Aula 16. Integração Numérica

Transcrição

1 CÁLCULO NUMÉRICO

2 Aula 6 Itegração Numérica

3 Itegração Numérica Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 3/4

4 Itegração Numérica Em determiadas situações, itegrais são diíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver aaliticamete. Em algus casos, o valor de é cohecido apeas em algus potos, um itervalo [a, b]. Como ão se cohece a epressão aalítica de, ão é possível calcular: b a d Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 4/4

5 Itegração Numérica Substituição da ução por um poliômio que a aproime razoavelmete o itervalo [a, b]. Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 5/4

6 Itegração Numérica As órmulas terão a epressão: b a i d A A [a,b],i =,,...,... A, I = i= A i i Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 6/4

7 Itegração Numérica Fórmulas de Newto-Cotes Fechadas Regra dos Trapézios, = a e = b. Regra /3 de Simpso. Fórmulas de Newto-Cotes Abertas os i têm de pertecer ao itervalo aberto de a até b. Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 7/4

8 Fórmulas de Newto-Cotes A ideia de poliômio que aproime razoavelmete, é que este poliômio iterpole em potos de [a, b] igualmete espaçados. Cosidere a partição do itervalo [a, b] em subitervalos, de comprimeto h, [ i, i ], i =,,...,. Assim: b a i i = h = Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 8/4

9 Fórmulas de Newto-Cotes Desta orma, as órmulas órmulas de itegração do tipo: de Newto-Cotes são = a, = b b d = d i= a A i i sedo os coeicietes A i determiados de acordo com o grau do poliômio aproimador. Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 9/4

10 Fórmulas de Newto-Cotes Diereça etre as órmulas de Newto-Cotes echadas a e abertas b. Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico /4

11 Utilizado a iterpolação poliomial a Forma de Lagrage: REGRA DOS TRAPÉZIOS º Poliômio de Lagrage REGRA /3 DE SIMPSON º Poliômio de Lagrage Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico /4

12 Regra dos Trapézios Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico /4

13 Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 3/4 Regra dos Trapézios Usaremos a para epressar P que iterpola em e : Etão: P = d d P d = = b a

14 Regra dos Trapézios Resolvedo a itegração: ou seja: [ ] I = T h I = T [ ] Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 4/4

15 Regra dos Trapézios Simples Cosiste em cosiderar um poliômio de primeiro grau que aproima uma ução, ou seja, =. Este poliômio terá a orma y = α α e trata-se da equação que ue dois potos: a = e b =. P a = b = Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 5/4

16 Regra dos Trapézios Simples Área do trapézio: A = h T t / De acordo com a igura: b a = = h b = = T a = = t h - altura do trapézio t - base meor T - base maior Logo, T = t = h d [ ] Aula 6 Itegração Numérica a = b = h P Cálculo Numérico 6/4

17 Regra dos Trapézios Simples Aproimação do valor da itegral é aceitável. Aproimação ão idicada. Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 7/4

18 Regra dos Trapézios Repetida Composta Itervalo [a, b] de grade amplitude. Soma da área de trapézios, cada qual deiido pelo seu sub-itervalo Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 8/4

19 Regra dos Trapézios Repetida Composta Itervalo [a, b] de grade amplitude. Soma da área de trapézios, cada qual deiido pelo seu sub-itervalo Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 9/4

20 Regra dos Trapézios Simples Aproimação do valor da itegral é aceitável. Aproimação ão idicada. Uso da Regra dos Trapézios Repetida Composta: soma da área de trapézios, cada qual deiido pelo seu sub-itervalo. A amplitude dos sub-itervalos será h = b - a /. A itegral o itervalo é dada pela soma das itegrais deiidas pelos sub-itervalos. Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico /4

21 Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico /4 Fórmula: Só os termos e ão se repetem, assim, esta órmula pode ser simpliicada em: [ ] [ ] [ ]... h h h d [ ] { } h d... Regra dos Trapézios Repetida

22 EXEMPLO Estimar o valor de Regra dos Trapézios Simples - subitervalo I,4858 Regra dos Trapézios Repetida - subitervalos I,369 Regra dos Trapézios Repetida 8 subitervalos I,936 4 / d A aproimação para 8 subitervalos é melhor, dado que o. y = ² -/,,,5,89445,,77,5,55475,,447,5,3738 3,,363 3,5,7473 4,,454 Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico /4

23 Erro da Regra dos Trapézios Supoha < <... <, potos distitos em [, ] e que. Etão, para cada em [, ], eiste um úmero ξ geralmete descohecido em ], [, tal que: C R = P [ a,b] = ξ!! Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 3/4

