Razão e P roporção. José, Roberto e Letícia colecionam figurinhas. O álbum de José tem 240 figurinhas, o de Roberto, 120 e o de Letícia, 40.

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1 Profª. Suely Trevisam Araújo Razão e P roporção Objetivos Introduzir o conceito e efetuar operações com razão e com grandezas direta e inversamente proporcionais. Aplicar o conceito de regra de três em problemas de porcentagem. Tópicos 1. Razão 2. P roporção 3. Números Diretamente P roporcionais 4. Números I nversamente P roporcionais 5. Regra de Três 1. Razão Introduzir o conceito de razão, efetuando operações com razão. José, Roberto e Letícia colecionam figurinhas. O álbum de José tem 240 figurinhas, o de Roberto, 120 e o de Letícia, 40. Como podemos notar, José possui mais figurinhas que Roberto e este mais que Letícia. Mas quanto exatamente José tem a mais que Roberto e este a mais que Letícia? Para responder a essas perguntas, nós usamos o quociente (divisão) entre o número de figurinhas de José pelo número de figurinhas de Roberto, isto é: Agora responda: quantas vezes mais figurinhas Roberto tem em relação a Letícia? Se você respondeu 3 vezes, é porque entendeu a função do quociente entre dois números, isto é, a RAZÃ O entre dois números. Razão, na matemática, é a divisão entre dois números e serve muito bem para compará los. Vejamos a nomenclatura matemática para os componentes da razão: Chama se razão do número x para o número y (com y 0) ao quociente (divisão) de x por y: x / y ou x : y O número x é chamando de antecedente e o número y de conseqüente da razão. Exemplos : A razão de 240 para 120 é 240/120, que é igual a 2. A razão de 120 para 40 é 120/40, que é igual a 3.

2 A razão de para é 3.600/2.400, que é igual a 1,5. Razão I nversa É quando o antecedente (x) e o conseqüente (y) da razão invertem (trocam de) o lugar, isto é, ou y : x Exemplo: A razão de 240 para 120 é 240/120, que é igual a 2. E a sua razão inversa é 120/240, que é igual a 0, Saiba Mais Desafios M atemáticos 1. Em uma cidadezinha vivem apenas famílias. Algumas delas não possuem cachorros e as restantes possuem um ou dois. Todos os cachorrinhos dessa cidade vivem com uma família. A maioria das famílias tem um cachorrinho e a metade das famílias restantes tem dois. Qual é o número de cachorros dessa cidade? Resposta: Existem cachorrinhos na cidade. 2. Por que um barbeiro carioca prefere cortar o cabelo de dois baianos ao de um paulista? Resposta: O lucro com o corte do cabelo de duas pessoas é maior. Fonte: / w w w.matematicaemevidencia.hpg.ig.com.br/ index page80.html 2. P roporção Demonstrar o que é e como se calcula a proporção entre razões. Uma igualdade entre duas razões se chama proporção. Exemplo: A razão de 24 para 12 ( ) é igual a 2. A razão de 14 para 7 ( ) é igual a 2. Portanto, as razões 24/12 e 14/7 têm o mesmo valor, isto é, = forma uma proporção. Dados quatro números x, y, z e t, todos diferentes de zero, consideramos nessa ordem uma proporção quando a razão x/y é igual à razão z/t, isto é: Vejamos a nomenclatura matemática para os componentes da proporção: x : y = z : t ou recebem o nome de extremos x e t e meios y e z.

