MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 MATEMÁTICA FINANCEIRA FINANCIAMENTOS Prof. Walter Sousa

2 O que é Fluxo de Caixa? Um fluxo de caixa (PMT) representa o movimento de entradas (recebimentos) e saídas (desembolsos) de capitais ao longo de um universo temporal. Os empréstimos e financiamentos de diferentes tipos envolvem uma sequência de desembolsos/recebimentos de prestações.

3 Financiamentos Os empréstimos e financiamentos de diferentes tipos envolvem uma sequência de desembolsos/recebimentos de prestações. Os financiamentos são feitos geralmente com uma entrada (E) e a parte restante a financiar (F), que corresponde à diferença entre o preço a vista e o valor da entrada.

4 Fluxo de Caixa - Período de Ocorrência Postecipados: Indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro intervalo de tempo. Antecipados: Indica que a serie de valores começa a ocorrer antes do final do primeiro período. Diferido (Carência): O início do fluxo de pagamentos ou recebimentos ocorre após o final do primeiro período, constituindo o que, em matemática financeira, chamamos carência.

5 Periodicidade Periódicos: É quando os intervalos entre os termos do fluxo são constantes, idênticos entre si. Não periódicos: O intervalo entre os fluxos é variável.

6 Duração Limitados: É finito o número de termos, de modo que o prazo total do fluxo é conhecido. Indeterminados: O prazo não é conhecido previamente, gerando uma série de pagamentos infinita.

7 Valores - Parcelas Constantes: Os valores componentes do fluxo de caixa são iguais entre si. Variáveis: Os valores componentes do fluxo decaixa são variáveis.

8 Financiamentos - termos F = Valor financiado P = Valor da parcela n = Prazo do financiamento! = Taxa de juros efetiva do financiamento A = Cota de amortização Sd(n) = Saldo devedor no período n

9 Financiamentos Ø Sistema de Amortização Constante (SAC) Trata-se de um sistema em que a cota de amortização (A) é fixa, constante, a cada período, o que implica prestações maiores no início do fluxo de pagamentos, reduzindo-seaos poucos. Termos a) Valor financiado (F): Diferença entre o valor à vista e o valor da entrada no financiamento. b) Amortização (A): Valor que reduz o saldo devedor, no processo de extinção da dívida. No SAC, é constante. c) Parcela (P): Valor pago a cada período. No SAC, é variável. d) Juros (J): O valor dos juros pagos em cada parcela. Relação principal: P = A + J

10 Ø Cálculo da Amortização (A) Constante! = # $ Sistema de Amortização Constante - SAC Exemplo: Um financiamento pelo SAC, no valor de R$ 2.000,00, em 4 parcelas mensais, postecipadas, a uma taxa de 2% ao mês. Qual é o valor da cota deamortização?

11 Ø Cálculo do Saldo devedor O saldo devedor após o pagamento da parcela k é igual ao número de parcelas em aberto (n k) vezes a cota de amortização (A). Sd(k) = (" $) & ' Sistema de Amortização Constante - SAC Exemplo: Um financiamento pelo SAC, no valor de R$ 2.000,00, em 4 parcelas mensais, postecipadas, a uma taxa de 2% ao mês. Qual é o valor do saldo devedor após o pagamento da 3ª prestação?

12 Sistema de Amortização Constante - SAC Ø Cálculo dos juros inclusos na parcela k O valor dos juros inclusos na parcela índice k corresponde à taxa de juros (i) do financiamento sobre o saldo devedor anterior ao pagamento da parcela,!" #$%. ' # = ) *!" #$% Exemplo: Um financiamento pelo SAC, no valor de R$ 2.000,00, em 4 parcelas mensais, postecipadas, a uma taxa de 2% ao mês. Qual é o valor do componente dos juros inclusos na 3ª prestação?

13 Sistema de Amortização Constante - SAC Ø Cálculodosjuros totais O valor total dos juros pagos no financiamento é igual ao somatório dos juros pagos em cada parcela, podendo ser calculado pela relação:! " = 1% & ' + 2% & ' + 3% & ' +. +-% & '! " = ( ) & ' & %! " = 0&(012) & ' & % 3 Exemplo: Um financiamento pelo SAC, no valor de R$ 2.000,00, em 4 parcelas mensais, postecipadas, a uma taxa de 2% ao mês. Qual é o valor dos juros totais pagos?

