Matemática Aplicada. Administração Economia Ciências Contábeis

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1 Matemática Aplicada Administração Economia Ciências Contábeis Prof. Hiroshi Ouchi y a b f(x) dx 0 a b x

2 Agradecimentos O meu agradecimento a Deus pela vida e pelo privilégio de ser um profissional da Educação; à minha querida esposa Silvinha, pelo incentivo, carinho e apoio em todos os meus projetos de vida; a meus filhos e neto, razões da minha existência. A meus alunos pelo crescimento profissional e pessoal e ao licenciado em matemática Sidclay Silva, pelo excelente trabalho de digitação e formatação.

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4 Sumário Introdução 3 O Cálculo 5 Histórico A Derivada A reta tangente Cálculo do coeficiente angular da reta tangente Definição da reta tangente Definição de derivada de uma função Função derivada A derivada como taxa de variação Regras de derivação Função afim Função potência Regra da homogeneidade Regra da soma Regra do produto de uma constante por uma função Regra do produto ou regra de Leibniz Regra do quociente Derivada de uma função composta (Regra da Cadeia) Derivada de funções implícitas Derivada da função exponencial Derivada da função logarítmica Derivadas de ordem superior Taxa de variação percentual A análise marginal Custo marginal Receita marginal Lucro marginal

5 1.9.4 Custo médio Estudo da variação das funções Função crescente Função descrescente Função constante Casos especiais Critério da derivada para funções crescentes e decrescentes Extremos relativos ou locais de uma função Teste da derivada primeira para determinação de extremos relativos Concavidade Teste da concavidade Ponto de inflexão O teste da derivada segunda Estudo das assíntotas Assíntota horizontal Assíntota vertical Máximos e mínimos absolutos de uma função Teorema do valor extremo Otimização A Integral Antiderivação: A integral indefinida As antiderivadas de uma função f Notação de integral Regras básicas para integrar funções simples Propriedades algébricas da integral indefinida Regra da multiplicação por uma constante Regra da soma Regra da diferença Curvas integrais Movimento em linha reta Regra da exponencial Integração por substituição Equações diferenciais Equações diferenciais com variáveis separáveis Aplicações das equações diferenciais Integração por partes Teorema Fundamental do Cálculo: A integral definida

6 [Prof. Hiroshi Ouchi] A integral definida Área da região compreendida entre duas curvas A Teorema de Rolle 145 B Teorema do Valor Médio 149 C O teste da derivada segunda para extremos relativos 157 D O teste da concavidade 159 Referências Bibliográficas 163

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8 Introdução A apostila foi desenvolvida para atender a alunos dos cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. Cabe informar que este material didático não dispensa a utilização do livro-texto e de outros livros citados na bibliografia. Como a apostila foi desenvolvida com o objetivo de facilitar a aprendizagem, alguns tópicos de excelentes livros foram copiados na íntegra, não tendo o autor da apostila pretensão de usufruir dos méritos profissionais dos autores citados, mas tão somente de apresentar de maneira clara, eficiente e didática os principais conceitos e vários exemplos básicos. Professor Hiroshi Ouchi - Licenciado em Matemática pela UFJF e com curso de pósgraduação em Matemática pela UFF. 3

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10 O Cálculo Histórico O Cálculo é regularmente dividido em duas partes principais, Cálculo Diferencial e Cálculo Integral. Quase todas as idéias e aplicações do Cálculo tiveram origem em questões envolvendo o conceito de limite relacionado a dois problemas geométricos, que se referem ao gráfico de uma função y = f(x). Para simplificar, consideremos o gráfico de y = f(x) inteiramente acima do eixo x. Problema 1 O problema básico do Cálculo Diferencial é o problema das tangentes: como calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f num dado ponto P da sua curva. Figura 1: reta tangente Problema 2 O problema básico do Cálculo Integral é o problema das áreas: como calcular a área entre o gráfico de y = f(x), o eixo x e as retas verticais x = a e x = b. 5

11 6 [Matemática Aplicada] Figura 2: área Os dois problemas básicos foram objeto de estudo de muitos cientistas no século XVII, dentre os quais se destacam Fermat, Newton e Leibniz. A grande realização de Newton e Leibniz foi descobrir e explorar a estreita conexão entre os dois problemas. Foram os primeiros a entender o significado do Teorema Fundamental do Cálculo, de que a solução do problema da tangente pode ser usado para resolver o problema da área. O teorema foi reconhecido por cada um independentemente do outro e seus sucessores usaram-no posteriormente numa arte de resoluçao de problemas da Matemática Aplicada, de longo alcance em inúmeros ramos da atividade humana. NOTA: Calculus, na Roma antiga, era uma pedra utilizada para contagem e jogo, e o verbo latino calculare passou a significar figurar, calcular.

12 Capítulo 1 A Derivada 1.1 A reta tangente O problema da tangente consiste em determinar uma equação que descreva a tangente em um ponto M do gráfico de uma função y = f(x). A idéia da tangente a uma curva origina-se da palavra latina tangere, que significa tocar. Portanto, uma reta tangente a uma curva é uma reta que toca a curva. Por outro lado a palavra secante vem de secare, que significa cortar. No caso de uma circunferência, não há dificuldade em assimilar o conceito inicial de tangente como a reta que intercepta a circunferência em um ponto M da mesma, que é chamado, ponto de tangência. No caso é a reta perpendicular ao raio R, no ponto M. Figura 1.1: ponto de tangência Esta situação sugere a possibilidade de definir a tangente a uma curva em um ponto M, como a reta que intercepta a curva apenas no ponto M. O conceito atual de reta tangente originou-se com Fermat, em torno de A definição inicial mostra-se inadequada ao considerarmos curvas mais complicadas,tais como a curva (c), apresentada a seguir: 7

13 8 [Matemática Aplicada] Figura 1.2: pontos de intersecção A reta (t) toca a curva em M e também a intercepta em N e P. Nas proximidades de M, a reta (t) se confunde com a curva (c), tendo entretanto, outros pontos em comum com a mesma, tais como N e P. A reta (l) intercepta a curva (c) somente uma vez em M, mas na realidade não constitui uma tangente à curva no ponto M, de acordo com o conceito inicial. Para definirmos tangente a uma curva em um de seus pontos, devemos abandonar a idéia de unicidade do ponto comum da reta tangente com a curva e adotar uma propriedade notável que a mesma possui, de caráter local, significando que ao tomarmos arcos cada vez menores aa, bb,..., nn, contendo o ponto M, o arco da curva aparentará ser um segmento de reta (t), dando a impressão de que arcos suficientemente pequenos confundemse, aproximadamente, com um segmento de reta tangente (t). Figura 1.3: arcos em (c) Seja (c) uma curva de equação y = f(x), definida em um intervalo que contenha os pontos M e P, e seja (s) a reta secante que passa por M e P.

14 [Prof. Hiroshi Ouchi] 9 Figura 1.4: reta limite Quando o ponto P desloca-se sobre a curva aproximando-se de M, a reta secante MP, também muda de posição ao girar em torno de M. Se a reta secante (s) tende para a posição-limite (t), consideramos que esta reta limite é a tangente à curva (c) no ponto M, sendo este ponto denominado ponto de tangência ou ponto de contato. Figura 1.5: inclinação das restas (s) e (t) NOTA: A inclinação m s da reta secante tende para a inclinação m t da reta tangente, quando P tende a M sobre a curva (c). OBSERVAÇÕES: (revisão de Matemática I) 1. Coeficiente angular da reta (r) que passa por A(x A, y A ) e B(x B, y B ) m r = y B y A x B x A ou m r = y A y B x A x B 2. Equação da reta (r) que passa por M(x M, y M ) e de coeficiente angular m r y y M = m r (x x M ) 3. Condição de perpendicularismo das retas (r) e (s) m r m s = 1

15 10 [Matemática Aplicada] 4. Condição de paralelismo das retas (r) e (s) m r = m s 1.2 Cálculo do coeficiente angular da reta tangente Seja y = f(x), M(a, f(a)) um ponto do gráfico de y = f(x) e P (a + h, f(a + h)) um ponto próximo de M. Figura 1.6: coeficiente angular da reta (t) Temos: tg β = m s (inclinação de (s)) tg α = m t (inclinação de (t)) h = x (suficientemente pequeno, pois P M) y = f(a + h) f(a) ou y = f(a + x) f(a) Encontrar a reta tangente em um ponto M da curva (c) consiste na determinação da inclinação m t da reta tangente (t) procurada. Para isto, utilizamos uma reta secante (s), que passa pelo ponto de tangência M e por um ponto P da curva (c). m s = tg β = f(a + h) f(a) h ou m s = tg β = f(a + x) f(a) x NOTA: A razão correspondente a m s recebe o nome de quociente de Newton, taxa de acréscimo, razão incremental. Obtemos aproximações cada vez mais exatas da inclinação da reta tangente, escolhendo uma seqüência de pontos P cada vez mais próximos do ponto M na curva (c). Neste caso, x tende para a, quando h = x, tende para zero.

16 [Prof. Hiroshi Ouchi] 11 Temos: (h = x) 0 P tende para M = m s m t β α 1.3 Definição da reta tangente Seja y = f(x) uma função contínua em um intervalo aberto contendo o ponto M(a, f(a)) e P (a + h, f(a + h)) (figura 1.6). Definição Reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto M(a, f(a)), é a reta que passa por M e tem inclinação (coeficiente angular) dada por: y 1. m t = lim x 0 x f(a + x) f(a) 2. m t = lim x 0 x 3. m t = lim h 0 f(a + h) f(a) h A inclinação existe se o limite existir. OBSERVAÇÕES: 1. A equação da reta (t), tangente ao gráfico de f em M é y f(a) = m t (x a) 2. A reta paralela ao eixo x, tem coeficiente angular nulo (m t = 0) Sua equação é y = f(a) 3. A equação da reta (n), normal ao gráfico de f em M, é a reta que passa por M e é perpendicular à reta tangente (t) no ponto M Como m t m n = 1, temos: m n = 1 m t Sua equação é y y M = 1 m t (x x M ) ou y f(a) = 1 m t (x a) f(a + h) f(a) 4. Se lim h 0 h tangente é x = a. =, então a reta tangente é vertical e a equação da reta Exemplo, f(x) = x 2 no ponto de abscissa x = 2.

17 12 [Matemática Aplicada] Definição Alternativa No gráfico apresentado em 1.6, consideremos M(a, f(a)) e P (x, f(x)). Assim, x = a+h. Figura 1.7: definição alternativa Temos: h = x a y = f(x) f(a) h 0 = x a f(x) f(a) m s = x a Assim, m t = lim x a f(x) f(a) x a 1.4 Definição de derivada de uma função A derivada de uma função y = f(x) em um ponto M de abscissa a é denotada por f (a) e definida por: 1. f f(a + x) f(a) (a) = lim x 0 x 2. f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h 3. f (a) = lim x a f(x) f(a) x a NOTA: A definição é válida se o limite existir. Outras notações ( ) dy dx x=a ; dy dx x=a

18 [Prof. Hiroshi Ouchi] 13 Seja a função f definida por f(x) = x 2. (a) Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto M de abscissa 2. (b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto M de abscissa 2. (c) Determine a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto M de abscissa 2. (d) Trace o gráfico de f(x) = x 2 e no mesmo sistema cartesiano os gráficos da tangente e da normal no ponto M de abscissa 2. Solução f(2) = 2 2 = 4. Logo, M(2, 4) (a) m t = f (2) f (2) = lim h 0 f(2 + h) f(2) h = lim h 0 (2 + h) 2 4 h 4 + 4h + h 2 4 = lim h 0 h h(4 + h) = lim h 0 h = lim(4 + h) = 4 h 0 Assim, m t = f (2) = 4 Definição alternativa f(x) f(2) x 2 4 m t = lim = lim x 2 x 2 x 2 x 2 = lim (x + 2) (x 2) = lim(x + 2) = 4 x 2 x 2 x 2 (b) y y M = m t (x x M ) y 4 = 4 (x 2) y = 4x 4 equação reduzida 4x y 4 = 0 equação geral (c) y y M = 1 m t (x x M ) y 4 = 1 (x 2) 4 y = 1 4 x equação reduzida x + 4y 18 = 0 equação geral (d)

19 14 [Matemática Aplicada] Exercícios Propostos 1. Seja a função f definida por f(x) = x 2 2x. (a) Determine a derivada da função no ponto P de abscissa 4. (b) Determine as equações da tangente e da normal à curva no ponto P de abscissa igual a Determine f (3), sabendo que f(x) = x 2 + 2x 1 e escreva a equação da tangente no ponto P de abscissa Seja f(x) = x 2 + 5x + 2. Determine a taxa de variação de f no ponto de abscissa x = 1 e escreva a equação da tangente ao gráfico de f nesse ponto. 4. Escreva a equação da reta tangente e da reta normal à curva de equação y = 3x 2 4x + 3, no ponto P de abscissa 1. Respostas 1. (a) m t = 6 (b) 6x y 16 = 0 e x + 6y 52 = 0 2. f (3) = 8 e 8x y 10 = 0 3. f ( 1) = 3 e 3x y + 1 = x y = 0 e x + 2y 5 = Função derivada Seja f uma função derivável em um intervalo aberto I. Definição A derivada de uma função f em relação a x é a função f (x) definida por: 1. f f(x + x) f(x) (x) = lim x 0 x 2. f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h O domínio da função derivada f (x) é o conjunto de todos os números x do domínio da função f para os quais o limite existe. Se o limite não existir, dizemos que a função f não é derivável, ou diferenciável, no intervalo I. Dizemos que uma função y = f(x) é derivável no ponto de abscissa a, se existe f (a), ou seja, se o limite existe no ponto x = a.

20 [Prof. Hiroshi Ouchi] 15 Notações de função derivada Seja y = f(x) 1. Leibniz: dy dx ou df dx 2. Lagrange: y ou f (x) 3. Cauchy: Dy x ou Df x NOTA: D é chamado operador diferenciação. OBSERVAÇÕES: S Newton usou a notação Ṡ para indicar a taxa de variação no tempo lim de uma t 0 t quantidade variável S = f(t). A notação de Newton é usada com certa freqüência em cursos de mecânica técnica e teórica. Seja f(x) = 3x 2 12x + 4 (a) Determine f (x). (b) Determine f (1). (c) Determine a equação da tangente ao gráfico de f no ponto P de abscissa 1. (d) Detemine o ponto do gráfico em que a reta tangente é paralela ao eixo das abscissas (reta horizontal). Solução f(x + h) = 3(x + h) 2 12(x + h) + 4 f(x + h) = 3(x 2 + 2xh + h 2 ) 12x 12h + 4 f(x + h) = 3x 2 + 6xh + 3h 2 12x 12h + 4 f(x + h) f(x) = 3x 2 + 6xh + 3h 2 12x 12h + 4 (3x 2 12x + 4) f(x + h) f(x) = 3x 2 + 6xh + 3h 2 12x 12h + 4 3x x 4 f(x + h) f(x) = 6xh 12h + 3h 2 (a) f f(x + h) f(x) h(6x h) (x) = lim = lim = lim(6x h) = 6x 12 h 0 h h 0 h h 0 f (x) = 6x 12 (b) f (1) = 6(1) 12 = 6 12 = 6 f (1) = 6

21 16 [Matemática Aplicada] (c) x = 1 y = f(1) = 3(1) 2 12(1) + 4 = = 5 Temos P (1, 5) y y P = f (1)(x x P ) y + 5 = 6(x 1) y + 5 = 6x + 6 (t) 6x + y 1 = 0 (d) f (x) = 0 6x 12 = 0 x = 2 x = 2 f(2) = 3(2) 2 12(2) + 4 f(2) = f(2) = 8 M(2, 8) 1.6 A derivada como taxa de variação Se y = f(x), então a taxa de variação instantânea de uma grandeza f(x) em relação a x no ponto de abscissa a é f (a). Um empresário calcula que quando x unidades de um certo produto são fabricadas, a receita bruta associada ao produto é dada por R(x) = (0, 5)x 2 + 3x 2 milhares de reais. Qual é a taxa de variação da receita com o nível de produção x quando 9 unidades são fabricadas? Para esse nível de produção, a receita aumenta ou diminui com o aumento de produção? Solução R(x + h) = 0, 5(x + h) 2 + 3(x + h) 2 R(x + h) = 0, 5(x 2 + 2xh + h 2 ) + 3x + 3h 2 R(x + h) = (0, 5)x 2 + xh + (0, 5)h 2 + 3x + 3h 2 R(x + h) R(x) = (0, 5)x 2 + xh + (0, 5)h 2 + 3x + 3h 2 (0, 5)x 2 3x + 2 R(x + h) R(x) = xh + 3h + (0, 5)h 2 R(x + h) R(x) = h[x (0, 5)h] R R(x + h) R(x) h[x (0, 5)h] (x) = lim = lim = lim[x (0, 5)h] = x + 3 h 0 h h 0 h h 0 R (x) = x + 3 R (9) = = 12 R (9) = 12 (função afim crescente, coeficiente positivo)

22 [Prof. Hiroshi Ouchi] 17 A receita aumenta de R$12.000,00 por unidade com o aumento da produção, quando 9 unidades estão sendo fabricadas. Como R (9) = 12 > 0, então a reta tangente à função receita no ponto a = 9 tem inclinação positiva. Conclusão: a receita aumenta com o aumento da produção. Suponha que o lucro de um fabricante de camisetas seja dado pela função P (x), tal que, P (x) = 400(15 x)(x 2), onde x é o preço pelo qual as camisas são vendidas. Encontre o preço de venda que maximiza o lucro. Solução Temos, P (x) = 400x x P (x + h) = 400(x + h) (x + h) P (x + h) = 400x 2 800xh 400h x h P (x + h) P (x) = h( 800x 400h ) P (x) = P (x + h) P (x) lim h 0 h P (x) = lim( 800x 400h ) h 0 P (x) = 800x P (x) = 0 0 = 800x x = 6800 x = 8, 5 Resposta: O preço de venda que proporciona lucro máximo é de R$8,50. Exercícios Propostos 1. Em que ponto P da curva y = x 2 +8 o coeficiente angular da tangente é 16? Escreva a equação da tangente. 2. Em que ponto da curva y = 3x 2 + 5x + 6 a tangente é paralela ao eixo x? Respostas 1. P (8, 72); (t) y = 16x P ( 5 6, 47 ) 12

23 18 [Matemática Aplicada] 1.7 Regras de derivação As técnicas de derivação são regras práticas cuja utilização direta nos leva a calcular a derivada de uma função sem recorrer à definição. Naturalmente essas técnicas são obtidas mediante o emprego da definição e de conceitos estudados anteriormente Função afim f(x) = mx + p f(x + h) = m(x + h) + p f(x + h) f(x) = mx + mh + p mx p f(x + h) f(x) = mh f f(x + h) f(x) hm (x) = lim = lim h 0 h h 0 h = lim m = m h 0 Portanto: f(x) = mx + p = f (x) = m Exemplo f(x) = 3x 2 f (x) = 3 OBSERVAÇÕES: 1. m = 0 e p 0 f(x) = p (função constante) f(x + h) = p f f(x + h) f(x) p p 0 (x) = lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h = lim 0 = 0 h 0 f(x) = p = f (x) = 0 A derivada de uma constante é zero 2. m = 1 e p = 0 f(x) = x (função identidade) De acordo com a primeira conclusão, temos: f(x) = 1x f (x) = 1 Portanto: f(x) = x = f (x) = 1

24 [Prof. Hiroshi Ouchi] Função potência f(x) = x n, sendo n inteiro positivo e x 0 f(x + h) = (x + h) n De acordo com a teoria do Binômio de Newton, temos: f(x + h) = x n + ( ) n 1 x n 1 h + ( ) n 2 x n 2 h h n f(x + h) f(x) = x n + ( ) n 1 x n 1 h + ( ) n 2 x n 2 h h n x n f(x + h) f(x) = ( ) n 1 x n 1 h + ( ) n 2 x n 2 h h n f (x) = lim h 0 f (x) = lim h 0 f (x) = lim h 0 f (x) = lim h 0 [( n 1 f(x + h) f(x) ( n ) h 1 x n 1 h + ( ) n 2 x n 2 h h n [( h h n ) 1 x n 1 + ( ) n 2 x n 2 h h n 1] ) h x n 1 + ( ) n 2 x n 2 h h n 1] Como cada termo dentro dos colchetes tem uma potência de h como fator, exceto o primeiro, por teoria de limites podemos concluir: f (x) = lim h 0 ( n 1 )xn 1 Como ( n 1 ) = n, de acordo com a Análise Combinatória, temos: f (x) = lim h 0 (n x n 1 ) = n x n 1 Portanto: f(x) = x n = f (x) = n x n 1 Para encontrar a derivada de x n, devemos subtrair 1 do expoente de x e multiplicar pelo expoente original n Exemplos: 1. f(x) = x 5 f (x) = 5x 5 1 f (x) = 5x 4 2. f(x) = x 3 f (x) = 3x 3 1 f (x) = 3x 2 3. f(x) = x f (x) = 1x 1 1 f (x) = 1x 0 f (x) = 1

25 20 [Matemática Aplicada] OBSERVAÇÃO: A regra é também válida quando o expoente é inteiro negativo ou uma fração 1. f(x) = x 4 f (x) = 4x 4 1 = 4x 5 2. f(x) = x = x 1/2 f (x) = 1 2 x1/2 1 = 1 2 x 1/2 = Regra da homogeneidade f(x) = c x n De acordo com item anterior, temos: f (x) = c n x n 1 1 x 1/2 = = 1 x 2 x A derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Exemplos: 1. f(x) = 2x 5 f (x) = 2 5x 5 1 = 10x 4 2. f(x) = 2 x 3 = 2x 3 f (x) = 2 ( 3)x 3 1 = 6x 4 = 6 x Regra da soma Seja f(x) = u(x) + v(x) f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h f (x) = lim h 0 u(x + h) + v(x + h) u(x) v(x) h f u(x + h) u(x) + v(x + h) v(x) (x) = lim h 0 h f u(x + h) u(x) v(x + h) v(x) (x) = lim + lim h 0 h 0 h h f (x) = u (x) + v (x) Portanto: f(x) = u(x) + v(x) = f (x) = u (x) + v (x) ou f = u + v = f = u + v A derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas das funções parcelas.

