Professor: Danilo Dacar

Transcrição

1 . (Fuvest 8) onsidere a sequência a) 9. b). c). d). e) 5. a, a 4, a, a4, e an a n 4, para n 5. Defina Sn an + an+ + + an+ para, isto é, S n é a soma de + termos consecutivos da sequência começando do n ésimo, por exemplo, S a) Encontre n e tal que Sn. b) Para cada inteiro j, j, encontre n e tal que Sn j. c) Mostre que, para qualquer inteiro j, j, existem inteiros n e tais que Sn j. 5. (Fcmmg 8) A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia-vida, que é o tempo necessário para que a quantidade original do medicamento no organismo se reduza à metade. Numa prescrição médica, esse tempo representa uma das variáveis a serem analisadas e por ele é possível prever a quantidade do fármaco que ainda se encontra presente no organismo do paciente. Graficamente, como indicado na figura abaixo, a relação das meias-vidas de um fármaco, em função da % do fármaco, no organismo, gera a curva de uma função exponencial.. (Pucrj 8) A figura abaixo representa caixas com mercadorias em um galpão do porto. Essas caixas, para melhor identificação, possuem um número em sua face frontal e são empilhadas seguindo um padrão. Assim, por exemplo, a ª caixa da 4ª linha é indicada pelo número. Observe que a m-ésima linha tem m caixas e que usamos apenas os números pares. a) Qual é o número na ª caixa da ª linha? b) Qual é a soma dos números na 7ª linha? c) Escreva, apenas em função de m, uma fórmula para a soma dos números nas m primeiras linhas.. (Macenzie 8) Se A, B, e D são termos consecutivos de uma progressão aritmética e D então o valor de A B a) b) c) d) 5 e) 7 é B 4. (Ufrgs 8) Em uma escola, as turmas de ensino médio totalizam estudantes. Para uma atividade festiva na escola, todos esses estudantes foram dispostos em filas, obedecendo à seguinte disposição: estudante na primeira fila, estudantes na segunda fila, estudantes na terceira fila, e assim sucessivamente. O número de filas que foram formadas com todos os estudantes é A Prednisona é um medicamento anti-inflamatório, antialérgico e antirreumático que serve para o tratamento de reumatismo, alergias, doenças dermatológicas, tumores, entre outras indicações. Possui meia-vida de aproximadamente horas e pode ser encontrada nas farmácias, em embalagem contendo comprimidos de mg. Se, no tratamento de determinado paciente, foram prescritos comprimidos de mg de Prednisona, administrados às 8 horas, pode-se prever que a quantidade do fármaco presente no organismo do paciente às horas do mesmo dia será de, APROXIMADAMENTE: a), mg b) mg c) mg d) mg. (Ufrgs 8) onsidere a função real f definida por x f(x). O valor da expressão S f() + f() + f() + + f() é a) S. 5 5 b) S +. c) S +. d) S +. e) S.

2 7. (Unicamp 8) onsidere a sequência de números reais (a, a, a, a 4, a 5) tal que (a, a, a ) é uma progressão geométrica e (a, a 4, a 5) é uma progressão aritmética, ambas com a mesma razão w. Anotações: a) Determine a sequência no caso em que a e w. b) Determine todas as sequências tais que a e a (Insper 8) Mateus aplicou o capital à taxa de juros compostos de % em regime de capitalização mensal. Ao final do º mês, o montante total de capital na aplicação era igual a. Se Mateus pretende resgatar seu dinheiro apenas ao final do 8º mês da aplicação, nessa ocasião ele resgatará um valor, descrito em função de e, igual a a) b) c) d) e) 9. (Ita 8) Um poliedro convexo tem faces triangulares e quadrangulares. Sabe-se que o número de arestas, o número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 5. Determine o número de vértices do poliedro.. (Ime 8) Seja um cubo regular, onde os centros de suas faces são vértices de um. Por sua vez, os centros das faces deste formado são vértices de outro cubo. Obtendo consecutivamente s e cubos infinitamente, determine a razão da soma do volume de todos os poliedros inscritos pelo volume do cubo inicial.