14 (CESGRANRIO) Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será (A)50,00 (B) 52,00 (C) 54,00 (D) 56,00 (E) 58,00 Exemplo - SAC

15 Planilha do Financiamento Um empréstimo de R$ 300,00 será pago em 6 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 4% ao mês sobre o saldo devedor, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da quarta prestação será Mês Juros Amortização Parcela Saldo devedor

16 Financiamentos Ø Sistema de Amortização Francês (SAF) - PRICE Segue o modelo do fluxo de caixa padrão, com parcelas constantes no financiamento. Também chamado Sistema Francês ou Sistema Price. O valor atual (valor financiado) do fluxo é representado pela soma dos valores atuais de todas as parcelas, conforme abaixo.! = # (1 + ') ) + # (1 + ') * + # (1 + ') # (1 + ') -

17 Ø Fator de valor atual -! ",$ % = ' ()*+) - + ' ()*+) / + ' ()*+) ' ()*+) 2 % = 3 4 [ 6 7,+ = ()*+)2 8) ()*+) 2 4+ ) + ) + ) ()*+) - ()*+) / Sistema Francês - Price ()*+) ) ()*+) 2] 6 7,+ = )8 )* % = ,+

18 Sistema Francês - Price Ø Fator de valor atual -! ",$ O fator de valor atual pode ser tabelado. Exemplo: Um veículo, no valor de R$ ,00, é financiado, sem entrada, no sistema francês, a uma taxa de 2% ao mês, em 12 parcelas mensais e postecipadas. Qual é o valor da prestação? Dado 1, = 0,7885

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20 Sistema de Amortização Francês (SAF) PRICE ØParcelas (P) constantes.! = # $ % &,( ØAmortizaçãocrescente (PG) ØJuros decrescentes p 1 2 n

21 Exemplo SAF(PRICE) (CESPE) Determinado produto, cujo preço à vista é igual a R$ ,00, pode ser comprado em 6 prestações postecipadas (a primeira é paga um mês após a compra), mensais e iguais, à taxa de juros de 8% ao mês. Nesse caso, considerando-se 0,80 como valor aproximado para 1,08-3, é correto afirmar que o valor de cada prestação será A) inferior a R$ 2.400,00. B) superior a R$ 2.400,00 e inferior a R$ 2.500,00. C) superior a R$ 2.500,00 e inferior a R$ 2.600,00. D) superior a R$ 2.600,00 e inferior a R$ 2.700,00. E) superior a R$ 2.700,00.

22 Sistema Francês - Price Ø Fator de recuperação de capital É o inverso do valor fator de valor atual: & ',( = (!+()# -! (!+() #.(! " #,% & ',( =!-!+( /# ( 0 = 1. & ',( 1 = 3 " #,% 1 = 0.! " #,%

23 Exemplo (CESPE) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ ,00 em 10 prestações mensais e iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Frances de Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é a) R$ 273,30 b) R$ 272,70 c) R$ 270,00 d) R$ 266,70 e) R$ 256,60

24 F = R$ ,00 n = 10 prestações mensais e iguais. taxa: 24% ao ano, com capitalização mensal. Exemplo o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos e 2%) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídosnopagamento da segunda prestação é

25 Exemplo - SAF (CESPE) Um empréstimo de R$ ,00 deve ser quitado pelo sistema francês de amortização em 5 parcelas mensais. A primeira parcela vence 1 mês após a data em que o compromisso foi assumido. A taxa de juros compostos cobrada pelo credor é de 10% ao mês. Supondo que 1,1 #$ = 0,62, calcule o valor da prestação e faça a planilha do financiamento.

26 Exemplo - SAF A planilha do financiamento. P = R$ ,00

27 Rendas Uniformes Acumulação de capital Ø Valor futuro de uma série de pagamentos iguais É o montante total obtido a partir de uma série de pagamentos ou depósitos de mesmo valor e capitalizados a uma mesma taxa de juros compostos. Queremos um processo de formação de capital, com o objetivo de se obter determinado montante de valores no futuro. Mt

28 Rendas Uniformes Acumulação de capital Ø Fator de acumulação de Capital para uma série de pagamentos iguais! ",$ %& = ( + ((1 +,). + + ((1 +,) 01. %& = ( 2 [ , , 01. ] %& = ( 2 56,, 56,, = (.78) O fator de acumulação pode ser tabelado!