26 [Prof. Hiroshi Ouchi] 21 Podemos estender a regra para n funções de x f(x) = u 1 (x) + u 2 (x) u n (x) f (x) = u 1 (x) + u 2 (x) u n (x) Exemplos: 1. f(x) = 6x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 5x + 1 f (x) = 24x 3 + 6x 2 + 8x f(x) = x x3 + 4x + 2 f (x) = 4x 3 + 2x OBSERVAÇÕES: 1. f(x) = u(x) v(x) De maneira análoga, concluimos: f (x) = u (x) v (x) 2. Podemos derivar qualquer função polinomial termo a termo, usando as regras da soma, subtração, homogeneidade, potência, identidade e constante. f(x) = x 3 5x 2 + 4x 2 f (x) = 3x 2 10x Regra do produto de uma constante por uma função f(x) = c v(x) f f(x + h) f(x) (x) = lim h 0 h f c v(x + h) c v(x) (x) = lim h 0 h f v(x + h) v(x) (x) = lim c lim h 0 h 0 h f (x) = c v (x) Portanto: f(x) = c v(x) = f (x) = c v (x) ou f = c v = f = c v A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função.

27 22 [Matemática Aplicada] Regra do produto ou regra de Leibniz Seja f(x) = u(x) v(x). Utilizamos o artifício subtrair e somar f(x + h) f(x) = u(x + h) v(x + h) u(x) v(x) Subtraindo e somando a expressão u(x + h) v(x), temos: f(x + h) f(x) = u(x + h) v(x + h) (u(x + h) v(x)) + (u(x + h) v(x)) u(x) v(x) f(x + h) f(x) = u(x + h) [v(x + h) v(x)] + v(x) [u(x + h) u(x)] Temos: f f(x + h) f(x) (x) = lim h 0 h f u(x + h)[v(x + h) v(x)] + v(x)[u(x + h) u(x)] (x) = lim h 0 h Aplicando propriedades de limites temos: f v(x + h) v(x) (x) = lim [u(x + h)] lim h 0 h 0 h f (x) = u(x) v (x) + v(x) u (x) ou f (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x) + lim h 0 v(x) lim h 0 u(x + h) u(x) h Portanto: f = uv = f = u v + uv A derivada do produto de duas funções é igual à derivada da primeira vezes a segunda, mais, a primeira vezes a derivada da segunda. OBSERVAÇÕES: A regra pode ser aplicada para mais de duas funções f = uvw = (uv)w f = u vw + uv w + uvw Calcule a derivada da função f(x) = (x + 4)(3x 2). (a) (b) Expandindo f(x) e usando a regra do produto de polinômios. Usando a regra do produto. Solução (a) f(x) = 3x 2 2x + 12x 8 f(x) = 3x x 8 f (x) = 6x + 10

28 [Prof. Hiroshi Ouchi] 23 (b) f (x) = (x + 4) (3x 2) + (x + 4)(3x 2) f (x) = 1(3x 2) + (x + 4)3 f (x) = 3x 2 + 3x + 12 f (x) = 6x + 10 OBSERVAÇÕES: A derivada de um produto é diferente do produto das derivadas Regra do quociente Seja f(x) = u(x), definida nos pontos em que v(x) 0. v(x) Por comodidade, podemos determinar a regra do quociente utilizando a regra do produto. f = u v fv = u Aplicando a regra do produto, temos: f v + fv = u f v = u fv f v = u u v v f v = vu uv v f = vu uv v 2 Portanto: f = u v = f = vu uv v 2 ou f = u v = f = u v uv Determine a derivada da função racional f(x) = 4x2 + 2x + 3 x 1 Solução f (x) = (x 1)(4x2 + 2x + 3) (4x 2 + 2x + 3)(x 1) (x 1) 2 f (x) = (x 1)(8x + 2) (4x2 + 2x + 3)1 (x 1) 2 f (x) = 8x2 + 2x 8x 2 4x 2 2x 3 (x 1) 2 f (x) = 4x2 8x 5 (x 1) 2 v 2

29 24 [Matemática Aplicada] OBSERVAÇÕES: A regra do produto é, muitas vezes, usada para evitar o uso desnecessário da regra do quociente, que é mais complicada. 1. f(x) = 2 x 3 = 2x 3 f (x) = 6x 3 1 = 6x 4 = 6 x 4 2. f(x) = 2 3x 2 x x + 1 x f(x) = 2 3 x x x f(x) = 2 3 x x x 1 f (x) = 4 3 x x 1 1 f (x) = 4 3 x x 2 f (x) = 4 3x x 2 Casos particulares em que o numerador é 1. f(x) = 1 g(x), e g(x) 0 f (x) = g(x) (1) 1 g (x) (g(x)) 2 f (x) = g(x) 0 g (x) (g(x)) 2 Portanto: f(x) = 1 g(x) = f (x) = g (x) (g(x)) 2 Encontre a derivada de f(x) = 1 x. Solução f (x) = g (x) (g(x)) 2 = x x 2 = 1 x 2 Exercícios Propostos 1. Usando a definição de derivada, determine f (x) das seguintes funções: (a) f(x) = 2x 2 x (b) f(x) = 3x 2 + 5x 4 2. Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x 3 + 2x, no ponto P de abscissa 1 e escreva as equações das retas tangente e normal à curva neste ponto P.

30 [Prof. Hiroshi Ouchi] Calcule a derivada das seguintes funções: (a) y = x 4 2 x 3 8 x + 2 (b) y = 3x 2/3 4x 1/4 2 (c) f(x) = 3 4x 4 (d) g(x) = 3 4x 2 (e) h(x) = 5 x (f) l(x) = x 2 4. Calcule a derivada das seguintes funções: (a) y = (1 2x)(2x 4) (b) y = (3x 2 5)(2x 3 4x) (c) f(x) = (2x + 3x 2 )(5x 1) (d) y = (1 + 1x ) 2 (x 2) 5. Calcule a derivada das seguintes funções: (a) y = (2x 5)(x + 2)(x 2 1) (b) y = (1 3x) 2 (2x + 5) 6. Calcule a derivada f (x) das seguintes funções: (a) f(x) = 2x 1 x 2 + 2x (b) f(x) = 3x2 + 7 x Escreva a equação da tangente e da normal às curvas seguintes nos pontos pedidos (a) f(x) = x no ponto P de abscissa 4. (b) f(x) = 7 7x 2 + 2x 3 no ponto P de abscissa Determine a inclinação da curva g(x) = x2 no ponto P de abscissa x = 1 e escreva x 2 +1 a equação da reta tangente neste ponto. 9. Estima-se que, em x meses, a partir de agora, a população de uma certa comunidade será de P (x) = x x A que taxa a população estará variando em relação ao tempo 15 meses, a partir de agora? 10. O lucro obtido com a venda de x unidades de um certo produto é P (x) = x3 +27x x+7 x+5, em milhares de reais. Determine a taxa de variação do lucro em relação às vendas para x = 2.

31 26 [Matemática Aplicada] Respostas 1. (a) f (x) = 4x 1 (b) f (x) = 6x f (1) = 5; y = 5x 2; y = 1 5 x (a) y = 4x x x 2 (b) dy dx = 2 3 x 1 4 x 3 (c) f (x) = 3 x 5 (d) g (x) = 3 2 x (e) h (x) = 5 2 x (f) l (x) = 1 3 x 5 4. (a) dy dx = 8x + 10 (b) y = 30x 4 66x (c) f (x) = 45x x 2 (d) y = 1 x x ou y = x3 x+4 x 3 5. (a) y = 8x 3 3x 2 24x + 1 (b) y = 54x x (a) f (x) = 2x2 +2x+2 (x 2 +2x) 2 (b) f (x) = 20x (x 2 1) 2 7. (a) x 4y + 4 = 0 4x + y 18 = 0 (b) y = 4x + 3 y = 1 4 x m = 1 2 ; y = 1 2 x 9. A taxa de variação da população, 15 meses a partir de agora, será de 50 pessoas por mês. 10. O lucro estará aumentando a razão de R$27.857,00.

32 [Prof. Hiroshi Ouchi] Derivada de uma função composta (Regra da Cadeia) y = f(u) e u = g(x) = y = f[g(x)] Exemplos: y = u 5 e u = x Assim, y = (x 3 + 5) 5 = y = f[g(x)] Se y é uma função de u e dy du uma função de x e dy dx du existe, e se u é uma função de x e dx dx = dy du du dx. existe, e é dada por dy existe, então y é Uma demonstração rigorosa da regra da cadeia é bastante complicada e será omitida, devido à proposta de nosso curso. Entretanto daremos um argumento válido para inúmeras funções. Iniciaremos a demonstração com a variação usual x 0, na variável independente x. Esta produz uma variação u na variável u, e esta, produz uma variação y na variável y. Sabemos ainda que a derivabilidade implica continuidade, e assim u 0 quando x 0. Sabemos que: dy dx = lim y x 0 x ; dy du = lim y u 0 u Por álgebra simples, temos: y x = y u u se u 0 x e du dx = lim u x 0 x Logo, lim x 0 y x = lim x 0 y u lim u x 0 x Quando x 0, u 0 y x = lim u 0 lim x 0 y u lim x 0 u x se u 0 se u 0 Logo, dy dx = dy du du dx OBSERVAÇÕES: Pode acontecer que x não induza uma variável real em u, de modo que u = 0, e esta possibilidade invalida a nossa demonstração. Esta dificuldade pode ser administrada por um engenhoso artifício matemático que não será utilizado devido à sua complexidade.

33 28 [Matemática Aplicada] RESUMO: 1. Notação de Leibniz Se y = f(u) e u = g(x), então dy dx = dy du du dx 2. Notação de Lagrange Se y = f(g(x)), então dy dx = f (g(x)) g (x) A derivada da função é obtida multiplicando-se a derivada da função externa pela derivada da função interna. Exemplos: Ache a derivada das funções 1. y = (x 3 + 2) 5 Seja y = u 5 e u = x Logo, dy du = 5u4 e dy dx = dy du du dx dy dx = 5u4 3x 2 dy dx = 15(x3 + 2) 4 x 2 dy dx = 15x2 (x 3 + 2) 4 2. y = x du dx = 3x2 Seja y = u e u = x y = u 1/2 Logo, dy du = 1 2 u 1/2 = u 1/2 = 1 2 u dy dx = dy du du dx dy dx = 1 2 u 2x = x u dy dx = x x e du dx = 2x Exercícios Propostos Determine dy, sabendo que dx (a) y = (3x 2 + 1) 2 (b) y = u e u = 2x 3 4x + 5

34 [Prof. Hiroshi Ouchi] 29 Respostas (a) dy dx = 36x3 + 12x (b) dy dx = 6x x 3 4x+5 ou dy dx = 3x2 2 2x 3 4x+5 NOTA: A regra da cadeia pode ser extendida para os casos em que a composição é de mais de duas funções y = h(v), v = g(u) e u = t(x) dy dx = dy dv dv du du dx Caso particular da regra da cadeia A função composta é do tipo y = f(u) = (u(x)) n, sendo u = g(x) uma função diferenciável de x e n um número qualquer. Aplicando a regra da cadeia, temos: dy dx = dy du du dx dy dx = d du (u(x))n du dx dy dx = n(u(x))n 1 du Leibniz dx ou y = n(u) n 1 u Lagrange Exemplos: 1. Calcule a derivada de y = x y = (x 2 + 1) 1/2 y = 1 2 (x2 + 1) 1/2 1 (x 2 + 1) y = 1 2 (x2 + 1) 1/2 2x y = x x Calcule a derivada de f(x) = Temos: f(x) = 2 (4x 2 + 6x 7) 3 2 (4x 2 + 6x 7) 3 f (x) = 2 ( 3) (4x 2 + 6x 7) 3 1 (4x 2 + 6x 7) f (x) = 6 (4x 2 + 6x 7) 4 (8x + 6) f 6 (x) = (4x 2 (8x + 6) + 6x 7) 4 f 48x 36 (x) = (4x 2 + 6x 7) 4

35 30 [Matemática Aplicada] NOTA: Esta regra é conhecida como regra da potência generalizada. Aplicação Prática O custo para produzir x unidades de um certo produto é C(x) = x2 + 4x + 53 em 3 reais e o número de unidades produzidas em t horas de trabalho é x(t) = (0, 2)t 2 + (0, 03)t unidades. Determine a taxa de variação do custo com o tempo após 4 horas de trabalho. Solução Temos: C = f(x) e x = g(t) C = x x + 53 e x = (0, 2)t2 + (0, 03)t Temos: dc dx = 2 3 x + 4 e dx = (0, 4)t + (0, 03) dt Regra da cadeia dc dt = dc dx dx ( dt ) dc 2 dt = 3 x + 4 [(0, 4)t + (0, 03)] t = 4 = [ x = (0, 2)(16) ] + (0, 03)(4) = 3, 32 dc 2 dt = (3, 32) + 4 [(0, 4)(4) + (0, 03)] 3 dc = 10, 1277 dt Conclusão: Após 4 horas de trabalho, o custo está aumentando à razão de aproximadamente R$ 10,13 por hora Derivada de funções implícitas A maioria das funções que estudamos até o momento foi da forma y = f(x), em que y é expressa diretamente, ou explicitamente, em termos de x. Entretanto, acontece com freqüência que y é definida como uma função de x por meio de uma equação da forma F (x, y) = 0 que não está resolvida para y, mas em que x e y estão intimamente relacionadas entre si. Quando é dado um conveniente valor a x, a equação resultante determina normalmente um ou mais valores correspondentes para y. Nesse caso, dizemos que a equação F (x, y) = 0 determina y como uma ou mais funções implícitas de x. Para cada valor de x, existe um valor correspondente de y que satisfaz a equação. Exemplos: 1. A equação xy = 1 determina uma função implícita de x, que pode ser escrita na

36 [Prof. Hiroshi Ouchi] 31 forma y = 1 x (forma explicita). 2. A equação x 2 + y 2 = 36 determina duas funções implícitas de x, que podem ser escritas explicitamente como y = 36 x 2 e y = 36 x 2. OBSERVAÇÕES: Muitas vezes não é possível definir y explicitamente como função de x. Para determinar dy, usamos um processo simples, baseado na regra da cadeia pensando dx conscientemente em y como uma função de x, sempre que aparecer. Esse processo é denominado derivação implícita. Regra prática 1. Devemos derivar termo a termo, ambos os membros da equação, em relação a x, usando a regra da cadeia ao derivar os termos que contém y. 2. Resolvemos a equação resultante considerando dy dx como incógnita. A derivação implícita dá, normalmente uma expressão para dy em termos, tanto de x dx como de y, em vez de somente em termos de x. Exemplos: Determine dy dx sabendo que 2x2 2xy = 9 y 2. Solução Derivando em relação a x, temos: 4x 2y 2x dy dy = 2y dx dx 2x y x dy dy = y dx dx x dy dx y dy dx = 2x y (x y) dy dx = 2x y dy dx = 2x y x y NOTA: Pode-se também obter derivadas de ordem superior por diferenciação implícita Derivada da função exponencial Se f(x) = a x ; a R +, a 1 e x R, então f (x) = a x ln a Portanto, f(x) = a x = f (x) = a x ln a

37 32 [Matemática Aplicada] Seja y = a u e u é uma função de x. Aplicando a regra da cadeia, temos: dy dx = au ln a dy dx ou y = a u ln a u Caso Particular: f(x) = e x = f (x) = e x ln e = e x 1 = e x Portanto, f(x) = e x = f (x) = e x Seja y = e u e u é função de x. Aplicando a regra da cadeia, temos: dy dx = eu du ou y = e u u dx Derivada da função logarítmica Vimos que log e a log a e = 1 Assim, log a e = 1 log e a log a e = 1 ln a Seja f(x) = log a x onde a > 0 e a 1 e x R + f (x) = 1 x log a e f(x) = log a x = ou f 1 (x) = x ln a Seja y = log a u onde u é função de x Aplicando a regra da cadeia, temos: dy dx = 1 u log a e du dx ou dy dx = 1 u ln a du dx ou y = 1 u log a e u ou y = u u ln a Caso Particular: y = ln x ou y = log e x dy dx = 1 x ln e = 1 x Seja y = ln u onde u é função de x dy dx = 1 u du ou y = u dx u

38 [Prof. Hiroshi Ouchi] 33 Exemplos: 1. f(x) = 5 x3 +2x 2. f(x) = e x f(x) = ln (2x 4 + 5) 4. f(x) = log 2 (3x 2 5) Derivadas de ordem superior Se uma função y = f(x) é diferenciável em um certo intervalo, sua derivada f (x) é também diferenciável nesse intervalo. Se f (x) também for diferenciável, então a sua derivada é chamada derivada segunda da função y = f(x) e é representada por f (x). A derivada terceira da função é a derivada de sua derivada segunda, isto é, f (x) = [f (x)]. A derivada de ordem n, ou derivada n-ésima de f(x) é indicada por f (n) (x). Assim f (x) também se escreve f (2) (x). Podemos escrever f(x) = f (0) (x). Notação ( ) de Leibniz d dy = d2 y : derivada segunda dx dx dx2 ( d d 2 ) y dx dx 2 = d3 y : derivada terceira dx3 d dx ( d n 1 ) y dx n 1 = dn y : derivada n-ésima dxn Em Geometria, o sinal de f (x) nos informa se a curva de y = f(x) é côncava para cima ou para baixo. Em Física, se s = f(t) dá a posição de um corpo móvel no instante t, então a primeira derivada corresponde à velocidade do móvel e a segunda derivada corresponde à aceleração do corpo móvel no instante t, isto é, v = ds dt e a = dv dt = d2 s dt 2. Exercícios Propostos 1. Determine a derivada das seguintes funções: (a) f(x) = (2x 3 5x 2 + 4) 5 1 (b) f(x) = 4x 3 + 5x 2 7x + 8 (c) f(x) = 2x 3 4x + 5 (d) f(x) = 3 x 2 + x + 1

39 34 [Matemática Aplicada] 2. Calcule a derivada dy dx (a) y = u e u = x (b) y = u e u = x 2 + 3x + 2 (c) y = 1 u 1 das funções seguintes, aplicando a regra da cadeia. e u = x 2 (d) y = 1 u e u = x Uma projeção do aumento de população indica que daqui a t anos a população de certa cidade será P (t) = ( t 3 + 9t t + 200) mil habitantes. (a) Qual será a taxa de aumento da população daqui a 3 anos? (b) Qual será a taxa de variação da taxa de aumento da população daqui a 3 anos? 4. Um estudo de eficiência realizado no turno da manhã de uma certa fábrica revela que um operário que chega ao trabalho às 8 horas terá produzido Q(t) = t 3 + 6t t unidades t horas mais tarde. (a) Calcule a taxa de produção dos operários às 11 horas. (b) Qual é a taxa de variação da taxa de produção dos operários às 11 horas? 5. Um estudo ambiental realizado em certo município revela que a concentração média de monóxido de carbono no ar é c(p) = (0, 5)p partes por milhão, onde p representa a população, em milhares de habitantes. Calcula-se que daqui a t anos a população do município será p(t) = (3, 1) + (0, 1)t 2 milhares de habitantes. Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono daqui a 3 anos? 6. Determine a equação da tangente ao gráfico de f(x) = 5 no ponto P de abscissa 1 + x2 x = Determine dy dx sabendo que xy x2 y 3 + 3x = Determine a tangente e a normal à curva x 3 + y 3 9xy = 0 no ponto P (2, 4) 9. Escreva a equação da tangente e da normal à curva x 6 y 4 + 2x 2 y = 2 no ponto P (1, 1) 10. Numa certa indústria, se C é o custo total da produção de x unidades, então C = 1 4 x2 + 2x Se x unidades são produzidas durante t horas desde o início da produção, então x = 3t t. Determine a taxa de variação do custo total em relação ao tempo, 2 horas após o início da produção.