3 P ropriedade Fundamental O produto (multiplicação ) dos extremos (x e t) é igual ao produto do meios (y e z), isto é, x.t = y.z Observação: é a famosa multiplicação em cruz. 2.1 Saiba Mais Curiosidades M atemáticas A Origem das Frações Todos os anos, no mês de julho, as águas do Rio Nilo inundavam uma vasta região ao longo de suas margens. As águas do Rio Nilo fertilizavam os campos, beneficiando a agricultura do Egito. Cada pedaço de terra às margens desse rio era precioso e tinha que ser muito bem cuidado. Por volta do ano 3000 a.c., o faraó Sesóstris repartiu essas terras entre uns poucos agricultores privilegiados. Só que todos os anos, em setembro, quando as águas baixavam, funcionários do governo faziam a marcação do terreno de cada agricultor. Esses funcionários eram chamados de agrimensores ou estiradores de corda. Isso se explica pelo fato de que usavam cordas com uma unidade de medida assinalada. Essa corda era esticada para que se verificasse quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Mas, na maioria das vezes, acontecia de a unidade de medida escolhida não caber um número inteiro de vezes nos lados do terreno. Para solucionar o problema da medição das terras, os egípcios criaram um novo número, o número fracionário, que era representado com o uso de frações. Fonte: / w w w.matematica21e.cjb.net/ 3. Números Diretamente P roporcionais Explicar o que são e como se calculam números diretamente proporcionais. Veja os números da sucessão (seqüência) 4, 12, 20, 36. Agora observe os números de outra sucessão: 2, 6, 10, 18. Nota se que os números da primeira sucessão são os dobros dos números da segunda, ou seja, a razão de cada termo (número) da primeira pelo seu correspondente (o número que está localizado na mesma ordem da primeira) da segunda é sempre o mesmo (2), isto é: 4 : 2 = 12 : 6 = 20 : 10 = 36 : 18 = 2 Por causa disso, chamamos os números da primeira sucessão 4, 12, 20, 36 diretamente proporcionais aos números da segunda sucessão 2, 6, 10, 18 e o fator de proporcionalidade é 2. Vejamos a nomenclatura matemática para os componentes dos números diretamente proporcionais: Os números da sucessão x, y, z, t... são diretamente proporcionais aos números x, y, z, t... quando a razão (divisão) de cada termo da primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão é sempre igual: x : x = y : y = z : z = t : t =... = constante Essa constante recebe o nome de fator de proporcionalidade. 3.1 Saiba Mais

4 Gente que Faz Tales de M ileto Tales de Mileto é descrito em alguns relatos como homem de negócios, mercador de sal, defensor do celibato ou estadista de visão. A verdade, porém, é que pouco se sabe sobre sua vida. As obras de Tales não conseguiram sobreviver até nossos dias, mas, com base em tradições, algumas de suas idéias foram reconstruídas. Viajando pelos principais centros de conhecimento, Tales deve ter obtido informações sobre Astronomia e Matemática, aprendendo Geometria no Egito. Na Babilônia, sob o governo de Nabucodonosor, entrou em contato com as primeiras tabelas e instrumentos astronômicos. Conta se que, em 585 a.c., conseguiu predizer o eclipse solar que ocorreria naquele ano, assombrando seus contemporâneos. É nessa data que alguns se apóiam para indicar, aproximadamente, o ano em que Tales nasceu, pois na época deveria estar com 40 anos de idade. Calcula se que tenha morrido com 78 anos. Tales é considerado o primeiro filósofo e o primeiro dos sete sábios gregos, discípulo dos egípcios e caldeus. Recebeu também o título de "primeiro matemático'' verdadeiro, pois tentou organizar a geometria de forma dedutiva. Acredita se que, durante sua viagem à Babilônia, elaborou o estudo que chegou até nós como "Teorema de Tales", segundo o qual um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto. Parece provável que Tales tenha conseguido medir a altura de uma pirâmide do Egito observando o comprimento das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual à sua altura. Fonte: / w w w.matematica21e.cjb.net/ 4. Números Inversamente P roporcionais Explicar o que são e como se calculam números inversamente proporcionais. Veja os números da sucessão (seqüência) 4, 6, 8, 12 e agora o observe os números de outra sucessão 6, 4, 3, 2. Nota se que o produto (multiplicação) de cada termo (número) da primeira pelo seu correspondente (o número que está localizado na mesma ordem da primeira) da segunda é sempre o mesmo (24), isto é: 4. 6 = 6. 4 = 3. 8 = = 24 Ou, ainda, a razão de cada termo da primeira sucessão pelo inverso (lembrando que inverso é trocar a ordem do antecedente com o conseqüente) do termo correspondente da segunda sucessão é o mesmo, isto é: 4 : 1/6 = 6 : 1/4 = 3 : 1/8 = 12 : 1/2 = 24 Por causa disso, chamamos os números da primeira sucessão 4, 6, 3, 12 de inversamente proporcionais aos números da segunda sucessão 6, 4, 8, 2 e o fator de proporcionalidade é 24. Vejamos a nomenclatura matemática para os componentes dos números diretamente proporcionais: Os números da sucessão x, y, z, t... são inversamente proporcionais aos números x, y, z, t... quando o produto (multiplicação) de cada termo da primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão é sempre igual: x. x = y. y = z. z = t. t =... = constante