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30 (FCC) Um investidor deposita R$ ,00 no início de cada ano em um banco que remunera os depósitos de seus clientes a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Quando ele realizar o quarto depósito, tem-se que a soma dos montantes referentes aos depósitos realizados é igual a a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,20 e) R$ ,00 Exemplo Gab. C)

31 (FCC) Depositando R$ ,00 no início de cada ano, durante 10 anos, à taxa de juros compostos de 10% ao ano, obtém-se, na data do último depósito, um montante igual ao gerado por uma aplicação de valor único feita no início do primeiro ano à taxa de juros compostos de 25% ao ano, durante doze meses. Desprezando-se os centavos, o valor da aplicação de valor único é de a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Exemplo Gab.: C

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33 MATEMÁTICA FINANCEIRA Financiamentos Exercícios Prof. Walter Sousa

34 Questão 1 (CESPE) Se uma dívida de R$ 8.000,00 for paga pelo sistema de amortização constante (SAC), em cinco prestações mensais, consecutivas, com a primeira prestação vencendo um mês após a dívida ter sido contraída, e a taxa mensal de juros for de 5%, então, o valor da quarta prestação, em reais, será A) inferior a B) superior a e inferior a C) superior a e inferior a D) superior a Gab.: A)

35 Questão 2 (FCC) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de a) R$ 2.260,00 b) R$ 1.350,00 c) R$ 1.500,00 d) R$ 1.750,00 e) R$ 1.800,00 Gab.: E)

36 (FCC) Um empréstimo de R$ ,00 deve ser devolvido em 20 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), Se a taxa de juros cobrada é de 2% ao mês, o valor da décima prestação deverá ser a) R$ 2 950,00 b) R$ 3 000,00 c) R$ 3 050,00 d) R$ 3 100,00 e) R$ 3 150,00 Gab.: C) Questão 3

37 Questão 4 (FCC) Um empréstimo no valor de R$ ,00 foi contratado para ser pago em 60 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação um mês após a data da realização do empréstimo. Utilizou-se o sistema de amortização constante (SAC) a uma taxa de juros de 2,5% ao mês. O valor da primeira prestação supera o valor da penúltima prestação em (A) R$ 3.625,00. (B) R$ 3.687,50. (C) R$ 3.750,00. (D) R$ 3.812,50. (E) R$ 3.875,00. Gab.: A)

38 Questão 5 (CESPE) Para a reforma de sua casa, uma pessoa obteve um financiamento de R$ ,00, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), à taxa nominal de juros de 8% ao ano, com pagamentos semestrais e postecipados e com prazo de amortização de 2 anos. A planilha do financiamento é apresentada parcialmente na figura abaixo.

39 Questão 5

40 Questão 5 Considerando a situação acima, julgue os itens. 1) O valor dos juros pagos no final do primeiro semestre é igual a R$ 960,00. 2) O saldo devedor ao final do primeiro semestre é igual a R$ 8.520,00 3) A amortização ao final do segundo semestre é inferior a R$ 2.300,00 4) O total de juros pagos corresponde a 10% do valor financiado. 5) O valor da última prestação corresponde à soma da amortização acrescida de 1% do valor financiado. Gabarito: E E E C C

41 Questão 6 (Cesgranrio/BB) Arthur contraiu um financiamento para a compra de um apartamento, cujo valor à vista é de 200 mil reais, no Sistema de Amortização Constante (SAC), a uma taxa de juros de 1% ao mês, com um prazo de 20 anos. Para reduzir o valor a ser financiado, ele dará uma entrada no valor de 50 mil reais na data da assinatura do contrato. As prestações começam um mês após a assinatura do contrato e são compostas de amortização, juros sobre o saldo devedor do mês anterior, seguro especial no valor de 75 reais mensais fixos no primeiro ano e despesa administrativa mensal fixa no valor de 25 reais. A partir dessas informações, o valor, em reais, dasegunda prestação previstanaplanilhade amortização desse financiamento, desconsiderando qualquer outro tipo de reajuste no saldo devedor que não seja a taxa de juros do financiamento, é igual a

42 Questão 6 valor à vista é de 200 mil reais, no Sistema de Amortização Constante (SAC), taxa de juros de 1% ao mês prazo de 20 anos. Entrada no valor de 50 mil reais. prestações começam um mês após a assinatura do contrato e são compostas de amortização, juros sobre o saldo devedor do mês anterior, seguro especial no valor de 75 reais mensais fixos no primeiro ano e despesa administrativa mensal fixa no valor de 25 reais. o valor, em reais, da segunda prestação é (A) 2.087,25 (B) 2.218,75 (C) 2.175,25 (D) 2.125,00 (E) 2.225,00 Gabarito:b)