40 [Prof. Hiroshi Ouchi] 35 Respostas 1. (a) f (x) = 5(2x 3 5x 2 + 4) 4 (6x 2 10x) (b) f (x) = (c) f (x) = 12x2 10x+7 (4x 3 +5x 2 7x+8) 2 3x2 2 2x 3 4x+5 (d) f (x) = 2x (x 2 +x+1) 2 2. (a) dy dx = x x 2 +1 (b) dy dx = 2x+3 2 x 2 +3x+2 (c) dy dx = (d) dy dx = 2x (x 2 1) 2 x (x 2 +9) 3 3. (a) habitantes por ano (b) zero 4. (a) 33 unidades por hora (b) a taxa de decréscimo de eficiência às 11 horas é de 6 unidades por hora ao quadrado 5. dc dt = 0, 24 por milhão por ano 6. 4x 5y + 13 = 0 ou y = 4 5 x dy dx = y+2xy3 3 x 3x 2 y 2 8. y = 4 5 x e y = 5 4 x x y 4 = 0 e x + 5y 6 = O custo total está aumentando a uma taxa de R$ 3.596,00 por hora. Exercícios Diversos 1. Estima-se que daqui a t anos, a circulação de um jornal será c(t) = 100t t (a) Encontre uma expressão para a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a t anos (b) Determine a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a 5 anos. Nessa ocasião a circulação estará aumentando ou diminuindo? (c) Qual será a variação da circulação durante o sexto ano?

41 36 [Matemática Aplicada] 2. Um estudo realizado em certa fábrica mostra que os operários do turno da manhã, que chegam para trabalhar à 8 horas, terão montado em média f(x) = x 3 + 6x x receptores de rádio, x horas mais tarde. (a) Determine uma expressão para o número de receptores por hora que os operários estarão montando x horas depois de começarem a trabalhar. (b) Quantos receptores por hora estarão montando às 9 horas? (c) Quantos receptores os operários estarão montando entre 9 e 10 horas? 3. Um fabricante de relógios pode produzir determinado tipo de relógio a um custo de R$ 15,00 por peça. Estima-se que se o preço do relógio for x cada, então o número de relógios vendidos por semana será 125 x. Seja P (x) o lucro semanal do fabricante. Determine o preço de venda para que o lucro semanal seja máximo. Determine o lucro máximo. 4. Numa certa indústria, se C é o custo total de produção de x unidades, então C(x) = 1 4 x2 + 2x reais. Se x unidades são produzidas durante t horas desde o início da produção, então x = 3t t. Determine a taxa de variação do custo total em relação ao tempo, duas horas após o início da produção. 5. Quando um determinado modelo de liquidificador é vendido a p reais a unidade, são vendidos D(p) = 8000 liquidificadores por mês. Calcula-se que daqui a t meses o p preço dos liquidificadores será p(t) = (0, 04)t 3/2 +15 reais. Calcule a taxa de variação da demanda mensal de liquidificadores com o tempo daqui a 25 meses. A demanda estará aumentando ou diminuindo nessa ocasião? 6. Ache a equação da reta tangente à curva y = 2x que é paralela à reta (s) 8x y + 3 = 0 7. Determine o ponto P da curva de equação f(x) = 5x x 2, onde a inclinação da tangente é 45 o. 8. Determine o ponto P em que a reta tangente ao gráfico de f(x) = x é paralela ao eixo x. 9. Determime a equação da reta tangente à curva dada no ponto P especificado pelos valores de x. (a) f(x) = (3x 2 + 1) 2 ; x = 1 1 (b) f(x) = (2x 1) 6 ; x = 1

42 [Prof. Hiroshi Ouchi] Determine todos os valores de x para os quais a reta tangente à função dada é horizontal. (a) f(x) = (x 2 + x) 2 (b) f(x) = x 2 4x Determine a função derivada das seguintes funções: (a) f(x) = (b) f(x) = x (x 2 1) 4 1 (8x 7) 5 (c) f(x) = 3 8x (d) y = 5 x (e) y = x + 1 x 2 3 (f) y = x 8 + (2x + 4) 3 + x 12. Seja y = u e u = 1 x 2, determine dy dx. 13. Considere y = 1 u 1 e u = x2. Determine dy dx. 14. Considere c = s e s = 2t 3 4t + 5. Determine dc dt. 15. Use a regra da cadeia para calcular dy dx sabendo que y = 3u4 4u+5; u = x 3 2x 5. Determine dy para x = 2. dx 16. Seja y = u onde u = 2 + v 3 e v = x 2 3x + 2. Determine dy dx. 17. Seja y = u onde u = x 2 2x + 6. Determine dy dx para x = Considere y = 1 u onde u = 3 1 dy. Determine x2 dx para x = Determine dy dx (a) x 2 + y 2 = 25 (b) x 3 + y 3 = xy (c) y 2 + 2xy 2 3x + 1 = 0 (d) xy + 2y = x 2 (e) xy x = y + 2 através da derivação implícita. (f) x 6 2x = 3y 6 + y 5 y 2 (g) 3x 4 y 2 7xy 3 = 4 8y

43 38 [Matemática Aplicada] (h) x 3 + y 3 = Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y 4 +3y 4x 3 = 5x+1 no ponto P (1, 2). Respostas 1. (a) c (t) = 200t (b) c (5) = 1400; aumentando (c) exemplares 2. (a) f (x) = 3x x + 15 (b) f (1) = 24; 24 receptores de rádio por hora (c) 26 receptores de rádio 3. O preço de venda é de R$ 70,00. O lucro semanal máximo será de R$ 3.025, Duas horas após o início da produção o custo estará aumentando a uma taxa de R$3.596,00 por hora. 5. ( d dt D) t=25 = 6 6. y = 8x 5 7. P (2, 6) 8. P (0, 10) 9. (a) y = 48x 32 (b) y = 12x (a) x = 0, x = 1 e x = 1 2 (b) x = (a) f (x) = 7x2 1 (x 2 1) 5 (b) f (x) = 40 (8x 7) 6 (c) f (x) = 8x 2 3 (8x 3 +27) 2 (d) dy dx = (e) y = 5x x 2 +3 x 3 (x 2 3) x 2 3 (f) dy dx = 8x7 + 6(2x + 4) x 12. dy dx = x 1 x 2

44 [Prof. Hiroshi Ouchi] dy dx = 2x (x 2 1) dc 15. dt = 3t2 2 2t 3 4t+5 ( ) dy dx x= 1 2 = dy dx = 3(x2 3x+2) 2 (2x 3) 2 2+(x 2 3x+2) 3 ( ) dy dx ( dy dx ) x=3 = 2 3 x= 1 2 = (a) dy dx = x y 20. (b) dy dx = y 3x2 3y 2 x (c) dy dx = 3 2y2 2y(1+2x) (d) dy dx = 2x y x+2 = x(4+x) (x+2) 2 (e) dy dx = y 1 1 x = (f) dy dx = 6x y 5 +5y 4 2y 3 (x 1) 2 (g) dy dx = 7y3 12x 3 y 2 6x 4 y 21xy 2 +8 (h) dy dx = x2 y 2 dy = 17 (1, 2) dx Taxa de variação percentual [HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 85] Definição Seja Q(x) a grandeza da qual se quer calcular a taxa de variação percentual. taxa de variação de Q(x) t p = 100 valor de Q(x) t p = 100 Q (x) Q(x) Exemplos: 1. O produto interno bruto (PIB) de um certo país é dado por P (t) = t 2 + 5t bilhões de dólares, onde t é o número de anos após (a) Qual foi a taxa de variação do PIB em 1998? (b) Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 1998? (c) Qual foi a taxa relativa de crescimento do PIB em 1998?

45 40 [Matemática Aplicada] Solução (a) A taxa de variação do PIB é a derivada P (t) = 2t + 5. A taxa de variação em 1998 foi P (8) = 2(8) + 5 = = 21. t(8) = 21 bilhões de dólares por ano (b) A taxa de variação percentual do PIB em 1998 foi de t p (8) = 100 P (8) P (8) = = 10% t p = 10% ao ano (c) A taxa relativa de crescimento do PIB em 1998 foi t r = P (8) P (8) = = 1 10 = 0, 1 t r = 0, 1 2. Calcula-se que daqui a x meses a população de certa cidade será P (x) = 2x + 4x 3/ (a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo daqui a 9 meses? (b) Qual será a taxa de variação percentual da população com o tempo daqui a 9 Solução meses? (a) P (x) = x3/2 1 = 2 + 6x 1/2 = x P (x) = x t = P (9) = = 2 + 6(3) = = 20 A taxa de variação dapopulação daqui a 9 meses será de 20 habitantes por mês. (b) P (9) = 2(9) + 4(3 2 ) 3/ = (27) = 5126 t p = 100 P (9) P (9) = = 0, Logo, t p = 0, 39% A taxa de variação percentual da população daqui a 9 meses será de 0, 39%. Exercícios Propostos 1. Os registros mostram que depois de 1994, o imposto predial médio que incidia sobre um apartamento de três quartos em um certo município era T (x) = 20x x reais. (a) Qual era a taxa de aumento do imposto predial no início do ano 2000? (b) Qual era a taxa de aumento percentual do imposto predial no início do ano 2000?

46 [Prof. Hiroshi Ouchi] O lucro bruto anual de uma dada empresa t anos após 1 o de janeiro de 1981 é p milhões de reais e p(t) = 2 5 t2 + 2t (a) Determine a taxa segundo a qual o lucro estava crescendo em 1 o de janeiro de (b) Determine a taxa relativa de crescimento do lucro bruto em 1 o de janeiro de (c) Determine a taxa de variação percentual do crescimento do lucro bruto em 1 o de janeiro de Espera-se que a população de uma certa cidade, t anos após 1 o de janeiro de 1982 seja f(t) = 30t t (a) Ache a taxa segundo a qual se espera que a população esteja crescendo em 1 o de janeiro de (b) Ache a taxa relativa de crescimento da população em 1 o de janeiro de (c) Ache a taxa percentual de crescimento da população em 1 o de janeiro de Respostas 1. (a) T (6) = R$280,00 por ano (b) 17, 95% ao ano 2. (a) Em 1 o de janeiro de 1983 o lucro bruto deverá estar crescendo a uma taxa de 3,6 milhões de reais. (b) A taxa relativa de crescimento do lucro bruto foi de 0,231. (c) A taxa percentual de crescimento do lucro bruto foi de 23,1%. 3. (a) Espera-se que a população esteja crescendo a uma taxa de 580 habitantes por ano. (b) A taxa relativa de crescimento da população em 1 o de janeiro de 1990 seria de 0,075. (c) A taxa percentual de crescimento da população em 1 o de janeiro de 1990 seria de 7,5%. 1.9 A análise marginal [HOFFMANN; BRADLEY, 2002: ] [LEITHOLD, 1998: ]

47 42 [Matemática Aplicada] É uma parte da Economia qua analisa o que ocorre com grandezas como o custo, a receita e o lucro, quando o nível de produção varia de um valor unitário. Seja C(x) o custo total para produzir x unidades de um determinado produto. O custo real para produzir a unidade (x 1 + 1) após produzidas x 1 unidades é C r = C(x 1 + 1) C(x 1 ) e o custo marginal, é C (x 1 ) a ser estudado a seguir Custo marginal 1. Seja a função custo C e n um inteiro positivo. C (n) = lim h 0 C(n + h) C(n) h Se h é pequeno, então C (n) C(n + h) C(n) h Quando o número n de unidades fabricadas é grande, os economistas costumam fazer h = 1 na última fórmula para aproximar o custo marginal, obtendo C (x 1 ) C(x 1 + 1) C(x 1 ) Para o nível de produção x = x 1, o custo exato ou real para produzir uma unidade a mais a partir de x 1 unidades é aproximadamente igual ao custo marginal C (x 1 ) associado à produção de x 1 unidades, desde que o número de unidades x 1 seja grande. Figura 1.8: custo marginal 2. O custo real para produzir a unidade (x 1 + 1) é C r = C(x 1 + 1) C(x 1 ) C r = C(x 1 + 1) C(x 1 ) Conclusão: C (x 1 ) C r Receita marginal Seja R(x) a função receita proveniente da venda de x unidades de um produto.

48 [Prof. Hiroshi Ouchi] 43 Figura 1.9: custo real Denomina-se receita marginal da função receita R(x) a função RM(x) = R (x). A receita marginal quando x = x 1 é dada por R (x 1 ) e corresponde à receita aproximada da venda de uma unidade adicional a partir de x 1 unidades, desde que o número de unidades seja grande. Assim, R (x 1 ) R(x 1 + 1) R(x 1 ) Lucro marginal Seja P (x) a função lucro. Denomina-se lucro marginal quando x = x 1 (unidades) o lucro aproximado da produção e venda de uma unidade adicional, a partir de x 1 unidades. P M(x 1 ) = P (x 1 ) P (x 1 + 1) P (x 1 ) RESUMO: Custo, Receita e Lucro Marginal Se C(x) é o custo total para produzir x unidades de um produto e R(x) e P (x) = R(x) C(x) são a receita e o lucro correspondentes, então: a função de custo marginal é CM(x) = C (x); a função de receita marginal é RM(x) = R (x); a função de lucro marginal é P M(x) = P (x) Custo médio Seja C(x) o custo total da produção de x unidades de um certo produto. O custo médio da produção de cada unidade do produto é obtido dividindo-se o custo total pelo número de unidades produzidas. Seja C(x) ou Q(x) o custo médio. C(x) = C(x) ou Q(x) = C(x) x x

49 44 [Matemática Aplicada] 1. A receita total de um produto é R(x) = 240x+(0, 05)x 2 em reais, quando x unidades são produzidas e vendidas durante o mês. Atualmente o produtor produz 80 unidades por mês, e está planejando aumentar a produção em uma unidade. (a) Use a Análise Marginal para determinar a receita adicional aproximada que será gerada pela produção e venda da 81 a unidade. (b) Use a função receita para calcular a receita adicional real que será gerada pela produção e venda da 81 a unidade Solução R (x) = (0, 1)x R (80) = (0, 1)(80) R (80) = R (80) = 248 RM(80) = R$248,00 R(81) = 240(81) + (0, 05)(81) 2 R(81) = (0, 05)6561 R(81) = (328, 05) R(81) = 19768, 05 R(80) = 240(80) + (0, 05)(80) 2 R(80) = (0, 05)6400 R(80) = R(80) = R r = R e = R(81) R(80) R r = (19768, 05) R r =R$248,05 Conclusão, RM(80) R r 2. Seja C(x) o custo total de fabricação de x unidades de um produto e C(x) = x + (0, 02)x 2. Determine: (a) a função custo marginal; (b) o custo marginal quando 50 unidades são produzidas, isto é, o custo aproximado da quinquagésima primeira unidade; (c) o custo real da quinquagésima primeira unidade;

50 [Prof. Hiroshi Ouchi] 45 (d) o custo médio. Solução (a) CM(x) = C (x) = 4 + (0, 04)x (b) CM(50) = C (50) = 4 + (0, 04)50 = = 6 C (50) =R$6,00 é o custo aproximado da produção da quinquagésima primeira unidade após a produção da quinquagésima unidade. O custo marginal é a taxa de variação instantânea de C(x) em relação a uma unidade de variação em x. (c) C(51) = (51) + (0, 02)(51) 2 = 366, 02 C(50) = (50) + (0, 02)(50) 2 = 360 C r = C(51) C(50) C r = (366, 02) 360 = 6, 02 O custo real de produção da quinquagésima primeira unidade é de R$6,02. OBSERVAÇÃO: Os economistas frequentemente aproximam o custo de produção de uma unidade adicional usando a função custo marginal pois o cálculo de C (50) é muito mais simples do que o cálculo de C(51) C(50). (d) Q(x) = C(x) = (0, 02)x x x Q(50) = (0, 02)(50) = 7, OBSERVAÇÃO: Quando as 50 primeiras unidades tiverem sido produzidas, o custo médio de produção de uma unidade é de R$7, Um fabricante estima que quando x unidades de um certo produto são fabricadas, o custo total é C(x) = x2 + 3x + 98 reais e que todas as x unidades são vendidas 8 quando o preço é p(x) = 25 x reais por uinidade. 3 (a) Use a função de custo marginal para estimar o custo para produzir a nona unidade. Determine o custo exato para produzir a nona unidade. (b) Determine a função de receita do produto. Em seguida, use a função de receita marginal para estimar a receita obtida com a venda da nona unidade. Calcule a receita exata obtida com a venda da nona unidade. (c) Determine a função de lucro associada à produção de x unidades e calcule o nível de produção para o qual o lucro é máximo. Determine o lucro marginal associado ao nível ótimo de produção.

