12. Diferenciação Logarítmica

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1 2. Diferenciação Logarítmica A diferenciação logarítmica é uma técnica útil para diferenciar funções compostas de potências, produtos e quocientes de funções. Esta técnica consiste em executar os seguintes passos: ) Tomar o logaritmo natural em ambos os lados de uma equação = e usar as leis dos logaritmos; 2) Derivar implicitamente em relação a ; 3) Isolar. Cálculo da derivada de uma função composta por potências de funções Seja = uma função dada por: = onde = =h, ou seja, = Deseja-se calcular a derivada ou ou. Vamos calcular a derivada seguindo as etapas da técnica de diferenciação logarítmica: ) Tomar o logaritmo natural em ambos os lados da equação e usar as lei dos logaritmos ln =ln =.ln 2) Derivar implicitamente em relação a ln =.ln. =. ln+ln.. =.. +ln. 3) Isolar =. +ln. =. +ln. Cálculo I - h 43

2 Exemplos: Calcule a derivada das funções indicadas: = + ln=ln + =2.ln + ln= 2.ln +. =2. ln ++ln = ln = ln + 4 = + +2ln + = ln + 2 =+ ln=ln+ = ln + ln = ln +. =.ln + +ln+.. =.ln =ln +. =ln =ln = ln + + = +.ln + + Cálculo I - h 44

3 3 = ln=ln =3.ln ln =3.ln. =3.ln+ln.3. =cos 33.ln+.3 =3 cos 3ln+.3 = 3 cos 3ln+ 3 4 =2.cos ln=ln2.cos =ln2 + lncos = cos.cos = 2 ln 2 2 cos = ln 2 cos =2 cosln 2 cos =2 ln2cos 2 5 = ln =ln ln =ln2 ++6 ln +2 ln = ln2 ++6 ln +2. = ln2 ++6 ln +2. = = = = Cálculo I - h 45

4 3. Diferenciais Seja = uma função diferenciável. A diferencial de (denota-se ) é uma variável independente que pode assumir qualquer valor real. A diferencial de (denota-se ) é dada pela equação: = A diferencial é uma variável dependente que depende do valor de e de. Fixado um valor para, a equação é a representação de uma função que a cada R, associa R, onde =. Tal função é denominada de diferencial de em, ou, simplesmente, diferencial de =. Se 0 então podemos escrever: = Estamos acostumados a interpretar como uma simples notação para a derivada de em relação a, porém podemos interpretar como o quociente entre a diferencial de e a diferencial de. Na maioria das aplicações, as diferenciais e são consideradas como pequenos incrementos. O significado geométrico das diferenciais é mostrado na figura abaixo. Sejam, e +,+ dois pontos sobre o gráfico da função = e considere como sendo o incremento dado na variável, ou seja, =. = + = T + De acordo com a figura, a distância entre os pontos e é = tan. Mas tan é o coeficiente angular da reta tangente T, no ponto,, então tan= =. Portanto, = e representa a variação na ordenada da reta tangente, correspondente à variação em. Observe que, a distância entre os pontos S e Q, representa a variação que a função sofre quando se passa de para +. = =+ Cálculo I - h 46

5 Observe que se 0 a diferencial pode ser vista como uma aproximação para, ou seja,. Evidentemente, o erro absoluto que se comete na aproximação de por será tanto menor quanto menor for. Fazendo = 0 tem-se, então = Utilizando as diferenciais podemos encontrar uma aproximação linear para a função em torno de um ponto do domínio. Esta aproximação permite estimar o valor da função em um ponto = +, próximo de, cujo resultado será tanto melhor quanto menor for o incremento. Se = 0 então. Mas = + e =. Então: Observe que a equação acima representa a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto,. Exemplos: ) Encontre a diferencial das funções = + 2 Se = = =3 +2 =3 +2 = Se = = =cos =2 =ln Se = = = ln. = ln ln= ln Cálculo I - h 47

