CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Potenciação. Lucas Araújo - Engenharia de Produção

Transcrição

1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Potenciação Lucas Araújo - Engenharia de Produção

2 Potenciação No século 3 a.c na Grécia antiga, Arquimedes resolveu calcular quantos grãos de areia eram necessários para encher o Universo. 2/67

3 Potenciação Então Arquimedes calculou o diâmetro do universo e o volume médio de um grão de areia. No final de seus cálculos apareceu contas de multiplicar por dez repetidas vezes. N de vezes que o 10 aparece na multiplicação Resultado /67

4 Potenciação: Definição Também chamada de EXPONENCIAÇÃO; é uma operação usada para indicar a multiplicação de um número por ele mesmo x vezes Por exemplo: = 64 Utilizando a potenciação podemos escrever a expressão da seguinte forma: 4³. 4/67

5 Vejamos algumas aplicações... 7³ = ( 0,5)² = Calcule o valor de 3x² + x 1, para x = 0,5

6 Potenciação: Regras A incógnita n usada abaixo representa o número Base Qualquer número racional elevado ao expoente zero é igual a um. = 1 Ex.: = 1 = 1 = 1 Caso a base N seja zero, essa regra não é verdadeira. Por que? Teremos a resposta mais adiante

7 Potenciação: Regras Qualquer número racional elevado ao expoente um é igual à base. n¹ = n Ex.: 2¹ = 2 25¹ = ¹ = 134

8 Propriedades das potências As potências surgiram no intuito de representar multiplicações onde os fatores eram iguais. Dessa forma, algumas propriedades foram criadas nas operações envolvendo potenciações de bases iguais ou diferentes, simplificando os cálculos. Observe o desenvolvimento de uma potência: 3² = 3 x 3 = 9 10³ = 10 x 10 x 10 = = 6 x 6 x 6 x 6 = /67

9 Propriedade 1: Multiplicação de potencia de mesma base Para efetuarmos um produto de potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes dos fatores. X a. X b X a b Ex.: 10². 10¹ = 10³

10 Vejamos algumas aplicações

11 Propriedade 2: Divisão de Potências de Mesma Base Para efetuarmos um quociente de potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes. X X a b X a b

12 Vejamos algumas aplicações

13 Respondendo a questão feita no início da aula... SABE-SE QUE : Caso a base N seja zero, essa regra não é verdadeira! Por que? n/n = 1 Qualquer número diferente de zero dividido por ele mesmo dá 1. n¹/n¹ = n Usamos a propriedade de divisão de potência de mesmas base. Como o resultado tem que ser único, concluímos que n =1.

14 Propriedades das potências Até agora vimos Multiplicação e Divisão com termos de mesma base. E quando não tiver mesma base? O que podemos fazer? O QUE VAMOS VER AGORA É JUSTAMENTE O SEGUNDO CASO: EXPOENTES IGUAIS. 14/67

15 Propriedade 3: Multiplicação de potência de mesmo expoente Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos reais. a a X. Y ( XY ) a

16 Propriedade 4: Divisão de Potências de mesmo expoente O mesmo raciocínio mostrado para a multiplicação, pode ser aplicado para a divisão. Os números "X" e "Y" podem ser quaisquer números do conjunto dos números reais. Conserva-se o expoente e divide-se as bases. X Y a a X Y a

17 Vejamos algumas aplicações

18 Propriedade 5: Potencia de Potencia Onde "a" e "b" podem ser quaisquer números do conjunto dos reais. Potência de potência, multiplica-se os expoentes. a b ( X ) X a. b

19 Vejamos algumas aplicações

20 Propriedade 6: O Inverso de um número a n 1 a n 20/67

21 Propriedade 7 a 1 n a n 21/67

22 Vejamos algumas aplicações

23 Outras propriedades Quando tivermos um número negativo elevado numa potência, devemos tomar a seguinte precaução, veja os exemplos: (-5)2= (-5). (-5) = 25 (-2)4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = +16 Note, então, que quando temos um número negativo elevado em qualquer expoente PAR este se comporta como se fosse positivo. E se tivermos um expoente ímpar?

24 Outras propriedades Observe: (-5) 3 =(-5) (-5) (-5) = -125 Sempre que tivermos um número negativo elevado em qualquer expoente ÍMPAR, o sinal negativo permanece na resposta. IMPORTANTE!!! (-5)2 É TOTALMENTE DIFERENTE DE -52. NO PRIMEIRO CASO O SINAL DE MENOS TAMBÉM ESTÁ ELEVADO AO QUADRADO, ENTÃO A RESPOSTA É +25. JÁ NO SEGUNDO CASO, O MENOS NÃO ESTÁ ELEVADO AO QUADRADO, SOMENTE O 5, PORTANTO A RESPOSTA É -25.

25 Vejamos algumas aplicações

26 Obrigado pela atenção!