Séries e Equações Diferenciais Lista 02 Séries Numéricas

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1 Séries e Equações Difereciais Lista 02 Séries Numéricas Professor: Daiel Herique Silva Defiições Iiciais ) Defia com suas palavras o coceito de série umérica, e explicite difereças etre sequêcia e série. 2) Defia soma parcial de uma série. 3) Defia com suas palavras o coceito de covergêcia de série. 4) Defia formalmete o coceito de covergêcia de série. 5) Uma defiição alterativa para o coceito de covergêcia de séries é dada da seguite forma: Dizemos que uma série k a coverge para um valor A, se, dado ε > 0, etão existe um valor de k N tal que ( a ) A < ε. Prove que essa defiição é equivalete à defiição por somas parciais de covergêcia de série. 6) Seja (a ) uma sequêcia tal que suas somas parciais são dadas por (s ) = 22 a) A série a coverge? b) Determie uma expressão geral para os termos de (a ) c) Calcule o valor da soma a =3 2 +,. Séries Geométrica, Harmôica e Telescópica 7) Demostre que + x + x x = x+, N, x x 8) Seja x R um valor real fixo. Cosidere a série geométrica =0 x. a) Demostre que essa série irá divergir se x = b) Demostre que essa série irá divergir se x = c) Demostre que essa série irá divergir se x > d) Demostre que essa série irá covergir para, se x < x 9) Através de séries geométricas, demostre que = 0) Através de séries geométricas, trasforme as seguites dízimas periódicas em frações irredutíveis: a) b) c) ) Um pêdulo mecâico simples, após ser solto de uma altura iicial fixa, oscila, levado 3 segudos em sua primeira oscilação. Devido a forças de resistêcia, cada oscilação a partir desta leva % meos tempo que a oscilação aterior. Determie por quato tempo o movimeto do pêdulo persiste. 2) Em um episódio da famosa série Futurama, Beder, o robô é programado com a habilidade de duas cópias de si mesmo, com 60% do volume (e da massa) origiais. Os robôs meores também acabam fazedo duas cópias de si mesmos, também com 60% do volume de si próprios, repetido esse ciclo algumas vezes. a) Descreva através de uma série geométrica a massa total de todas as cópias dos robôs feitos. b) Demostre que essa série diverge. c) G Assuma que a Terra possui Kg de ferro o total. Se a massa estimada do Beder origial é de 400Kg, e cada geração ova de robôs é feita em um dia, em quato tempo o ferro total do plaeta seria cosumido? 3) As figuras a seguir ilustram os primeiros passos para a costrução de um fractal, cohecido como cojuto de Cator. Começamos com o segmeto de reta do poto ( ; 0) até o poto (; 0), e dividimos esse segmeto em três partes iguais, e retiramos seu terço médio. No próximo passo, para cada segmeto restate, dividimos esse em três partes iguais, e retiramos seu terço médio, e assim por diate, em cada passo.

2 Para esse cojuto: a) Determie o comprimeto dessa curva a -ésima iteração, utilizado uma série geométrica. b) Mostre que coforme o úmero de iterações aumeta, o comprimeto total do cojuto de Cator tede a zero. c) Observe que o poto ( 2 ; 0) uca é retirado do cojuto, idepedete do úmero de iterações, bem como vários 3 outros potos. É possível que um cojuto com ifiitos potos teha comprimeto zero? ( OBS: Esse item em especial ão possui relação direta com o curso de séries. Ecare ele como um desafio opcioal) 4) As figuras a seguir ilustram os primeiros passos para a costrução de um fractal, cohecido como curva de Koch. Começamos com o segmeto de reta do poto ( ; 0) até o poto (; 0), e dividimos esse segmeto em três partes iguais, costruido um triâgulo equilátero sobre essa curva, e depois elimiamos o segmeto base desse triâgulo. No próximo passo, em cada segmeto de reta, ós repetimos o processo, e assim por diate, em cada passo. Para esse cojuto dado: a) Determie o comprimeto dessa curva a -ésima iteração, utilizado uma série geométrica. b) Mostre que o comprimeto dessa curva tede a ifiito. 5) Partido de um quadrado de vértices ( ; ); (; ); (; ); ( ; ), podemos aplicar em cada aresta desse quadrado o processo iterativo, gerado uma sequêcia de figuras geométricas, como as ilustradas: a) Determie uma fórmula para a área itera a essa figura, a sua -ésima iteração, utilizado série geométrica. b) Mostre que essa série coverge, e determie a área total o limite tededo a ifiito. c) Demostre que o perímetro dessa figura tede a ifiito coforme o úmero de iterações cresce. 6) As figuras a seguir mostram os primeiros passos para a costrução de um fractal, cohecido como triâgulo de Sierpisky. Partido de um triâgulo equilátero, marcamos os potos médios dos lados desse triâgulo, e os coectamos, formado um triâgulo meor o cetro, que é retirado, e três triâgulos meores. Depois, em cada triâgulo meor restate, ós marcamos os potos médios de suas arestas, e repetimos o processo.

