Derivadas e suas Aplicações

Transcrição

1 Capítulo 4 Derivadas e suas Aplicações Ao final deste capítulo você deverá: Compreender taa média de variação; Enunciar a definição de derivada de uma função interpretar seu significado geométrico; Calcular e aplicar algumas regras de derivadas; Determinar a derivada de função composta; Empregar a regra da cadeia ou derivada de função composta e suas aplicações; Compreender a diferencial e descrever algumas funções marginais Aplicar a regra de L Hospital Determinar os pontos de máimos e mínimos aplicando a derivada segunda 4 Incremento e taa média de variação Consideremos uma função f dada por y f ( ) Quando varia de um valor inicial de para um valor final de, temos o incremento em O símbolo matemático para a variação em, chamada incremento em, será (leia-se delta ) Logo, valor final de valor inicial de Por eemplo, quando passa de um valor inicial para um valor final,5, o incremento em será,5 0,5 O incremento em y, y (leia-se delta y ), será y valor final de y valor inicial de y Por eemplo, quando y passa de um valor inicial 5 para um valor final 7,5, o incremento em y será y 7, 5 5, 5 Consideremos agora a função y f ( ) + Vamos calcular quando varia do valor para e também calcular y Inicialmente temos Para calcularmos o valor de y, temos para y f () + e para y f () + 0

2 Assim, y 0 8 Portanto, e y 8 De um modo geral, temos Valor inicial de 0 e valor final de 0 + ; Valor inicial de y f ( 0) Para a função Portanto, e valor final de y f ( 0 ) y f ( + ) f ( ) y f ( ) +, temos ( ) y f + f ( ) 0 0 ( ) ( 0 0 ) ( ) ( ) + 0 ( ) y + + Assim, O que acabamos de mencionar, o conceito de incremento, nos motiva a seguinte definição Definição Seja f ( ) uma função definição em um intervalo [ a, b ] e 0 [ a, b ], [ a, b] com 0 Quando a variável passa para o valor 0 para o valor 0 + sofrendo uma variação, 0, o correspondente valor da função passa de f ( 0) para o valor f ( 0 + ) sofrendo, portanto, uma variação y f ( ) f ( ) +, 0 0 Conforme a abaio

3 O quociente y f ( ) f ( 0 ) f ( 0 + ) f ( 0 ), 0 recebe o nome de taa média de variação da função f( ) quando passa do valor 0 para o valor 0 + e epressa a variação média sofrida pelos valores da função f( ) entre estes dois pontos Eemplo 4 Seja a função f tal que f ( ) +, para Determine a taa média de variação de f quando passa de 0 para Resolução: Como temos ; Logo, f ( 0) f () + e f ( 0 + ) f (4) y f ( + ) f ( ) Eemplo 4 Seja a função f tal que f ( ) + 4, para Determine a taa média de variação de f quando passa de 0 para Resolução: Como temos ; f Logo, ( 0) f () e f + f + + ( 0 ) (5) y f f ( 0 + ) ( 0) Eemplo 4 A função custo total para produzir unidades de uma mercadoria, C( ), em reais, é dada pela equação C( ) 0,5 + 0 Determinar a taa média de variação do custo total em relação a, quando varia de 0 unidades para 0 + unidades Resolução: Sabemos pela definição de taa média de variação do custo total é dada por C C ( 0 + ) C( 0) Assim, e ( ) ( ) ( ) C( + ) + 0, (0,5) (0,5)

4 C( ) 0, Logo, ( ) C C 0 + C( 0) ( ) ( ) (0,5) 0 (0,5) (0,5) ( ) (0,5) 0 (0,5) (0,5) 0 0 ( ) (0,5) 0 (0,5) (0,5) 0 0 ( ) 4 + (0,5) 4 0, Portanto, a taa média de variação da função custo total C( ) 0,5 + 0 quando varia de 0 unidades para 0 + unidades é C ,5 Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos eercícios propostos Eercícios propostos ) Determinar a taa média de variação das funções seguintes entre os pontos indicados: a) f ( ) ; e 4 b) f ( ) + ; e c) f ( ) ; e 6 d) f ( ) ; 4 e e) f ( ) + ; e 6 ) Determinar a taa média de variação da função f ( ) + entre os pontos 0 e 0 + ) Uma fábrica de doces verificou que o custo total diário para produzir caias de doces cristalizados, em reais, era dado por C( ) + + Determinar a taa média de variação do custo em relação a 4 Derivada de uma função 4

5 Na seção anterior compreendemos o significado de taa média de variação de uma função f ( ) quando passa do valor 0 para o valor + e isto nos leva a seguinte definição 0 Definição (Derivada) A derivada de uma função f em relação à variável do domínio de f é a função f '( ) dada por f ( + ) f ( ) f '( ) lim, 0 se este limite eistir Diz-se, nesse caso, que a função f () é derivável em Definição Derivada de uma função no ponto 0 Se 0 for um número particular no domínio de f, então a derivada da função f no ponto 0, denotada por f '( 0), é dada por f( 0 + ) f( 0) f '( 0 ) lim, 0 se este limite eistir Diz-se, nesse caso, que a função f () é derivável em 0, ou seja, eiste f '( 0) Notação: Há várias maneiras de representar a derivada, por eemplo, df f '( 0), Df( 0), y ( 0), ( ) 0 d, dy ( ) 0 d, f '( ), y ', df d, dy d, etc Eemplo 44 Dada f ( ) 4 8 +, calcular a derivada de f Resolução: Se é algum número no domínio de f, então pela definição 4 vem f ( + ) f ( ) f ( ) lim 0 4 ( + ) + 8 ( 4 + 8) lim 0 4 ( + + ( ) ) lim ( ) 4 lim ( ) lim 0 ( ) lim 0 5

