Matemática Básica Função polinomial do primeiro grau

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1 Matemática Básica Função polinomial do primeiro grau Função polinomial do primeiro grau (a) Função constante Toda função f :R R definida como f ()=c, com c R é denominada função constante. Por eemplo: f ()=5 g ( )= 3 f ()=π f ()= 3 4 As funções constantes são representadas graficamente através de linhas retas paralelas ao (ou coincidente com o ) eio, passando pelo ponto (0, c). Os gráficos abaio apresentam as três possíveis localizações para a representação da função constante em função do sinal da constante: y c c>0 y c c=0 y c c<0 Eemplo: 1) Construir o gráfico da função Fatorando: : = 2(3 2) 3 2 = 2 com 2 3 Matemática Básica - 05 pg. 1/14 Revisão: 05

2 (b) Função polinomial Definição de Função Polinomial: Seja n um número inteiro não negativo e a n,a n 1, a n 2,...,a 2, a 1, a 0 números reais com a n 0. A função dada por f () = a n n + a n 1 n a a 1 + a 0 é chamada uma função polinomial de com grau n. As funções polinomiais são classificadas de acordo com o grau. Por eemplo, uma função dada por f ()=c, com c 0 é uma função de grau zero e uma função dada por f () = a + b, com a 0 tem grau 1 (função do primeiro grau). (c) Função polinomial do primeiro grau Considere o retângulo mostrado na figura abaio, do qual sabemos que a altura mede 10 cm e a base possui uma medida : Se designarmos por P o perímetro deste retângulo, poderemos estabelecer uma fórmula matemática com P, e 10 que represente o perímetro P, em função da base do retângulo: O termo à direita é um polinômio do primeiro grau. P = Podemo dizer que o perímetro P é função do comprimento da base do retângulo (), sendo a função representada por: f () = ou y = Se, para o mesmo retângulo, quisermos determinar a área em função da mesma largura, poderemos escrever: A = 10 Ou seja: g( ) = 10 ou y = 10 Novamente, o termo à direita é um polinômio do primeiro grau na variável. 10 Definição: Toda função polinomial representada pela fórmula matemática f ( ) = a +b ou y = a + b com a R, b R e a 0, definida para todo real, é denominada função do primeiro grau. Matemática Básica - 05 pg. 2/14 Revisão: 05

3 Na sentença matemática acima, e y são as variáveis e a e b são os coeficientes. Observações: Quando a 0 e b 0, a função polinomial do primeiro grau é chamada função afim. Eemplos: f ()=5+2 (a=5,b=2) s(t)=10+5t (a=5, b=10) g( )= 3 +4 (a= ( 1 3),b=4) f ()= (a= ( 3 5),b= ( 7 5) ) Quando a 0 e b = 0, a função polinomial do primeiro grau é chamada função linear. Eemplos: f ()=5 (a=5, b=0) s(t)=5t (a=5, b=0) f ()= 3 5 (a= ( 3 5 ),b=0) Quando a = 1 e b = 0, a função polinomial do primeiro grau é chamada função identidade. Veremos mais um eemplo da função identidade no tópico sobre gráficos de funções do primeiro grau. f ()= ou y= *** Modelos para a solução de problemas com equações do primeiro grau *** Os eemplos a seguir demonstram problemas típicos com equações do primeiro grau e a forma de resolvê-los: 1. Dada a função f ()=3 2, determinar f (5) : f ()=3 2 f (5)=3 (5) 2 f (5)=13 Resposta: f ( 5)=13 2. Sabendo que f ( 1)=, calcular f(2): Considere f() como um processo (ou uma máquina) que recebe (+1) e transforma em (). Podemos considerar que a nossa máquina soma (algebricamente) uma grandeza desconhecida à entrada para obter o valor da saída. Chamaremos esta grandeza desconhecida de b, com isso podemos fazer: ( 1)+b= b= +1 b=1, assim, f ()=+1, logo: f ()=+1 f (2)=(2)+1=3 Resposta: f (2)=3 Matemática Básica - 05 pg. 3/14 Revisão: 05