6 2) Calcule o valor da diferencial para os valores de e indicados =, =0, =0, Se = = = 4 = 4 = 4, =0 =0, =.0, =0,025 4 = +2, =3, = 2 Se = = =2+2 =2+2, =3 = 2 = =4 3) Dada a função =, calcule, e o erro absoluto que se comete na aproximação de por, para os valores de e de indicados. =, =, = =+ =2 = 2 0,44 = = 2 = 2.=0,5 = 0, ,086 = 6, =4, = =+ =3 4 = =4 3 =,3333 = = 6 6 = 6. = =,333 0,3333 4) Use diferenciais para estimar o valor do número dado: 2,00 Fazendo ==, =2 =0, ,00 =2,00=2+0, ,00 2=2 =32 ; =5 ; 2=5.6=80 2,00= ,00=32,08 Cálculo I - h 48

7 99,8 Fazendo ==, =00 = 0, ,8=99,8=00 0, ,2 00= 00=0 ; = 2 ; 00= 2 00 =0,05 99,8=99,8 0+0,05 0,2=0 0,0=9,99 5) Um comerciante deseja embalar seu produto em caixas em forma de cubo, com lados iguais a 30 cm. O fabricante das caixas informou que há a possiblidade de terem cometido erros durante a fabricação de no máximo 0. na medida de cada um dos lados do cubo. a) Use as differenciais para estimar o maior erro possível que os defeitos podem causar na medição do volume do cubo. Chamando de o volume e de o comprimento dos lados dos cubos, o volume pode ser representado pela equação =, (=). Queremos saber a variação do volume que é causada quando o comprimento de cada um dos lados do cubo varia no máximo de 0,. Como não estamos interessados se a variação de volume causará prejuízo (+0, cm) ou lucro (-0, cm) vamos considerar o valor positivo para o incremento da variável, ou seja, =0,. Como desejamos uma estimativa, vamos usar as diferenciais, então e = =0,. = = =3 Quando =30 e =0, tem-se: =3 =3 30 0,=270 O maior erro que os defeitos podem causar na medição do volume representa % do volume da caixa sem defeito de medição =30 = b) Cálcule o maior erro real possível que os defeitos podem causar na medição do volume do volume do cubo. Queremos saber a variação real do volume que é causada quando o comprimento de cada um dos lados do cubo varia de =30 para =30,. =+ =30, 30 =30, 30 =270,90 Observe que Cálculo I - h 49

8 4. Regra de L Hospital Sejam e funções diferenciáveis e Se o limite lim lim =0 0 lim = existir (finito ou infinito), então. lim = lim Obs: A regra também é válida se for substituído por ou, ou se =+ ou =. Observações: ) É extremamente importante verificar se um dado quociente tem a forma indeterminada 0/0 ou / para que a regra de L Hospital possa ser utilizada. 2) Indeterminações do tipo 0. podem ser modificadas para indeterminações do tipo 0/0 ou / permitindo a utilização da regra de L Hospital. 0. =0. 0 = =. = 3) A regra de L Hospital pode ser aplicada repetidas vezes até que o quociente deixe de apresentar as formas indeterminadas 0/0 ou / Exemplos: Calcule o limite indicado utilizando a regra de L Hospital, se possível lim 4 2 =0 0 4 lim 2 =lim 4 2 = lim 2 =2. = 4 2 lim = 0 0 cos lim = lim = lim = cos0 = ln 3 lim = + + ln ln lim = lim = lim = lim = 0 Cálculo I - h 50

9 4 lim =+. =+. 0 Antes de aplicar a regra de L Hospital devemos transformar a indeterminação +. 0 em uma indeterminação do tipo 0/0 ou / lim = lim lim = lim =+ = lim = lim = = + =0 5 lim lim = = lim = lim =+ + Como o limite continua na forma indeterminada / aplica-se a regra de L Hospital novamente. lim = lim = lim 6 4 = lim =2 0 ã é í Como o limite não leva a uma indeterminação do tipo 0/0 ou / não é possível calculá-lo pela regra de L Hospital. Se aplicarmos a regra em uma forma que não tenha estas indeterminações, poderemos chegar a uma conclusão incorreta. Neste exemplo se tivéssemos utilizado a regra de L Hospital teríamos: lim 3 =lim 3 = lim =lim 3 =0 =0 O que estaria INCORRETO. O cálculo correto deste limite é feito através da análise de sinais dos limites laterais lim 3 =2+ =+ lim = lim = lim =+ 3 3 Portanto 2 4 lim 3 =+ + =+ Cálculo I - h 5

