Já parou para pensar sobre a utilização dos logaritmos? Para que eles servem?

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1 UMA NOÇÃO SOBRE LOGARÍTMOS Já parou para pensar sobre a utilização dos logaritmos? Para que eles servem? Vejamos o seguinte: Na América Latina, a população cresce a uma taxa de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos sua população vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma? Nessas condições, podemos organizar a seguinte tabela: Tempo População Início P 0 ano P = P 0,03 2 anos P 2 = (P 0,03),03 = P 0 (,03) 2 3 anos P 3 = P 0 (,03) x anos P x = P 0 (,03) x Supondo que a população dobrará após x anos, temos: Daí P x = 2 P 0 P 0 (,03) x = 2 P 0 (,03) x = 2 Não é possível resolver essa equação usando os conhecimentos adquiridos até aqui. Com o objetivo de transformar uma equação exponencial como essa numa igualdade entre potências de mesma base, vamos desenvolver a noção de logaritmo. UM POUCO DE HISTÓRIA Imagine que você está no século XVI e precisa fazer um cálculo envolvendo números muito grandes. Considere que nesse período não existia calculadora! As máquinas que conhecemos hoje, só surgiram no fim do século XIX e início do século XX. No inicio do século XVII, John Napier (550 67), matemático escocês, introduziu o conceito de logaritmo, pois queria simplificar cálculos matemáticos dos astrônomos e de outros cientistas. Antes de aparecerem a calculadora e os computadores pessoais, usavam-se réguas de cálculo para fazer essas operações matemáticas. Os bastões de Napier eram um conjunto de 9 bastões, um para cada dígito, que transformavam a multiplicação de dois números numa soma das tabuadas de cada dígito. Este dispositivo originou a conhecida Régua de Cálculos, consideradas como o primeiro computador analógico da história.

2 Vamos a um exemplo: Como podemos multiplicar o número 6 pelo número 384? Usando os bastões de Napier, teremos o seguinte: O bastão transforma a multiplicação em 6 [(3 6) + (8 6) + (4 6)], ficando assim, o número 6 multiplicando cada algarismo do número 384: 6 3 = = = 24 Fazendo assim, somam-se os algarismos de trás para frente, iniciando com o último algarismo no lugar do último algarismo do produto principal: () Começando com 6 4 = 24, usamos o último algarismo como o último algarismo do produto principal: 4; (2) Próximo passo, 6 8 = 48, usamos o último algarismo, 8, somando-o com o algarismo restante do último produto, 2: = 0, e então, usamos o último algarismo, 0 como penúltimo algarismo do produto principal, e já temos o 4, ficando 04; (3) Como no passo 2, pegamos o produto anterior, 6 3 = 8 e somamos o algarismo restante de 48, que é o 4, pois usamos o 8 para somar com o anterior, e somamos o 4 ao último algarismo de 8, o 8, ficando = 2, porém, restou o número daquele 0 que somamos, e agora, o somamos com o 2, ficando 2 + = 3, e assim como fizemos com o 0, usamos o último algarismo no nosso produto principal, nesse caso, o 3, ficando então, 304; (4) E assim como no passo anterior, somamos o algarismo restante, com o algarismo que sobrou do 3, que é também, e com isso, temos + = 2, o primeiro algarismo do nosso produto principal, ficando 2304, ou seja, o produto principal = CONFIRA NA SUA CALCULADORA!!! 2

3 O logaritmo como instrumento de cálculo transformou as multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração. Daí, podemos mostrar como eles faziam para resolver essas multiplicações e divisões de números grandes, baseados nos bastões de Napier: Pensamos nas potências de base 2, que claro, eles não tinham esse pensamento tão completo como temos hoje, fazemos uma tabela, onde os elementos na parte superior são os expoentes dessas potências de base 2 e os elementos na parte inferior são os resultados dessas potências: Tomando partido, pegamos o caso da multiplicação entre o 32 e o 52, o que temos atualmente é, multiplicar cada potência de mesma base correspondente a cada fator: 32 = = 2 9 E fazendo o produto, seguindo as regras de exponenciação, temos que: E, pela tabela, 2 4 = = = 2 4 Porém, naquela época, eles fizeram o que usamos nessa propriedade de potências, onde se somava os expoentes correspondentes (5 e 4) e olhava na tabela o número corresponde a essa soma: = 9 E na tabela, o 9 representa o número Com a divisão, basta aplicar a mesma propriedade, só que ao invés de somar, devemse subtrair esses expoentes. Esse pensamento foi se sofisticando com os matemáticos, até se tornar o pensamento mais atual, conhecido por logaritmo! O logaritmo nada mais é do que o expoente de uma potência com certa base que nos dá um número. EXEMPLO: O número 3 elevado a qual expoente é igual ao número 0? Escrevendo matematicamente a pergunta, temos: 3 x = 0 E, no caso, esse expoente, qual chamamos de x é o nosso logaritmo! O número 3 é base da potência. 3

