()()()() g g ; (iv) Quociente de e g : () g () g(), g() 0. Em cada caso o domínio da unção resultante consiste dos valores de comuns ao das unções e g, sendo que para g, o domínio é interseção ecluídos os pontos tais que g() 0. Por eemplo, dadas às unções () e g() 3, então: (i) (ii) ()() g,. 3 ()() g,. 3 ()() g,. 3 (iii) (iv) () g 3 3 D() g D() g D() g g, D, pois D() g.

7 7 Funções Deinidas por Várias Sentenças São as unções onde unção é dada por dierentes valores em dierentes intervalos. Nos eemplos a seguir obter o gráico, seu domínio e sua imagem das unções: :. Eemplo 3.9., se 0 (), se 0, se Resolução: () D, Im(),., se 0 Eemplo 3.0. (), se 0 Figura 3.7 Resolução: D(), Im(). Figura 3.8 Eemplo 3.., se 0 (), se 3 5, se 3

8 8 Resolução: D(), Im(),. Figura 3.9 Eemplo 3.. (), se 3, se 3 Resolução: D(), Im(). Tipos de Funções Figura 3.0 (a) Funções monótonas (i) Função Crescente: A unção y () é crescente num intervalo de seu domínio se dados dois valores quaisquer deste intervalo, e com, temos ()(). Por eemplo, y, D(), Im(),, e ()(). (ii) Função Decrescente: A unção y () é decrescente num intervalo de seu domínio se dados dois valores quaisquer deste intervalo, e com, temos ()(). Por eemplo, y, D(), Im(),, ()(). e

9 9 Figura 3. (b) Função Injetora Dizemos que : A B é injetora se e somente se, dados e A com que ()() ou se ()() então. implica Por eemplo, (i) :, () é injetora, pois, com ()(). (ii) :, () ()(), considerando 3 não é injetora, pois e 3, temos ( 3)(3) 9. Figura 3. (c) Função Sobrejetora Dizemos que : A B é sobrejetora se e somente se Im() B ou () A Por eemplo, B.

10 0 (i) :, () 3 é sobrejetora, pois () D e Im(). (ii) :, () é sobrejetora, pois D() e Im(). (iii) :, () não é sobrejetora, pois D() e Im(). (d) Função Bijetora Dizemos que : A B é bijetora se e somente se, é injetora e sobrejetora, isto é, ()() e Im() B. Por eemplo, (i) :, () ; (ii) :, () 3 ; (iii) :, () ; são unções bijetoras. (e) Função Inversa Se : A B é bijetora, a relação inversa de é uma unção de B em A que denominamos unção inversa e indicamos por. Figura 3.3 Observação: (i) : A B (ii) (iii) sendo bijetora, garante a eistência da unção inversa Im() e D B Eiste Eiste é bijetora. Im() D A. é equivalente dizer é inversível. : B A e Por eemplo,

11 (i) Figura 3.4 A unção dada acima na igura.4 é inversível. (ii) Figura 3.5 A unção dada acima na igura.5 é não inversível. Regras práticas para o cálculo de unção inversa Na unção y () trocamos por y e y por, obtendo () y. Epressamos y em unção de. Por eemplo, (iii) Seja :, y 4 y () 4 y 4 y 4

12 (). y () (iv) Seja : y y y, :, y (). Observação: Os gráicos de e quadrante do plano cartesiano. são simétricos em relação à bissetriz do º e 3º Por eemplo, (i) () 3, : :, 3 (). Figura 3.6 (ii) :, () ()

13 3 Figura 3.7 Composição de Funções Sejam A, B e C três conjuntos. Consideremos as unções e g tal que : A B e g : B C. Associado com e g eiste uma unção L : A C denominada composição e deinida por h()()()(()) g g, para todo A. Assim temos Figura 3.8 :() Im() y B e g :() y g Im() y z g C. Observações: (i) g só está deinida, quando CD()() D g. (ii) Em geral, g g. (iii) O domínio de g é o conjunto de todos os números no domínio D(). Eemplo 3.3. Sejam A,,3,4, B 0,,4,6,8,9 e 0, 4,6,36, 64,8,00 Consideremos : A B : () y e : g B C : g() y y z C.. Então