4 3. Sendo f ()=3 4 e g ( )=2 +1, determinar os valores reais de para que se tenha f ()< g( ). f ()< g( ) 3 4 < < < 5 Resposta: < 5 4. Dada a função f ()=a +b, sabe-se que f (1)=4 e f ( 2)=10. Escrever a função f e determinar f(2). Se f (1) = 4 = 1 e f ( ) = 4 4 = a (1)+b 4 = a+b Se f ( 2) = 10 = ( 2) e f ( ) = = a ( 2)+b 10 = 2 a+b Determinamos a e b resolvendo o sistema: a + b = 4 { 2a + b = 10} a + b = 4 { Somando as duasequações obtemos : a = ( 2) 2a b = 10} Substituindo ovalor de auma das duasequações : a + b = 4 ( 2) + b = 4 b = 6 Resposta: a= 2 e b = 6 5. Um vendedor recebe mensalmente um salário composto por duas partes: uma parte fia de R$ 300,00 e um parte variável correspondente a uma comissão de 8% do total de vendas que ele faz no mês. (a) Epressar a função que representa o seu salário mensal; (b) Calcular o salário no mês em que ele vendeu R$ ,00 em produtos. a) Se o salário mensal é igual a R$ 300,00 + 8% das vendas, epressamos o valor das vendas como, obtendo: f () = ,08 b) Se f () = ,08, fazemos: f (10000) = 300+( ,08) = 1100 Resposta: a) f() = ,08 b) R$ 1 100,00 Matemática Básica - 05 pg. 4/14 Revisão: 05

5 (d) Gráfico de uma função do primeiro grau As funções polinomiais do primeiro grau são representadas num sistema cartesiano ortogonal como retas. No primeiro caso, o coeficiente a > 0. Consideramos a função f ()=2 1. Construindo uma tabela com valores de e de y correspondentes: y Observações importantes: o gráfico de f ()=2 1 é uma reta. D = R e Im = R. Como o gráfico da função é uma reta, poderíamos ter tomado apenas dois pontos para a construção do gráfico no par de eios coordenados ortogonais. a=2> 0 y = f() Se tomarmos dois valores do domínio (1 e 3, por eemplo, com 1 < 3), teremos: { f (1) = 1 como f (1) < f (3) a função é crescente. f (3) = 5} f ( ) = 2 1 A reta corta o eio y no ponto y = b (b é o coeficiente linear da reta). No segundo caso, o coeficiente a < 0. Consideramos a função f ()= Construindo uma tabela com valores de e de y correspondentes: y y = f() Observações importantes: o gráfico de f ()= 2 +1 é uma reta. D = R e Im = R. Como o gráfico da função é uma reta, poderíamos ter tomado apenas dois pontos para a f ( ) = Matemática Básica - 05 pg. 5/14 Revisão: 05

6 construção do gráfico no par de eios coordenados ortogonais. a: ( 2)<0 função decrescente - a é o coeficiente angular da reta. Se tomarmos dois valores do domínio (1 e 3, por eemplo, com 1 < 3), teremos: { f (1) = 1 como f (1) > f (3) a função é Decrescente. f (3) = 5} A reta corta o eio y no ponto y = b (b é o coeficiente linear da reta). (e) Estudo do sinal de uma função do primeiro grau Estudar o sinal de uma função consiste em determinar a(s) faia(s) de valores na(s) qual(is) a função (o resultado da função) possui valores negativos, ero e positivos. O zero (ou raiz) da função do polinomial do 1º grau O zero (ou raiz) da função f() = a + b é o valor de que torna a função igual a zero. Eemplo: Calcular o zero da função f ()= 3+6 : f () = 3 +6 = 0 3 = 6 = 6 3 = 2 Resposta: = 2 Interpretação geométrica do zero da função O gráfico da função f () = nos permite observar que o ponto no qual a reta corta o eio (o zero da função) é em = 2. Matemática Básica - 05 pg. 6/14 Revisão: 05