3 Gabarito: Resposta da questão : a) A sequência a n é igual a (, 4,,,, 4,,, ). Logo, é fácil ver que a n é periódica. Ademais, teremos Sn sempre que tomarmos a subsequência de termos consecutivos (4,,,, 4,, ). Portanto, o menor valor de n para o qual ocorre Sn é, com (pois a subsequência possui sete termos). b) Se j, então n + S a, α Logo, temos n + e. Se j, então n 4+ S a, α Logo, temos n 4 + e. Se j, então n + 4+ S a + a, α Logo, temos n + e. Se j, então Sn a+ + a+ + a+, com α. Logo, temos n + e. Se j, então Sn a4+ + a5+ + a+, com α. Logo, temos n 4 + e. c) Sabendo que a sequência é periódica, com an + an+ + an+ + an+, para todo n inteiro positivo, podemos escrever Sn q + r, com n,, r e r. Portanto, pelo item (b) e sabendo que todo inteiro positivo j pode ser escrito sob a forma q + r, segue o resultado. Resposta da questão : onsiderando a tabela acima até a sétima linha, temos: a). Se j 4, então n + S 4 a 4, α Logo, temos n + e. Se j 5, então n + + S 5 a + a 5, α Logo, temos n + e. Se j, então n + S a, α Logo, temos n + e. Se j 7, então Sn 7 a+ + a+ + a4+ 7, com α. Logo, temos n + e. Se j 8, então n S 8 a + a 8, α Logo, temos n 4 + e. Se j 9, então Sn 9 a+ + a4+ + a5+ 9, com α. Logo, temos n + e. Se j, então n + + S a + a, α Logo, temos n + e. b) c) Sabemos que o último elemento de cada linha é dado por: m (m + ). Portanto, a soma dos números nas n primeiras linhas será dada por: S m (m + ) alculando o número de termos desta P.A. temos. m (m + ) m (m + ) + (n ) n Portanto, a soma dos termos nas n primeiras linhas será dada por: ( + m (m + ) ) m (m + ) ( + m + m) ( m + m) S S 4 Resposta da questão : [] alculando:

4 A B r B B f x temos: x S f + f + f f, B + r S D B + r S D A ( B + r ) ( B r) B + 4rB + 4r B + rb r rb + r r ( B + r ) B ( B + r) B B + rb + r B rb + r r ( B + r) A sequência,,,..., é uma progressão Resposta da questão 4: [B] geométrica onde a, q e n. A sequência (,,,..., n ) é uma progressão aritmética tal Daí, que S e n é o total de filas formadas com todos os estudantes. Daí, S ( + n) n n + n S n + n 4 ( ) 4 4 n 849 n 4 n omo n, + 4 n n Assim, foram formadas filas com todos os estudantes. Resposta da questão 5: [B] onsiderando que a quantidade de medicamente se reduz à metade a cada horas, podemos Elaborar a seguinte tabela: Horário 8h h 4h 7h h h Quantidade do fármaco mg mg 5 mg 7,5 mg,75 mg,875 mg De ( ) e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S S + S Resposta da questão 7: a) Se (a, a, a ) é uma progressão geométrica, a e w, então (a, a, a ),,,,. 4 Ademais, se (a, a 4, a 5) é uma progressão aritmética, então (a, a, a ) (, +, + ) (, 5, 7). 4 5 Portanto, temos (a, a, a, a 4, a 5),,, 5, 7. 4 b) Se a, então ( ) (a, a, a, a 4, a 5), w, w, w + w, w + w. Mas a5 8 e, portanto, vem w + w 8 (w + ) 9 w + w 4 ou w. Em consequência, temos (a, a, a, a 4, a 5) (, 4,,, 8) Resposta da questão : [E] ou (a, a, a, a, a ) (,, 4,, 8)

5 Resposta da questão 8: [] Desde que (,) [(,) ] (,), temos (,) 8. Resposta da questão 9: Sejam n, n 5 e n, respectivamente, as quantidades de arestas, faces triangulares e quadrangulares. Então, n n n n n 5 + 4n 4 n ( ) ( ) Logo, o poliedro possui arestas, faces triangulares e face quadrangular, ou seja, possui 7 faces. Dessa forma, sendo o número de vértices do poliedro, temos: + 7 Resposta: Seis vértices Resposta da questão : Do enunciado, temos a figura abaixo: No triângulo JMP, a a x + a x IJKLM vértice I. : olume da pirâmide de base quadrada JKLM e IJKLM a x a x a a a a 4 a cubo Agora, observemos o e o cubo inscrito nele. cubo a 5 A é baricentro do triângulo IJM. D é baricentro do triângulo ILM. Dessa forma, temos a figura abaixo:

6 olume do primeiro : olume do segundo cubo: 9 7 olume do segundo : 9 olume do terceiro cubo: olume do terceiro : No triângulo PQ M, ( PQ ) PQ x x + x Da semelhança entre os triângulos IPQ e IAD, IA IP y P Q y x x y x y Sendo r a razão pedida, temos: r + 7 r 7 7 r 5 Resposta: 5 Assim, o volume do cubo AB DE F G H é dado por: AB D E F G H AB D E F G H a Mas, x, logo, x y x 7 a A B D E F G H 7 A B D E F G H a 7 8 A B D E F G H a 7 A B D E F G H a 9 Então, o volume do cubo inscrito no equivale a do volume do. 9 Dessa forma, sendo o volume do primeiro cubo, temos: