CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO

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1 CAP I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0 Itrodução Por método umérico etede-se um método para calcular a solução de um problema realizado apeas uma sequêcia fiita de operações aritméticas A obteção de uma solução umérica para um problema físico através da aplicação de métodos uméricos em sempre os dá valores de acordo com o pretedido A difereça etre o valor obtido (aproimado) e o valor eacto é desigado por erro Pretede-se dar uma oção aos utilizadores de métodos uméricos, sobre as fotes de erros, para que se possam elimiar, ou pelo meos, cotrolar o seu valor Vamos etão descrever o processo de determiação da solução de um problema físico, por meio de métodos uméricos Problema físico Modelo modelagem resolução Solução Matemático Métodos Numéricos modelagem: obtém-se o modelo matemático que descreve o comportameto do problema físico; resolução: obtém-se a solução umérica do modelo matemático através da aplicação de métodos uméricos Acetato -Erros em cálculo umérico

2 Fote e tipo de erros A resolução de um problema físico utilizado um método umérico produz, em geral, uma solução aproimada do problema A itrodução de erros a resolução do problema pode ser devida a vários factores Em fução da sua origem, podemos cosiderar os diferetes tipos de erros: erros iiciais do problema (são eteriores ao processo de cálculo) erros ieretes ao modelo matemático erros ieretes aos dados erros associados ao uso de métodos uméricos (ocorrem o processo de cálculo) erros de arredodameto erros de trucatura Problema Físico Modelo Matemático Erros ieretes ao Modelo Erros Dados e Modelo ieretes Parâmetros Erros de aos Dados do Modelo Numérico Trucatura Cálculo Erros de Arredodameto Solução Acetato -Erros em cálculo umérico

3 Erros ieretes ao modelo: Um modelo matemático raramete oferece uma represetação eacta dos feómeos reais Na grade maioria dos casos são apeas modelos idealizados, já que ao estudar os feómeos da atureza vemo-os forçados, regra geral, a aceitar certas codições que simplificam o problema por forma a torá-lo tratável Os melhores modelos são os que icluem aquelas características do problema real ecessárias para reduzir os erros esta fase a um ível aceitável Erros ieretes aos dados: Um modelo matemático ão cotém apeas equações e relações, também cotém dados e parâmetros que, frequetemete, são medidos eperimetalmete, e portato, aproimadas As aproimações os dados podem ter grade repercussão o resultado fial Erros de arredodameto: Quer os cálculos sejam efectuados maualmete quer obtidos por computador ou uma calculadora, somos coduzidos a utilizar uma aritmética de precisão fiita, ou seja, apeas podemos ter em cosideração um úmero fiito de dígitos O erro devido a desprezar os outros e arredodar o úmero é desigado por erro de arredodameto Erros de trucatura: Muitas equações têm soluções que apeas podem ser costruídas o setido que um processo ifiito possa ser descrito como limite da solução em questão Por defiição, um processo ifiito ão pode ser completado, por isso tem de ser trucado após certo úmero fiito de operações Esta substituição de um processo ifiito por um processo fiito, resulta um certo tipo de erros desigado erro de trucatura Em muitos casos, o erro de trucatura é precisamete a difereça etre o modelo matemático e o modelo umérico Eistem tipos de erros associados ao uso de métodos uméricos para resolver um problema um computador ou calculadora: os erros de arredodameto e os erros de trucatura Como cosequêcia da ocorrêcia destes erros, as soluções uméricas obtidas são, em geral, soluções aproimadas Para podermos avaliar quão próima da solução eacta está a solução aproimada calculada é ecessário cohecer o seu erro Acetato -Erros em cálculo umérico