51 46 [Matemática Aplicada] Solução (a) CM(x) = C (x) = x CM(8) = C (8) = = 5 CM(8) = R$5,00 (custo aproximado da nona unidade) C r = C(9) C(8) = 5, 13 C r = R$5,13 (custo real de produção da nona unidade) CM(8) C r (b) R(x) = x p(x) ( R(x) = x 25 x ) 3 R(x) = 25x x2 3 RM(x) = R (x) = 25 2x 3 RM(8) = R (8) = unidade) = 19, 67 (receita aproximada com a vanda da nona RM(8) = R(9) R(8) = 19, 33 RM(8) =R$19,33 (receita exata obtida com a venda da nona unidade) (c) P (x) = R(x) C(x) P (x) = 25x 1 ( ) 1 3 x2 8 x2 + 3x + 98 P (x) = x2 + 22x 98 O gráfico da função lucro é uma parábola com a concavidade voltada para baixo e o máximo (vértice) é o ponto de abscissa, x v = b 2a = 22 2( P (x) = x + 22 Seja P (x) = 0 ) = = 24 0 = x + 22 = x = 22 = x = = O lucro é máximo quando são produzidas e vendidas 24 unidades e o preço neste caso é p(24) = = 25 8 = 17. Logo, o preço é R$17,00 a unidade. 3 Para o nível ótimo de produção x = 24, o lucro marginal é P (24) = 11 x = 0. 12

52 [Prof. Hiroshi Ouchi] 47 OBSERVAÇÃO: O lucro é máximo para o nível de produção no qual o lucro marginal é nulo. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES SOBRE ANÁLISE MARGINAL: 1. Quando o número de unidades x é um pouco grande, o custo marginal C (x) pode ser observado como uma boa aproximação do custo C(x + 1) C(x) da produção de uma unidade a mais. Exemplo: A empresa E acha que o custo da produção total de x unidades do produto p é dado por C(x) = R$ ( x). Se 5000 unidades são produzidas, ache o custo exato da produção de mais uma unidade e compare isto com custo marginal. Solução (a) O custo exato de fabricação de mais uma unidade é: C e = C(5001) C(5000) C e = ( ) = 30( ) C e = R$0,21212 (b) Custo marginal: C (x) = 30 2 x = 15 x C (5000) = C (5000) R$0,21213 OBSERVAÇÃO: O erro cometido no uso do custo marginal para estimar o verdadeiro custo de fabricação de mais uma unidade é menos que R$0, Se R(x) denota o rendimento obtido quando x unidades de uma mercadoria são demandadas, então o rendimento marginal R (x) denota a taxa de variação do rendimento por variação da demanda. Para grandes valores de x o rendimento marginal R (x) é uma boa aproximação do rendimento adicional R(x + 1) R(x) gerado por uma unidade adicional da demanda. Suponha-se que o rendimento total atinge um valor máximo quando x unidades são demandadas. Então o rendimento marginal R (x) precisa ser zero. Isto significa que quando o rendimento máximo é gerado por x unidades de demanda, praticamente não será gerado rendimento adicional por mais uma unidade de demanda.

53 48 [Matemática Aplicada] Exemplo: Uma fabricação em série varia R$24,00 por série. O custo total de produção de x séries por semana é dado pela equação C(x) = (3, 9)x + (0, 003)x 2 reais. (a) Determine o custo aproximado para se fabricar a série de ordem (b) Determine o custo exato de fabricação da série de ordem (c) Determine o lucro total do fabricante, por semana, em função de x. (d) Quantas séries deverão ser fabricadas e vendidas por semana para o fabricante obter lucro máximo? (e) Determine o lucro máximo. Solução (a) C (x) = (3, 9) + (0, 006)x C (1000) = R$9,90 (b) C e = C(1001) C(1000) C e = (7059, 903) (7050, 00) C e = R$9,903 (c) R(x) = p x R(x) = 24x P (x) = R(x) C(x) P (x) = (20, 1)x 150 (0, 003)x 2 (d) dp = (20, 1) (0, 006)x dx dp 20, 1 = 0 = x = dx 0, 006 x = 3350 séries onde P (x) denota o lucro Deverão ser fabricadas e vendidas séries para ser obtido lucro máximo. (e) Para x = 3350, P (x) = 33517, 50 O lucro máximo por semana será de R$33.517,50. A equação da demanda para um determinado produto é 5x + 3p = 15. Ache as funções receita total e marginal. Faça esboços das curvas de demanda, receita total e receita marginal no mesmo conjunto de eixos. Solução Seja x o número de unidades vendidas e p o preço. Assim, p = 5 3 x + 5

54 [Prof. Hiroshi Ouchi] 49 R(x) = p x R(x) = ( 53 ) x + 5 x R(x) = 5 3 x2 + 5x R (x) = 10 3 x + 5 R (x) = 0 = x = 3 2 Figura 1.10: curva de demanda OBSERVAÇÕES: (a) A equação de demanda é aquela que dá a relação entre p e x, onde x unidades de um produto são demandadas quando p é o preço por unidade. (b) A curva de receita marginal, R (x), corta o eixo x no ponto cuja abscissa é o valor de x para o qual a receita total é máxima. A curva de demanda corta o eixo x no ponto cuja abscissa é igual ao dobro da abscissa de ponto máximo. Exercícios Propostos 1. Suponha que R(x) seja a receita total recebida da venda de x mesas, e R(x) = 300x x2 2. (a) Determine a receita marginal quando x = 40. (b) Determine a receita efetiva da quadragésima primeira mesa. 2. Seja C(x) = x + 9 2x. Determine: (a) O custo médio quando x = 50. (b) O custo marginal quando x = 50.

55 50 [Matemática Aplicada] 3. A função receita total para um dado produto é dada por R(x) = 6x 3 2 x2. Determine: (a) A equação da demanda. (b) A função receita marginal. 4. Se a equação da demanda para um dado produto é 5x + 4p = 20, ache: (a) A função receita total. (b) A função receita marginal. Respostas 1. (a) R$260,00 por mesa. (b) R$259,50 por mesa. 2. (a) R$5,60 (b) R$3,90 3. (a) 3x + 2p = 12 (b) R (x) = 6 3x 4. (a) R(x) = 5 4 x2 + 5x (b) R (x) = 5 2 x Estudo da variação das funções Funções: crescente, decrescente e constante Função crescente Uma função f é denominada crescente em um intervalo A, se f(x 2 ) > f(x 1 ) sempre que x 2 > x 1, onde x 1 e x 2 pertencem ao intervalo A.

56 [Prof. Hiroshi Ouchi] 51 Figura 1.11: função crescente Se f é crescente em um intervalo A, então o gráfico de f é ascendente quando o ponto que o descreve se move da esquerda para a direita. OBSERVAÇÃO: A derivada em cada ponto do gráfico de y = f(x) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x). Se f (x) = tg α > 0 (0 < α < π 2 ), no intervalo A, então a função f é crescente no intervalo A Função descrescente Uma função f é denominada decrescente em um intervalo A, se f(x 1 ) > f(x 2 ), sempre que x 1 < x 2, onde x 1 e x 2 pertencem ao intervalo A. Figura 1.12: função decrescente Se a função f é decrescente em um intervalo A, então o gráfico de f é descendente quando o ponto que o descreve se move da esquerda para a direita. Se f (x) = tg α < 0 ( π 2 < α < π) em todo o intervalo A, então f é decrescente em A.

57 52 [Matemática Aplicada] Função constante Uma função f é constante em um intervalo A, se x 1 x 2 tivermos f(x 1 ) = f(x 2 ), x 1, x 2 A. Figura 1.13: função constante Se uma função é constante em um intervalo A, então f(x) admite derivada nula em todos os pontos do intervalo A. x A, f (x) = 0 = f(x) é constante em A Casos especiais 1. Se a função f(x) é crescente no intervalo A, a tangente à curva de f(x), em cada ponto da mesma, forma com eixo x um ângulo agudo e, em alguns pontos, pode ser paralela ao eixo. Assim, f (x) 0. Figura 1.14: tangente em âgulo agudo 2. Se a função f(x) é decrescente no intervalo A, a tangente à curva de f(x), em cada ponto da mesma, forma com eixo x um ângulo obtuso e, em alguns pontos, pode ser paralela ao eixo. Assim, f (x) 0.

58 [Prof. Hiroshi Ouchi] 53 Figura 1.15: tangente em âgulo obtuso Portanto: 1. x A, f (x) 0 = f(x) é crescente em A. 2. x A, f (x) 0 = f(x) é decrescente em A Critério da derivada para funções crescentes e decrescentes 1. f(x) é crescente nos intervalos em que f (x) > 0 2. f(x) é decrescente nos intervalos em que f (x) < 0 Exemplo: Considere a função f(x) = x 3 + 6x 2 9x + 5. (a) determine o(s) intervalo(s) onde a função é crescente e onde é decrescente. (b) trace o esboço do gráfico de f. Solução Temos: f (x) = 3x x 9 Seja f (x) = 0 = 3x x 9 = 0 = x 2 + 4x 3 = 0 Raízes de f (x): 1 e 3 Temos: f (1) = f (3) = 0 f(x) pode mudar de sinal apenas em x = 1 e x = 3. O sinal da derivada deve permanecer constante nos intervalos x < 1, 1 < x < 3 e x > 3. Em cada um desses intervalos, devemos escolher um número de teste c e devemos determinar o sinal de f (x) em todo o intervalo achando o sinal de f (c).

59 54 [Matemática Aplicada] Sejam 0, 2 e 4 os números de teste escolhidos. f (0) = 3(0) (0) 9 = 9 < 0 f (2) = 3(2) (2) 9 = 3 > 0 f (4) = 3(4) (4) 9 = 9 < 0 Figura 1.16: exemplo do critério da derivada Intervalo Número de teste (c) Sinal de f (c) Conclusão x < 1 0 f (0) < 0 f(x) é decrescente 1 < x < 3 2 f (2) > 0 f(x) é crescente x > 3 4 f (4) < 0 f(x) é decrescente A função f é decrescente em x < 1 ou x > 3. A função f é crescente em 1 < x < 3. Figura 1.17: gráfico do critério da derivada Exercícios Propostos 1. Seja a função f(x) = x 3 + x 2 5x 5. Determine os intervalos em que f é crescente e os intervalos em que f é decrescente. 2. Determine os intervalos em que a função f(x) = x 2 4x + 5 está aumentando ou diminuindo. 3. Determine o intervalo em que a função f(x) = x 2 +x+6 é crescente ou é decrescente.

60 [Prof. Hiroshi Ouchi] Especifique os intervalos nos quais a derivada da função dada é positiva e os intervalos nos quais é negativa. (a) (b) 5. Determine os intervalos em que a função f(x) = x x2 + 12x + 3 é crescente ou é decrescente. Respostas 1. f é crescente em x < 5 3 ou x > 1. f é decrescente em 5 3 < x < f está aumentando em x > 2. f está diminuindo em x < f é crescente em x < 1 2. f é decrescente em x > (a) f (x) > 0 para 2 < x < 2. f (x) < 0 para x < 2 ou x > 2 (b) f (x) > 0 para x < 4 ou 0 < x < 2. f (x) < 0 para 4 < x < 2, para 2 < x < 0 ou para x > f é crescente em x < 3 ou x > 4. f é decrescente em 3 < x < Extremos relativos ou locais de uma função Seja a função y = f(x) cujo gráfico está representado abaixo.

61 56 [Matemática Aplicada] Figura 1.18: extremos relativos ou locais Dizemos que uma função f(x) possui um máximo relativo em x = c, se f(c) f(x) para todos os valores de x em um intervalo a < x < b, que contenha o ponto c. No exemplo dado os máximos relativos são f(x 2 ) e f(x 4 ). Dizemos que uma função f(x) possui um mínimo relativo em x = c, se f(c) f(x) para todos os valores de x em um intervalo a < x < b, que contenha o ponto c. No exemplo dado os mínimos relativos são f(x 1 ), f(x 3 ) e f(x 6 ). OBSERVAÇÕES: 1. Uma função pode admitir mais de um máximo local ou mais de um mínimo local. 2. É possível um mínimo local ser maior do que um máximo local, dependendo da vizinhança a ser considerada no domínio da função. 3. Usa-se o termo local ou relativo porque focalizamos nossa atenção em uma vizinhança de x = c. Fora dessa vizinhança a função f pode tomar outros valores máximos ou mínimos locais. 4. Existem funções que não admitem nem máximo nem mínimo relativos. Exemplo: f(x) = x 3 5. Os máximos e mínimos relativos de f são conhecidos por extremos relativos e os valores x = c são chamados extremantes de f. 6. Como uma função f(x) é crescente quando f (x) > 0 e decrescente quando f (x) < 0, então os pontos nos quais f(x) possui um extremo relativo são aqueles em que f (x) = 0 ou f (x) não existe.

62 [Prof. Hiroshi Ouchi] 57 Figura 1.19: f(x) = x 3 Definição [HOFFMANN; BRADLEY, 2002: ] Números críticos e Pontos críticos Um número x = c pertencente ao domínio da função f é chamado de número crítico se f (c) = 0 ou se f (c) não existe. O ponto correspondente P (c, f(c)) no gráfico de f(x) é chamado de ponto crítico. Exemplos de pontos críticos nos quais a derivada é nula, isto é, f (c) = 0 Figura 1.20: pontos críticos (f (x)=0) OBSERVAÇÃO: Nos três casos, a reta tangente ao gráfico da função no ponto crítico P (c, f(c)) é horizontal (f (c) = 0). Exemplos de pontos críticos nos quais a derivada não existe ( f (c)).

63 58 [Matemática Aplicada] Figura 1.21: pontos críticos ( f (c)) Nos casos (b) e (c), a reta tangente é vertical no ponto (c, f(c)) pois f (c) não existe. No caso (a) não é possível traçar uma única tangente passando pelo vertice situado em P (c, f(c)) Teste da derivada primeira para determinação de extremos relativos [HOFFMANN; BRADLEY, 2002: ] Seja x = c um número crítico de f(x), isto é, f (c) = 0 ou f (c) não existe. Neste caso, o ponto crítico P (c, f(c)) é: 1. um ponto de máximo relativo se f (x) > 0 à esquerda de c e f (x) < 0 à direita de c. Figura 1.22: Máximo relativo 2. um ponto de mínimo relativo se f (x) < 0 à esquerda de c e f (x) > 0 à direita de c. Figura 1.23: Mínimo relativo

64 [Prof. Hiroshi Ouchi] um ponto ordinário se f (x) > 0 ou f (x) < 0 em ambos os lados de c. Figura 1.24: Ponto ordinário (f (x) > 0) Figura 1.25: Ponto ordinário (f (x) < 0) de f: Roteiro prático para traçar um gráfico da função y = f(x), usando a derivada primeira 1. Assinalam-se os números críticos de f sobre uma reta (eixo x), dividindo o domínio de f em intervalos. Calcula-se f (x) para os números de teste p, como o objetivo de determinar os intervalos em que f é crescente (f (p) > 0) e em que f é decrescente (f (p) < 0). 2. Para cada número crítico c, calcula-se o valor f(c) e determina-se o ponto crítico P (c, f(c)) em um sistema de coordenadas cartesianas. 3. Traça-se o gráfico de f com uma curva suave ligando os pontos destacados, de modo que a curva seja crescente nos intervalos em que f (x) > 0 e decrescente nos intervalos em que f (x) < 0. Estude a função e trace o esboço do respectivo gráfico. f(x) = x 3 3x + 1 Temos f (x) = 3x 2 3 f (x) = 0 = 3x 2 3 = 0 Números críticos: ±1

65 60 [Matemática Aplicada] Sejam -2, 0 e 2 os números de teste. f ( 2) = 3( 2) 2 3 = 9 > 0 f (0) = 3(0) 2 3 = 3 < 0 f (2) = 3(2) 2 3 = 9 > 0 Figura 1.26: Estudo da função f é crescente em x < 1 ou x > 1 f é decrescente em 1 < x < 1 f( 1) = ( 1) 3 3( 1) + 1 = = 3 (máximo local) A( 1, 3): ponto de máximo local f(1) = (1) 3 3(1) + 1 = 2 3 = 1 (mínimo local) B(1, 1): ponto de mínimo local f(0) = (0) 3 3(0) + 1 = 1 = 1 C(0, 1): ponto de interseção com o eixo y Figura 1.27: Esboço do gráfico Conclusão sobre o teste da derivada primeira O sinal da derivada primeira f (x) pode ser usado para verificar se a função f é crescente ou decrescente em um intervalo e se o ponto P (c, f(c)) é um ponto de máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário.

66 [Prof. Hiroshi Ouchi] 61 Exercícios Propostos 1. Determine os pontos críticos da função dada e classifique cada ponto crítico como máximo relativo, mínimo relativo ou ponto ordinário. (a) f(x) = 3x 4 8x 3 + 6x (b) g(x) = x 3 + x 2 5x 5 2. Determine o ponto A de máximo relativo e o ponto B de mínimo relativo da função f(x) = x 3 3x A seguir trace um esboço do gráfico da função f. 3. Seja a função f(x) = x 3 6x 2 +9x. Utilizando o teste da derivada primeira, determine o ponto A de máximo local, o ponto B de mínimo local e trace o esboço do gráfico de f(x). 4. Determine o valor de m e p de modo que a função f(x) = x 3 + mx 2 + px + 3 tenha extremos relativos em x = 1 e x = 3. Respostas 1. (a) A(0, 2) ponto de mínimo relativo ou local B(1, 3) ponto ordinário (b) A( 5 3, ) ponto de máximo relativo B(1, 8) ponto de mínimo relativo 2. A(0, 5) ponto de máximo relativo B(2, 1) ponto de mínimo relativo 3. A(1, 4) ponto de máximo local B(3, 0) ponto de mínimo local 4. m = 6 e p = 9

67 62 [Matemática Aplicada] Concavidade O conceito de concavidade tem muita utilidade na descrição do gráfico de uma função f. Seja f um função diferenciável em x = c. 1. O gráfico de uma função f tem concavidade voltada para cima em um ponto P (c, f(c)), se f (c) e se existe um intervalo aberto I, contendo c, tal que, x, x c em I, o ponto M(x, f(x)) sobre o gráfico está acima da reta tangente. Figura 1.28: Concavidade voltada para cima 2. O gráfico de uma função f tem concavidade voltada para baixo em um ponto P (c, f(c)), se f (c) e se existe um intervalo aberto I, contendo c, tal que x, x c em I, o ponto M(x, f(x)) sobre o gráfico está abaixo da reta tangente. Figura 1.29: Concavidade voltada para baixo Definição Se a função f(x) é derivável no intervalo aberto I, então o gráfico de f é: 1. côncavo para cima em I, se f (x) é crescente em I; 2. côncavo para baixo em I, se f (x) é decrescente em I.

68 [Prof. Hiroshi Ouchi] Teste da concavidade Se a derivada segunda f (x) existe em um intervalo aberto I, então o gráfico de f é: 1. côncavo para cima em I, se f (x) > 0 em I; 2. côncavo para baixo em I, se f (x) < 0 em I Ponto de inflexão Um ponto P (c, f(c)) é um ponto de inflexão se a derivada segunda muda de sinal em x = c e neste caso, existe um intervalo aberto ]a, b[, contendo c, tal que o gráfico de f é côncavo para baixo em ]a, c[ e côncavo para cima em ]c, b[,ou vice-versa. Figura 1.30: Ponto de inflexão OBSERVAÇÃO: Se f (c) = 0 ou f (c) e f (x) muda de sinal em x = c, então f tem um ponto de inflexão em P (c, f(c)) O teste da derivada segunda O teste da derivada segunda pode ser utilizado para classificar os pontos críticos de uma função, como máximos ou mínimos relativos. Seja f uma função diferenciável em um intervalo aberto I e seja c um ponto em I, tal que f (c) = Se f (c) < 0, então f tem um máximo relativo em x = c. 2. Se f (c) > 0, então f tem um mínimo relativo em x = c. Se f (c) = 0, então a tangente ao gráfico em P (c, f(c)) é horizontal. Se f (c) < 0, então o gráfico é côncavo para baixo em c e neste caso existe um intervalo tal que o gráfico está abaixo das tangentes. Assim, f(c) é um máximo local para f.