7 Estudo do sinal da função do 1º grau Dada a função f() = 2 4, podemos determinar os valores de para os quais: a) f() = 0 b) f() > 0 c) f() < 0 Como a = 2 > 0: a função é crescente; O zero da função é: 2 4=0 = 2 Com isso podemos esboçar o gráfico da função: Resposta: f () = 0 para =2 f () > 0 para{ R >2 } f () < 0 para{ R <2 } (f) Sistemas de inequações do primeiro grau inequações simultâneas A solução de um sistema de inequações do primeiro grau é a interseção das soluções de cada uma das inequações, veja eemplo: 1) Resolver o sistema: { < 0} { (1) 3 < 0 (2)} Da inequação (1) determinamos: Da inequação (2) determinamos: 3 < 0 < 3 > 3 Matemática Básica - 05 pg. 7/14 Revisão: 05

8 Agora, determinamos a interseção dos intervalos que representam as soluções das inequações (1) e (2): Resposta: S = { R 3 } ou S = [ 3, ) (g) Inequações simultâneas Uma dupla desigualdade como f () > g( ) > h( ) pode ser decomposta em um sistema de inequações simultâneas, cuja solução recai no caso acima. Para a dupla desigualdade apresentada a decomposição em um sistema de inequações simultâneas será: f () > g( ) > h( ) { f () > g() } e g () > h( ) e a solução do sistema recai no caso anterior. Eemplo: Resolver 3 +2 < : Montamos o sistema de inequações simultâneas: { < } Da inequação (1): < < < 1 < 1 4 Da inequação (2): Matemática Básica - 05 pg. 8/14 Revisão: 05

9 A solução do sistema (e das inequações simultâneas) é determinada pela interseção dos dos intervalos: (h) Inequação produto e inequação quociente A resolução de inequações de polinômios do primeiro grau também utiliza o estudo da variação de sinal de cada termo e as regras de operações de multiplicação e divisão com sinais algébricos. Veja o eemplo: 1) Resolver a inequação: ( 4) ( + 2) > 0 Para que o resultado do produto de ( 4) por ( + 2) seja maior que 0 (zero), os dois fatores devem possuir o mesmo sinal (positivo ou negativo), assim, estudamos o sinal de cada um dos fatores: ( 4) : a=1 a > 0: função crescente Cálculo do zero da função: 4 = 0 = 4 assim: ( + 2) : a=1 a > 0: função crescente Cálculo do zero da função: + 2 = 0 = 2 assim: Matemática Básica - 05 pg. 9/14 Revisão: 05

10 Para a solução da inequação, determinamos o intervalo no qual é satisfeita a desigualdade, analisando os dois fatores da multiplicação e o resultado: Pela composição dos sinais nos intervalos de cada um dos fatores da inequação produto original, podemos determinar os intervalos que satisfazem à inequação: Resposta: S = { R <2 ou > 4} 2. Eercícios 1. A representação da função y= 3 é uma reta : a) paralela aos eios das ordenadas b) perpendicular ao eio das ordenadas c) perpendicular ao eio das abcissas d) que intercepta os dois eios e) nenhuma das anteriores 2. Uma função do 1º grau é tal que f ( 1)=5 e f (3)= 3. Então f(0) é igual a : a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) A função f é definida por f()= a + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f( 3 ) é : a) 0 b) 2 c) -5 d) -3 e) Determinar o domínio das funções: a) f ()= +2 2 b) f ()= c) f ()= 4² 9 d) Matemática Básica - 05 pg. 10/14 Revisão: 05