6 lim(8 + 4 ) 8 0 Portanto, a derivada de f ' ( ) 8 f ( ) 4 8 +, em relação a, é 8, ou seja, Eemplo 45 Dada f ( ) 5 +, encontrar a derivada de f no ponto 0, ou seja, f '() Resolução: Pela definição acima, vem f ( ) f + f () '() lim 0 5( + ) + ( 5 + ) lim 0 5( + + ( ) ) + lim ( ) 0 lim ( ) lim 0 ( ) lim 0 lim ( ) Portanto, f '() 0 Observações (i) Se não eiste o limite ou se é igual a ±, dizemos que a função não é derivável no ponto 0, isto é, f ( 0) (ii) Uma função é derivável num intervalo [ a, b ], se eistem derivadas em qualquer ponto do intervalo [ a, b ] 4 Interpretação geométrica da derivada A derivada de uma função num dado ponto, quando eiste, tem um significado geométrico importante que é o discutido nesta seção 6

7 Seja f( ) uma função definida e contínua em [ a, b ] Seja G o gráfico da função f( ) Seja [ a, b] e 0 [ a, b), 0 Veja a figura abaio FALTA O GRÁFICO DA INTERPRETAÇÃO GEOMETRICA DA DERIVA A reta s determinada pelos pontos P( 0, f( 0)) e Q(, f( )) é uma secante à curva G e o se o coeficiente angular α é tg α f( ) f( 0) 0 Se f é derivável no ponto, quando 0, Q P e s t, onde t é tangente geométrica à curva G no ponto P, isto é, tg β f ( ) f( ) f( 0) 0 Assim, podemos dizer que a derivada de uma função f( ) quando eiste, assume em cada ponto 0, um valor que é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f( ), no ponto de abscissa 0 Observação Sabemos que a equação de uma reta não vertical passando em um ponto ( 0, y 0) é dada por y y m( ), 0 0 onde m é o coeficiente angular da reta Se f ( ) é uma função derivável em 0 segue da interpretação geométrica da derivada que a reta tangente ao gráfico de ( ), f ( ) tem f no ponto ( ) 0 0 coeficiente angular a f ( 0 ) Portanto, a equação da reta tangente é y f ( ) f ( )( )

8 4 Cálculo das derivadas O cálculo da derivada de uma função pela definição, dependendo da função, pode ser bastante complicado Contudo, com base na definição de derivada da função f( ) em relação a variável, é possível obter várias regras que facilitam muito o trabalho São as chamadas regras de derivação para soma, produto e quociente de funções Elas são importantes no cálculo de derivadas de qualquer função A seguir apresentaremos alguns eemplos de cálculo de derivada usando a definição Posteriormente, estes eemplos vão ser utilizados como regras de derivação Derivada da função constante Se f( ) k, onde k é uma constante, então f ( ) 0 Por eemplo, se f( ) 4, então f ( ) 0 Derivada da função afim Se f( ) a + b, onde a e b são constante e a 0, então f ( ) a Por eemplo: (i) Se f( ) 5 + 4, então f ( ) 5; (ii) Se f( ) 6, então f ( ) 6 Derivada da função potência n n Se f( ), onde n, então f ( ) n Por eemplo: 4 (i) Se f( ), então (ii) Se f( ) ( ) 4 ; f, então f ( ) Observação Podemos estender a potência n, para qualquer n que seja inteiro ou racional Por eemplo, se 4 f( ), então 4 4 f '( ), aqui n Derivada da função soma 8

9 Sejam g( ) e h( ) duas funções deriváveis no ponto, então f ( ) g( ) + h( ) também é derivável no ponto e f ( ) g ( ) + h ( ) Logo, se f ( ) g( ) + h( ), então f ( ) g ( ) + h ( ) Observação Podemos estender a propriedade dada acima para a soma de n funções, isto é, se f ( ) f( ) + f( ) + K + fn( ), então f ( ) f ( ) + f ( ) + K + f ( ) n 4 Por eemplo, se f ( ) + +, então f ( ) Derivada da função produto Sejam u( ) e v( ) duas funções deriváveis em, então f ( ) u( ) v( ) também é derivável em e f ( ) u( ) v ( ) + u ( ) v( ) Logo, se f ( ) u( ) v( ), então f ( ) u( ) v ( ) + v( ) u ( ) Para simplificar a notação, às vezes escrevemos simplesmente, f u v + v u Observação Podemos estender a propriedade dada acima para o produto de n funções, ou seja, se então f ( ) f ( ) f ( ) K f ( ), f ( ) f ( ) f ( ) K f ( ) + f ( ) f ( ) K f ( ) n + K + f ( ) f ( ) K f ( ) n n n Em particular, se f ( ) f ( ) K fn( ) u( ), então n n f ( ) ( u( )) f ( ) n( u( )) u ( ) Por eemplo: 9

10 (i) (ii) (iii) f ( ) 5 f ( ) 0 ; f ( ) f ( ) ; f ( ) ( + + ) 5 4 f ( ) 5( + + ) ( + ) Derivada da função quociente Sejam u( ) e v( ) duas funções deriváveis no ponto Seja u( ) f ( ) com v( ) 0 Então v( ) v( ) u ( ) u( ) v ( ) f ( ) ( v( )) Para simplificar a notação, às vezes escrevemos simplesmente, v u u v f v Por eemplo: 0 (i) f ( ) f ( ) ; ( + ) ( + ) (ii) f ( ) f ( ) ; + ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) (iii) f ( ) f ( ) 4 4 Resumindo, temos as seguintes fórmulas de derivação Seja f ( ) uma função de, então temos as seguintes regras de derivação: (i) f ( ) k f ( ) 0, onde k é uma constante; (ii) f ( ) a + b f ( ) a, onde a e b são constantes; (iii) n f ( ) n f ( ) n, onde n, racionais; (iv) f ( ) g( ) + h( ) f ( ) g ( ) + h ( ) ; (v) f ( ) u( ) v( ) f ( ) u( ) v ( ) + v( ) u ( ), (vi) f ( ) ( u( )) n n f ( ) n( u( )) u ( ) ; u( ) v( ) u ( ) u( ) v ( ) (vii) f ( ) f ( ), v( ) 0 v( ) v( ) 4 Derivadas das funções eponencial e logarítmica 0