4 Defiições de erro O cohecimeto de uma aproimação para a solução de um problema só tem qualquer iteresse se é acompahada de iformação sobre o seu erro erro Seja o valor aproimado duma quatidade cujo valor eacto é O erro de, defie-se como: = - Há vários critérios para avaliar a qualidade de uma aproimação erro absoluto O erro absoluto do valor aproimado, defie-se como o valor absoluto de, ié, ε = = - erro relativo Se 0, o erro relativo do valor aproimado, defie-se como r = = - O erro relativo, como epressa o erro como fracção de, está relacioado com o erro percetual Ao produto r 00 epresso em percetagem dá-se o ome de percetagem de erro ou erro percetual Algarismos sigificativos Outra maeira de cohecer a precisão de um valor aproimado é ter iformação sobre o úmero de algarismos sigificativos dessa aproimação, i é, úmero de algarismos da esquerda para a direita e a partir do primeiro dígito diferete de zero Eemplos: O valor aproimado para π = tem algarismos sigificativos; A aproimação 0 para / =0 tem dígitos sigificativos; O valor aproimado 0098 para e - sigificativos = tem algarismos Acetato -Erros em cálculo umérico

5 Erros de Arredodameto Quase todo o cálculo umérico é realizado um computador ou uma calculadora Como as máquias têm capacidade fiita para guardar iformação coseguem apeas represetar eactamete um úmero fiito de úmeros reais, cada um com um úmero fio de dígitos (algarismos) Sedo o suporte umérico da maioria dos problemas matemáticos o cojuto dos úmeros reais, que é ifiito e cotíuo, levatam-se algumas questões, sedo duas delas: Como são represetados úmeros reais uma máquia? Quais as cosequêcias dessa represetação de IR os resultados obtidos? Iremos respoder, de modo sucito, a estas duas questões Começaremos por eplicar que a represetação de úmeros reais uma máquia é feita por arredodameto, e verificaremos, em seguida, que a cosequêcia é a ocorrêcia dos chamados erros de arredodameto Arredodameto Para a maioria dos úmeros reais a represetação é feita por arredodameto (à ecepção de úmeros demasiado grades ou demasiado pequeos, em valor absoluto, para poderem ser represetados a máquia) Defiem-se vários tipos de arredodameto Aqui faremos apeas referêcia ao mais cohecido, e iremos apresetá-lo através de um eemplo Eemplo: Cosideremos o úmero π = Vamos defiir um processo de represetação deste úmero com, e 5 algarismos Comecemos por escrever π = com algarismos elimiado os dígitos a partir do quarto Sedo o primeiro algarismo elimiado iferior a 5 cosideramos π = como a represetação, por arredodameto, de π com dígitos Acetato 5-Erros em cálculo umérico

6 Vamos agora escrever π = com algarismos elimiado os dígitos a partir do quito Sedo o primeiro algarismo elimiado igual a 5, cosideramos π = como a represetação, por arredodameto, de π com dígitos Fialmete escrevemos π = com 5 algarismos elimiado os dígitos a partir do seto Sedo o primeiro algarismo elimiado superior a 5, cosideramos π = 6 como a represetação, por arredodameto, de π com 5 dígitos O procedimeto para represetar um real com um º fiito de dígitos por arredodameto é o seguite: igoram-se os algarismos à direita do da última ordem decimal que se pretede reter; Se o primeiro dígito desprezado é iferior a 5, o úmero obtido é a represetação desse real por arredodameto; Se o primeiro dígito elimiado é superior ou igual a 5 adicioa-se uma uidade a ordem decimal do último dígito coservado para obter a represetação desse real por arredodameto Observe-se, que se um úmero é obtido de por este procedimeto (arredodameto), etão todos os úmeros de são sigificativos Erros de arredodameto A distâcia etre um úmero real e uma sua aproimação obtida por arredodameto é chamada erro de arredodameto Erro absoluto de arredodameto Se é um valor obtido por arredodameto de etão chama-se erro absoluto de arredodameto a Acetato 6-Erros em cálculo umérico

