Geometria Analítica. Superfícies. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Transcrição

1 Geometria Analítica Superfícies Prof Marcelo Maraschin de Souza

2 Hiperboloide de Revolução Considere no plano yz a hipérbole de equações y 2 b 2 z2 c 2 = 1 x = 0 Os hiperboloides de revolução são obtidos por rotações em torno dos eixos y a z.

3 Hiperboloide de uma folha Fazendo a rotação da hipérbole em torno do eixo z resulta no hiperboloide de uma folha,

4 Hiperboloide de uma folha A equação será obtida substituindo y por x 2 + y 2, ou seja, x 2 b 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 De uma forma mais generalizada, pode dizer que a equação de um hiperboloide de uma folha ao longo do eixo z é representada por x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1

5 Hiperboloide de uma folha Hiperboloide de uma folha ao longo do eixo y é representada por x 2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 1 Hiperboloide de uma folha ao longo do eixo x é representada por x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1

6 Hiperboloide de uma folha O traço do hiperboloide de uma folha ao longo do eixo z é dado por no plano xy, no plano xz, no plano yz, x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 x 2 a 2 z2 c 2 = 1 y 2 b 2 z2 c 2 = 1

7 Hiperboloide de duas folhas Fazendo a rotação da hipérbole em torno do eixo y resulta no hiperboloide de duas folhas.

8 Hiperboloide de duas folhas

9 Hiperboloide de duas folhas A equação será obtida substituindo z por x 2 + z 2, ou seja, x2 b 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 De uma forma mais generalizada, pode dizer que a equação de um hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo y é representada por x2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1

10 Hiperboloide de duas folhas Hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo x é representada por x 2 a 2 y2 b 2 z2 c 2 = 1 Hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo z é representada por x2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 1

11 Hiperboloide de duas folhas O traço do hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo y é dado por no plano xy, no plano yz, y 2 b 2 x2 a 2 = 1 y 2 b 2 z2 c 2 = 1 No plano xz, y=k, tem-se conjunto vazio, um ponto ou elipses.

12 Resumo

13 Paraboloide Consideremos a parábola no plano yz de equações y 2 = b 2 z x = 0

14 Paraboloide Elíptico

15 Paraboloide Elíptico A rotação dessa parábola em torno do eixo z resulta no paraboloide de revolução cuja equação será obtida da equação da parábola, substituindo y por x 2 + y 2, z = x2 b 2 + y2 b 2 Um paraboloide ao longo do eixo z mais geral, denominado paraboloide elíptico, é representado por z = x2 a 2 + y2 b 2

16 Paraboloide Elíptico Um paraboloide elíptico ao longo do eixo y é representado por y = x2 a 2 + z2 c 2 Um paraboloide elíptico ao longo do eixo x é representado por x = y2 b 2 + z2 c 2

17 Paraboloide Elíptico O traço do paraboloide elíptico ao longo do eixo z é dado por no plano xy, um ponto (origem) no plano xz, z = x 2 /a 2 no plano yz, z = y 2 /b 2 Obs: Traços no nos planos z=k>0 são elipses.

18 Paraboloide Elíptico

19 Paraboloide Hiperbólico

20 Paraboloide Hiperbólico Um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z é representado por z = y2 b 2 x2 a 2 Um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo y é representado por y = z2 c 2 x2 a 2 Um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo x é representado por x = z2 c 2 y2 b

21 Paraboloide Hiperbólico O traço do paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z é dado por no plano x = k, parábola no plano y = k, parábola no plano z = k, hipérboles ou duas retas(z = 0)

22 Superfícies Cônicas Considere no plano yz a reta g de equações, z = my x = 0

23 Superfícies Cônicas

24 Superfícies Cônicas Uma superfície cônica ao longo do eixo z, mais geral, é dada por z 2 = x2 a 2 + y2 b 2 Uma superfície cônica ao longo do eixo y, mais geral, é dada por y 2 = x2 a 2 + z2 c 2 Uma superfície cônica ao longo do eixo x, mais geral, é dada por x 2 = y2 b 2 + z2 c 2

25 Superfícies Cônicas Os traços da superfície cônica ao longo do eixo z são dados por Em z=0, um ponto (origem); Em z=k, elipses (ou circunferências); Em x=k e y=k, hipérboles; Em x=0 ou y=0, duas retas.

26 Superfícies Cônicas

27 Superfícies Cilíndricas Exemplo: considere a parábola x 2 = 2y A equação da superfície cilíndrica também será x 2 = 2y

28 Superfícies Cilíndricas Tome o ponto A(2,2,0) pertencente a parábola, todo ponto do tipo (2,2,z) também pertence a parábola, já que podemos considerar a equação x 2 = 2y + 0z. Ou seja, o valor de z não influi no fato de um ponto pertencer ou não a superfície. De modo geral, o gráfico em 3 dimensões de uma equação que não apresenta uma determinada variável, corresponde a uma superfície cilíndrica ao longo do eixo desta variável ausente. E conforme a equação dada, temos uma superfície cilíndrica chamada circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica.

29 Superfícies Cilíndricas Exercício: qual superfície cilíndrica representa a seguinte equação? x z2 9 = 1

30 Superfícies Cilíndrica Superfície cilíndrica elíptica ao longo do eixo y.