69 64 [Matemática Aplicada] Figura 1.31: Teste da derivada segunda Se f (c) > 0, então o gráfico de f é côncavo para cima em c, e neste caso, existe um intervalo tal que o gráfico está acima das tangentes. Assim f(c) é um mínimo relativo. Figura 1.32: Teste da derivada segunda OBSERVAÇÕES sobre o teste da derivada segunda: O teste da derivada segunda apresenta algumas limitações: 1. Não se deve aplicar o teste quando o cálculo da derivada segunda é muito trabalhoso. 2. O teste não pode ser aplicado nos pontos críticos em que a derivada primeira não existe 3. O teste não pode ser aplicado quando f (c) = f (c) = 0, como nos exemplos a seguir: (a) f(x) = x 4 f (x) = 4x 3 f (x) = 12x 2 f (0) = f (0) = 0

70 [Prof. Hiroshi Ouchi] 65 Figura 1.33: (0, 0) ponto de mínimo relativo (b) f(x) = x 4 f (x) = 4x 3 f (x) = 12x 2 f (0) = f (0) = 0 Figura 1.34: (0, 0) ponto de máximo local (c) f(x) = x 3 f (x) = 3x 2 f (x) = 6x f (0) = f (0) = 0

71 66 [Matemática Aplicada] Figura 1.35: (0,0) ponto ordinário Exercício Seja a função f(x) = x 3 3x + 1. (a) Determine o ponto A de máximo local e o ponto B de mínimo local utilizando, o teste da derivada segunda. (b) Estude a concavidade da função. (c) Determine o ponto de inflexão. (d) Trace um esboço dos gráficos de f(x), f (x) e f (x). Solução f (x) = 3x 2 3 f (x) = 6x f (x) = 0 = 3x 2 3 = 0 Números críticos: 1 e 1 TDS: f ( 1) = 6( 1) = 6 < 0 x = 1 é ponto de máximo local. f( 1) = ( 1) 3 3( 1) + 1 = = 3 (máximo local) A( 1, 3) ponto de máximo local f (1) = 6(1) = 6 > 0 x = 1 é ponto de mínimo local. f(1) = (1) 3 3(1) + 1 = 1 (mínimo local) B(1, 1) ponto de mínimo local

72 [Prof. Hiroshi Ouchi] 67 f (x) = 6x f (x) = 0 = 6x = 0 = x = 0 Figura 1.36: Estudo da concavidade Esquema x 0 f (x) 0 + concavidade A função f tem a concavidade voltado para baixo para x < 0 e a concavidade voltada para cima para x > 0. x = 0 é abscissa do ponto de inflexão. f(0) = 0 3 3(0) + 1 = 1 C(0, 1) ponto de inflexão. Figura 1.37: Esboço dos gráficos OBSERVAÇÕES: f é crescente para x > 0 1. o gráfico de f é côncavo para cima f (x) > 0 para x > 0

73 68 [Matemática Aplicada] 2. f é decrescente para x < 0 o gráfico de f é côncavo para baixo f (x) < 0 para x < 0 Estude a função f(x) = 3 x. Solução Temos: f (x) = x 2 ; f (0) e f (x) > 0, x 0 A função f é estritamente crescente (monótona). O ponto crítico (0, 0) é um ponto ordinário. f (x) = x 5 ; f (0) Figura 1.38: Estudo da concavidade Para x < 0, o gráfico de f tem a concavidade para cima. Para x > 0, o gráfico de f tem a concavidade para baixo. x = 0 é abscissa de ponto de inflexão apesar de não existir f (0). (0, 0) é ponto de inflexão. Figura 1.39: Esboço do gráfico

74 [Prof. Hiroshi Ouchi] 69 IMPORTANTE: O gráfico de uma função f pode ter um ponto de inflexão em x = c e f (c) não existir. Exercícios Propostos 1. Determine através do TDS (teste da derivada segunda) o ponto de máximo relativo e o ponto de mínimo relativo das seguintes funções: (a) f(x) = x 3 + 2x 2 x 1 (b) f(x) = x 3 9x x Faça um estudo completo da função f(x) = x3 3 2x2 + 3x Faça um estudo completo da função f(x) = x + 1 x. Respostas 1. (a) A( 1 3, ) ponto de mínimo relativo B(1, 1) ponto de máximo relativo (b) A(1, 14) ponto de máximo relativo B(5, 18) ponto de mínimo relativo 2. f é crescente para x < 1 ou x > 3 f é decrescente para 1 < x < 3 A(1, 19 3 ) ponto de máximo local B(3, 5) ponto de mínimo local C(2, 17 3 ) ponto de inflexão O gráfico é côncavo para baixo em x < 2 O gráfico é côncavo para cima em x > 2

75 70 [Matemática Aplicada] 3. f é crescente em x < 1 ou x > 1 f é decrescente para 1 < x < 0 ou 0 < x < 1 A( 1, 2) ponto de máximo local B(1, 2) ponto de mínimo local Caso interessante: o máximo local f( 1) = 2 é menor que o mínimo local f(1) = 2. O gráfico de f é côncavo para baixo em x < 0 e côncavo para cima em x > Estudo das assíntotas [HOFFMANN; BRADLEY, 2002: 167] Seja o gráfico de f(x), Figura 1.40: estudo das assíntotas O símbolo (infinito) não representa um número e é usado para representar uma grandeza que aumenta (ou diminui) indefinidamente. Em inúmeros casos o uso do símbolo em um limite tem uma importância muito relevante. Seja a função y = f(x) e os números reais L e M.

76 [Prof. Hiroshi Ouchi] lim x + f(x) = L 2. lim x f(x) = M Interpretação geométrica 1. A curva de f(x) se aproxima da reta horizontal y = L quando x aumenta indefinidamente. 2. A curva de f(x) se aproxima da reta horizontal y = M quando x diminui indefinidamente. Seja a função y = f(x) e o número real c. 1. lim f(x) = x c 2. lim f(x) = + x c + Interpretação geométrica 1. f(x) diminui indefinidamente quando x tende a c pela esquerda. 2. f(x) aumenta indefinidamente quando x tende a c pela direita Assíntota horizontal A reta y = b é uma assíntota horizontal da função f(x), se: lim f(x) = b ou lim x = b x + A reta y = b é uma reta horizontal, isto é, uma reta paralela ao eixo x Assíntota vertical A reta x = c é uma assíntota vertical da função f(x), se: lim f(x) = + (ou ) ou lim x c A função f é descontínua em x = c. A reta x = c é vertical, isto é, perpendicular ao eixo x. = + (ou ) x c + NOTA: A função f(x) = p(x) q(x) e q(x) = 0 possui uma assíntota vertical x = c sempre que p(x) 0

77 72 [Matemática Aplicada] Exemplos: 1. Seja o gráfico de f(x) lim f(x) = 1 x ± y = 1 é assíntota horizontal lim f(x) = x 2 lim f(x) = + x 2 + x = 2 é assíntota vertical 2. Seja o gráfico de f(x) lim f(x) = 1 x ± y = 1 é assíntota horizontal lim f(x) = + x 0 lim f(x) = x 0 + x = 0 (eixo y) é assíntota vertical

78 [Prof. Hiroshi Ouchi] Seja o gráfico de f(x) lim f(x) = 1 x + lim f(x) = 1 x y = 1 e y = 1 são assíntotas horizontais 4. Seja o gráfico de f(x) lim f(x) = + x 0 lim f(x) = x 0 + A reta x = 0 (eixo y) é uma assíntota vertical 5. Seja o gráfico de f(x)

79 74 [Matemática Aplicada] lim f(x) = 1 x lim f(x) = 1 x + y = 1 é assíntota horizontal lim f(x) = + x 2 lim f(x) = x 2 + x = 2 é assíntota vertical lim f(x) = x 2 lim f(x) = + x 2 + x = 2 é assíntota vertical NOTA: O gráfico de f é descontínuo em x = 2 e em x = 2. Faça um estudo da função f(x) = 1 x. Solução Temos: f (x) = 1 x 2 ; não existe f (0) Como f (x) < 0, x 0, concluimos que f é sempre decrescente. Temos: f (x) = 2 x 3 ; não existe f (0) x 0 f (x) + concavidade O gráfico de f é côncavo para baixo em x < 0 e côncavo para cima em x > 0. NOTA: x = 0 não é abscissa de ponto de inflexão, pois x = 0 não pertence ao domínio da função, a função é descontínua em x = 0. lim f(x) = 0 x ± y = 0 (eixo x) é assíntota horizontal lim f(x) = + e lim f(x) = x 0 + x 0 x = 0 (eixo y) é assíntota vertical

80 [Prof. Hiroshi Ouchi] 75 Determine as assíntotas de f(x) = Solução 3x lim x ± x 1 = lim 3 x ± 1 1 x y = 3 é assíntota horizontal 3x e a seguir trace um esboço do gráfico de f(x) x 1 = 3 ou lim x ± 3x x 1 = lim 3x x ± x = lim 3 = 3 x ± Temos que f é descontínua em x = 1 3x lim f(x) = lim x 1 x 1 x 1 = 3x lim f(x) = lim x 1 + x 1 + x 1 = + x = 1 é assíntota vertical f 3 (x) = (x 1) 2 ; f (1) ; f (x) < 0 e não existe x tal que f (x) = 0 x = 1 é número crítico e a função f é sempre decrescente f 6 (x) = (x 1) 3 ; f (1) f (x) < 0 para x < 1 (concavidade para baixo): f (x) > 0 para x > 1 (concavidade para cima): x 1 f (x) f(x) f (x) + concavidade NOTA: Não há extremo (f (x) < 0) e não existe ponto de inflexão pois 1 não pertence ao domínio de f.

81 76 [Matemática Aplicada] Exercícios Propostos 1. Determine as assíntotas e trace um esboço do gráfico de f(x) = x se x > 0 2. Seja a função f(x) = x x se x < 0 Determine as assíntotas e a seguir, trace um esboço do gráfico de f. 3. Seja a função f(x) = (x 2) 3. Determine as assíntotas e trace um esboço do gráfico de f. Respostas 1. y = 2 é assíntota horizontal x = 0 (eixo y) é assíntota vertical 2. y = 1 e y = 1 são assíntotas horizontais x = 0 (eixo y) é assintota vertical

82 [Prof. Hiroshi Ouchi] y = 0 (eixo x) é assíntota horizontal x = 2 é assíntota vertical Máximos e mínimos absolutos de uma função Seja f uma função contínua em um intervalo I, que contém o número real c. 1. f(c) é o máximo absoluto de f em I, se f(c) f(x), para todo x I; 2. f(c) é o mínimo absoluto de f em I, se f(c) f(x), para todo x I; OBSERVAÇÕES: 1. Os máximos e mínimos absolutos recebem a denominação de extremos absolutos, que nem sempre coincidem com os extremos relativos. 2. Cada um dos extremos absolutos de uma função f(x) contínua no intervalo fechado [a, b] pode ocorrer em um dos extremos a ou b ou em um ponto c tal que a < c < b Teorema do valor extremo Se uma função f(x) é contínua em um intervalo fechado [a, b], isto é, a x b, então f toma seu valor máximo absoluto e seu valor mínimo absoluto, pelo menos uma vez nesse intervalo [a, b].

83 78 [Matemática Aplicada] Diretrizes para determinar os extremos absolutos de uma função contínua f(x) no intervalo [a, b] (a) Determinar todos os números criticos de f (b) Calcular f(c) para cada número crítico c obtido em (a) (c) Calcular os valores extremos f(a) e f(b) (d) Os valores máximo e mínimo absoluto de f(x) em [a, b] são o maior e o menor dos valores da função obtidos em (b) e (c) [ 3, 5]. Exemplo: Determine o máximo absoluto e o mínimo absoluto de f(x) = x 3 12x no intervalo Solução f (x) = 3x 2 12 f (x) = 0 = 3x 2 12 = 0 Raízes: x = 2 e x = 2 (a) Os números críticos são 2 e 2 f( 2) = 16 (b) mínimo absoluto f(2) = 16 (c) f( 3) = 9 f(5) = 65 máximo absoluto O valor máximo absoluto de f(x) em [ 3, 5] é 65 e ocorre em x = 5 (extremo do intervalo). O valor mínimo absoluto de f(x) em [ 3, 5] é 16 e ocorre em x = 2 (interior do intervalo). Esquema Valor de x Classificação de x Valor de f(x) 2 número crítico de f f( 2) = 16 2 número crítico de f f(2) = 16 3 extremo de [ 3, 5] f( 3) = 9 5 extremo de [ 3, 5] f(5) = 65 Esboço do gráfico de f(x) = x 2 12x, com escalas diferentes para os eixos x e y, afim de mostrar melhor visualização.

84 [Prof. Hiroshi Ouchi] 79 Figura 1.41: esboço do gráfico Exercícios Propostos 1. Determine os extremos absolutos de f(x) = x 3 + x 2 x + 1 no intervalo [ 2, 1 2 ]. 2. Determine o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função f(x) = 2x 3 + 3x 2 12x 7 no intervalo [ 3, 0]. 3. Determine o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função f(x) = 1 3 x3 9x + 2 para 0 x 2. Respostas 1. O máximo absoluto é 2 e ocorre em x = 1 O mínimo absoluto é 1 e ocorre em x = 2 2. O máximo absoluto é f( 2) = 13 e o mínimo absoluto é f(0) = 7. Cuidado: 1 [ 3, 0] 3. O máximo absoluto é f(0) = 2 e o mínimo absoluto é f(2) = Otimização [HOFFMANN; BRADLEY, 2002: ] [LEITHOLD, 1998: ] [MORETTIN; et al, 2001: ] [SWOKOWSKI, 1983: ] Na maioria dos problemas de otimização, o objetivo é encontrar o máximo absoluto ou o mínimo absoluto de uma função dentro de um certo intervalo de interesse.

85 80 [Matemática Aplicada] Exemplo 1: Deve-se contruir uma caixa com base retangular utilizando-se um retângulo de cartolina com 16 cm de largura e 21 cm de comprimento, cortando-se um quadrado em cada quina. Determine as dimensões desse quadrado para que a caixa tenha volume máximo possível. A seguir determine o volume máximo dessa caixa. Figura 1.42: otimização - exemplo 1 Solução A quantidade a ser maximizada é o volume V da caixa. V (x) = x(16 2x)(21 2x) V (x) = 4x 3 74x x Como 0 2x 16, o domínio de x é 0 x 8 V é contínua no intervalo [0, 8] V (x) = 12x 2 148x V (x) = 0 = 12x 2 148x = 0 Temos, 3x 2 37x + 84 = 0 ; raízes: 3 e 28 3 Como x = 28 não pertence ao domínio de V (x), o único número crítico no domínio é 3 3. Aplicando o teorema do valor extremo, temos: V (3) = 450 V (0) = V (8) = 0 valor máximo absoluto Deve-se cortar um quadrado de 3 cm de lado e o volume máximo da caixa é 450 cm 3. Exemplo 2: Uma caixa fechada com uma base quadrada deve apresentar um volume de 2000 cm 3. O material para a tampa e o fundo da caixa custa $3 por cm 2, e o material para os lados custa $1,50 por cm 2. (a) Se x cm for o comprimento de um lado do quadrado da base, expresse o custo do

86 [Prof. Hiroshi Ouchi] 81 material como função de x. (b) Determine o domínio da função resultante. (c) Ache as dimensões da caixa para as quais o custo do material seja mínimo. Figura 1.43: otimização - exemplo 2 Solução V = x 2 y Assim, x 2 y = 2000 y = 2000 x 2 C = 3(x 2 ) + 3(x 2 ) + (1, 5)(4xy) C = 6x xy C(x) = 6x 2 + 6x 2000 x 2 C(x) = 6x x Observe que x não pode ser nulo, pois aparece no denominador de x. Entretanto x pode ser qualquer número positivo. Então, o domínio de C(x) é o intervalo ]0, [. C (x) = 12x x 2 C (x) = 0 = 12x x 2 = 0 x 3 = 1000 x = 10 C (x) = x 3 Aplicando o teste da derivada segunda, vem: C (10) = ; não existe C (x) quando x = 0 e 0 D(C(x))

87 82 [Matemática Aplicada] C (10) = 36 > 0 (mínimo) Como C (10) > 0, podemos concluir que x = 10 minimiza C(x). Temos, y = = 20 Assim, o custo total do material será mínimo quando o lado do quadrado da base é 10 cm e a profundidade é 20 cm. Exemplo 3: Durante várias semanas, o departamento de trânsito de certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos qua passam em certo quarteirão. Os resultados mostram que entre 13 h e 18 h de um dia da semana, a velocidade nesse quarteirão é dada aproximadamente por v(t) = t 3 (10, 5)t t + 20 quilômetros por hora, onde t é o número de horas após o meio-dia (12 h). (a) Determine o instante entre 13 h e 18 h em que o trânsito é mais rápido. (b) Determine o instante entre 13 h e 18 h em que o trânsito é mais lento. Solução O objetivo é calcular o máximo absoluto e o mínimo absoluto da função v(t) no intervalo 1 t 6, isto é, [1, 6] v (t) = 3t 2 21t + 30 v (t) = 0 = 3t 2 21t + 30 = 0 t 2 7t + 10 = 0 ; raízes: t = 2 e t = 5 Números críticos: 2 e 5 Aplicando o teorema do valor extremo, temos: v(2) = 46 máximo absoluto v(5) = 32, 5 mínimo absoluto v(1) = 40, 5 v(6) = 38 (a) O trânsito é mais rápido às 14 h (t = 2h) e os carros passam no quarteirão com velocidade média de 46 Km/h. (b) O trânsito é mais lento às 17 h (t = 5h) e os carros passam no quarteirão com velocidade média de 32,5 Km/h. Outro processo v (t) = 3t 2 21t + 30 v (t) = 6t 21

88 [Prof. Hiroshi Ouchi] 83 números críticos: 2 e 5 v (2) = 9 < 0 v (5) = 9 > 0 máximo mínimo Figura 1.44: otimização - exemplo 3 Exemplo 4: Uma lata de zinco de 16π cm 3 de volume deve ter a forma de um cilíndro circular reto. Determine o raio e a altura de modo que o material usado na sua fabricação seja mínimo. Figura 1.45: otimização - exemplo 4 Solução Seja, r cm o raio da base h cm a altura

89 84 [Matemática Aplicada] S cm 2 a área total da superfície do cilindro A área lateral é 2πrh cm 2, a área da tampa e da base são πr 2 cm 2 V = πr 2 h 16π = πr 2 h h = 16 r 2 S = 2πrh + 2πr 2 S(r) = 2πr 16 r 2 + 2πr2 S(r) = 32π + 2πr 2 r O domínio de S é ]0, + [ e S é contínua em seu domínio. S (r) = 32π + 4πr r 2 S (r) não existe para r = 0, mas zero não está no domínio de S. S (r) = 0 32π + 4πr 3 r 2 = 0 4πr 3 = 32π r 3 = 8 r = 2 S (r) = 64π + 4π r 3 Aplicando o teste da derivada segunda, vem: S (2) = 12π > 0 (mínimo) Quando r = 2, h = = 4 r = 2 minimiza S(r). O mínimo de material usado irá ocorrer quando r = 2 cm e h = 4 cm. Exemplo 5: Uma empresa de turismo aluga ônibus com capacidade para 50 passageiros, para transportar grupos de 35 ou mais pessoas. Se o grupo contiver exatamente 35 pessoas, cada uma paga R$60,00. Para grupos com mais turistas, a passagem de todos é reduzida R$1,00 para cada pessoa além de 35. Determine o número de pessoas para o qual a receita da empresa será máxima. Solução Seja R a receita da empresa. R = (número de pessoas no grupo) (preço por pessoa) x: número de pessoas que excede 35

90 [Prof. Hiroshi Ouchi] x: número de pessoas no grupo 60 x: preço por pessoa R(x) = (35 + x) (60 x) R(x) = x x Como x representa o número de pessoas que excede 35 e como o total de passageiros é 50, então x deve estar no intervalo [0, 15], isto é, 0 x 15. Aplica-se o teorema do valor extremo no intervalo [0, 15] R (x) = 2x + 25 R (x) = 0 = 0 = 2x + 25 O número crítico é 25 2 = 12, 5 R(12, 5) = 2256, 25 (máximo absoluto) R(0) = 2100 R(15) = 2250 O máximo absoluto ocorre em x = 12, 5 Figura 1.46: otimização - exemplo 5 Como x representa número de pessoas, então x deve ser um número inteiro e 12, 5 não pode ser a solução prática do problema. Observe que R(x) é crescente para 0 < x < 12, 5 e decrescente para x > 12, 5. Os valores inteiros que solucionam o problema na prática são x = 12 ou x = 13, pois R(12) = R(13) = Conclusão: A receita da empresa será máxima quando o grupo for formado por 12 ou 13 pessoas além de 35, isto é, o grupo deve ser constituído por 47 ou 48 pessoas e a receita máxima correspondente será de R$2.256,00.