7 Erro relativo de arredodameto Se 0 e é um valor obtido por arredodameto de etão chama-se erro relativo de arredodameto a - Eemplo: Calculemos os erros (absolutos) de arredodameto das aproimações obtidas para π = 5965 o eemplo aterior Tem-se π = π - π = π - = < 0005 = π = π - π = π - = < = π = π - π = π - 6 = < = Note-se que em cada um dos casos todos os algarismos do valor aproimado são sigificativos Em geral, dizemos que é o valor aproimado de, arredodado para k casas decimais correctas sse: k = Mas os erros de arredodameto ão ocorrem apeas a represetação de dados Ocorrem também a represetação de resultados de operações aritméticas Isto porque o resultado de uma operação aritmética etre dois úmeros represetados com um úmero fio de algarismos pode ão ser um úmero com o mesmo úmero de algarismos Eemplo: O resultado da divisão de 6 por 9, úmeros que têm o máimo 5 dígitos, é 6 = uma dízima ifiita O resultado da divisão arredodado para 5 9 dígitos é 0907 Acetato 7-Erros em cálculo umérico

8 Erros de Trucatura Há problemas que ão podem ser resolvidos eactamete realizado apeas um úmero fiito de operações aritméticas, mas que podem, ser aproimados por problemas cuja solução é obtida eecutado uma sequêcia fiita de operações aritméticas São assim gerados os erros de trucatura Apresetamos dois eemplos Cálculo umérico da soma de uma série Seja S a soma de uma série covergete de termo geral a j, S = a j j=0 Quado aproimamos S por S = a j j= 0, o erro R = S - S é um erro de trucatura É origiado pela substituição do cálculo eacto da soma de uma série, pelo cálculo da soma de + termos dessa série Cálculo de valores de fuções trascedetes Fuções racioais (poliómios e quocietes de poliómios) são as úicas cujos valores podem ser calculados usado apeas um úmero fiito de operações aritméticas Para calcular umericamete valores de uma fução trascedete podemos aproimá-la por uma fução racioal Aproimação de fuções A aproimação de fuções é um tema cetral da aálise umérica A razão disso é a ocorrêcia de um grade úmero de problemas matemáticos, evolvedo fuções, cuja solução ão é possível (ou é muito difícil) determiar por métodos aalíticos São eemplos de tais problemas o cálculo do valor de um itegral defiido quado se descohece uma primitiva da fução itegrada, a determiação de zeros de uma fução quado ão eiste uma fórmula eplícita para o fazer, o deseho do gráfico de uma fução da qual se cohecem apeas algus dos seus valores determiados umérica ou eperimetalmete, A estratégia o desevolvimeto de métodos uméricos para resolver estes problemas é baseada a substituição da fução dada por uma fução aproimate, cosiderada mais "simples", cujo comportameto é muito semelhate ao da fução dada Acetato 8-Erros em cálculo umérico

9 Por várias razões, as fuções aproimates mais usadas são os poliómios Por um lado podem calcular-se valores de um poliómio realizado apeas um úmero fiito de operações aritméticas Por outro os poliómios são fuções fáceis de derivar e itegrar Além disso, o teorema de Weierstrass estabelece que toda a fução cotíua um itervalo fechado pode ser aproimada esse itervalo, tão bem quato se queira, por um poliómio TEOREMA (Teorema de APROXIMAÇÃO DE WEIERSTRASS) Seja [a, b] C IR e ε um úmero real positivo qualquer Etão, para toda a fução f cotíua em [a, b] eiste um poliómio p tal que ma [ a,b] f () - p () < ε Como medir a distâcia etre uma fução e uma aproimação poliomial para essa fução? Por outras palavras, como se defie o erro de um poliómio aproimate de uma dada fução? Há mais do que um critério para defiir o erro de uma aproimação para uma fução Aqui apresetaremos apeas um Erro de um poliómio aproimate Seja f uma fução real de variável real cotíua em [a, b] e p uma aproimação poliomial para f em [a, b] Defie-se erro da aproimação p por ma [ a,b] f () - p () Acetato 9-Erros em cálculo umérico