43 Questão 7 Um empréstimo deverá ser pago em quarenta e nove prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira prestação trinta dias após a liberação do dinheiro. O financiamento foi feito pelo Sistema de Amortização Constante, SAC, com taxa mensal de juros de 1%. Se a vigésima quinta prestação é de R$ 5.000,00, o saldo devedor, em reais, após o pagamento da quadragésima oitava prestação é de (A) (B) (C) (D) (E) 5.000

44 Racunho Questão 7

45 Questão 8 (CESPE) Considere que um empréstimo de R$ ,00 deva ser pago em 16 prestações anuais e sucessivas, com a primeira vencendo 1 ano após a tomada do empréstimo. Sabendo-se que a taxa de juros compostos cobrada é de 12% ao ano e tomando-se 0,16 como valor aproximado para 1,12 $%&, julgue os itens que se seguem. (1) Se for usado o sistema de amortização constante para quitar o débito, então a primeira prestação serásuperior a R$ 7.500,00. (2) Se o sistema de amortização francês for adotado na quitação do empréstimo, então a primeira prestação serásuperior a R$ 7.000,00. (3) O total de juros pago na primeira prestação, caso o sistema de amortização francês seja o adotado, será igual a R$ 5.040,00.

46 Racunho Questão 8

47 Questão 9 (CESPE/BB) Julgue os itens a seguir, relacionados a empréstimos e financiamentos, considerando, em todas as situações apresentadas, que o regime de juros praticado é o de juros compostos, à taxa mensal de 2%, e tomando 1,3 como valor aproximado para 1,02 %&. (1) Caso o saldo devedor de um empréstimo seja hoje de R$ ,00, se nenhum pagamento for efetuado, esse valor será superior a R$ ,00, ao final do período de um ano. (2) Se o pagamento de um empréstimo que seria quitado em uma única prestação de R$ ,00 ao final do segundo ano for antecipado para o final do primeiro ano, o valor a ser pago será superior a R$ ,00. Gabarito: C C

48 Questão 9 (3) Se o pagamento de um financiamento tiver de ser feito em 24 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 1.200,00, nesse caso, o montante dessa série de pagamentos, por ocasião do pagamento da última prestação, será superior a R$ ,00. Gabarito: E

49 Questão 9 (4) Se determinado valor, que foi tomado como empréstimo, será pago em 12 prestações postecipadas mensais, consecutivas e iguais a R$ 1.300,00, então esse valor é superior a R$ ,00. (5) A taxa de juros compostos de 2% ao mês é proporcional à de 25% ao ano. Gabarito: C E

50 Questão 9 (6) Se um financiamento for quitado com o pagamento de 12 prestações postecipadas iguais, mensais e consecutivas, e, durante esse período, a inflação for de 1,2% ao mês, então a taxa de juros real cobrada no financiamento será superior a 3,2% ao mês. Gabarito: E

51 Questão 9 (7) Caso um imóvel no valor de R$ ,00 seja financiado em 12 prestações mensais e consecutivas, tendo como base o Sistema Francês de Amortização, nesse caso, para a composição da primeira prestação, o valor deamortização será superior a R$ 7.800,00. Gabarito: C

52 Questão 9 (8) Em um financiamento pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), o valor das prestações, mensais e consecutivas, é sempre constante; o que varia é o valor dos juros pagos a cada mês. Gabarito: E

53 (Cespe/BB) Em cada um dos itens subseqüentes, é apresentada uma situação a respeito de matemática financeira, seguida de uma assertiva a ser julgada. (1) Um veículo popular cujo valor à vista é de R$ ,00 pode ser comprado, sem entrada, em 36 prestações mensais e iguais, sendo que a primeira prestação será paga em 1 mês após a compra, à taxa de juros compostos de 5% ao mês. Nessa situação, tomando 0,17 como valor aproximado de 1,05 %&', conclui-se que o valor da prestação será superior a R$ 1.400,00. (2) Um empréstimo de R$ ,00 foi concedido à taxa de juros compostos de 6% ao mês. Dois meses após concedido o empréstimo, o devedor pagou R$ ,00 e, no final do terceiro mês, liquidou a dívida. Nessa situação, tomando-se 1,2 como valor aproximado de 1,06 &, conclui-se que esse último pagamento foi superior a R$ ,00. Gabarito: C C Questão 10

54 Questão 10 (1) Um veículo popular cujo valor à vista é de R$ ,00 pode ser comprado, sem entrada, em 36 prestações mensais e iguais, sendo que a primeira prestação será paga em 1 mês após a compra, à taxa de juros compostos de 5% ao mês. Nessa situação, tomando 0,17 como valor aproximado de 1,05 %&', conclui-se que o valor da prestação será superior a R$ 1.400,00.