11 A seguir apresentaremos as fórmulas (sem demonstração) para o cálculo de derivadas de algumas funções trigonométricas, da eponencial e logarítmica Derivada da função eponencial Seja f ( ) a, a + e a, então ( ) ( f a )' a ln a Em particular, quando a e, então ( ) f e f ( ) e Derivada da função logarítmica Seja f ( ) log a, a + e a, então f ( ) (log a )' ln a Em particular, f ( ) loge ln f ( ) Vamos agora resolver alguns eemplos para calcular a derivada de algumas funções utilizando as regras apresentadas Eemplo 46 Calcular a derivada de f ( ) Resolução: Usando as regras acima, vem f '( ) ' 7 ' ' + 5 ' + 6', ou, ( ) ( ) ( ) ( ) f '( ) Portanto, a derivada da função f ( ) é dada por f '( ) Eemplo 47 Calcular a derivada de f ( ) ( ) ( ) Resolução: Inicialmente, vamos considerar u( ) 5 + e v( ) + 5 Assim,

12 ou e ( ) u '( ) 5 + ' , u '( ) ( ) v '( ) + 5 ' Agora, usando a regra acima,vem f ( ) u( ) v ( ) + v( ) u ( ) ( 5 ) ( 6 ) ( 5) ( 6 0 ) Portanto, a derivada da função f ( ) ( ) ( ) é dada por 4 f '( ) Eemplo 48 Determinar a derivada de + f ( ) 4 Resolução: Pela regra acima, temos + ( 4) ( + ) ' ( + ) ( 4 ) ' f '( ) 4 4 ( 4) ( + ) ( ) ( 4) 4 ( 4) 4 ( 4) ( ) Portanto, a derivada da função + f ( ) 4 é a função dada por 4 f '( ) 4 ( ) Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos eercícios propostos

13 Eercícios propostos Obtenha a derivada de cada função a seguir: 4) f ( ) 5 5) f ( ) ) 7) f ( ) 4 5 f ( ) + 8) f ( ) ln 4 Derivada de função composta Sejam y f ( ) e u g( ) duas funções tais que suas derivadas eistem e eista a derivada da função y f ( g( )) que indicaremos por dy d, então y dy f ( g( )) g ( ), d ou ainda, dy dy du y d du d Logo, y f ( g( )) y f ( g( )) g ( ) A derivada obtida acima da função composta também é conhecida como regra da cadeia 4 Eemplo 49 Determinar a derivada da função y e Resolução: Temos, Logo, y 4 e, então y u e, onde u 4 dy dy du u y 4 e 4 4 e, d du d dy u, e du e du d 4 Portanto, a derivada de y 4 e é a função y 4 4 e Alternativamente, podemos calcular a derivada função composta assim: Eemplo 40 Determinar a derivada de

14 ( 4 ) 4 y + Resolução: Aqui, u 4 +, n 4 e u ' Assim, y u Logo, ( ) 4 ( ) ( ) y ' 4 u u ' 4 u u ' Portanto, a derivada de y ( 4 ) 4 + é a função ( ) ( ) y ' Alternativamente, podemos calcular a derivada função composta assim: Eemplo 4 Encontrar a derivada de y + Resolução: Sabemos que onde Assim, y u u +, ( ) y + +, n e u ' 0 + Logo, u ' u ' y ' u u ' u u ' u u + + Portanto, y + y + Eemplo 4 Determinar a derivada de y ln Resolução: Aqui temos Logo, u e u ' 4

15 u ' y ' u Portanto, a derivada de y ln é a função y ' Em resumo temos as seguintes derivadas importantes: n y u n y ' n u u ' y u v y ' u ' v + v ' u u u ' v v ' u y y ' v v 4 y u a y ' a u (ln a) u ', a > 0, a 6 y log a u 7 y ln u ( ) 5 u y e y ' e u u ' u ' y ' log a e u y ' u ' u 8 v y u v v y ' v u u ' + u (ln u) v ', onde u e v são funções deriváveis de e n constante Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos eercícios propostos Eercícios propostos Obtenha a derivada de cada função a seguir: 9) y ln( + ) 0) 5 h( ) ( ) ) h( ) 5 ( ) ) f ( ) + ) h( ) log ( 5 ) 4 44 Derivada de função inversa Seja y f ( ) uma função inversível, derivável no ponto, onde f ( ) 0 A função inversa de y f ( ) que representaremos por g( y) é derivável no ponto y sendo y f ( ), sua derivada é 5