11 5. Dada a função do 1º grau f () = 1 5 2, calcular: a) f (0) b) f ( 1) c) f (2) d) f ( 1 5 ) 6. Se f ()= 3+2, determinar os valores reais de para que se tenha: a) f ()=0 b) f ()=11 c) f ()= Sabendo que f ( +1)=2, determinar f (4) 8. Dada a função f (5 1)= 1 5, calcule f (0). 9. Dada a equação y + 3 = 4, substitua os valores de e determine y e vice-versa: a) = 1 b) = 0 c) = -2 d) = 3/10 e) y = 9 f) y = 16 g) y = - 2/5 10. No gráfico a seguir estão representadas as funções (I) e (II) definidas por y=3 e y=k+t, respectivamente. Os valores de k e t são, respectivamente: 11.Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico: a) y = 2-3 d) 3y = - 2 b) y = e) y = - 1,5 + 3 c) y = 1, Obtenha a função do 1º grau na variável que passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0): a) y= /3 d) y= /3 +1 X b) y=-/3 + 1 e) y= - c) y= O preço a pagar por uma corrida de tái depende da distância percorrida. A tarifa y é composta de duas partes, um aparte fia (a bandeirada) e uma parte variável que depende do número de Matemática Básica - 05 pg. 11/14 Revisão: 05

12 quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 5,00 e o quilômetro rodado, R$ 0,75. a) epresse y em função de. b) Quanto se pagará por uma corrida na qual o tái rodou 25 km? 14. Um vendedor recebe o seu pagamento mensal composto por duas parcelas, uma parte fia de R$ 400,00 e uma parte variável, correspondente a 5% do total de suas vendas no período. O seu salário mensal está sempre em torno de R$ 2 000,00. Insatisfeito, ele foi solicitar um aumento de ao chefe (ele estava pensando em obter uns 10% de aumento...). O chefe do vendedor concordou em lhe dar um aumento de 25% sobre o salário fio, passando de R$ 400,00 para R$ 500,00, porém reduzindo a comissão de 5% para 4% sobre o total de vendas. O vendedor achou que era um bom negócio, pois trocava um aumento de 25% por uma redução e apenas 1% na comissão. O vendedor fez um bom negócio aceitando a contraproposta do chefe? Justifique a sua resposta com os cálculos realizados. 15. Um reservatório contém 2000 L de água e para passar por uma limpeza está sendo esvaziado a uma vazão de 40 L de água por minuto. a) Escreva a fórmula que representa o número de litros de água que ainda restam no reservatório (y) em função do tempo em minutos (). b) Construa o gráfico da função. c) Baseado no gráfico, verifique em quanto tempo o reservatório estará vazio, 16. Construa um sistema de eios ortogonais. Sobre este sistema represente os gráficos das funções abaio, identificando se elas são crescestes ou decrescentes (ou constantes) sugestão: construa um par de eios ordenados em escala, com e y entre 0 e 10. a) 2 +1 b) c) y=5 d) e) Escreva a função na forma f ()=a +b correspondente ao gráfico abaio: y Matemática Básica - 05 pg. 12/14 Revisão: 05

13 18. Determine o ponto (, y) em que o gráfico das seguintes funções do 1º grau corta o eio sem construir o gráfico: a) f ()=4 2 b) f ()= 3 +2 c) f ()=1+ 3 d) f ()= Determine o valor de p de modo que o gráfico da função f ()=3+ p 2 intercepte o eio y no ponto de ordenada Estude a variação do sinal das seguintes funções: a) f ()=+5 b) f ()= 3+6 c) f ()=1 5 d) f ()= O lucro de uma empresa que vende um único produto é dado pela fórmula matemática L() = ; na qual L representa o lucro e é a quantidade vendida. Determine a quantidade mínima a ser vendida para que haja lucro. 22. Seja a função f :R R definida por f ()=m+t representada pelo gráfico abaio. Nestas condições (escolha a opção correta): a) m=2t b) t=2m c) m=t d) m+t=0 e) m t=4 23. Resolver as inequações: a) { } 3 2 } < 2 5 b) 3( 6) > 0 4 { c) 2 < < 2 d) e) ( + 2)( 1)( + 2) 0 Matemática Básica - 05 pg. 13/14 Revisão: 05

14 f) g) ( 1) ( 3) 0 (2 + 1) ( 2) > Determinar o domínio da função f () = ( 1) ( + 3) 25. Determinar o domínio da função: f () = ( 5) Matemática Básica - 05 pg. 14/14 Revisão: 05