10 5. Variação das funções Função Crescente Seja uma função definida em um intervalo, então: é crescente em se < sempre que <, quaisquer que sejam e pertencentes a. Função Decrescente Seja uma função definida em um intervalo, então: é decrescente em se > sempre que <, quaisquer que sejam e pertencentes a. Teorema do Valor Médio ou de Lagrange Se é uma função contínua em, e derivável em, então existe, tal que a reta tangente ao gráfico de no ponto, é paralela à reta que passa por, e,. Ou seja, = Cálculo I - h 52

11 Consequências do Teorema do Valor Médio ou de Lagrange Seja é uma função contínua no intervalo fechado, e derivável no intervalo aberto, então: Se 0 para todo,, então é crescente em,. Se 0 para todo,, então é decrescente em,. Exemplos: Faça a análise do crescimento e do decrescimento das funções: ) = 23 2 A função é contínua e derivável em todo. Assim o teorema do Valor Médio é válido e suas consequências podem ser aplicadas. 20, qualquer que seja Logo a função é decrescente a em todo o domínio. 2) 3 A função é contínua e derivável em todo. A função satisfaz as condições do teorema do Valor Médio (T.V.M.) e suas consequências podem ser aplicadas. 3 0, qualquer que seja Logo a função é crescente a em todo o domínio. 3) A função é contínua em 0, mas não é diferenciável em 0, então não satisfaz as condições do T.V.M.. No intervalo,0 o T.V.M é válido pois é contínua em,0 e diferenciável em,0 Quando 0 ; 0 portanto é,0. No intervalo 0, o T.V.M é válido pois é contínua em 0, e diferenciável em 0, Quando 0 ; 0,.portanto é 0, Cálculo I - h 53

12 Ponto Crítico Um número é um número crítico de se =0 ou se não existe. O número crítico também é chamado de ponto crítico do domínio de. Exemplos: Encontre os pontos críticos do domínio das funções abaixo: = = = 3.3= 3 6 Para ser ponto crítico, e =0 ou. = R não existe quando 3 6=0 =2 =2 é número crítico de pois =2 2 nunca se anula. 2 =+5 4 =+5 4 = = = = 3 4 = = R não existe quando 4=0 = 4 =4 é número crítico de pois =4 4 =0 quando +5=0 = 5 = 5 é número crítico de pois = 5 5=0 =0 quando 7 9=0 = = é número crítico de pois = =0 Cálculo I - h 54

13 Máximos e Mínimos Relativos (ou local) Uma função terá um valor máximo relativo em se existir um intervalo aberto contendo, tal que para todo nesse intervalo. A função terá um valor mínimo relativo em se existir um intervalo aberto contendo,, tal que para todo nesse intervalo. Os valores máximo e mínimo da função são também chamados de valores extremos, ou extremos de. Teste da Derivada Primeira Seja uma função definida e contínua num intervalo aberto, e,. Se é diferenciável em todos os pontos em, exceto, possivelmente em, então: possui um máximo relativo em, < <, se: >0 para todo em, e <0 em,, isto é, se à esquerda de a função for crescente e à direita de a função for decrescente. possui um mínimo relativo em, < <, se: <0 para todo em, e >0 em,, isto é, se à esquerda de a função for decrescente e à direita de a função for crescente. >0 <0 >0 crescente decrescente crescente Cálculo I - h 55

14 Teorema Se for uma função definida para todos os valores de no intervalo aberto, e se tiver um extremo relativo (máximo ou mínimo) em, sendo, então é número crítico de, isto é: 0 Observações. Pelo teorema, se é um ponto de extremo local para e for derivável em, então 0. Assim, a reta tangente à curva no ponto, é horizontal. 2. A recíproca não é verdadeira, ou seja, o fato de ser um ponto crítico não garante que seja um ponto de máximo ou de mínimo. Cálculo I - h 56

15 Exemplos: Dada uma função, determine seus os intervalos de crescimento e de decrescimento e seus pontos de máximo e de mínimo relativos, se existirem. ) Determinação dos pontos críticos: 0 3 existe para todos os valores de. Devemos então procurar os valores de tais que é número crítico de pois 0 00 Cálculo do valor da função nos pontos críticos Em 0: 00 Intervalos de crescimento e de decrescimento: Análise do sinal de crescente 30 crescente 0 0 crescente 0 crescente Extremos Relativos Como à direita e a à esquerda de 0 a ) não muda de sinal, não tem extremo relativo em 0. A função é sempre crescente. Cálculo I - h 57

16 2) 3 Determinação dos pontos críticos: =0 =3 6 =3 6=0 3 6=0 3 2=0 =0 2=0 =0 é número crítico de pois =0 =R 0=0 =2 é número crítico de pois =2 =R 2=0 Cálculo do valor da função nos pontos críticos Em =0: 0=0 Em =2: 2= 2 32 = 4 Intervalos de crescimento e de decrescimento: Análise do sinal de =3 6 <0 0<<2 >2 =9>0 = 3<0 3=9>0 crescente decrescente crescente >0 crescente <0 =0 decrescente =2 >0 crescente Extremos Relativos Como em =0 a função passa de crescente para decrescente, =0 é ponto de máximo relativo e o valor máximo relativo da função é 0=0. Como em =2 a função passa de decrescente para crescente, =2 é ponto de mínimo relativo e o valor mínimo relativo da função é 2= 4. Cálculo I - h 58

17 Máximos e Mínimos Absolutos Nem sempre uma função possui extremo relativo em intervalo aberto e, quando existe, ele não necessariamente é único. çã é h á çã é h í Teorema do Valor Extremo Se é uma função contínua no intervalo fechado, então toma seu valor máximo e seu mínimo ao menos uma vez em,. Obs: A importância deste teorema é que ele garante a existência de valores extremos, se a função for contínua no intervalo fechado,. Ou seja, se os valores extremos da função não ocorrem em algum ponto do intervalo aberto,, então eles ocorrem nas extremidades do intervalo fechado,, ou seja, em ou em. Exemplos Determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento e os valores extremos relativos e absolutos da função 2 em 3, 5. Determinação dos pontos críticos de no intervalo aberto 3,5. =3 2 existe para todos os valores de 3,5. Devemos procurar os valores de tais que =0 =3 2=0 =4 =2 = 2 =2 = 2 é número crítico de pois = 2 3,5 2=0 = 2 é número crítico de pois =2 3,5 2=0 Cálculo do valor da função nos números críticos 2= =6 2=2 2.2= 6 Cálculo I - h 59

18 Intervalos de crescimento e de decrescimento: 3 2 3, 2 2, 2 2, crescente decrescente crescente Extremos Relativos Como em 2 a função passa de crescente para decrescente, a função tem um valor máximo relativo 26. Ponto 2,6 Como em 2 a função passa de decrescente para crescente, a função tem um valor mínimo relativo 2 6. Ponto 2, 6 Cálculo do valor da função nos extremos do intervalo Extremos Absolutos O maior valor da função no intervalo 3,5 ocorre em 5 e 565 é o valor máximo absoluto da função nesse intervalo. Ponto 5,65 O menor valor da função no intervalo 3,5 ocorre em 2 e 2 6 é o valor mínimo absoluto da função nesse intervalo. Ponto 2, 6 Cálculo I - h 60

19 Concavidade Dizemos que o gráfico de tem concavidade para cima no intervalo aberto quando ele estiver acima de todas as retas tangentes traçadas em todos os pontos de. é crescente em. Dizemos que o gráfico de tem concavidade para baixo no intervalo aberto quando ele estiver abaixo de todas as retas tangentes traçadas em todos os pontos de. é decrescente em. Côncavo para cima Côncavo para baixo Teste da Concavidade Seja uma função contínua e derivável até a segunda ordem em >0 0 Ponto de Inflexão Seja uma função contínua e um ponto de seu domínio. O ponto é denominado de ponto de inflexão de quando nele ocorre a mudança de concavidade do gráfico de. Se = é ponto de inflexão do gráfico de, então é número crítico do gráfico de, ou seja, =0 OBS: =0 ou são condições necessárias para ser um ponto de inflexão, porém não suficientes. Devemos analisar o sinal de para < e >. Se houver mudança de sinal é ponto de inflexão. Teste da Segunda Derivada Suponha contínua próxima de =. Se =0 >0 tem um mínimo local em = Se =0 <0 tem um máximo local em = Se =0 =0 nada se pode afirma (fazer análise de sinal de Cálculo I - h 6

20 Exemplos: Dada uma função contínua no intervalo fechado, indicado, determine: a) Os pontos críticos do domínio de em, b) Os valores extremos relativos de c) Os valores extremos absolutos de d) Pontos de inflexão e) Gráfico da função = , 3 a) Pontos Críticos:, =0 ou =4 4 definida em todo intervalo =0 4 4=0 4 =0 4 =0 =0 =0 = = = = Como a função é contínua no intervalo 2, 3 e os pontos =0, = e = pertencem a esse intervalo e 0= = =0 eles são pontos críticos do domínio de. Pontos Críticos no intervalo 2, 3 =0, = = b) Valor da função nos pontos críticos = 2 +3=2 0= =3 = 2 +3=2 c) Extremos relativos de em 2, 3 ( pelo teste da Derivada Segunda) =2 4 Em = = 2 4=8>0 (concavidade para cima) = é ponto de mínimo relativo e =2 é mínimo relativo de í :,2 Em =0 0=2 0 4= 4<0 (concavidade para baixo) =0 é ponto de máximo relativo e 0=3 é máximo relativo de á : 0,3 Em = = 2 4=8>0 (concavidade para cima) = é ponto de mínimo relativo e =2 é mínimo relativo de í :,2 Cálculo I - h 62

21 d) Valor da função nos extremos do intervalo 2, 3 2= =6 8+3= á: 2, 3= =9 6+3=6 á: 3,6 e) Extremos Absolutos de em 2, 3 O maior valor da função ocorre no extremo do intervalo em = 2, portanto, = 2 é ponto de máximo absoluto e 2= é o valor máximo absoluto da função no intervalo 2, 3. O menor valor da função ocorre quando = ou quando =, portanto, = e =, além de serem pontos de mínimo relativo, são pontos de mínimo absoluto da função no intervalo fechado 2, 3 e ==2 é o valor mínimo absoluto da função no intervalo fechado. f) Pontos de Inflexão: =0 ou = =0 2 =4 = 4 2 = 3 = 3 = 3 3 = 3 3 Análise da Concavidade < < < 3 3 > 3 3 =8>0 0= 4<0 =8 côncavo para cima côncavo para baixo côncavo para cima Conclusão: tem pontos de inflexão quando = e = g) Valores da função = 2 +3 nos pontos de inflexão: 3 3 = =3= = 6+27 = , = =3= = 6+27 = ,44 á: 3 3, ,22 9 Cálculo I - h 63

22 . O intervalo, contém um mínimo relativo, portanto, o gráfico de é côncavo para cima ( 0 no intervalo 2, 3/3. O intervalo, contém um máximo relativo, portanto, o gráfico de é côncavo para baixo ( 0 no intervalo 3/3, 3/3. O intervalo, contém um mínimo relativo, portanto, o gráfico de é côncavo para cima ( 0 no intervalo 3/3, , 3 a) Pontos Críticos:, 0 ou é definida em todo intervalo Como a função é contínua no intervalo 3/2,3 e os pontos 0 e 2 pertencem a esse intervalo e 0 20, 0, 2 são pontos críticos do domínio de. b) Valor da função nos pontos críticos ,33 c) Extremos relativos de em,3 2 6 Em 0 00 Como 00, o teste da derivada segunda não é conclusivo. Vamos determinar os extremos pelo teste da derivada primeira ,52.50 decrescente decrescente crescente Como em 0 não muda de sinal, não tem ponto extremo em 0. Como em 2 a função muda de decrescente para crescente, 2 é mínimo relativo. í :2,5,33 Cálculo I - h 64