91 86 [Matemática Aplicada] Exemplo 6: O custo médio de fabricação de x unidades de um produto é C m = 200 x x e a função receita é R(x) = 200x 2x 2. (a) Obtenha a função lucro. (b) Obtenha o número x de unidades que devem ser produzidas e vendidas para maximizar o lucro. (c) Obtenha o lucro máximo. Solução C m = C x C = x C m ( ) 200 C(x) = x x x C(x) = x + x 2 (a) Seja P (x) o lucro P (x) = R(x) C(x) P (x) = 200x 2x 2 ( x + x 2 ) P (x) = 3x x 200 (b) P (x) = 6x = 6x x = 180 x = 30 P (x) = 6 < 0 (máximo) x = 30 maximiza P(x) Devem ser produzidas 30 unidades para se obter lucro máximo. (c) P (30) = 3(30) (30) 200 = 2500 O lucro máximo é R$2.500,00. Exemplo 7: O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de lazer para motoristas, à margem de uma rodovia bem movimentada. O terreno deve ser retangular com uma área de 5000 m 2 e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Determine o menor comprimento da cerca necessária para a obra.

92 [Prof. Hiroshi Ouchi] 87 Solução Figura 1.47: otimização - exemplo 7 xy = 5000 y = 5000 x f = x + 2y f(x) = x x f (x) = x 2 f (x) = 0 = x x 2 = 0 x 2 = x = 100 f (x) = x 3 f (100) = (100) 3 > 0 (mínimo) x = 100 minimiza f(x) y = = 50 f = x + 2y f = (50) = 200 O menor comprimento é 200 m. Exercícios Propostos 1. Obtenha dois números positivos cuja soma é 16 e cujo produto é o máximo possível. 2. Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de um certo produto é dado por C(x) = x 2 80x em reais. Nessas condições, calcule:

93 88 [Matemática Aplicada] (a) O número de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. (b) O valor mínimo do custo 3. Deseja-se construir uma área de lazer de forma retangular de m 2 de área. Determine as dimensões para que o perímetro seja mínimo. 4. O custo total de fabricação de x unidades de um produto é dado por C(x) = 3x 2 + 5x em reais. Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja o menor possível? 5. Uma caixa, sem tampa, de base quadrada deve ter um volume de 32 cm 3. Determine as dimensões da caixa que exijam o mínimo de material para a sua confecção. 6. Determine o número cuja diferença entre ele e o seu quadrado é o máximo possível. 7. Deseja-se construir uma piscina de forma circular, com volume igual a 125π m 3. Determine a raio e a profundidade (altura), de modo que a piscina possa ser construída com menos quantidade de material possível. 8. Numa empresa que produziu x unidades mensais, verificou-se que a receita total de produção é dada por R(x) = 6000x x 2 e o custo total de produção é C(x) = x x. Nessas condições, verifique qual deve ser a produção x para que o lucro seja máximo. 9. Num vôo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea cobra R$200,00 por pessoa quando todos o lugares são ocupados. Se existirem lugares não-ocupados, ao preço de cada passagem será acrescida a importância de R$4,00 por cada lugar não-ocupado. Quantos devem ser os lugares não-ocupados para que a companhia obtenha faturamento máximo? 10. Uma pessoa deseja construir uma piscina de forma circular com volume de 64π m 3. Sabendo que o preço por metro quadrado de azulejo é de R$100,00, calcule o custo mínimo de azulejo para a construção da piscina. 11. Quais devem ser as dimensões de uma lata cilíndrica de volume fixo V, de forma que a quantidade de material a ser utilizado para a sua fabricação seja a menor possível? 12. Uma fábrica de componentes eletrônicos tem um custo para produzir x componentes dado por C(x) = x x x + 200, com C dado em reais. Qual é o custo 2 marginal que essa fábrica tem para produzir mais um componente quando x = 400? 13. A demanda de um produto é D(p) = 200p unidades por mês, quando o preço é p reais a unidade. Nessas condições, determine:

94 [Prof. Hiroshi Ouchi] 89 (a) A função gasto total dos consumidores com o produto em função de p. (b) O preço para o qual o gasto total dos consumidores é máximo. 14. Em um painel retangular de comprimento (60 + x) cm e de largura 80 cm, deseja-se reservar no canto superior esquerdo um quadrado de lado x cm. Qual o valor de x de modo que a diferença entre a área do painel e a do quadrado seja a maior possível? 15. Determine o número positivo cuja soma com seu inverso seja o menor possível. Respostas 1. Os números 8 e (a) 40 unidades (b) R$1.400,00 3. As dimensões são 40 m e 40 m. 4. Deverão ser fabricadas 8 unidades. 5. Arestas da base iguais a 4 cm e arestas laterais iguais a 2 cm. 6. O número é r = 5 m e h = 5 m unidades mensais lugares 10. R$15.072, A lata de volume fixo e área máxima tem altura igual ao dobro do raio, isto é, h = 2r. 12. R$20, (a) g(p) = 200p p (b) O gasto é máximo quando o preço é R$30, x = 40 cm 15. O número é 1. Exercícios Diversos 1. Dada a função receita R(x) = 2x x, obtenha o valor de x que a maximiza.

95 90 [Matemática Aplicada] 2. Dada a função demanda p = 40 2x, obtenha o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita. 3. Considere a função demanda p = 40 2x. Determine o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro, se a função custo for C(x) = x. 4. A função custo de fabricação de um produto é C = 1 3 x3 2x x + 1 e a função demanda do mesmo produto é p = 10 x. Que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro? 5. O custo total mensal de fabricação de x unidades de um produto é C(x) = (0, 1)x 2 + 3x (a) Obtenha a função custo médio. (b) Para que valor de x o custo médio é mínimo? 6. Dada a função custo C(x) = x 3 20x x: (a) Obtenha o custo médio e o custo marginal. (b) Mostre que, no ponto de mínimo do custo médio, a custo médio é igual ao custo marginal. 7. Um agricultor pretende construir um viveiro de forma retangular utilizando uma tela de 16m de comprimento. Sabendo que ele vai usar um muro da casa como um dos lados do viveiro, determine as dimensões do mesmo para que sua área seja máxima. 8. A demanda de um produto é dada por D(p) = 200p unidades por mês, quando o preço é p reais a unidade. Nessas condições, determine: (a) O gasto total dos consumidores com o produto em função de p. (b) O preço total para o qual o gasto total é máximo. 9. Faça um estudo completo da função f(x) = 3x x 1. Respostas 1. x = p = p = 21 reais 4. p = 8 reais 5. (a) C m (x) = (0, 1)x x

96 [Prof. Hiroshi Ouchi] 91 (b) x = (a) C m = x 2 20x C (x) = 3x 2 40x (b) C m (10) = C (10) 7. 4m e 8m 8. (a) G(p) = 200p p (b) O gasto é máximo quando o preço é R$30, y = 3 é assíntota horizontal e x = 1 é assíntota vertical. A função é decrescente para x 1 e neste não admite extremos. O gráfico é côncavo para baixo em x < 1 e côncavo para cima em x > 1. A função não tem ponto de inflexão.

97 92 [Matemática Aplicada]

98 Capítulo 2 A Integral 2.1 Antiderivação: A integral indefinida Denomina-se antiderivação ou integração indefinida a operação que consiste na obtenção de uma função F (x), a partir de sua derivada f(x). Definição Primitiva de uma função f: Uma função F (x) é uma primitiva, antiderivada ou integral indefinida de f(x) se F (x) = f(x), para qualquer x no domínio de f. Seja f(x) = 12x 2 e F (x) = 4x 3 De acordo com a definição dada, temos: F (x) = 12x 2 = f(x) Logo, F (x) = 4x 3 é uma antiderivada, ou integral indefinida, de f(x) = 12x As antiderivadas de uma função f Se F (x) e G(x) são antiderivadas de f(x), então existe uma constante C, tal que G(x) = F (x) + C. Seja F (x) = 4x 3 G(x) = 4x G(x) = 4x 3 8 G(x) = 4x G(x) = 4x Assim, G(x) = 4x 3 + C 12x 2 dx = 4x 3 + C Todas as antiderivadas de f(x) podem ser obtidas adicionando-se constantes à antiderivada particular de f(x), isto é, F (x). 93

99 94 [Matemática Aplicada] Conclusão: Um função f tem n antiderivadas. 2.3 Notação de integral f(x) dx = F (x) + C O símbolo é chamado de sinal de integração e se assemelha a um s alongado que é a inicial de soma. A função f(x) é o integrando de uma integral. O símbolo dx indica que a primitiva deve ser calculada em relação à variável x. A constante C é arbitrária e é conhecida por constante de integração. A equação f(x) dx = F (x) + C deve ser lida como a integral indefinida de f em relação a x é F (x)+c. Quando encontramos F (x)+c, dizemos que conseguimos calcular a integral. Para verificar se a integral foi calculada de maneira correta, devemos determinar a derivada de F (x) + C. Se a derivada for igual a f(x) o cálculo está correto. A integração é a operação inversa da derivação. Portanto, muitas regras de integração podem ser obtidas através das regras de derivação correspondentes. OBSERVAÇÃO: DEFINIÇÃO: Conclusão: f(x) = f(x) dx = F (x) + C d [F (x) + C] = f(x) dx f (x) dx ou F (x) = F (x) dx 2.4 Regras básicas para integrar funções simples 1. Regra da constante K dx = K dx = Kx + C 2. x n dx = 1 n + 1 xn+1 + C Verificação: d dx [ ] 1 n + 1 xn+1 ; K = cte ; n 1 = 1 n + 1 (n + 1) xn+1 1 = x n 3. Regra do logarítmo 1 dx = ln x + C ; para n = 1 e x 0 x Demonstração: (I) x > 0 = x = x d d (ln x ) = dx dx ln x = 1 x

100 [Prof. Hiroshi Ouchi] (II) x < 0 = x = x e x > 0 d d 1 (ln x ) = [ln ( x)] = dx dx x = 1 x 1 Assim, dx = ln x + C x As regras 2 e 3 podem ser resumidas da seguinte forma: x n+1 x n + C, se n 1 dx = n + 1 ln x + C, se n = 1 e Kx dx = 1 K ekx + C ; para K = cte e K 0 Verificação: ( ) d 1 dx K ekx = 1 K KeKx = e Kx 2.5 Propriedades algébricas da integral indefinida Regra da multiplicação por uma constante Umfator constante K pode ser retirado da integral. Kf(x) dx = K f(x) dx ; K = cte Regra da soma Uma antiderivada de uma soma é a soma das antiderivadas. [f 1 (x) + f 2 (x) f n (x)] dx = f 1 (x) dx + f 2 (x) dx f n (x) dx Regra da diferença Uma antiderivada de uma diferença é a diferença das antiderivadas. [f(x) g(x)] dx = f(x) dx g(x) dx OBSERVAÇÃO: Quando da aplicação das propriedades, devemos colocar uma constante na última etapa dos cálculos, a fim de obter respostas mais simples. Exemplos: (2x 4 + 6x 2 + 5x) dx Temos, 2x 4 dx + 6x 2 dx + 5x dx 2 x 4 dx + 6 x 2 dx + 5 x dx 2 5 x5 + 2x x2 + C

101 96 [Matemática Aplicada] Exercícios Resolvidos Calcule as seguintes integrais indefinidas: 1. x 4 dx = x C = 1 5 x5 + C 2. x dx = x C = 1 2 x2 + C 3. dx = x 0 dx = x C = x + C 4. x 5 dx = x C = x C = 1 4x 4 + C 5. x 3/5 x3/5 +1 dx = C = x8/5 8 + C = 5 8 x8/5 + C dx = dx = x x1/2 x 1/2 dx = (3x 4 + 6x 2 + 4) dx = 3 x 3 + 5x 2 dx = x = x x 2 ln x + C x 4 dx + 6 ( x ) x x 1/ C = x1/2 1 2 x 2 dx + 4 dx = x 2 dx C = 2 x + C dx = 3 5 x5 + 2x 3 + 4x + C dx dx 2 x = Exercícios Propostos Calcule as seguintes integrais: 1. 5x 4 dx (x 2 x ) dx (5 2x 5 + 3x 11 ) dx x dx 2 7x 2 dx ( 4 x ) x dx ( 3 x + 1 ) dx 2 x ( x ) x 2 dx ( 3 x 2 x ) dx x

102 [Prof. Hiroshi Ouchi] ( x 3 3 x 2 + 6) dx Respostas 1. x 5 + C x x 3 + C 3. 5x 1 3 x x12 + C x3/2 + C x + C 6. 2 x 2 5 x + 20x + C 7. 2x 3/2 + x 1/2 + C = 2 x 3 + x + C = 2x x + x + C x5/ x5/3 + C = 2 5 x x 5 + C 9. 2 x x 2 + ln x + C x x 5 + 6x + C Curvas integrais Os gráficos das antiderivadas de uma função f são denominados curvas integrais de f. Se y = F (x) for uma curva integral de f, as infinitas curvas são obtidas por translação do gráfico de F (x), uma vez que têm equações da forma G(x) = F (x)+c ou y = F (x)+c. Em inúmeros problemas, devemos encontrar uma função cuja derivada satisfaça a condições específicas, denominadas condições de contorno. Suponha que um ponto material movimenta-se ao longo de uma curva y = f(x) no plano xy, de tal forma que, em cada ponto (x, y) da curva, a reta tangente tem inclinação 2x. Determine a equação da curva sabendo que ela passa pelo ponto P (2, 5). Solução Interpretação gráfica: Existe uma constante C, tal que G(x) = F (x) + C. Se F é uma antiderivada de f, então F (x) = f(x). Logo, f(x) é a inclinação da tangente ao gráfico de F (x). Se G é antiderivada de f, então G (x) = f(x). Logo, a inclinação de sua tangente é também f(x).

103 98 [Matemática Aplicada] Seja F (x) = x 2, G(x) = x 2 + C e f(x) = 2x y = 2x dx = 2 x dx y = 2 x2 2 + C y = x 2 + C solução geral ou solução completa Como para x = 2, y = 5, temos: 5 = C 5 = 4 + C C = 1 x solução particular Figura 2.1: curvas integrais Vimos que a diferencial de uma função y = f(x) é dy dx = f (x) = dy = f (x) dx. Propriedades 1. Os símbolos d e, nesta ordem, se anulam, isto é: d f(x) dx = f(x) dx 2. Os símbolos e d, nesta ordem, podem ser omitidos, desde que seja acrescentada uma constante ao resultado, isto é: d(f (x)) = F (x) + C dx = x + C Generalização du = u + C Lembrete: 1) f(x) = f (x) dx dy 2) y = dx dx 3) du = u + C

104 [Prof. Hiroshi Ouchi] 99 Aplicações Práticas 1. Determine a função cuja tangente tem inclinação x 2, para qualquer valor de x e cuja curva passa pelo ponto P (2, 1). OBSERVAÇÃO: A inclinação da tangente a uma curva no ponto (x, f(x)) ou (x, y) é a derivada f (x) ou dy dx. Solução Temos, f (x) = x 2 ou dy dx = x2 1 o processo: 2 o processo: dy f(x) = f (x) dx y = dx dx f(x) = x 2 dx y = x 2 dx f(x) = x3 3 + C y = x3 3 + C 1 = C 1 = C 1 = C C = = 5 3 C = = 5 3 f(x) = x y = x O custo fixo de produção de uma empresa é de R$8.000,00. O custo marginal é dado por C (x) = (0, 03)x 2 + (0, 12)x + 5. Determine a função custo total. Solução Vimos que o custo marginal é a derivada da função custo C(x). Para achar C(x), devemos integrar a função custo marginal. C(x) = C (x) dx [(0, C(x) = 03)x 2 + (0, 12)x + 5 ] dx C(x) = (0, 03) x 2 dx + (0, 12) x dx + 5 dx C(x) = (0, 03) x3 3 + (0, 12) x x + C C(x) = (0, 01)x 3 + (0, 06)x 2 + 5x + C

105 100 [Matemática Aplicada] Se a produção for nula (x = 0) o custo fixo é de R$8.000,00. Logo, C(0) = (0, 01)(0) 3 + (0, 06)(0) 2 + 5(0) + C 8000 = C Logo, C = 8000 Conclusão: C(x) = (0, 01)x 3 + (0, 06)x 2 + 5x Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade estará aumentando à razão de t habitantes por mês. Sabe-se que a população atual é de habitantes. Diante do exposto, determine a população daqui a 1 ano e 4 meses. Solução Seja P (t) a população daqui a t meses. dp dt = t (taxa de variação da população) dp P (t) = dt dt ( P (t) = ) t dt P (t) = 2 dt + 6 P (t) = 2t + 4t 3/2 + C t 1/2 dt Para t = 0 (população inicial), P (0) = 5000 P (0) = 2(0) + 4(0) 3/2 + C 5000 = C Logo, P (t) = 2t + 4t 3/ Para t = 16 meses, temos: P (16) = 2(16) + 4(2 4 ) 3/ P (16) = (2 6 ) P (16) = (64) P (16) = P (16) = 5288 A população daqui a 1 ano e 4 meses será de habitantes.