16 g ( y) f ( ) Ou seja, se y f ( ), função dada, e g( y), sua inversa, então g ( y) f ( ) Eemplo 4 y f ( ) 5 7 Calcular a derivada da função inversa de Resolução: Inicialmente vamos calcular a função inversa de y f ( ) 5 7 que é g( y) Aplicando a regra prática para encontrarmos a função inversa de uma dada função, estudada na seção 7, temos + 7 y 5 7 5y 7 5y + 7 y, 5 ou ainda y + 7 g( y) 5 y + 7 Assim, a função inversa de f ( ) 5 7 é g( y) e f ( ) 5 5 Logo, g ( y) g ( y) f ( ) 5 5 De fato, calculando a derivada da função g( y ) em relação a y, temos y + 7 g ( y) 5 5 ' Portanto, a derivada da função inversa de é dada por y f ( ) 5 7, g ( y) 5 g( y) y Eemplo 44 Determine a derivada da inversa da função y f ( ) para > 0 Resolução Vamos calcular a função inversa de y f ( ) aplicando a regra prática estudada no capítulo anterior Assim, a função inversa da função y f ( ) é g( y) y, y (0, ) e f ( ) 0 para todo > 0, logo 6

17 g ( y) ( ) f ( ) y Portanto, a derivada da inversa da função g( y) y é g ( y) ( y ) f ( ) para 0 >, Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos eercícios propostos Eercícios propostos 4) 5 Calcular a derivada da função inversa de y f ( ) no ponto y 5) Determinar a derivada da função inversa de y f ( ) 6) Determinar a derivada da função inversa de y f ( ) 5 7 7) Determinar a derivada da função inversa de y f 4 ( ) + 45 Derivadas sucessivas Suponha que f é uma função derivável no intervalo I Se a função f (), chamada de derivada primeira de f (), é derivável no mesmo intervalo, então eiste a função derivada de f (), indicada como f () que é chamada de derivada segunda de f () Diz-se então que f () é duas vezes derivável Seguindo esse procedimento sucessivamente e, supondo que f () é n vezes derivável, obtém-se a função derivada n -ésima, ou derivada (n) de ordem n, de f () indicada como f ( ) As funções f (), (n) f (),, f (), são as derivadas sucessivas de f () Eemplo 45 Determinar todas as derivadas da função f ( ) + + Resolução: Aplicando as regras de derivação estudadas, temos f ( ) + +, f ( ) + 4, f ( ) 6 + 4, 7

18 f ( ) 6, iv f ( ) 0, n f ( ) 0, n 4 Portanto, todas as derivadas da função n 4 n f ( ) + + é f ( ) 0, Eemplo 46 Obtenha a derivada terceira da função f ( ) Resolução: Aplicando as regras de derivação, temos f ( ), f ( ), f ( ), 6 f ( ) 4 Portanto, a derivada terceira de f ( ) 6 é f ( ) 4 Eemplo 47 Obtenha a derivada de ordem 4 da função f ( ) e Resolução: Aplicando as regras de derivação, temos f ( ) e, f '( ) e, f ''( ) 4 e, f '''( ) 8 e, f ''''( ) 6 e Portanto, a derivada de ordem 4 ou a quarta derivada da função f ( ) e é f ''''( ) 6 e e consequentemente, ( n) n n n f ( ) ( ) e, n Resolva, agora, os seguintes eercícios propostos Eercícios propostos 8

19 8) Calcular todas as derivadas da função f ( ) 9) Determinar a segunda derivada da função 4 f ( ) ) Determinar a segunda derivada da função f ( ) + 46 A Diferencial Suponha que a função f seja definida por y f ( ) e f seja derivável em 0 A variação sofrida por f, quando se passa do ponto 0 ao ponto 0 + é ( ) y f f + f ( ) 0 0 Usando o símbolo, significando "é aproimadamente igual a", dizemos que f f ( 0 ), se for suficientemente pequeno O lado direto da epressão acima é definido como a diferencial de y Isto nos motiva a seguinte definição Definição Se a função f é definida por y f ( ), então a diferencial de y, no ponto 0, denotada por dy ou df é dada por df f ( ) 0 onde 0 está no domínio de f e é um incremento arbitrário de 0 Observação Note que df depende de e é fácil perceber que quanto menor for, mais próimo df estará de f Assim, podemos dizer que df f para pequenos valores de Dessa forma, a diferencial de uma função pode ser usada para calcular aproimadamente variações de f, para pequenos valores de Eemplo Consideremos a função f ( ), 0 e 0 +,0, logo,0 0,0 Calcular f e df Resolução: Vamos calcular inicialmente f f f + f ( ), assim ( ) 0 0 ( ) f f + f ( ) 0 0 f (,0) f () dado por 9

20 ( ),0,00,060 0,060 Para calcularmos a diferencial de f no ponto 0 e 0, 0 temos Assim, f '( ) 6 e f '() 6 6, df f ( ) f '() 0,0 6 0,0 0,06 0 Não é difícil de observar que df f Portanto, f 0, 060 e df 0, 06 Eemplo Calcule a diferencial de 0,0 y f e ( ) no ponto 0 Resolução: Sabemos que a diferencial de uma função f no ponto 0 é dada por Como vem df f ( ) ou df f () 0, 0 0 f '( ) e f '() 4, df f () 0,0 4 0,0 0,04 Portanto, a diferencial de df 0,04 y f ( ) no ponto 0 e 0, 0é Eemplo Seja a função y f ( ) 4 +, encontre y e dy para (i) qualquer e ; (ii), 0,; (iii), 0,0; (iv), 0,00 Resolução: (i) Vamos calcular inicialmente temos y Como y 4 +, y f 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

21 ( 8 ) 4 ( ) + Portanto, ( 8 ) 4 ( ) y + Agora, vamos calcular dy Sabemos que dy f ( ) A derivada de em relação a é Assim, Portanto, y f + ( ) 4 f '( ) 8 dy f '( ) (8 ) dy (8 ) Os resultados para as partes (ii), (iii) e (iv) são apresentados no quadro abaio, onde y (8 ) + 4( ) e dy (8 ) y dy 0,,4, 0,0 0,04 0, 0,00 0, ,0 Eercícios propostos ) Calcular dy da função y f ( ) e no ponto 0 0 para 0, 0 ) Obtenha a diferencial de y f ( ) no ponto 0 para 0, ) Seja a função y f ( ) 5 Calcular y e dy para 0 e 0,0 47 Aplicações: Funções marginais Em Administração e Economia, dada uma função f ( ), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f ( ) por uma pequena variação de Chama-se função marginal de f ( ) à função derivada de f ( ) Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a