4 E o número 0, chamamos de logaritmando. Podemos escrever, então: x = log Como 3 é a nossa base, essa informação deve aparecer na expressão do logaritmo, na parte inferior, e o 0 é número ao qual buscamos um expoente elevado a base que se iguale a ele, caracterizando: E generalizamos todo logaritmo como: x = log 3 0 log b N = x Com, b sendo a base, N o logaritmando e x o logaritmo! Para responder a questão, precisamos pensar em números que elevamos o 3 e nos dê o 0 como resultado, e para isso, como todo pensamento matemático, podemos testar alguns números e tomar as propriedades: 3 x = = 9 Percebemos que, quando o expoente é o número 2, isso nos dá um resultado menor do esperado, portanto, esse expoente precisa ser maior do que o 2! 3 x = = 27 Tomando o expoente como 3, o número seguinte ao 2, (nos números naturais) percebemos que nos dá um resultado muito maior do que esperamos, portanto, esse expoente precisa ser menos do que 3, o que revela uma propriedade para essa questão: Nosso logaritmo precisa ser um número maior do 2 e menor do que 3, ou seja, ele precisa estar entre os números 2 e 3, e sabemos que entre os números naturais, não existe nenhum número entre dois números consecutivos! Logo, esse logaritmo não é um número natural. DEFINIÇÃO DE LOGARITMO Dados dois números reais positivos b e N, com b, se b x = N, então o expoente x chama-se logaritmo de N na base b, ou seja, Veja alguns exemplos: () log 3 8 = = 8 log b N = x b x = N. (2) log 32 = 5 ( 2 2 ) 5 = 32 4

5 (3) log 5 5 = 2 ( 5) 2 = 5 (4) log 8 = =. ALGUMAS OBSERVAÇÕES: () Veja que, de acordo com as restrições impostas, não são definidos, por exemplo: log 3 ( 8), log 0 0, log 0 3, log 2 8 e log 6. Experimente aplicar a definição nesses casos. (2) Quando a base do logaritmo for 0, podemos omiti-la. Assim, log 2 é o logaritmo de 2 na base 0. Aos logaritmos na base 0 damos o nome de logaritmos decimais. EXEMPLOS: () Sabe-se que log a 25 = 2. Vamos calcular a. O número a procurado deve ser positivo e diferente de (a > 0 e a ). log a 25 = 2 a 2 = 25 a = ± 25 a = ±5 Logo, a = 5 (o valor 5 não deve ser considerado, pois a > 0). (2) Vamos calcular o número A sabendo que A = log 0 0,00 + log 2 6. log 0 0,00 = x 0 x = 0,00 0 x = 0 3 x = 3 Portanto, log 2 6 = y 2y = 6 2y = 2 4 2y = 2 4 y = 4 A = log 0 0,00 + log 2 = ( 3) + ( 4) = 7. 6 (3) Sabe-se que log 3 x = 2. Vamos calcular x. O número x deve ser positivo (x > 0). Pela definição de logaritmo, 3 2 = x x = 3 2 x = 9. 5

6 CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO DE LOGARITMO () log a = 0, pois a 0 =, qualquer que seja a > 0 e a. (2) log a a =, pois a = a, para todo > 0 e a. (3) log a a n = n, pois a n = a n, para todo > 0 e a. (4) a log a N = N, com N > 0, a > 0 e a. Fazendo log a N = x a x = N Substituindo x, a log a N = N. (5) log a x = log a y x = y, com x, y > 0, a > 0 e a. Fazendo log a x = r e log a y = s, isto é, a r = x e a s = y, temos (a) x = y a r = a s = log a x = log a y (b) log a x = log a y r = s a r = a s x = y. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS () LOGARITMO DE UM PRODUTO Da propriedade fundamental das potências, a x a y = a x+y, surge uma propriedade nos logaritmos: log a (M N) = log a M + log a N Consideremos log a (M N) = p; log a M = m e log a N = n. A partir dessas igualdades, temos que Então a p = M N a m = M e a n = N a p = M N = a m a n = a m+n Se a p = a m+n, então p = m + n, ou seja, log a (M N) = log a M + log a N. Numa mesma base, o logaritmo do produto de dois números positivos é igual a soma dos logaritmos de cada um desses números. Essa propriedade de transformar produtos em somas foi a motivação original para a introdução dos logaritmos no século XVII, com o intuito de simplificar cálculos. 6