106 [Prof. Hiroshi Ouchi] Movimento em linha reta Quando um corpo está se movimentando em linha reta e sua posição é dada por s(t), a velocidade é dada por v = ds dv e a aceleração por a =. Se a aceleração do corpo é dada, dt dt a velocidade e a posição podem ser determinadas por integração. Depois que os freios são aplicados, um carro perde velocidade à taxa constante de 6 metros por segundo. Se o carro está com velocidade de 18 metros por segundo, quando o motorista pisa no freio, que distância percorre o carro até parar? Solução Seja s(t) a posição do carro t segundos depois que o motorista pisa no freio. Se o carro perde velocidade à razão de 6 m/segundo, isto significa que a a(t) = 6 (sinal negativo indica que a velocidade está diminuindo). a(t) = 6 dv dt = 6 dv v(t) = dt dt v(t) = 6 v(t) = 6t + C 1 dt = 6t + C 1 Quando t = 0, v = = 6(0) + C 1 = C 1 = 18 Logo, v(t) = 6t + 18 ds = 6t + 18 dt ds s(t) = dt dt s(t) = ( 6t + 18) dt s(t) = 3t t + C 2 Quando t = 0 = s(t) = 0 0 = 3(0) (0) + C 2 = C 2 = 0 s(t) = 3t t A velocidade é zero quando o carro pára. v(t) = 6t = 6t t = 18 = t = 3 segundos

107 102 [Matemática Aplicada] O carro leva 3 segundos para parar e a distância percorrida é: s(3) = 3(9) + 18(3) s(3) = s(3) = 27 O carro percorre 27 metros até parar. Exercícios Propostos 1. Determine a equação da curva cujo coeficiente angular em um ponto qualquer (x, y) é 5x 4, sabendo que a curva passa por P (1, 3). 2. A função custo marginal C é dada por C (x) = 4x 8, onde C(x) é o custo total da produção de x unidades. Se o custo de produção de 5 unidades é R$80,00, ache a função custo total. Determine o custo de produção de 20 unidades. 3. Um fabricante estima que o custo marginal seja (6q + 1) reais por unidade quando q unidades são fabricadas. O custo total (incluindo custo fixo) para produzir as duas primeiras unidades é R$214,00. Determine o custo para produzir as primeiras 30 unidades. 4. Após um período de testes, um fabricante determina que se x unidades de um certo artigo são produzidas por semana, o custo marginal é dado por C (x) = (0, 3)x 11, onde C(x) é o custo total de produção de x unidades. Se o preço de venda do artigo está fixado em R$19,00 por unidade e o custo fixo é R$200,00 por semana, ache o lucro total máximo que pode ser obtido por semana. 5. Se a receita marginal é dada por R (x) = 27 12x + x 2, ache a função receita total e a equação de demanda. 6. Se o custo marginal médio, C (x) = ( ) x 2 em reais, calcule: (a) A função custo médio C (x), sabendo que C(4) = 57. (b) A função custo C(x), sabendo que C(x) = C(x) x. 7. O custo marginal para a produção é dado por C (x) = 18 x + 4. Se o custo fixo é de R$800,00, escreva uma função para o custo total. 8. A inclinação da reta tangente a uma curva em qualquer de seus pontos é P (1, 1) é um ponto da curva, ache sua equação. 1 2 x. Se 9. Para um certo artigo, a função receita marginal é dada por R (x) = 15 4x. Ache: (a) a função receita total.

108 [Prof. Hiroshi Ouchi] 103 (b) a equação da demanda. 10. Estima-se que daqui a x semanas, o número de passageiros de uma nova linha de metrô estará aumentando à razão de (18x ) passageiros por semana. No momento, 8000 passageiros estão usando a linha. Quantos a estarão usando daqui a 5 semanas? Respostas 1. y = x C(x) = 2x 2 8x + 70 C(20) =R$710,00 3. R$2.930,00 4. R$1.300,00 é o lucro máximo, quando estão sendo produzidas 100 unidades por semana. 5. R(x) = 27x 6x x3 3p = 81 18x + x 2 6. (a) C m (x) = 1 4 x + 17 x (b) C(x) = 1 4 x x C(x) = 12x 3/2 + 4x y = x 9. (a) R(x) = 15x 2x 2 (b) p = 15 2x passageiros Regra da exponencial e Kx dx = 1 K ekx + C ; para K constante e K 0 Calcular e 3x dx no caso, K = 3 e 3x dx = 1 3 e 3x + C = 1 3 e 3x + C

109 104 [Matemática Aplicada] ( Calcule 3e 5t + t) dt = 3 e 5t dt + t 1/2 1 dt = 3 5 e 5t + t1/ C = = 3 5 e 5t + t3/ C = 3 5 e 5t t3/2 + C Integração por substituição (Mudança de variável em integral indefinida) 1. Este método consiste em substituir a variável de integração x por uma variável auxiliar u de modo a obter uma integral imediata (simples), na qual a variável de integração é u. 2. Para escrever dx em termos de u, deve-se calcular o valor de du e explicitar dx como dx se du fosse um quociente. dx 3. Deve-se calcular a integral ( resultante e substituir u em termos de x para dar a solução da integral. Assim f(u) du ) dx = f(u) du dx Exercícios Resolvidos 1. Calcule (2x + 5) 9 dx Seja u = 2x + 5 du = 2 = du = 2 dx dx Assim, dx = du 2 (2x + 5) 9 dx = = 1 20 (2x + 5)10 + C 5x 2. x 2 1 dx u = x 2 1 u du = 1 2 u 9 du = 1 2 u C = 1 20 u10 + C = 3. du = 2x dx = x dx = du 2 x dx = 5 x 2 1 = 5 dx 5x + 4 u = 5x + 4 du 2 u = 5 2 du u = 5 2 ln u + C = 5 2 ln x C du = 5 dx = dx = du 5 dx du 5x + 4 = 5 u = 1 du 5 u = 1 5 ln u + C = 1 ln 5x C 5

110 [Prof. Hiroshi Ouchi] x 4 dx u = 3x du = 3 dx = dx = du 3 3x u du 4 dx = 3 = 1 3 = 1 3 u3/2 3 2 x x + 1 dx u 1/2 du = C = u C = 2 (3x 4) C x x + 1 = x x + 1 x x + 1 dx = u = x + 1 du = dx x dx 3x + 6 2x 2 + 8x + 9 dx u = 2x 2 + 8x + 9 du = (4x + 8) dx du = 4(x + 2) dx ( x x + 1 ) dx = u1/ C x dx du dx + 2 u = x2 x + 2 ln x C 2 dx + 2 dx x + 1 (x + 2) dx = du 4 3x + 6 2x 2 + 8x + 9 dx = 3 x + 2 du 2x 2 + 8x + 9 dx = 3 4 = 3 u 4 u 1/2 du = 7. = 3 4 u1/2 1 2 ln 5x x dx = u = ln (5x) du dx = 5 5x = 1 x + C = ln 5x dx x 3 u + C = 2x x C du = dx x ln 5x dx x = u du = u2 2 + C = 1 2 (ln 5x)2 + C

111 106 [Matemática Aplicada] 8. x e x2 dx = e x2 x dx u = x 2 du = 2x dx x dx = 1 2 du e x2 x dx = e u 1 2 du = 1 2 e u du = 1 2 eu + C = 1 2 ex2 + C Exercícios Propostos 1. Calcule as seguintes integrais: (a) x(3x 2 + 4) 7 dx (b) 6(x 2 + 4x + 3) 8 (2x + 4) dx (c) x x 3 dx 5x dx (d) 3x x + 9 (e) dx x x (f) x + 1 dx (g) x 2 4 (x 3 + 1) 3 dx 3u 3 (h) (u 2 2u + 6) 2 du 1 (i) x(ln x) 2 dx (j) e 1 x dx Respostas 1. (a) 1 48 (3x2 + 4) 8 + C (b) 2 3 (x2 + 4x + 3) 9 + C (c) (3 4x 3 ) 6 + C (d) 5 6 ln 3x C (e) 5x + 9 ln x + C (f) x ln x C (g) (x 3 + 1) 7 + C (h) 3 2(u 2 2u+6) + C (i) 1 ln x + C (j) e 1 x + C

112 [Prof. Hiroshi Ouchi] 107 Integrais Especiais 1. Calcule a integral x 2 x + 3 dx Solução Artifício Seja u = x + 3 u 2 = x + 3 x = u 2 3 dx = 2u du Temos: x 2 x + 3 dx = = (u 2 3) 2 u 2u du = = 2 (u 4 6u 2 + 9)u 2 du = = 2 (u 6 6u 4 + 9u 2 ) du = = 2 u 6 du 12 u 4 du + 18 u 2 du = = 2 7 u u u3 + C = 2 7 ( x + 3) ( x + 3) 5 + 6( x + 3) 3 + C Portanto: x 2 x + 3 dx = 2 7 (x + 3)7/ (x + 3)5/2 + 6(x + 3) 3/2 + C 2. Calcule a integral x 5 x dx Solução Temos: x 5 x dx = x 4 x x dx Artifício u = x u 2 = x x 2 = u 2 4 2x dx = 2u du x dx = u du

113 108 x 5 x dx = = x 4 x x dx = = (u 2 4) 2 u u du = = (u 4 8u )u 2 du = = (u 6 8u u 2 ) du = = u 6 du 8 u 4 du + 16 u 2 du = [Matemática Aplicada] = 1 7 u7 8 5 u u3 + C = 1 7 ( x 2 + 4) ( x 2 + 4) ( x 2 + 4) 3 + C Temos: x 5 x dx = 1 7 (x2 + 4) 7/2 8 5 (x2 + 4) 5/ (x2 + 4) 3/2 + C Exercícios Propostos Calcule as integrais 1. x x 2 dx 2. x x dx Respostas (1 + x2 ) 5/2 1 3 (1 + x2 ) 3/2 + C (1 + x)7/2 4 5 (1 + x)5/ (1 + x)3/2 + C 2.6 Equações diferenciais Denomina-se equação diferencial qualquer equação que contém derivadas. As equações diferenciais têm aplicações importantes em vários setores da atividade humana. Estudaremos apenas as equações diferenciais simples. Exemplos: (a) dy dx = 4x + 1 (b) dy dx = 3x2 + x 2 (c) d2 y dx 2 = 4x 3

114 [Prof. Hiroshi Ouchi] 109 (d) dy dx = 2x y 2 (e) dy = e 5x dx (f) dy dx = y x 1 Seja a equação diferencial dy = f(x) ou dy = f(x) dx. dx A solução dessa equação é a função y = F (x) + C, que é denominada solução geral ou solução completa. Muitas vezes desejamos encontrar uma solução que satisfaça a condições específicas, tais como, y = y 1, quando x = x 1, denominadas condições de contorno ou condições iniciais. Conhecida a solução geral y = F (x) + C, se substituirmos x e y, respectivamente por x 1 e y 1, obteremos o valor particular de C, isto é, C = C 1, que substituído na solução geral nos fornece a solução particular y = F (x) + C 1. Seja a equação diferencial dy = 2x 3. dx Determine a solução geral e a seguir a solução particular que satisfaz a condição de contorno y = 1 quando x = 2. 1 o processo dy y = dx dx y = (2x 3) dx y = 2 x dx 3 dx y = 2 x2 2 3x + C y = x 2 3x + C solução geral Considerando y = 1 quando x = 2, determinamos C 1 1 = 2 2 3(2) + C 1 = C Logo, C = 3 Temos: y = x 2 3x + 3 solução particular 2 o processo dy = (2x 3) dx Integrando os dois membros, temos: dy = (2x 3) dx dy = 2 x dx 3 dx y = x 2 3x + C

115 110 [Matemática Aplicada] Calculando C, temos: y = x 2 3x + 3 Determine a solução particular da equação diferencial dy dx = e3x sabendo que y = 1 quando x = 0. Solução dy y = dx dx y = e 3x dx y = 1 3 e3x + C solução geral 1 = 1 3 e3(0) + C 1 = C C = = 2 3 y = 1 3 e3x solução particular Encontre a solução completa ou geral da equação diferencial de 2 a ordem d2 y dx 2 = 4x 1. Determine em seguida, a solução particular que atenda às condições de contorno dy dx = 2 quando x = 2 e y = 3 quando x = 1. Solução 1 o processo dy d 2 dx = y dx 2 dx dy dx = (4x 1) dx = 4 dy dx = 2x2 x + C 1 (I) x dx dx = 4 x2 2 x + C 1 dy y = dx dx y = (2x 2 x + C 1 ) dx = 2 x 2 dx x dx + C 1 dx y = 2 3 x3 1 2 x2 + C 1 x + C 2 (II) Solução completa Substituindo em (I), dy dx 2 = 2(2) C 1 Logo, C 1 = 4 por 2 e x por 2, temos:

116 [Prof. Hiroshi Ouchi] 111 Considerando C 1 = 4 na solução completa, temos: y = 2 3 x3 1 2 x2 4x + C 2 (III) Como y = 3 quando x = 1, por hipótese, temos: 3 = 2 3 (1)3 1 2 (1)2 4(1) + C 2 Logo, C 2 = 41 6 Substituindo este valor em (III), temos: y = 2 3 x3 1 2 x2 4x + 41 Solução particular 6 2 o processo d 2 y dx 2 ( = 4x ) 1 d dy = 4x 1 dx ( dx ) dy d = (4x 1) dx dx Integrando ( ) os 2 membros, temos: dy d = (4x 1) dx dx dy dx = 4 x2 2 x + C 1 dy dx = 2x2 x + C 1 dy = (2x 2 x + C 1 ) dx dy = (2x 2 x + C 1 ) dx dy = 2 x 2 dx x dx + C 1 dx y = 2 3 x3 x2 2 + C 1x + C 2 De acordo com o exposto no 1 o processo, concluimos: y = 2 3 x3 1 2 x2 4x NOTA: A ordem de uma equação diferencial corresponde à da derivada de maior ordem que aparece na equação Equações diferenciais com variáveis separáveis Consideremos: dy dx = g(x) h(y) Logo, h(y) dy = g(x) dx

117 112 [Matemática Aplicada] O 1 o membro envolve somente a variável y e o 2 o membro envolve somente a varável x. As variáveis são separadas. Uma solução geral pode ser obtida integrando os dois membros da equação, isto é: h(y) dy = g(x) dx Encontre a solução geral da equação diferencial x dx + y dy = 0 Solução x dx = y dy Integrando, temos: x dx = y dy x C 1 = y2 2 + C 2 x 2 2 = y2 2 + C 2 C 1 x y2 2 = C 3 x 2 + y 2 = C Processo prático x dx = y dy x 2 2 = y2 2 + C 1 x y2 2 = C x 2 + y 2 = C Determine a solução geral da equação diferencial dy dx = x2 y Solução Temos: y dy = x 2 dx Integrando, temos: y dy = x 2 dx y 2 2 = x3 3 + C Determine a solução particular da equação diferencial condição de contorno y = 1 quando x = 0. Solução dy y = x dx dy dx = x y que satisfaz a

118 [Prof. Hiroshi Ouchi] 113 Integrando temos: dy y 1/2 = x dx y 1/2 dy = x dx y 1/2 1 2 = x2 2 + C 2y 1/2 = 1 2 x2 + C 2 y = 1 2 x2 + C 2 1 = 1 2 (0)2 + C Logo, C = 2 Conclusão, 2 y = 1 2 x Aplicações das equações diferenciais 1. A inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto qualquer (x, y) na curva é igual a 3x 2 y 2. Determine a equação da curva, sabendo que o ponto P (2, 1) está na curva. Solução dy dx = 3x2 y 2 dy y 2 = 3x2 dx y 2 dy = 3 x 2 dx y 1 1 = 3 x3 3 + C 1 y = x3 + C 1 1 = 23 + C Logo, C = 9 Conclusão 1 y = x O custo de uma certa máquina é 700 dólares e seu valor é depreciado de acordo com a fórmula dv dt = 500(t+1) 2, onde V é o seu valor t anos após a sua compra. Qual será o seu valor 3 anos após sua compra?

119 114 [Matemática Aplicada] Solução t = 0 = V = 700 (valor inicial) dv V = dt dt V = 500 (t + 1) 2 dt cálculo auxiliar: u = t + 1 du = dt V = 500 V (t) = 500 t C V (0) = C u 2 du = 500 u C 700 = C = C = 200 Logo, V (t) = 500 t V (3) = V (3) = V (3) = 325 Conclusão: O seu valor será 325 dólares. 3. A população de uma certa cidade vem crescendo a uma taxa de 400 t + 1 pessoas por ano, t anos após Sabe-se que a população em 1999 era de pessoas. (a) Qual era a população em 1996? (b) Qual será a população em 2004 se for mantida a mesma taxa de crescimento? Solução Temos: dp dt = 400(t + 1) 1/2 e p(3) = 6000 dp p(t) = dt dt p(t) = 400 (t + 1) 1/2 dt

120 [Prof. Hiroshi Ouchi] 115 (t + 1)1/2 p(t) = C 2 p(t) = 800 t C t = 3 = p(3) = C 6000 = 800(2) + C = C = 4400 Logo, p(t) = 800 t (a) t = 0 p(0) = p(0) = = 5200 Em 1996 a população era de habitantes. (b) t = 8 p(8) = p(8) = 800(3) p(8) = p(8) = 6800 Em 2004 a população será de habitantes. 4. A quantidade de bactérias presentes em uma cultura cresce de 100 para 300 unidades num intervalo de 2 horas. à quantidade de bactérias presentes. quantidade de bactérias em qualquer instante t. Solução Suponha que a taxa de crescimento seja proporcional Determine uma expressão que estabeleça a Seja Q a quantidade de bactérias presentes em um instante t e seja K a constante de proporcionalidade. dq dt = KQ = dq Q = K dt dq Q = K dt ln Q = Kt + C 1 = Q = e Kt+C 1 = Q = e Kt e C 1 Q = Ce Kt t = 0 = Q = = Ce K(0) = 100 = Ce 0 C = 100 Logo, Q = 100e Kt

121 116 [Matemática Aplicada] t = 2 = Q = 300 Logo, 300 = 100e 2K = e 2K = 3 = 2K = ln 3 K = ln 3 2 Conclusão: Q = 100 e ln 3 2 t Exercícios Propostos 1. Determine a solução geral das equações diferenciais seguintes: (a) dy dx = 3x2 + 6 (b) dy dx = x4 + 2x 2 1 x 2 (c) dy = (3x + 1)3 dx (d) dy dx = x x Ache a solução completa das equações diferenciais seguintes e a seguir determine a solução particular que satisfaz às condições de contorno dadas. (a) (b) (c) (d) dy dx = 6x2 1 x y = 10 quando x = 1 dy = x x dx y = 8 quando x = 2 dy dx = x2 + 3x y = 2 quando x = 1 dy = (x + 1)(x + 2) dx y = 3 quando x = Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais: (a) dy dx = 2x y 2 (b) dy dx = 2x2 3y 3 (c) x dy = y dx (d) dy dx = y2 4 x

122 [Prof. Hiroshi Ouchi] Determine a solução particular da equação diferencial dada, que satisfaz à condição de contorno indicada. (a) dy dx = x y 2 ; y = 3 para x = 2 (b) dy = e 5x dx ; y = 1 para x = 0 (c) dy dx = 4x2 y 2 ; y = 1 para x = 1 (d) dy dx = y2 4 x ; y = 2 para x = 4 5. Nos exercícios seguintes, ache a solução particular de cada equação diferencial de 2 a ordem que satisfaz às condições de contorno dadas: (a) d2 y dx 2 = 6x + 1 ; y = 2 quando x = 0 e dy dx = 3 quando x = 0 (b) d2 y dx 2 = x2 + 3x ; dy dx = 1 e y = 2 quando x = 1 6. O custo marginal dc para produzir x unidades de um determinado produto é dado dx por dc 5000 = 0, 05 + dx x 2 reais por item. Determine a função custo total sabendo que C = 5500 reais quando x = O custo de produção de um produto é C(x) = 3, 5x reais por mês, onde x é o número de consumidores do produto. A renda marginal é dada por dr dx = 13 x 40 reais por mês e R = 0 quando x = 0. (a) Determine R como uma função de x. (b) Determine o lucro total P como uma função de x. 8. Se a função receita marginal é dada por R (x) = 3x 2 12x + 10, ache: (a) a função receita total; (b) a equação da demanda. 9. Para um determinado produto, a taxa de variação da função custo total por unidade de variação em x é 3x e a curva do custo total contém o ponto (5, 45). Ache a função custo total. 10. A matrícula em certa faculdade vem crescendo a uma taxa de 1000(t + 1) 1/2 estudantes por ano desde Se a matrícula em 2004 foi de alunos, verifique: (a) qual foi a matrícula em 2001? (b) quantos alunos são esperados em 2009 se o crescimento continuar na mesma taxa?

123 118 [Matemática Aplicada] Respostas 1. (a) y = x 3 + 6x + C (b) y = 1 5 x x3 + 1 x + C (c) y = 1 12 (3x + 1)4 + C (d) y = 1 3 (x 2 + 5) 3 + C 2. (a) y = 2x x + 3x + 4 (b) y = 1 3 (x 2 + 5) 3 1 (c) y = 1 3 x x (d) 6y = 2x 3 + 9x x 3. (a) y 3 = 3x 2 + C (b) 9y 4 = 8x 3 + C (c) xy = C (d) 1 y = 2 3 (4 x) 3 + C 4. (a) y 3 = 3 2 x (b) y = 1 5 e5x (c) y = 3 1 4x 3 (d) y = 6 4(4 x) 3/ (a) y = x x2 + 3x + 2 (b) y = 1 12 x x3 5 6 x C(x) = 0, 05x 5000 x 7. (a) R(x) = 13x x reais (b) P (x) = 9, 5x x (a) R(x) = x 3 6x x (b) P (x) = x 2 6x C(x) = 3 2 x (a) alunos. (b) alunos.

124 [Prof. Hiroshi Ouchi] Integração por partes Se u = f(x) e v = g(x) são funções contínuas e deriváveis em um mesmo intervalo I, então u dv = uv v du. Pela regra do produto, temos: [f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x) f(x) g (x) = [f(x) g(x)] f (x) g(x) Supondo que f (x) g(x) admita primitiva em I e como f(x) g(x) é uma primitiva de [f(x) g(x)], então f(x) g (x) também admitirá primitiva em I. Então, f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f(x) g (x) dx = f(x) g(x) f (x) g(x) dx g(x) f (x) dx Como u = f(x) e v = g(x), então du = f (x) dx e dv = g (x) dx Portanto: u dv = uv v du Fórmula de integração por partes Ao aplicar esta fórmula no cálculo de uma integral, devemos fazer uma parte do integrando corresponder a dv. A expressão que escolhermos para dv deve incluir a diferencial dx. Indicamos a parte restante do integrando por u e calculamos du. Como este processo implica em separar o integrando em duas partes, atribuimos a este processo a denominação integração por partes. OBSERVAÇÕES: 1. No processo de integração por partes devemos omitir a 1 a constante de integração C 1, que desaparece no decorrer do processo. Portanto, devemos indicar a constante de integração somente no final do processo. 2. É importante a escolha adequada de dv. Em geral, fazemos dv representar a parte mais complicada do integrando de modo a facilitar o cálculo da integral. 3. Existem muitos casos em que é necessário aplicar a integração por partes mais de uma vez para obter a primitiva procurada. Exemplo1: Calcule ln x dx.

125 120 [Matemática Aplicada] Solução Seja u = ln x e dv = dx Assim, du = 1 x dx e dv = dx = v = x + C 1 ln x dx = ln x(x + C 1 ) (x + C 1 ) dx x = dx x ln x + C 1 ln x dx C 1 x = x ln x + C 1 ln x x + C 1 ln x + C Conclusão }{{} ln x }{{} dx = x ln x x + C u dv De acordo com a observação (1) a constante C 1 desaparece no decorrer do processo. Logo, esta constante deve ser omitida. Processo adequado: não consideraremos a constante C 1 nos exemplos seguintes. u = ln x = du = dx x Assim, dv = dx e v = x ln x dx = ln x(x) e dv = dx x dx x = x ln x dx = x ln x x + C Portanto, ln x dx = x ln x x + C Exemplo 2: Calcule xe 2x dx Solução Cálculo auxiliar u = e 2x du = 2e 2x dx ; dv = x dx dv = x dx = v = 1 2 x2 xe ex dx = e 2x x2 2 x2 2e 2x dx xe ex dx = 1 2 x2 e 2x x 2 e 2x dx Observamos que o expoente associado a x aumentou de 1 para 2 e nesse caso, a integral à direita é mais complexa que a integral inicial. A escolha de dv foi incorreta. Consideremos: u = x ; du = dx dv = e 2x dx dv = e 2x dx = v = 1 2 e2x

126 [Prof. Hiroshi Ouchi] 121 xe 2x dx = x 1 2 e2x 1 e 2x dx 2 xe 2x dx = 1 2 x e2x e2x + C xe 2x dx = 1 2 ( x 1 ) e 2x + C 2 Exemplo3: Calcule x ln 3x dx Solução Artifício (a) u = ln 3x du = 3 3x dx du = dx x x ln 3x dx = ; (b) (ln 3x) x }{{}}{{} dx u dv dv = x dx dv = v = x2 2 x ln 3x dx = (ln 3x) x2 2 1 x 2 dx 2 x x ln 3x dx = 1 2 x2 ln 3x 1 x dx 2 x ln 3x dx = 1 2 x2 ln 3x 1 2 x2 2 + C x dx Portanto: x ln 3x dx = 1 ( 2 x2 ln 3x 1 ) + C 2 Exemplo4: Calcule x 2 e 2x dx Solução Cálculos auxuliares (a) u = x 2 du = 2x dx ; (b) dv = e 2x dx dv = e 2x dx v = 1 2 e2x x 2 e 2x dx = x e2x 2 e2x 2x dx x 2 e 2x dx = 1 2 x2 e 2x xe 2x dx (I)

127 122 [Matemática Aplicada] Devemos repetir o processo (c) u = x (d) ; du = dx dv = e 2x dx v = 1 2 e2x xe 2x dx = x e2x 2 e2x dx = 1 2 xe2x e2x + C 1 De (I), temos: x 2 e 2x dx = 1 2 x2 e 2x ( 1 2 xe2x 1 ) 4 e2x + C 1 x 2 e 2x dx = 1 2 x2 e 2x 1 2 xe2x e2x + C Portanto: x 2 e 2x dx = 1 ( 2 e2x x 2 x + 1 ) + C 2 Exercícios Propostos 1. Use o método de integração por partes para calcular as integrais seguintes: (a) ln (x + 1) dx (b) x n ln x dx (c) x 2 e x dx (d) xe x dx (e) (1 x)e x dx (f) t ln (2t) dt (g) x 2 e x dx (h) (i) ln x x 2 dx x x + 5 dx (j) t 1 x ln x dx 2. Determine a solução particular da equação diferencial equação de contorno y = ln 2 para x = 0. dy dx = xex y que satisfaz à 3. Determine a função cuja tangente tem inclinação (x + 1) e x para qualquer valor de x cujo gráfico passa pelo ponto P (1, 5).

128 [Prof. Hiroshi Ouchi] 123 Respostas 1. (a) (x + 1) ln (x + 1) + C ( (b) xn+1 n+1 ln x 1 ) + C n + 1 (c) x 2 e x 2xe x + 2e x + C (d) (x + 1) e x + C (e) (2 x) e x + C (f) 1 2 t2 ( ln 2t 1 2) + C (g) e x (x 2 + 2x + 2) + C (h) 1 x (ln x + 1) + C (i) 2 3 x(x + 5)3/ (x + 5)5/2 + C (j) 1 2 t2 ln t 1 4 t C 2. y = ln [e x (x + 1) + 3] + C 3. y = e x (x + 2) e + C Exemplos Especiais Exemplo5: Calcule arc tg x dx Solução Cálculos auxiliares (a) u = arc tg x du = dx 1 + x 2 (b) dv = dx dv = v = x arc tg x dx = ( arc tg x) x arc tg x dx = x arc tg x arc tg x dx = x arc tg x 1 2 x dt 2 t dt t dx dx 1 + x 2 arc tg x dx = x arc tg x 1 2 ln t + C (c) t = 1 + x 2 dt = 2x dx x dx = dt 2 Conclusão: arc tg x dx = x arc tg x 1 2 ln 1 + x2 + C

129 124 [Matemática Aplicada] Exemplo6: Calcule x 3 cos x 2 dx Solução Temos, x 2 cos x 2 x dx Cálculos auxiliares (a) t = x 2 dt = 2x dx = x dx = 1 2 dt Assim, x 3 cos x 2 dx = t cos t 1 2 dt = 1 2 t cos t dt (b) u = t du = dt (c) dv = cos t dt dv = cos t dt v = sen t 1 t cos t dt = [ t sen t ] sen t dt = 1 2 (t sen t + cos t) + C Conclusão: x 3 cos x 2 dx = 1 2 (x2 sen x 2 + cos x 2 ) + C Exemplo7: Calcule e x sen x dx Solução Cálculos auxiliares (a) u = e x du = e x dx (b) dv = sen x dx dv = sen x dx v = cos x e x sen x dx = e x ( cos x) cos x e x dx e x sen x dx = e x cos x + e x cos x dx (I) Cálculos auxiliares (c) u = e x du = e x dx (d) dv = cos x dx dv = cos x dx v = sen x

130 [Prof. Hiroshi Ouchi] 125 e x cos x dx = e x sen x sen x e x dx De (I), temos: e x sen x dx = e x cos x + e x sen x e x sen x dx e x sen x dx + e x sen x dx = e x sen x e x cos x 2 e x sen x dx = e x ( sen x cos x) Conclusão: e x sen x dx = 1 2 ex ( sen x cos x) + C Exemplo8: Calcule sec 3 x dx Solução Temos, sec 3 x dx = sec x sec 2 x dx Cálculos auxiliares (a) u = sec x du = sec x tg x dx (d) dv = sec 2 x dx dv = sec 2 x dx v = tg x sec 3 x dx = sec x tg x tg x sec x tg x dx sec 3 x dx = sec x tg x tg 2 x sec x dx sec 3 x dx = sec x tg x (sec 2 x 1) sec x dx sec 3 x dx = sec x tg x sec 3 x dx + sec x dx sec 3 x dx + sec 3 x dx = sec x tg x + sec x dx 2 sec 3 x dx = sec x tg x + sec x dx Conclusão: sec 3 x dx = 1 2 sec x tg x ln sec x + tg x + C Exercícios Propostos 4. Calcule x sec 2 x dx 5. Calcule x sen x dx 6. Calcule (x 1) e x dx

131 Calcule xe x/5 dx 8. Calcule e 3x cos 4x dx 9. Calcule x 2 ln x dx 10. Calcule arc sen x dx [Matemática Aplicada] Respostas 4. x tg x + ln cos x + C 5. x cos x + sen x + C 6. xe x + C 7. 5(x + 5)e x/5 + C 8. e3x 25 (4 sen 4x + 3 cos 4x) + C x3 ( ln x 1 3) + C 10. x arc sen x + 1 x + C 2.8 Teorema Fundamental do Cálculo: A integral definida Seja a função f(x), contínua no intervalo fechado [a, b], isto é, a x b e seja F (x) a antiderivada de f(x) nesse intervalo. Assim, f(x) dx = F (x) + C A notação b a f(x) dx indica que a integral está definida de a até b, onde os números a e b são denominados limites de integração. No caso, a é o limite inferior e b é o limite superior. Definição b a f(x) dx = F (x) b a = F (b) F (a) onde F (x) é antiderivada da função f(x). Este teorema relaciona a integral definida à antiderivação. NOTA: No cálculo da integral definida devemos, por conveniência, omitir a constante C, para evitar cálculos desnecessários, uma vez que a constante C é eliminada no decorrer do processo.

132 [Prof. Hiroshi Ouchi] 127 Justificativa: b f(x) dx = F (x)+c a b a = [F (b)+c] [F (a)+c] = F (b)+c F (a) C = F (b) F (a) Conclusão b a f(x) dx = F (x) b a = F (b) F (a) Exemplo 1 Calcule Solução 3 1 (3x 2 + x 2) dx Cálculo da integral indefinida (3x 2 + x 2) dx = x x2 2x + C Portanto 3 (3x 2 + x 2) dx = x x2 2x = 1 = (3) [ 2 (3)2 2(3) (1) ] 2 (1)2 2(1) = = ( ) 2 2 = = = = = 26 Portanto, 3 1 (3x 2 + x 2) dx = 26 Outro processo: 3 (3x 2 + x 2) dx = x x2 2x 1 Temos, F (x) = x x2 2x 3 1 F (3) = (3)2 2(3) = = F (1) = (1)2 2(1) = = F (3) F (1) = ( ) F (3) F (1) = = = = 26 Conclusão, 3 1 (3x 2 + x 2) dx = 26 Exemplo 2 Calcule 3 2 (6x 2 5) dx

133 128 [Matemática Aplicada] Solução Cálculo da integral indefinida (6x 2 5) dx = 2x 3 5x + C 3 2 (6x 2 5) dx = 2x 3 5x 3 2 = [2(3) 3 5(3)] [2( 2) 3 5( 2)] = = ( ) = 39 ( 6) = = 45 Portanto, 3 2 (6x 2 5) dx = 45 = Outro Processo F (x) = 2x 3 5x F (3) = 2(3) 3 5(3) = = 39 F ( 2) = 2( 2) 3 5( 2) = = 6 F (3) F ( 2) = 39 ( 6) = = 45 Portanto, Exemplo 3 Calcule (6x 2 5) dx = 45 (x 2 3x) dx Solução (x 2 3x) dx = x x2 + C F (3) = (3)2 = F (0) = (0)2 = 0 F (3) F (0) = Logo, 3 0 (x 2 3x) dx = = = (x 2 3x) dx = x x2 Exemplo 4 Calcule 3 1 2x 3 4x x 2 dx 3 0 = [ (3)2 3 3 ] 2 (0)2 = = 9 2

134 [Prof. Hiroshi Ouchi] 129 Solução 2x 3 4x = 2 x 3 x 2 x 2 dx = 2 x 2 dx 4 x 2 dx + 5 x dx 4 dx + 5 x 2 dx = x 2 4x 5 x + C dx x 2 = Portanto: 3 2x 3 4x x 2 dx = x 2 4x 5 3 x = 3 2 4(3) 5 ( (1) 5 ) = 1 = (1 4 5) = = = 10 3 Conclusão: 3 1 2x 3 4x x 2 dx = 10 3 Exemplo 5 Calcule Solução dx 5x 1 Devemos resolver a integral indefinida utilizando o método da substituição. Seja, u = 5x 1 du = 5 dx = dx = 1 5 dx 3 dx = 3 5x 1 = u + C = du = 3 u 5 6 u + C = 5 du u 1/2 = 3 5 5x 1 + C u 1/2 du = 3 5 u1/ C = 1 o Processo 10 3 dx = x 1 = 6 5x [ ] 5x 10 1 = 6 5 ( ) = 2 = 6 5 ( 49 9) = 6 5 (7 3) = 6 5 (4) = 24 5 Assim, dx = 24 5x o Processo 3 dx = 6 u + C 5x 1 5 x = 2 = u = 5(2) 1 = 9 Logo, x = 10 = u = 5(10) 1 = 49

135 130 [Matemática Aplicada] dx = 6 49 u = 6 5x ( 49 9) = 6 5 (7 3) = 6 24 (4) = dx = 24 5x 1 5 Exercícios Propostos 1. Calcule as seguintes integrais definidas. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) e (x 2 4) dx 3x 2 dx 2 dx x x dx ln x dx x (3y y 2 ) dy (3x 2 4x + 1) dx (4x 2x 2 ) dx ( x x 2 ) dx 2. Calcule as integrais definidas seguintes, usando o teorema fundamental do cálculo. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (x 4 + 2x 2 + 1)(x 3 + x) dx 2x 2 x dx 4x dx x x(x 2 + 1) 3 dx x 1 + x dx ( 3 x x) dx Respostas 1. (a) 16 3 (b) 28

136 [Prof. Hiroshi Ouchi] 131 (c) 2 ln 4 (d) 52 3 (e) 1 2 (f) 9 2 (g) 2 (h) 8 3 (i) (a) 7 6 (b) (c) 8 (d) 15 (e) (f) A integral definida Interpretação geométrica (Teorema fundamental do cálculo integral) Seja f(x) uma função contínua definida no intervalo [a, b] e tal que f(x) 0. A integral definida b a de f(x), o eixo x e as retas verticais x = a e x = b. f(x) dx representa a área da região compreendida entre o gráfico Figura 2.2: interpretação geométrica Indicando por A a área destacada, temos: A = b a f(x) dx

137 132 [Matemática Aplicada] OBSERVAÇÕES: A letra que representa a variável independente pode ser escolhida arbitrariamente. A = b a f(x) dx = b a f(t) dt = b a f(u) du,..., etc. Seja A(x) a função que a cada x associa a área sob o gráfico de f no intervalo [a, b]. Segue-se então que A(a) = 0 e A(b) = Devemos evitar escrever A(x) = Figura 2.3: A(x) x um dos extremos do intervalo de integração. Neste caso, devemos escrever A(x) = Seja f(x) 0, x [a, b] a b a f(x) dx f(x) dx para poder destacar que a variável x é x a f(t) dt. Figura 2.4: Área Temos A 1 = A 2 e: 1. b a f(x) dx: representa a área sob o gráfico de f, de a até b. 2. f(z) (b a): representa a área do retângulo ABCD. Então, existe um número z entre a e b tal que a área do retângulo de altura f(z) e

138 [Prof. Hiroshi Ouchi] 133 base (b a) é igual à área A da região sob o gráfico de f de a até b. (teorema do valor médio) Portanto b a f(x) dx = f(z)(b a) Demonstração do teorema fundamental do cálculo integral para o caso em que f(x) 0. Figura 2.5: demonstração do teorema Para qualquer valor de x entre a e b, consideramos A(x) a área sob a curva y = f(x) no intervalo [a, b]. Sejam x e x + h números no intervalo [a, b]. Por definição, a expressão A(x + h) A(x) representa a área sob a curva y = f(x) entre x e x + h. Para pequenos valores de h, essa área é aproximadamente igual à área de um retângulo de altura f(x) e largura h. A(x + h) A(x) f(x) h A(x + h) A(x) = f(z) h (TVMI) A(x + h) A(x) = f(z) h A(x + h) A(x) lim = lim h 0 + h f(z) h 0 + A (x) = f(x) Portanto A(x) é uma antiderivada de f(x). Suponhamos que F (x) seja outra antiderivada de f(x). Nesse caso, de acordo com a propriedade fundamental das antiderivadas, temos: A(x) = F (x) + C onde C é uma constante arbitrária e a x b. Como A(x) representa a área sob a curva y = f(x) entre a e x, A(a) é a área entre a e a, isto é, A(a) = 0. A(a) = F (a) + C Assim, 0 = F (a) + C

139 134 [Matemática Aplicada] Logo, C = F (a) A(b) representa a área sob a curva y = f(x) entre a e b. A(b) = F (b) + C A(b) = F (b) F (a) Como a área sob a curva y = f(x) é dada por A(b) = b a b f(x) dx = F (b) F (a) a f(x) dx, concluimos: RESUMO: Teorema fundamental do cálculo integral Se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e F (x) é uma função tal que F (x) = f(x), x [a, b], então b a f(x) dx = F (x) OBSERVAÇÕES: ] b a = F (b) F (a) 1. f(x) > 0 A = b a 2. f(x) < 0 Temos A = f(x) dx > 0 b a b a f(x) dx < 0 f(x) dx Figura 2.6: f(x) > 0