22 derivada da função receita, e assim por diante Nesta seção veremos algumas funções marginais Função custo marginal Suponha que C( ) seja o custo total de produção de unidades de certo produto, com 0 e C( ) 0 A função C é chamada de função custo total e temos a seguinte definição Definição Se C( ) é o custo total de produção de unidades de um produto, então o custo marginal quando 0, é dado por C '( 0), caso eista A função C '( ) é chamada função custo marginal Assim, pela seção anterior, C '( ) C C( + ) C( ) Portanto, o custo marginal é aproimadamente igual à variação do custo, decorrente da produção de uma unidade adicional, a partir de unidades 0 Na definição acima, C '( 0) pode ser interpretada como a taa de variação do custo total quando 0 unidades são produzidas Eemplo 48 Suponhamos que C( ) seja o custo total de fabricação de pares de calçados da marca WW dado pela equação C( ) ,0 Determinar o custo marginal quando 50 Resolução: Vamos calcular a derivada da função C( ) ,0, ou seja, C '( ) 4 + 0,04 e C '(50) 4 + 0, Assim sendo, a taa de variação do custo total, quando 50 pares de calçados da marca WW são fabricados, é R$6,00 por par fabricado O custo de fabricação do qüinquagésimo primeiro par de calçado é e C '(50) C C(5) C(50) ( ) ( ) C(5) C(50) , ,0 (50) 66,0 60 6,0 Assim, C '(50) C C(5) C(50) 6,0 Logo, C '(50) é o custo aproimado da produção do qüinquagésimo primeiro par de calçado da marca WW

23 Portanto, o custo marginal quando 50 C ' 50 6 é ( ) Eemplo 49 Consideremos a função custo C( ) 0, 0 0, , determinar o custo marginal para 0 Resolução: Inicialmente, vamos calcular a derivada da função ou seja, e C( ) 0, 0 0, , C '( ) 0,06 0, C '(0) 0, 06 (0) 0, Como C '(0) C C() C(0), vem ( ) ( 0,0 (0) 0, 4 (0) ) C '(0) 0,0 () 0,4 () , ,8 Logo, item C '(0) é o custo aproimado da produção do vigésimo primeiro Portanto, o custo marginal quando 0 é C '(0) 408 Função receita marginal Suponha que R( ) seja a receita total obtida pela venda de unidades de um produto e temos a seguinte definição Definição Se R( ) é a receita obtida quando unidades de um produto são demandadas, então a receita marginal, quando 0, é dado por R '( 0), caso eista A função R '( ) é chamada função receita marginal R '( 0) pode ser positiva, negativa ou nula, e pode ser interpretada como a taa de variação da receita total quanto 0 unidades são demandadas Assim, pela seção anterior, R '( ) R R( + ) R( ) Portanto, a receita marginal é aproimadamente igual à variação da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de 0 unidades

24 Eemplo 40 Suponha de R( ) seja a receita total recebida na venda de cadeiras da loja BBC, e R( ) Calcular a receita marginal para 40 Resolução: Inicialmente, vamos calcular a derivada da função R( ) , ou seja, R '( ) e R '(40) Como, R '(40) R(4) R(40) ( ) ( ) (40) Logo, R '(40) é a receita efetiva da venda da quadragésima primeira carteira Portanto, a receita marginal quando 40 é R '(40) 680 Eemplo 4 Consideremos a função receita total da venda de estantes dada por R( ) 500 Calcular a receita marginal para 50 Resolução: Calculando a derivada da função R( ) 500, temos R '( ) 500 e R '(50) Como ( ) 5 (50) R '(50) R(5) R(50) , ,50 Logo, R '(50) é a receita efetiva da venda da qüinquagésima estante Portanto, a receita marginal quando 50 é R '(50) 450 Função produtividade marginal Consideremos uma função de produção P que dependa da quantidade de um fator de produção variável Chama-se função produtividade marginal do fator à derivada da função P em relação a Eemplo 4 A quantidade P (em toneladas) produzida por mês de certo produto e o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função produção P( ) 06 Determinar a produtividade marginal quando 64 4

25 Resolução: Vamos calcular a derivada da função P( ) 06 em relação a que é a função produtividade marginal do fator trabalho mensal, logo P( ) P '( ) , ou seja, 508 P '( ) Calculando a produtividade marginal quando 64, temos P '(64) 6, Assim, se o número de homens-hora passar de 64 para 65, o aumento na produção mensal será, aproimadamente, 6,5 toneladas Portanto, a produtividade marginal da função produção P( ) 06 quando 64 é 6,5 toneladas Eemplo 4 Considere a função produção P( H ) 500 H 6H, onde P é a produção mensal (em toneladas), e H, o número de homens-hora empregados Calcular: a) função produtividade marginal, P '( H ) ; b) P '(00) Resolução: a) Vamos calcular a derivada da função P em relação a H, logo P( H ) 500 H 6H 500 H 6H P '( H ) 500 H 6 50 H H, H ou seja, 50 P '( H ) 6 H Portanto, a função produtividade marginal é 50 P '( H ) 6 H b) Agora, vamos calcular P '(00), isto é, P '(00)