10 Poliómio de Taylor O eemplo mais cohecido de poliómio aproimate de uma fução é dado pelo poliómio de Taylor Seja f uma fução real de variável real com derivadas cotíuas até à ordem um poto 0 do seu domíio O poliómio de grau defiido por p ( 0 ) ( 0 ) ( ) ) = f ( 0 ) + ( 0 ) f '( 0 ) + f ''( 0 ) + + f ( ) ()!! ( 0 é chamado poliómio de Taylor da fução f o poto 0 TEOREMA (Teorema de TAYLOR) Seja f uma fução com derivadas cotíuas até à ordem + um itervalo [a, b] e seja 0 ]a, b[ Etão para [a, b], ( 0 ) ( 0 ) () f() = f(0 ) + ( 0 )f'(0 ) + f''(0 ) + + f (0 ) + R()!! ode, ( 0 ) R () = ( + )! + (+ ) f (η) sedo 0 ] mi{,0}, ma {, }[ η Assim se f ( + ) ( ) M para [a, b] etão f () - p () = R () = ( 0 ) + ( + )! f (+ ) (η) + -0 M ( + )! Poliómio de Maclauri É o poliómio que se obtém do poliómio de Taylor () fazedo 0 =0 () p ( ) = f (0) + f '(0) + f ''(0) + + f (0) ()!! Acetato 0-Erros em cálculo umérico

11 Eemplo: a) Calcule o poliómio de Maclauri de grau da fução f defiida por f() = si (), π π, Tem-se f() = si() f(0) = si(0) = 0, f () = cos() f (0) = cos(0) =, f () = si() f (0) = si(0) = 0, f () = cos() f (0) = cos(0) = - Substituido em () para = p ( ) = f (0) + f '(0) + f ''(0) + f '''(0)!! obtém-se o poliómio p( ) = ( ) =!! 6 Na figura seguite estão represetadas a fução f e o poliómio p o itervalo π π, y À escala usada os gráficos de f e p quase ão se distiguem b) Calcule o erro da aproimação poliomial obtida a alíea aterior Tem-se f() = si () = p () + R ()!! ( ) R ( ) = (si ) = η = (si ) η, ] 0, [ = ] 0 [ ma π π, si() - p () = ma π π, R () = ma π π, (si )! < π! π si 00 Acetato -Erros em cálculo umérico

12 Eemplo: a) Calcule os poliómios de Taylor de grau e de grau da fução g defiida por g() = e, [, ] o poto 0 = 0 Tem-se g() = e g(0) = e 0 =, g () = e g (0) = e 0 =, g () = e g (0) = e 0 =, g () = e g (0) = e 0 = Substituido em () para = e com 0 =0 p ( ) = g(0) + g'(0) + g''(0) +!! g '''(0) obtém-se o poliómio p ( ) = = + + +!! 6 Substituido em () para = e com 0 =0, p ( ) = g(0) + g'(0) +! g ''(0) obtém-se o poliómio p ( ) = + + = + +! Na figura seguite estão represetados a fução g (a traço cotíuo) e os poliómios p e p em [-, ] 5 5 y Aalisado os gráficos os dois eemplos ateriores cocluímos que os poliómios de Taylor calculados ão se afastam muito da fução dada, o itervalo idicado Acetato -Erros em cálculo umérico

13 b) Calcule o erro dos poliómios aproimates p e p para a fução g ma e - p ma ( )() ma () = e = e < e 05 [, ] [, ]! [, ]!! ( ) ma e - p ma ( )() ma () = e = e < e 05 [, ] [, ]! [, ]!! ( ) Eemplo: Obter uma aproimação para π π si calculado p 6 6 No eemplo costruímos um poliómio aproimate de grau para a fução f()=si() com π π,, p ( ) = 6 π π π 6 p = = O valor absoluto do erro é majorado escrevedo π π π π 6 6 π si ma (si )() - p = si 6 6! π 0,! Para fializar este poto, é de referir que os capítulos seguites descreveremos algus métodos uméricos que origiam erros de trucatura Acetato -Erros em cálculo umérico