5 Essa constante recebe o nome de fator de proporcionalidade. Observação: Equivale dizer que: a razão (divisão) de cada termo da primeira sucessão pelo inverso do termo correspondente da segunda sucessão é sempre igual : 4.1 Saiba Mais x : 1/ x = y : 1/ y = z : 1/ z = t : 1/ t =... = constante Frases Célebres O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos. Galileu Deus é o Geômetra Onipotente para quem o mundo é imenso problema matemático. Leibniz Os números governam o mundo. Platão 5. Regra de Três Explicar o que são grandezas proporcionais, demonstrando como aplicar a regra de três para calculá las. Grandezas Diretamente P roporcionais Vejamos o seguinte caso: Laura está na padaria do seu Manuel e pretende comprar uns pães que custam R$ 0,30 cada. Quanto Laura vai gastar? Pois bem, como saberemos quanto Laura vai gastar se não conhecemos a quantidade de pães que ela levará? Tudo dependerá do número de pães comprados. Vamos observar a tabela que mostra como podem variar o número de pães e o preço. nº de pães preço ( R $) 1 0,30 2 0,60 3 0,90 4 1,20 5 1,50 6 1,80 7 2,10 8 2,40 9 2,70 Como podemos perceber a quantidade de pães é variável e o preço também é variável. Mas, observe que a razão entre o número de pães e seu preço é sempre a mesma:

6 1 : 0,30 = 2 : 0,60 = 3 : 0,90 = 4: 1,20 = 5 : 1,5 =... = 9 : 2,70 Por isso, falamos que a grandeza (aquilo que pode ser medido ) número de pães e a grandeza preço dos pães são grandezas diretamente proporcionais. Portanto: Duas grandezas são chamadas de grandezas diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira grandeza e os valores correspondentes da segunda são sempre iguais. Observação: Em termos práticos, dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o que acontece com a primeira grandeza também acontece com a segunda, isto é, se a primeira grandeza aumenta de valor a segunda também aumenta e vice versa. Grandezas I nversamente P roporcionais Vejamos o seguinte caso: Laura comprou 60 pães na padaria do seu Manuel, levou os para casa e distribuiu os entre os amigos, dando a mesma quantidade para cada um. Quantos pães cada um deles ganhou? Pois bem, como saberemos quanto cada um ganhou se não conhecemos a quantidade de amigos que Laura distribuiu? Tudo dependerá do número de amigos que Laura possui. Vamos observar a tabela que mostra como podem variar o número de pães dependendo do número de amigos: nº de amigos nº de pães Como podemos perceber o número de pães dados a cada amigo é variável e o número de amigos que Laura pode ter também é variável. Mas observe que o produto entre o número de amigos e o número de pães que cada um recebe é sempre o mesmo: = = = = = Por isso, falamos que a grandeza (aquilo que pode ser medido ) número de amigos e a grandeza número de pães são grandezas inversamente proporcionais. Portanto: Duas grandezas são chamadas de grandezas inversamente proporcionais quando o produto entre os valores da primeira grandezas e os valores correspondentes da segunda é sempre iguais. Observação: Em termos práticos, dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando o que acontece com a primeira grandeza acontece o inverso com a segunda, isto é, se a primeira grandeza aumenta de valor a segunda diminui e vice versa. Regra de Três Simples A regra de três é uma regra prática da matemática muito útil para resoluções de problemas que envolvem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.