26 Portanto, P '(00) 9 Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos eercícios propostos Eercícios Propostos 4) O custo total da produção de unidades de certo produto é dado por C( ) 800 Calcular: 40 a) a função custo marginal; b) o custo marginal para 000 ; c) o número de unidades produzidas quando o custo marginal é $ 600 5) Dada a função custo C( ) 0,, , obtenha o custo marginal para 50 e 00 6) Dada a função custo C( ) 0,, , obtenha o custo médio para 0 C( ) Sugestão O custo médio, CM, é dado por CM 7) Dada a função receita R( ) obtenha a receita marginal quando 50 8) A receita total recebida da venda de televisores em cores é dada por R( ) 700 Determinar: 40 a) a função receita marginal; b) a receita marginal quando 0 9) Dada da função receita total receita média para 0 R( ) , determinar a R( ) Sugestão A receita medida, RM, é dada por RM 0) A quantidade P (em kilograma) produzida por dia de certo produto e o trabalho diário envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função produção P( ) Determinar: a) a função produtividade marginal; b) a produtividade marginal quando 6 48 Regra de L Hospital Vamos estudar, nesta seção, outra aplicação das derivadas, que consiste num modo bastante útil de calcular limites de formas indeterminadas, a chamada regra (ou 6

27 Teorema) de L Hospital que nos permite levantar indeterminações do tipo 0 0 e estudadas no capítulo anterior, provenientes do cálculo do limite do quociente de duas funções deriváveis Glossário Regra de L'Hospital foi incorporada por Guillaume François Antoine, Marquês de l'hospital, em 696 Seu objetivo é calcular o limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo 0 ou 0 Nesta seção queremos calcular o limite (a) f ( ) 0 e g ( ) 0 quando a ; (b) f () e g () quando a lim a f ( ), nos seguintes casos g ( ) f '( ) Em ambos, calculamos f '( ), g '( ) e lim Se este limite eiste a g '( ) f ( ) segue que lim também eiste Caso a indeterminação continua, a g ( ) isto é, f '( ) e g '( ) satisfazem (a) e (b), calcule f ''( ) e g ''( ) e f ''( ) lim E assim por diante a g ''( ) Eemplo 44 Usando a regra de L Hospital, calcular o valor do limite lim 4 4 Resolução: Aqui f ( ) e g( ) 4 Aplicando as propriedades dos limites estudadas na seção, vem e lim f ( ) lim( ) lim g( ) lim( 4) Como lim f ( ) 0 e lim g( ) 0 temos uma indeterminação do tipo Calculando f '( ) vem f '( ) e calculando g '( ) vem g '( ) 7

28 Aplicando a regra de L Hospital, temos Portanto, 4 7 lim lim lim Eemplo 45 Calcular lim 0 e Resolução: Aqui f ( ) e g( ) e Aplicando as propriedades dos limites estudadas na seção, vem lim 0 e 0 lim( e ) 0 e 0 0 Como lim 0 e lim( e ) 0 temos uma indeterminação do tipo Calculando f '( ) e g '( ) vem f '( ) e g '( ) Aplicando a regra de L Hospital, temos e lim lim 0 0 e e Portanto, lim 0 e Eemplo 46 Calcular lim e Resolução: Como lim e lim e, temos uma indeterminação do tipo Logo, ( ) ( e ) lim lim lim e e A indeterminação continua Aplicando novamente a regra, vem ( ) lim lim lim 0 e e ( e ) 8

29 Portanto, Eemplo 47 Calcular lim 0 e lim 0 ( log ) Resolução: Aplicando as propriedades dos limites estudadas na seção, vem lim f ( ) lim e lim g( ) lim ( log ) log ( lim ) Temos uma indeterminação do tipo 0, pois lim ( f ( ) g( ) ) f ( ) 0 e g( ), quando 0 a, no caso, Vamos escrever g( ) lim ( f ( ) g( ) ) lim a a f ( ) obtendo assim as indeterminações do tipo Assim, ou, Como lim ( log ) log ( lim ) do tipo ou log log lim ( log ) lim lim 0 0 0, e log lim log lim ( ) 0 0 lim 0, temos uma indeterminação Aplicando a regra de L Hospital, vem ' ( log ) lim ( log ) lim lim ( ) 0 0 ' 0 ( ) lim lim lim Portanto, 0 ( ) lim log 0 9

30 Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos eercícios propostos Eercícios Propostos ) Aplicando a regra de L Hospital calcular os seguintes limites a) sen ( 6) lim b) lim tg 0 4 π c) cos ln + lim d) lim 0 sen e e) 4 lim 8 ln lim g) e + lim h) lim 49 Máimos e mínimos de uma função Esta seção tem como objetivo estudar aplicações da derivada para determinar os valores máimos e mínimos de uma função e para isto necessitamos da seguinte definição Definição 4 Dada a função f : I, um ponto 0 I é chamado de (i) ponto de máimo relativo (ou local) da função quando f ( 0 ) f ( ) para todo I ; (ii) ponto de mínimo relativo (ou local) da função quando f ( ) f ( ) para todo I 0 O valor f ( 0) é chamado de máimo ou mínimo relativo (ou local) de f e (, ( )) f são as coordenadas do ponto de máimo ou mínimo 0 0 relativo (ou local) de f Os máimos e mínimos de uma função são também chamados de etremos relativos Definição 4 Dada a função f ( ), um ponto 0 onde f é derivável em 0 e f '( 0) 0 ou f não é derivável em 0 é chamado de ponto crítico da função f Eemplo 48 Seja a função pontos críticos de f f ( ), Determinar os Resolução: Sabemos que derivável em todo f ( ) é uma função polinomial 0