14 4 h : A C : h()()()(())() g 4 g g. Eemplo 3.4. Sejam, g : deinidas por () e g(). Então, e Agora, ()()(())() g g, ()()(())( g ) g g. g g. Eemplo 3.5. Sendo :, e g. Calcular: (i) (())( g )( ) 4 3. (ii) g(())( ) g. (iii) (())(3) g 9 8 (iv) g((0))( ) g. Eemplo 3.6. Sendo : (i) ()()(()) g g (4 ) 3 (4 ), 3 3 (6 8 ) (ii) ()()(()) g g 3 6 g(3 ) (4(3 ) ) (iii) ()()(()) (3 ) 3 (3 ) 3 (9 4) e g 4 g, g, e g g (iv) ()()(()) g g g g Calcular

15 5 g(4 ) (4(4 ) ) Funções Pares e Ímpares (a) Função Par Seja : A B. é uma unção par se e somente se ()(), A. Por eemplo, (), é par, pois ()(), para todo. Figura 3.9 (b) Função Ímpar Seja : A B. é uma unção par se e somente se ()(), para todo A. Por eemplo, () 3, é ímpar, pois ()() 3, para todo. Observações: (i) O gráico de uma unção par é simétrico em relação ao eio y. (ii) O gráico de uma unção ímpar é simétrico em relação a origem do sistema cartesiano. (iii) Eistem unções que nem são pares e nem ímpares. Por eemplo, () (), para todo, nem são pares e nem são ímpares. Veriique se são pares ou ímpares as unções: (i) y e e

16 6 (ii) y, 0. Funções elementares A seguir apresentaremos algumas unções elementares. a) Função constante A unção que associa cada elemento do seu domínio a um mesmo elemento do contradomínio é chamada de unção constante. Eemplo 3.7. A unção :[0, ), ( ), é uma unção constante. Sua Figura no intervalo 0, do seu domínio é o seguinte: Figura 3.0 b) Funções aim e linear Chama-se unção aim qualquer unção dada por ( ) a b onde os coeicientes a e b são números reais dados. Quando b 0, a unção é chamada de linear. A Figura da unção aim com domínio e contradomínio é uma reta com coeiciente angular igual a a e que b intercepta os eios coordenados X e Y nos pontos, 0 0, b, respectivamente. a e Eemplo 3.8. O gráico da unção aim tomando-se a e b, ou seja, y (), no intervalo [, ], é mostrado a seguir.

17 7 Figura 3. Uma reta pode ser representada por uma unção aim da orma apenas determinar a e b. y a b. Precisamos c) Função módulo É a unção deinida por, 0 (), 0 O gráico da unção módulo é o seguinte: Figura 3. por d) Função quadrática Sejam a, b e c números reais quaisquer com a 0. A unção deinida em e dada y () a b c recebe nome de unção quadrática.

18 8 Eemplo 3.9. (i) y () 9 4 a ; b 9; c 4. (ii) (iii) y () 5 5 a 5; b 5; c y () a ; b ; c e) Função polinomial É toda unção cuja regra de associação é um polinômio, ou seja, n ( ) a a a n n n... a 0, onde os coeicientes (). a,..., 0, a an são números reais e n é número natural chamado de grau de Eemplo 3.0. As unções aim e linear são eemplos de unções polinomiais de grau n. A unção quadrática ( ) a b c, a 0, é uma unção polinomial de grau n. A unção 4 3 () 3 5 é uma unção polinomial de grau n 4. ) Função racional É toda unção cuja regra de associação é do tipo p( ) ( ), q( ) onde p() e q () ( q() 0 ) são unções polinomiais. Uma unção racional está deinida em qualquer domínio que não contenha raízes do polinômio q (). Eemplo 3.. Determine o maior domínio possível da unção racional ( ). Resolução: Uma unção racional com esta regra de associação está deinida em todo ponto tal que 0. Portanto, o maior domínio possível é o conjunto.

19 9 Figura 3.3 Função eponencial e logarítmica a) Função eponencial de base a Seja a um número positivo e a. A unção :(0, ), dada por ( ) a, é chamada de unção eponencial de base a. Os gráicos dessas unções são os seguintes: Gráico da unção eponencial quando a. Figura 3.4 Gráico da unção eponencial, quando 0 a. Figura 3.5

20 0 O conjunto imagem da unção eponencial é o intervalo (0, ). Apresentaremos, a seguir, as propriedades de eponenciação. b) Propriedades da unção eponencial As seguintes propriedades valem para quaisquer a, b,, y R com a 0, b 0 : P - P - P3 - P4 - P5 - a ( a b ) ( ab). a a y y a a. y a. y a a b. b y y y ( a ) ( a ) a. A unção eponencial mais comum em aplicações é a unção eponencial de base a e onde e, é a constante de Euler, que é um número irracional. A unção, nesse caso, é chamada de unção eponencial natural ou, simplesmente, unção eponencial. Função logaritmo Seja a um número positivo e a. A unção deinida por y () log a 0, recebe o nome de unção logarítmico de base a. Vejamos os gráicos da unção logarítmica: Figura 3.6

21 Figura 3.7 Propriedades da unção logaritma Para todo, y 0, valem as seguintes propriedades. P. Propriedade do produto: log a ( y) = loga loga y. P. Propriedade do quociente: log a = log a log a y. y P3. Propriedade da potenciação: log ( y ) log y. a a O logaritmo na base indicá-lo como ln. a e é chamado de logaritmo natural e é comum Aplicações práticas das unções A seguir apresentaremos algumas aplicações práticas de unções em orma de eemplos. a) Função receita Eemplo 3.. Um bem é vendido por R$300,00 a unidade. Sendo a quantidade vendida, a receita de vendas será 300. Podemos dizer que R() 300 é uma unção que ornece a quantidade vendida à receita correspondente. Eemplo 3.3. Uma sorveteria vende um picolé por R$6,00 a unidade. Seja a quantidade vendida. a) obtenha a unção receita R() ; b) calcule R (50) ;

22 c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$.00,00? Resolução: a) R() 6. b) R(50) c) Devemos ter Logo, a quantidade vendida deve ser de 0 picolés. b) Função custo e lucro do primeiro grau Seja a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de, e a relação entre eles chama de unção custo total e a indicamos por C(). Eistem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguro e outros. A soma desses custos que não dependem da quantidade produzida chamamos de custo io e indicamos por CF. A parcela do custo que depende de chamamos de custo variável e indicamos por CV (). Logo, podemos escrever C()() CF CV. A unção lucro L() é deinida como a dierença entre a unção receita R() unção custo C() e temos L()()() R C. e a Por eemplo, o custo io mensal de abricação de um produto é R$6.000,00 e o custo variável por unidade é R$ 5,00. Então a unção custo total é dada por C() Se o produto or, digamos número de aparelhos de TV, os valores de serão 0,,,... Caso o produto or, digamos toneladas de soja produzidas, os valores de serão números reais positivos. Eemplo 3.4. Um produto é vendido por R$0,00 a unidade (preço constante). A unção receita será R() 0. Se colocarmos o gráico desta unção receita e o da unção custo C() num mesmo sistema de coordenadas cartesianas teremos o gráico a seguir.

23 3 Figura 3.8 Gráico de R() 0 e C() no mesmo sistema de coordenadas. A abscissa, c, do ponto A é chamada de ponto de nivelamento ou ponto crítico. Note que: Se c, então R()() C e L() 0. Se c, então R()() C e L() 0. c) Função demanda Eemplo 3.5. O número de certo produto demandado por mês numa loja relaciona-se com o preço unitário p conorme a unção demanda p 0 0, 004. Se o preço por unidade or de R$8,00, a quantidade demandada por mês será 8 0 0, 004 0, O gráico da unção demanda p 0 0,004 é dado abaio

24 4 d) Funções quadráticas receita e lucro Figura 3.9 Eemplo 3.6. A unção de demanda de certo produto é p 0, e a unção custo é C() 30 onde é a quantidade demandada. Determinar: a) a unção receita e o preço que a maimiza. b) a unção lucro e o preço que a maimiza. Resolução: a) Por deinição de receita, temos R() p 0 0. Logo, a unção receita é R() 0.Veja igura abaio Figura 3.30 De R() 0, temos a ; b 0; c 0. Logo, o valor de que maimiza R() 0 é a abscissa do vértice b 0 V 0 para uma receita máima de a ( )

25 5 R(0) Portanto, temos uma receita máima de R$00,00 para uma demanda de 0 produto. itens do b) A unção lucro é L()()() R C. Assim, onde L() , a ; b 9; c 30. Veja a igura de L() abaio Figura 3.3 O valor de que maimiza a unção lucro L() 9 30 é a abscissa do vértice b 9 9 V 9,5 para um lucro máimo de a ( ) L(9,5) 9,5 9 9, , 5 80, , 5 Portanto, temos um lucro máimo de R$ 60,5. Vamos veriicar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos eercícios propostos. ) Seja a unção () 4 3, calcular: a) ( ) ; b) ( a ) ; Eercícios propostos

26 6 c) () h ; d) ()() h ; ()() h e) h, h 0. ) Seja a unção g() 5 4, calcular: a) g( ) ; b) c) d) e) g 4 ; g()() h g h g ; g( ). g(), h 0 ; 3) Seja a unção () 3, calcule: a) ( ) ; b) () ; c) (3) ; d) ; e) (). 4) Faça o Figura da unção, com o () 3,,, 0,,,3 () Dom. 5) Obtenha o domínio das seguintes unções: a) y () 3 ; b) y () 3 ; c) y () 5. 6) Esboce o Figura da unção, de domínio Dom() (), se 0., se 0, dada por 7) Sejam as unções () e a) g e Dom() g. b) g e Dom() g. c) e Dom(). g(), determinar:

27 7 8) O custo de abricação de unidades de certo produto é dado pela unção C() 300. a) Qual o custo de abricação de 30 unidades? b) Qual o custo de abricação da vigésima unidade, já tendo sido abricadas dezenove unidades? 9) Dada a unção demanda p 0 e a unção custo C() 5, determinar: a) O valor de que maimiza a receita. b) O valor de que maimiza o lucro. 0) Usando o mesmo sistema de coordenadas cartesianas, esboce o Figura da unção receita dada por R() 4 e o Figura da unção custo dada por C() 50 e determine o ponto de nivelamento. ) Obtenha a unção lucro do eercício acima, esboce seu Figura e aça o estudo do sinal. ) Um abricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo de R$0,00 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do brinquedo or de cada, então o número de brinquedos vendidos por mês será 50. a) Epressar o lucro mensal do abricante como uma unção de. b) Utilize o resultado da letra a para determinar o lucro mensal se o preço de venda or de R$35,00 cada., y () 3) Seja :[0, ) [, ) =. Determine a inversa da unção. 4) Determinar a unção inversa da unção demanda 0 p. 4 5) Indicando o custo médio correspondente a unidades produzidas por CM (), temos CM () C() onde C() é o custo de abricação de unidades de um produto. O custo de abricação de unidades de um produto é C() a) Qual o custo médio de abricação de 80 unidades? b) Qual o custo médio de abricação de 00 unidades? c) Para que valor tende o custo médio à medida que aumenta?` Respostas ) a) ; b) 4a ; c) 4 4h 3 ; d) 4 4h 6; e). ) a) 9; b) 4 5 ; c) 0 5h 4 ; d) ; e) ) a) 6 b) 3; c) 6; d) 3 ; e) 4 3.

28 8 4) 5) a) Dom() R ; b) (),3 Dom ; c) () 5, Dom. 6) 7) a) g e Dom() g R ; b) g e Dom() g R ; c) e Dom() R. 8) a) 360; b). 9) a) 5. b) ) Ponto de nivelamento é 5.

29 9 ) Lucro L() 50. Se 0 5, então R()() C e, portanto L() 0, ou seja, prejuízo. Se 5, então R()() C e, portanto L() 0, ou seja, lucro positivo. ) Função receita: R() 50 ; Função custo: C() 0 50 a) Função lucro: L() 50 0 ; b) ) (). 4) ) a) 5 6 ; b) 4 0 ; c) A medida que aumenta o custo médio tende para 5 (cinco).