Parábolas com vértice no ponto V=(h,k)

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1 Secções Cónicas As secções cónicas, também chamadas cónicas, são obtidas interceptando um cone circular recto de duas folhas por um plano Variando a posição do plano obtêm-se uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole como ilustra a figura ao lado Uma parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo F (foco) e de uma recta fixa l (directriz) do plano. O eixo da parábola é a recta que passa por F eé perpendicular à directriz. O vértice da parábola é o ponto V do eixo, equidistante de F e l Parábolas com vértice no ponto V=(h,k) Uma elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano, cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante

2 Ográfico da equação a 2 + y 2 com a 2 > b 2 éumaelipsecomvértices (±a, 0). As extremidades do eixo menor são (0, ±b). Os focos são (±c, 0), com c 2 = a 2 b 2. Ográfico da equação b 2 + y 2 a 2 =1 com a 2 > b 2 éumaelipsecomvértices (0, ±a). As extremidades do eixo menor são (±b, 0). Os focos são (0, ±c), com c 2 = a 2 b Uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano, tais que a diferençadassuasdistâncias a dois pontos fixos do plano (os focos) é constante. Ográfico da equação a 2 y 2 com a 2 > b 2 éumahipérbole de vértices (±a, 0). Os focos são (±c, 0), com c 2 = a 2 + b

3 Ográfico da equação y 2 a 2 com a 2 > b 2 éumahipérbole de vértices (0, ±a). Os focos são (0, ±c), com c 2 = a 2 + b 2. Planos A equação de um plano no espaço pode ser obtida através de um ponto do plano e um vector normal a esse plano Exemplo O plano contendo o ponto (x 1, y 1, z 1 ) e o vector normal n =(a, b, c), pode ser representado, pela equação a(x x 1 )+b(y y 1 )+c(z z 1 )=0 ou ainda, reagrupando os termos, obtém-se para equação geral do plano: ax + by + cz + d =0 Encontre a equação geral do plano que contém o ponto (1, 2, 3) e sendo n =(4, 5, 6) um vector normal ao plano Solução: 4(x 1) + 5(y 2) + 6(z 3) = 0 4x +5y +6z 32 =

4 Exemplo Para esboçar um plano no espaço, devemos em primeiro lugar encontrar as rectas de intersecção com os planos coordenados: XOY (z =0); YOZ (x =0); XOZ (y =0) e as intersecções com planos paralelos aos planos coordenados. Pegando na equação do exemplo anterior vem: Fazendo z =0vem4x +5y =32 Fazendo x =0vem5y +6z =32 Fazendo y =0vem4x +6z = Superfícies Ciĺındricas A intersecção de uma superfície com um plano diz-se o traço da superfície no plano. O processo de gerar uma superfície apenas por translação de um curva do plano ao longo de uma linha é chamado de extrusão, e essas superfícies assim geradas por extrusão são chamadas superfícies ciĺındricas. Um exemplo familiar de uma destas superfícies é o cilindro circular recto

5 Uma equação contendo unicamente duas das três variáveis x, y e z representa uma superfícies ciĺındrica em IR 3. Seja C uma curva num plano e seja L uma recta não paralela a L que intersectam C diz-se um cilindro. C é chamada a geratriz do cilindro. Desenhe o gráfico de z = y 2 em IR 3 Começaremos por calcular o traço desta superfície com os planos paralelos ao plano YOZ uma vez que a variável x não está presente na equação.o traço em cada um destes planos éaparábola z = y Outro tipo de superfícies no espaço são as superfícies quádricas que podem ser consideradas a correspondência tridimensional das secções cónicas no plano. Uma superfície quádricas é representada por uma equação do segundo grau da forma: A + By 2 + Cz 2 + Dxz + Exy + Fyz + Gx + Hy + Iz + J =0 A intersecção de uma superfície com um plano diz-se o traço da superfície no plano. Os traços das superfícies quádricas nos planos coordenados são cónicas. Há seis tipos básicos de superfícies quádricas: 1. Elipsóide 2. Hiperbolóide de uma folha 3. Hiperbolóide de duas folhas 4. Cone eĺıptico 5. Parabolóide eĺıptico 6. Parabolóide hiperbólico Para visualizar uma superfície no espaço é útil determinar os seus traços em planos paralelos aos planos coordenados

6 Elipsóide Hiperbolóide de uma folha + y 2 + z2 =1 a 2 b 2 c 2 Os traços nos planos coordenados são elipses. A superfície é uma esfera se a = b = c 0. + y 2 z2 =1 a 2 b 2 c 2 uma hipérboles.o eixo do hiperbolóide corresponde à variável cujo coeficiente é negativo Hiperbolóide de duas folhas Cone Eĺıptico z 2 c 2 x2 a 2 y 2 O traço nos planos paralelos uma hipérboles.o eixo do hiperbolóide corresponde à variável cujo coeficiente é positivo. Não há traço no plano coordenado perpendicular a esse eixo. z 2 = x2 + y 2 a 2 b 2 uma recta. O eixo do cone corresponde àvariável cujo coeficiente é negativo

7 Parabolóide Eĺıptico Parabolóide Hiperbólico z = x2 + y 2 a 2 b 2 uma parábola. O eixo do parabolóide corresponde à variável de grau um. z = y 2 x2 b 2 a 2 ao plano XOY são hipérboles e uma parábola. O eixo do parabolóide corresponde à variável de grau um Técnica para identificar uma superfície quádrica Exemplo Equação Característica Classificação a + y 2 2 b + z 2 =1 2 c2 Não tem nenhum sinal menos Elipsóide a + y 2 2 b z 2 =1 2 c2 Tem apenas um sinal menos Hiperbolóide de uma folha z 2 c 2 a y 2 =1 2 b2 Tem dois sinais menos Hiperbolóide de duas folhas z 2 a y 2 =0 2 b2 Não tem termos lineares Cone Eĺıptico z x2 a 2 y 2 b 2 =0 z y 2 + x2 =0 b 2 a 2 Tem um termo linear e dois termos quadráticos com o mesmo sinal Tem um termo linear e dois termos quadráticos com sinais contrários Parabolóide eĺıptico Hiperbolóide Parabólico Identifique a seguinte superfície: Solução: Reescrevendo a equação vem: 3 4y 2 +12z 2 +12=0 y z2 =1 A equação tem um 1 no lado direito da equação, tem dois membros com sinal negativo no lado esquerdo e um positivo e por isso é um hiperbolóide de duas folhas