31 Calculando '( ) f temos f '( ) 6 ( ) Agora f '( ) 0 implica em 6 0, ou seja, 0 e são os pontos críticos da função f ( ) Eemplo 49 Determinar o ponto crítico da função Resolução: Calculando f '( ), temos f ( ) ( ), ou, f '( ) ( ) ( ) f '( ) ( ) ( ), A função dada não derivável em, isto é, não eiste caso, é o único ponto crítico de f f '() Nesse Eemplo 40 Calcular os pontos críticos da função f ( ) + + no intervalo [, ] Resolução: Inicialmente temos se f '( ) + f ( ) + + então Fazendo f ( ) 0, vem + 0 Resolvendo a equação pela fórmula de Bháskara encontramos as raízes e Portanto, e [, ] são os pontos críticos de f ( ) + + em Definição 44 Seja f uma função derivável em 0 Se f tem um máimo ou mínimo relativo (ou local) em 0, então f ( 0) 0 Por eemplo, a função f ( ), para (, ), tem derivada f '( ) Em 0, a função tem um mínimo relativo e f '(0) 0 Vimos no Capítulo, seção que dada uma função f : I, f é crescente no intervalo I quando dados, I, quaisquer, com

32 , tem-se f ( ) f ( ) e f é decrescente no intervalo I quando dados, I, quaisquer, com, tem-se f ( ) f ( ) O teorema a seguir estabelece um critério para determinar onde uma função f é crescente ou decrescente Teorema 4 Seja f ( ) uma função derivável no intervalo ( a, b ), então (a) Se f '( ) 0 em ( a, b ), então f () é constante em ( a, b ) ; (b) Se f '( ) > 0 em ( a, b ), então f () é crescente em ( a, b ) ; (c) Se f '( ) < 0 em ( a, b ), então f () é decrescente em ( a, b ) Eemplo 4 Seja f ( ) Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente Resolução: Temos f ( ) f e '( ) Agora, f '( ) 0 se e somente se 0 então f ( ) 0, logo, f é decrescente em (,0] e f '( ) 0 se e somente se 0 então f ( ) 0, logo, f é crescente em (,0] Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim: f ( ) Conclusão < 0 f ( ) decrescente em (,0] > 0 + f ( ) crescente em [0, ) Veja a figura abaio: Figura 4

33 Eemplo 4 Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente onde f ( ) Resolução: De f ( ) temos f ( ) Agora, 0 então f ( ) 0, para todo e f é crescente em Eemplo 4 Seja f ( ) definida para todo real Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente Resolução: Temos f ( ) então f ( ) + 9 Agora, fazendo f ( ) 0, vem Resolvendo esta equação pela regra de Bhaskara, temos as raízes e Logo, f ( ) ( )( ) Utilizando o sistema de sinais podemos interpretar assim, f ( ) Conclusão 0 ponto crítico de f < + f é crescente < < f é decrescente 0 ponto crítico de f > + f é crescente Portanto, f ( ) é crescente em (,] e [, ) e decrescente em [,] Também e são etremos da função (pontos críticos) Teste da segunda derivada para etremos relativos Este teste é empregado para pesquisar o(s) ponto(s) de máimo(s) e mínimo(s) relativo de uma dada função e para isto temos a seguinte definição Definição 45 Seja 0 um ponto crítico de uma função na qual f ( 0 ) 0 e f eiste para todos os valores de em algum intervalo aberto que contenha o ponto 0 Então f ( 0 ) eiste e (i) se f ''( 0) < 0 então f tem um valor máimo relativo em 0 ; (ii) se f ''( 0) > 0 então f tem um valor mínimo relativo em 0 Eemplo 44 Pesquisar máimos e mínimos relativos da função 4 4 f ( ) + 4 pelo critério ou teste da segunda derivada

34 Resolução: Temos 4 f ( ) então + f ( ) Agora, f ( ) 0 vem Fatorando a epressão vem 4 ( ) 4 ( )( ) A partir desta fatoração fica claro que f '( ) será igual a zero se, e somente, 0, e Logo, 0, e são pontos críticos da função f Vamos analisar agora, os pontos críticos obtidos separadamente Calculando f ''( ) temos f ( ) Analisando para 0, vem f (0) < 0, assim 0 é é um ponto de máimo relativo da função f e seu valor no ponto f (0) ou f (0) 0 Analisando para, vem f () > 0, assim é um ponto de mínimo relativo da função f e seu valor no ponto é f () ou f () Finalmente analisando para, vem f ( ) ( ) + 8 ( ) > 0 Assim é um ponto de mínimo relativo da função f e seu valor no ponto é f ( ) ( ) + ( ) 4 ( ) 6 + ( 8) 4 4, ou seja, f ( ) Portanto, 0 é um ponto de máimo relativo da função f, é um ponto de mínimo relativo da função f e é um ponto de mínimo relativo da função f Veja a figura abaio 4

35 Figura 4 Eemplo 45 Encontrar os etremos relativos da função f ( ) usando o critério da segunda derivada Resolução: Temos, f ( ) 6 f ( ) então ( ) + 9 e f Agora, para calcular os pontos críticos de f é só igualar f '( ) a zero, ou seja, f ( ) 0, isto é, fatorando vem ( )( ) 0 A partir desta fatoração fica claro que f '( ) será zero se, e somente e Logo, e são pontos críticos de f Vamos determinar agora os etremos relativos de f Para, temos f () 6 6 < 0, logo é um ponto de máimo relativo da função f Para, temos f () 6 6 > 0, logo é um ponto de mínimo relativo da função f Portanto, 0 é um ponto de máimo relativo da função f e é um ponto de mínimo relativo da função f Veja a figura abaio: 5