7 Exemplos: 1. Márcia comprou 8 m de tecido por R$ 32,00. Quanto pagará por 10 m do mesmo tecido? 2. Abrindo 4 torneiras idênticas consegue se encher um tanque com água em 144 minutos. Se utilizarmos 6 dessas torneiras quanto tempo levaria para encheremos o tanque? P orcentagem A porcentagem é um exemplo clássico de regra de três simples, onde as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo podemos usar o dispositivo prático para dispor as grandezas, utilizando a multiplicação em cruz montar a equação e, depois, resolvendo a equação descobrir o valor desejado (ou desconhecido). 5.1 Glossário Resolução exemplo 1 Como podemos perceber há duas grandezas envolvidas neste problema. Isto é, o número de metros de tecido e o preço pago pelo tecido. Nota se ainda que se o número de metros aumenta e o valor gasto por M árcia também aumenta, logo podemos concluir que as duas grandezas são diretamente proporcionais (pois uma grandeza aumenta e a outra também aumenta, isto é, acontece o mesmo com elas). Chamamos de x o valor a ser pago pelo 10 m de tecido e montamos o seguinte dispositivo: Quantidade de tecido ( metro) P reço a ser pago ( reais ) x Como são diretamente proporcionais multiplicamos em cruz e monta se uma equação, isto é: 8x = 320 x = 320/8 x = 40 Portanto, o valor a ser pago pelos 10 metros de tecido é de R$ 40,00. Resolução exemplo 2 Como podemos perceber há duas grandezas envolvidas neste problema. Isto é, o número de torneiras e o tempo gasto para encher o tanque. Nota se ainda que se o número de torneiras aumenta e o tempo gasto para encher o tanque diminui, logo podemos concluir que as duas grandezas são inversamente proporcionais (pois uma grandeza aumenta e a outra diminui, isto é, acontece o inverso com elas). Chamamos de x o tempo gasto para encher o tanque utilizando 6 torneiras e montamos o seguinte dispositivo: Quantidade de torneiras Tempo gasto pra encher o tanque ( min) x Como são inversamente proporcionais multiplicamos em linha reta e monta se uma equação, isto é:

8 6x = 576 x = 576/6 x = 96 Portanto, o tempo gasto para encher o tanque é de 96 minutos. 5.2 Saiba Mais Curiosidades M atemáticas Número Negativo Os matemáticos chineses da Antiguidade tratavam os números como excessos ou faltas. Eles realizavam cálculos em tabuleiros, onde representavam os excessos com palitos vermelhos e as faltas com palitos pretos. Depois de várias tentativas frustradas, os matemáticos conseguiram encontrar um símbolo que permitisse operar com os números. E essa descoberta ocorreu por acaso. Ao observar a prática adotada pelos comerciantes da época, os matemáticos verificaram que, ao findar do dia, um comerciante que pela manhã tinha em seu armazém duas sacas de feijão de 40 kg cada tivesse vendido 7 kg de feijão, por exemplo, para não se esquecer de que naquele saco faltavam 7 kg, ele escrevia o número 7 com um tracinho na frente ( 7). Mas, se ele resolvesse despejar no outro saco os 3 kg que restavam, escrevia o número 3 com dois tracinhos cruzados na frente (+3), para se lembrar de que naquele saco havia 3 kg a mais de feijão do que a quantidade inicial. Os matemáticos aproveitaram se desse expediente e criaram o número com sinal: Positivo (+) ou Negativo ( ). Fonte: / w w w.matematica21e.cjb.net/ Bibliografia IEZZI, Gelson. M atemática e realidade 6ª série. São Paulo: Atual, 1996.