23 d) Valor da Função nos extremos do intevalo 3/ ,06 á:,5, 4, e) Extremos Absolutos de em 3/2,3 á: 3,9 O maior valor da função ocorre no extremo do intervalo em 3/2, portanto, 3/2 4,06 é o valor máximo absoluto da função no intervalo 3/2,3. O menor valor da função ocorre quando 2, portanto 2 5,33 é valor máximo relativo e absoluto. f) Pontos de Inflexão: 0 ou ,33 Análise da Concavidade 0 0 4/3 4/ côncavo para cima côncavo para baixo côncavo para cima Em 0 e em 4/3 o gráfico de muda sua concavidade, portanto são pontos de inflexão. g) Valor da função nos Pontos de Inflexão ,6 Cálculo I - h 65

24 6. Problemas de Otimização Nestes problemas buscamos soluções que sejam ótimas, do ponto de vista matemático. Procuramos, de acordo com o problema, a solução que minimize ou maximize a função analisada. çã çã á í, í =0 >0 çã çã á á, á =0 <0 : ã, h, Exemplos: ) Quadrados iguais são cortados de cada canto de um pedaço retangular de cartolina, medindo 8 cm de largura e 5 cm de comprimento. Uma caixa sem tampa é construída dobrando os lados para cima nas linhas pontilhadas. Determine o comprimento dos lados dos quadrados que devem ser cortados para a produção de uma caixa de volume máximo Á. = = Sabemos que se a função possuir pontos de máximo, então eles ocorrem nos Pontos Críticos, então devemos ter = =0. = = =0 Cálculo I - h 66

25 Devemos observar que para a construção da caixa devemos ter 04. Assim o domínio da função é o intervalo 0,4, portanto 6 não pertence ao domínio e somente 5/3 é ponto crítico em 0,4. Devemos verificar se 5/3 é ponto de máximo ou de mínimo o que pode ser feito pelo teste da segunda derivada de ã / Como em 5/3 tem-se 0 e 0, então 5/3 é ponto de máximo local. Portanto 5/3 é o valor que deve ter para que o volume seja máximo á ) Uma lata cilíndrica é feita para receber um litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal utilizado para produzir a lata. Queremos encontrar as dimensões da lata que armazena litro (V= litro=000 cm 3 ) que tenha a menor superfície (ou área S) 2 2 h 000 h h Sabemos que se a função possuir pontos de máximo, então eles ocorrem nos Pontos Críticos, então devemos ter Verificação de ponto máximo ou mínimo , 0 5,420 5,420,ã 5,42 é í 5,42 ã h ,420,84 5,42 R: A menor área é a produzida pelo cilindro de 5,42 e h0,84. Cálculo I - h 67

26 3) Um estudante, ao construir uma pipa, deparou-se com o seguinte problema: possuía uma vareta de miriti com 80 de comprimento que deveria ser dividida em três varetas menores, duas necessariamente com o mesmo comprimento, que será a largura da pipa, e outra de comprimento, que determinará a altura da pipa. A pipa deverá ter formato pentagonal, como na figura abaixo, de modo que a altura da região retangular seja, enquanto a da triangular seja. Para garantir maior captação de vento, ele necessita que a área da superfície da pipa seja a maior possível. A pipa de maior área que pode ser construída, nessas condições, possui área igual a: (A) (B) (C) (D) (E) Área da pipa: Mas o comprimento total da vareta a ser dividida é Queremos saber se existe algum valor que maximize a área da pipa, ou seja, queremos saber o ponto de máximo absoluto da função em 0,40. Se for ponto de máximo absoluto então, será a maior área possível. Pontos Críticos de Teste da Segunda Derivada Portanto em 20 a função tem máximo relativo e absoluto e a área máxima é: Cálculo I - h 68