3 a) Determie, utilizado séries geométricas, uma expressão para a área da -ésima iteração do processo. b) Determie, utilizado séries geométricas, uma expressão para o perímetro total da -ésima iteração do processo. c) Mostre que, coforme as iterações tedem a ifiito, a área desse fractal tede a zero, e o perímetro tede a ifiito. 7) Demostre que a série harmôica diverge. 8) As séries a seguir são telescópicas. Para cada item, verifique se as séries em questão covergem ou divergem, e determie um valor para sua soma, caso elas covirjam. 9 a) b) c) d) = ) + 2 ( + )( + 2) ( + )( + 2)( + 3) e) l ( f) g) 9) Cosidere a série a) Escreva essa série em forma de somatório. b) Determie uma expressão para a soma parcial S dos primeiros termos da série. c) Verifique que a série coverge, e calcule a sua soma. 20) Cosidere a série α + β a) Escreva essa série em forma de somatório. b) Determie uma expressão para a soma parcial S dos primeiros termos da série. c) Verifique que a série coverge, e calcule a sua soma. d) Se α = r = ; β = q = 2, o resultado codiz com o exercício aterior? + α + r βq + α + 2r α + 3r + βq 2 βq 3 Critérios para Covergêcia de Séries Numéricas 2) Diga se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique as afirmações verdadeiras, e para as falsas, apresete um cotraexemplo. a) Se a é uma série covergete, e b é uma série covergete, etão as séries (a + b ) e (a b ) são ambas covergetes. b) Se a é uma série covergete, e λ R, etão a série λa é covergete. c) Se a é uma série divergete, e b é uma série divergete, etão as séries (a + b ) e (a b ) são ambas divergetes. d) Se a é uma série divergete, e λ R, etão a série λa é divergete. e) Se a é uma série divergete, e b é uma série covergete, etão as séries (a + b ) e (a b ) são ambas divergetes. f) Se a é uma série covergete, etão =k a é covergete, para qualquer k N g) Se a = A, etão =k a = A h) Se a é uma série covergete, etão a série formada tomado-se apeas os termos pares covergirá. i) Se a é uma série divergete, etão a série formada tomado-se apeas os termos pares divergirá. 22) Eucie o critério da divergêcia para séries uméricas.

4 23) Dê um exemplo de duas séries uméricas a e b de termos positivos tal que lim a = lim b = 0, mas a série a coverge, e b diverge. 24) Eucie o critério da itegral para séries uméricas. 25) Através do critério da itegral, classifique as séries =2 em relação a sua covergêcia, de acordo com (l()) p o valor do coeficiete p R. 26) Explique graficamete o fucioameto do critério da itegral, e utilize isso para explicar a fórmula de estimativa dada por f(x) dx a 2 f(x) dx. ( OBS: Essa fórmula assume que o critério da itegral pode ser aplicado. Caso cotrário, ela ão faz setido). 27) Argumete geometricamete porque a fórmula de estimativa dada o exercício aterior é equivalete a dizer que a f(x) dx a 28) Podemos melhorar a fórmula de estimativa dada pelo critério da itegral calculado algus termos, e fazedo a = (a + a a k ) + =k a, e aplicado a estimativa sobre o somatório ão-determiado. O que devemos mudar a fórmula de erro? 29) Através do critério da itegral, calcule um valor aproximado para as somas, com erro meor que 0 3 : a) b) c) 2 =2 l() ( 2 + 4) 5 30) Eucie o critério da comparação simples para covergêcia de séries uméricas. 3) Eucie o critério da comparação o limite para covergêcia de séries uméricas. 32) Cosidere as séries e. Note que uma delas coverge e uma diverge. Aplique o critério da 2 comparação o limite etre essas séries e verifique o ocorrido. 33) Eucie o critério da razão em módulo para covergêcia de séries uméricas. 34) Mostre que se a é uma série do tipo poliômio ", etão o critério da razão é sempre icoclusivo. poliômio 35) Eucie o critério das raízes para covergêcia de séries uméricas. 36) Eucie o critério das séries alteradas para covergêcia de séries uméricas. 37) Cosidere a série dada por a) Prove que ela pode ser escrita como soma de duas séries alteradas. b) Coclua que essa série coverge. 38) Escreva um resumo pessoal sobre quado utilizar cada critério para covergêcia de séries. 39) Para cada item a seguir, aalise se a série coverge ou diverge. a) b) 2! cos 4 (3) =0 2 + ( ) (!) 2 () (2)! c) ( ) l() d) e) se ( () ) f) g) h) i) j) k) ( ) =3 l() =3 l() l(l()) = ( ) ( + 2) ( ) (2 + 2) 2 + l) ( )

5 m) l ( ) ) 3 o) 2 e p) e 2 q) r) =0 l( 2 + ) 4 + 9! =0 =0 (2)! s) + t) ( ) 2! 40) Defia covergêcia absoluta. 4) Demostre que se a coverge, etão a também coverge 42) Dê um exemplo de uma série codicioalmete covergete que ão seja a série ( ) 43) Para cada uma das séries do exercício 38), reclassifique-as etre absolutamete covergete, codicioalmete covergete ou divergete.