7 (2) LOGARITMO DE UM QUOCIENTE log a M N = log a M log a N Consideramos log a M N = q; log a M = m e log a N = n. Daí tiramos que a q = M N a m = M e a n = N a q = M N = am = am n an Se a q = a m n, então q = m n, ou seja, log a M N = log a M log a N. Numa mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números. Caso particular: log a N = log a log a N = 0 log a N = log a N. (3) LOGARITMO DE UMA POTÊNCIA log a M N = N log a M Consideramos log a M N = r e log a M = m. Daí tiramos que Então a r = M N a m = M a r = M N = (a m ) N = a Nm Se a r = a Nm, então r = N m, ou seja, log a M N = N log a M. Numa mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. Pode-se aplicar essa propriedade no logaritmo de uma raiz (quando existir). log N a M = log a M N = N log a M. 7

8 (4) MUDANÇA DE BASE EXEMPLO: Para N > 0, b > 0, a > 0, b e a. log b N = log a N log a b Consideramos log b N = p; log a N = q e log a b = r. Daí tiramos que Fazendo as substituições b p = N a q = N a r = b N = a q = b p = (a r ) p = a rp Se a q = a rp, então q = r p e daí temos que p = q r e log b N = log a N log a b. () Acompanhe o desenvolvimento logarítmico da expressão log ( a b c 2 log ( a b c 3 ). 3 ) = log (ab c 3 ) = log (ab 2) log c 3 = log a + log b 2 log c 3 = log a + log b 3 log c. 2 (2) Dados log a m = e log a n = 6 Qual é o valor da expressão log a ( m 3 n 2 )? log a ( m 3 n 2 ) = log a m 3 + log a n 2 = 3 log a m + 2 log a n = = = 45. 8

9 CÁLCULO DE LOGARITMOS APLICAÇÃO EM OUTRAAS ÁREAS Em Química, define-se o ph 2 de uma solução como o logaritmo decimal (base 0) do inverso da respectiva concentração de H 3 O + (íon hidroxônio). O cérebro humano contém um liquido cuja a concentração de H 3 O + é 4,8 0 8 mol/l (em média). Qual será o ph desse líquido? De acordo com a definição e dados do problema, temos ph = log 0 ( 4,8 0 8) = log 0 log 0 (4,8 0 8 ) = log 0 (log 0 4,8 + log ) = log 0 log 0 4,8 ( 8) log 0 0 = 0 log 0 4,8 + 8 = 8 log 0 4,8. LOGARITMOS DADOS A partir de um ou mais logaritmos dados, podemos obter o valor aproximado de uma infinidade de logaritmos, usando as propriedades conhecidas. Por exemplo: Dados log 2 0,30 e log 3 0,48, podemos calcular: log 6 = log(3 2) = log 3 + log 2 = 0,48 + 0,30 = 0,78. log 30 = log(3 0) = log 3 + log 0 = 0,48 + =,48. log 8 = log 2 3 = 3 log 2 = 3 0,30 = 0,90. log 3 = log 3 2 = log 3 = 0,48 = 0, log 2 3 = log 3 log 2 = 0,48 0,30 =,60. log 9 32 = log 32 log 9 = log 25 log 3 2 = 5 log 2 2 log 3 = 5 0,30 2 0,48 =,50 0,96 =, Por definição, o ph é o inverso do logaritmo da concentração hidrogeniônica do meio, que indica a acidez ou basicidade de uma solução aquosa. 9

10 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS DANTE, Luiz Roberto. Matemática (Volume único) ª Edição, 200. Editora Ática. São Paulo, Brasil. EVES, Howard. Introdução à História da Matemática 3ª edição, Editora Unicamp. São Paulo, Brasil. logaritmo-e-propriedades/view 0