55 Questão Um empréstimo de R$ ,00 foi concedido à taxa de juros compostos de 6% ao mês. Dois meses após concedido o empréstimo, o devedor pagou R$ ,00 e, no final do terceiro mês, liquidou a dívida. Nessa situação, tomando-se 1,2 como valor aproximado de 1,06 %, conclui-se que esse último pagamento foi superior a R$ ,00.

56 (Cespe/CEF) Uma dívida no valor de R$ ,00, contraída pelo sistema francês deamortização (tabela Price), com juros de1,29% ao mês, será paga em 4 prestações mensais. Nesse caso, considerando-se 0,95 como valor aproximado de 1,0129-4, cada prestação será igual a a) R$ 2.620,00. b) R$ 2.610,00. c) R$ 2.600,00. d) R$ 2.590,00. e) R$ 2.580,00. Gabarito: E Questão 11

57 (Cespe/CEF) Um computador é vendido em 8 prestações mensais, consecutivas e iguais a R$ 350,00. Os juros cobrados no financiamento desse computador correspondem a juros compostos mensais de 7% sobre o preço à vista. Nesse caso, considerando-se 0,582 como valor aproximado para 1,07-8, se a primeira prestação for paga um mês após a compra, o preço à vista do computador será igual a a) R$ 2.050,00. b) R$ 2.060,00. c) R$ 2.070,00. d) R$ 2.080,00. e) R$ 2.090,00. Gabarito: E Questão 12

58 Questão 13 (Cespe/CEF) Determinado produto, cujo preço à vista é igual a R$ ,00, pode ser comprado em 6 prestações postecipadas (a primeira é paga um mês após a compra), mensais e iguais, à taxa de juros de 8% ao mês. Nesse caso, considerando-se 0,80 como valor aproximado para 1,08-3, é correto afirmar que o valor de cada prestação será a) inferior a R$ 2.400,00. b) superior a R$ 2.400,00 e inferior a R$ 2.500,00. c) superior a R$ 2.500,00 e inferior a R$ 2.600,00. d) superior a R$ 2.600,00 e inferior a R$ 2.700,00. e) superior a R$ 2.700,00. Gabarito: D

59 Questão 14 (Cespe/CEF) Um empréstimo de R$ ,00 foi pago pelo sistema de amortização constante (SAC) em 6 meses, com juros de 12% ao mês. Na tabela a seguir, em que apenas alguns valores estão explícitos e que corresponde à planilha de amortização do referido empréstimo, k representa o mês a partir do mês 0 correspondente à tomada do empréstimo; P k é a prestação paga no mês k; A k é o valor da amortização no mês k; J k é o valor dos juros pagos no mês k; e D k é a situação da dívida no mês k.

60 Com relação a essa situação, é correto afirmar que o total das prestações pagas e o total dos juros pagos foram iguais, respectivamente, a a) R$ ,00 e R$ ,00. b) R$ ,00 e R$ ,00. c) R$ ,00 e R$ ,00. d) R$ ,00 e R$ ,00. e) R$ ,00 e R$ ,00. Questão 14 Gabarito: C

61 Questão 15 (Cespe/CEF) Um empréstimo de R$ ,00 foi pago pelo sistema francês de amortização (tabela Price) em 4 meses, com juros de 5% ao mês. Na tabela a seguir, em que apenas alguns valores estão explícitos e que corresponde à planilha de amortização do referido empréstimo, k representa o mês a partir do mês 0 correspondente à tomada do empréstimo; P k é a prestação paga no mês k; A k é o valor da amortização no mês k; J k é o valor dos juros pagos no mês k; e D k é a situação da dívida no mês k.

62 Questão 15 Acerca dessa situação, é correto afirmar que, no mês k = 2, a parcela amortizada foi A) inferior a R$ ,00. B) superior a R$ ,00 e inferior a R$ ,00. C) superior a R$ ,00 e inferior a R$ ,00. D) superior a R$ ,00 e inferior a R$ ,00. E) superior a R$ ,00. Gabarito:E

63 MATEMÁTICA FINANCEIRA Boa Prova! Prof. Walter Sousa