36 Figura 4 Eemplos práticos Eemplo 46 A função custo mensal de fabricação de um produto é dada por C( ) e a função de demanda mensal ( p ) do mesmo produto é dada por p( ) 0 Qual o preço que deve ser cobrado para maimizar o lucro? Resolução: O lucro total é dado por Lucro( L) Re ceita( R) Custo( C) e a receita será Re ceita p R p 0 0 Logo,, assim ( ) L R C , ou ainda, L( ) + Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação a, temos + e L ''( ) + L '( ) Agora, para calcular os pontos críticos de L é só igualar L '( ) a zero, ou seja, L '( ) 0 e vem + 0 Resolvendo esta equação pela fórmula de Bháskara, temos as raízes 0 e Logo, 0 e são os pontos críticos de L Vamos determinar agora os etremos relativos de L Para 0, temos L ''(0) 0 + > 0, logo, é um ponto de mínimo relativo de L 6

37 Para, temos L ''() + < 0, logo, é um ponto de máimo relativo de L Portanto, o preço que deve ser cobrado para maimizar o lucro é Eemplo 47 A empresa Sempre Alerta produz um determinado produto com um custo mensal dado pela função C( ) Cada unidade deste produto é vendida por R$,00 Determinar a quantidade que deve ser produzida e vendida para dar o máimo lucro mensal Resolução: Seja a quantidade a ser produzida e vendida para dar o máimo lucro mensal O lucro mensal é dado Lucro( L) Re ceita( R) Custo( C), assim ou ainda, L R C L( ) Calculando a derivada primeira da função lucro, em relação a, temos L '( ) e L ''( ) + 4 Agora, para calcular os pontos críticos de L é só igualar L '( ) a zero, ou seja, L '( ) 0 e vem Resolvendo esta equação pela fórmula de Bháskara, temos as raízes e 7 Logo, e 7 são os pontos críticos de L Vamos determinar agora os etremos relativos de L Para, temos L ''( ) ( ) ( ) > 0, logo, é um ponto de mínimo relativo de L 7

38 Para 7, temos L ''(7) < 0, logo, é um ponto de máimo relativo de L Portanto, a quantidade a ser produzida e vendida para dar o máimo lucro mensal é 7 Vamos verificar se você está acompanhando tudo até aqui? Procure, então, atender aos eercícios propostos Eercícios propostos ) Seja f ( ) a) Determine os pontos críticos de f b) Determine os intervalos onde f é crescente e decrescente ) Seja f ( ) , determine: a) os pontos críticos, b) os intervalos onde f é crescente e decrescente, c) os valores máimos e mínimos de f 4) O custo total de produção de aparelhos de certa TV Plasma por dia é R$ e o preço unitário que elas podem 4 ser vendidas é R$ 50 cada Qual deve ser a produção diária para que o lucro seja máimo? 5) A produção de bicicletas da empresa Roda Viva é de por mês, ao custo dado por C( ) 00 + Se a equação de demanda por p 5, obtenha o número de unidades que devem ser produzidas e vendidas para maimizar o lucro mensal 6) A equação de demanda de um produto é p 0 5ln Determinar: a) a função receita R( ) ; b) o valor de que maimiza a receita Respostas ) a) 0 b) c) 8 d) 7 e) 8

39 y ) ( ) ) C 0 + 0,5 + 4) f '( ) 0 5) f '( ) + 4 6) 7 4 f '( ) 7) 4 5 f '( ) + 5 8) f '( ) + ln 9) y + 0) 4 h ( ) 5 ( ) (6 + 4) ) h'( ) 5 ( 6 + 4) ( ) ) 5 f '( ) + + ) 0 h '( ) ( 5 ) ln0 4) 5 5) g '( y) y + 4 6) 7 7) g '( y) 4 4 ( y ) 6 ( ) n n n! 8) f ( ) ( ) n, n 9) + ''( ) f + 0) 5 f ''( ) + 4 ) dy 0 ) df 0, ) y 0, 0699 e dy 0,0700 4) a) C '( ) 800 ; 0 b) 750; c) ) 00 e 850 6) CM 45 7) R '(50) 0 8) a) R '( ) 700 ; b) ) 00 0) 50 a) P '( ) + 5 ; b) 5, ) a) 6 4 b) c) 0 π d) 0 e) f) 0 g) + h) 5 ) a) e b) f é crescente no 5 intervalo < ; f é decrescente no 5 intervalo < < ; f é crescente no intervalo > ) a) e b) f é crescente no intervalo < ; f é decrescente no intervalo < < ; f é crescente no intervalo > c) em, f tem ponto de máimo e em, f tem ponto de mínimo 4) 0 aparelhos de TV Plasma por dia 5) bicicletas 9

40 6) a) R( ) 0 5 ln 5 ; b) e Resumo do capítulo Neste capítulo você compreendeu taa média, a definição de derivada de uma função bem como sua interpretação geométrica Aprendeu como calcular a derivada de uma função aplicando regras de derivação, tais como, a regra da cadeia Você aplicou derivada em algumas funções marginais, também estudou a regra de L Hospital e finalmente, aplicou a derivada para determinar os pontos de máimos e de mínimos de uma função através do teste da derivada segunda Saiba mais Para uma melhor compreensão dos conteúdos estudados neste capítulo, consulte: MORETTIN, Pedro A, HAZZAN, Samuel e BUSSAB, Wilton de O Cálculo funções de uma e várias variáveis São Paulo: Saraiva, 005 SILVA, Sebastião Medeiros da, SILVA, Elio Medeiros da e SILVA, Ermes Medeiros da Matemática: para os cursos de economia, administração e ciências contábeis ed São Paulo: Atlas, 988 WHIPKEY, Kenneth L e WHIPKEY,Mary Nell Cálculo e suas múltiplas aplicações ed Campus, Rio de Janeiro: 98 Vamos estudar no capítulo seguinte outro conceito também muito importante do cálculo diferencial que é o da integral, onde você verá que a integral está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer 40