24 Erro da Regra dos Trapézios Erro da Regra dos Trapézios simples Da iterpolação poliomial, temos que: p Logo: " ξ = ξ ] [,, d I = T " ξ d Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 4/4

25 Erro da Regra dos Trapézios Etão, temos que: E T = " ξ d Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 5/4

26 Regra dos Trapézios c ] [, para algum : E T 3 h = " c, c ], [ Como ão podemos determiar eatamete c, temos: ode h E T : M = 3 má [ a,b] M " Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 6/4

27 Regra dos Trapézios Como estamos supodo cotíua em [a, b], uma geeralização do Teorema do Valor Itermediário os garate que eiste ξ a, b tal que: ] [ E TR 3 h " ξ =, ξ ] a,b[ Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 7/4

28 Regra dos Trapézios Da mesma orma que a Iterpolação Poliomial, ão podemos calcular eatamete ξ, visto que ão cohecemos o poto ξ. Quado possível, calculamos um. h 3 E TR M ode : M = má [a,b ] " e h = b a Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 8/4

29 EXEMPLO Seja: I = e d Calcule uma aproimação para I usado subitervalos para Regra dos Trapézios Composta. Estime o erro cometido. h d [,] subdivididos em subitervalos com h I = { [... ] } e d,7973, Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 9/4 =

30 EXEMPLO O erro pela Regra dos Trapézios Repetida é: Portato: E TR h 3 má [, ] e, E má e TR [, ] e,7 Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 3/4

31 Regra /3 de Simpso Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 3/4

32 Regra /3 de Simpso Novamete podemos usar a para estabelecer a órmula de itegração resultate da aproimação de por um. Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 3/4

33 Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 33/4 Regra /3 de Simpso P = = = S d h d h d h P I

34 Regra /3 de Simpso As itegrais podem ser resolvidas usado a mudaça de variáveis: = zh. Assim: d = h dz; = zh; = z h; = z h. Fazedo esta mudaça e resolvedo as itegrais, obtemos a : h d I = S 3 [ 4 ] Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 34/4

35 Regra /3 de Simpso Repetida Da mesma orma que a Regra dos Trapézios Repetida, aplicaremos a regra de Simpso repetidas vezes o itervalo [a, b] = [, ]. Etão vamos supor subitervalos igualmete espaçados. Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 35/4

36 Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 36/4 Regra /3 de Simpso Repetida Para cada teremos: com k =,..., /, sedo um. [ ] = k k k k k S h I d 4 3

37 Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 37/4 Regra /3 de Simpso Repetida Assim, a itegral obtida pela regra de aproimação de Simpso Repetida será dada por: { } [ ] { [ ] [ ]} = SR h I d!! = = = 4 3 j j j j SR h I d

38 Regra /3 de Simpso Supodo iv cotíua em [, ]: O será: E S 5 h = ξ ξ 9 iv, ], [ Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 38/4

39 Regra /3 de Simpso e o h E = ξ, ξ, SR 9 iv ] [ Calcularemos um para o erro: 5 E SR 5 h 8 M 4 M 4 = má [, ] iv ode: e h = b a Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 39/4

40 EXEMPLO 3 Seja I = e d Calcule uma aproimação para I usado a regra /3 de Simpso com =. Estime o erro cometido. 3 h d I = 4 SR j j= j= j [,] subdivididos em subitervalos com h I = e d,78878, Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 4/4 =

41 Eemplo 3 Estimativa do erro cometido: E Portato E SR SR = : 5, 9 5,555 5 e ξ, 7 ξ ],[ má [, ] e,56 6 e Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 4/4

42 Comparação Eemplo e 3 Vamos comparar os resultados obtidos pela Regra dos Trapézios e pela Regra /3 de Simpso. Regra dos Trapézios Repetida = : e 3 d,7973,7 E TR Regra /3 de Simpso Repetida = : e 6 d,78878,5 E SR Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 4/4

43 Eemplo 4 Cosiderado a itegral dos eemplos e 3. a Para quatas subdivisões do itervalo de itegração teríamos erro ierior a -3 usado a Regra dos Trapézios? b E para a Regra /3 de Simpso? Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 43/4

44 Eemplo 4 a Precisaremos de o míimo 6 subdivisões do itervalo de itegração. b Precisaremos de o míimo subdivisões do itervalo de itegração. Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 44/4

45 Reerêcias BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Aálise umérica. São Paulo, SP: Cegage Learig, 8. iii, 7 p. ISBN 856. RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo umérico: aspectos teóricos e computacioais.. ed. São Paulo, SP: Makro, c997. vi, 46 p. ISBN CHAPRA, Steve C.; CANALE, Raymod P. Métodos uméricos para egeharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, p. ISBN Aula 6 Itegração Numérica Cálculo Numérico 45/4