14 Codicioameto e Estabilidade Erros iiciais Há problemas cuja solução é muito sesível a variações os dados, isto é, para certos problemas erros os dados quase desprezáveis, podem origiar variações muito grades a solução Este feómeo é idepedete do método usado para resolver problemas Como se propagam os erros os dados? Propagação de erros Supuhamos que se pretede calcular o valor de z = f (, y) usado os valores aproimados e y em vez de e y respectivamete Seja z = f(, y) Queremos cohecer o erro do valor aproimado z para z, assumido que todas as operações idicadas a epressão de f podem ser efectuadas eactamete Isto é, estamos iteressados o efeito da propagação dos erros ε = e ε = y y a solução do problema y Se eistem e são cotíuas f ( ) e f ( y) tem-se, pelo teorema de Taylor para fuções de duas variáveis, f(, y) = y ' ' f(, y) + ( )f ( η, η ) + (y y)f ( η, η ), ode ] {,}, ma {,} [ e η ] mi{ y,y}, ma { y,y} [ η mi Se está próimo de e y está próimo de y etão pode escrever-se ε z (, y) ε + f ' y ( y) ε y = z z f ', Supuhamos que se pretede calcular o valor de w = f (, y, z) usado os valores aproimados, y e z, em vez de, y e z respectivamete Seja w = f(,y, z ) Queremos cohecer o erro do valor aproimado w para w, assumido que todas as operações idicadas a epressão de f podem ser efectuadas eactamete Acetato -Erros em cálculo umérico

15 Isto é, estamos iteressados o efeito da propagação dos erros ε = =, ε = y y = y e ε = z z = z y a solução do problema Se está próimo de, y está próimo de y e z está próimo de z etão pode z escrever-se ε w = w w f ' (, y, z ) ε ' y ( ', + f, y, z ) ε + f y z ) y z (, ε z Eemplo: Determiar um limite superior do erro absoluto do volume de uma esfera, V = πd, se o diâmetro é d = 7 ± 005 cm e π 6 Resolução: Cosiderado π e d como variáveis, calculemos as derivadas parciais: V π = d 6 V e d = πd e como d = 7, d = 0 05 e π =, π = Utilizado a fórmula aterior temos que: V V π e portato V ( d, π) π + ( d, π) d = (7) (7) 005 = 088 d V = V ± ± V = πd 088 = ( )cm Geeralizado, seja F = f,,, ) uma fução de variáveis, e supodo que a ( cada variável i correspode ε = =, etão o erro de F obtem-se utilizado i a fórmula de propagação de erro: i i ε F = F F f ' ε + f ' ε + + (,,, ) (,,, ) (, f ',, ) ε Com base a fórmula da propagação do erro, podemos ecotrar as regras para a propagação de erros a soma e o produto Acetato 5-Erros em cálculo umérico

16 Cacelameto subtractivo O efeito da perda de dígitos sigificativos a subtracção de úmeros quase iguais é chamado cacelameto subtractivo Eemplo: Cosideremos os úmeros = 567 e y = 566 e as aproimações = e y = 67 57, ambas com 6 algarismos sigificativos Tem-se y = 0007, que é uma aproimação com algarismos sigificativos para - y Numa só operação aritmética perderam-se dígitos sigificativos Codicioameto (de um problema) Devido à eistêcia dos chamados erros iiciais, os dados e parâmetros de um problema matemático que se resolve ão coicidem, em geral, com os dados e parâmetros do problema posto O codicioameto de um problema descreve a sesibilidade do problema a variações os dados Não depede do método usado para resolver o problema Um problema matemático cuja solução pode ser muito sesível a variações os dados e parâmetros diz-se mal codicioado Um problema diz-se bem codicioado se pequeas variações os dados e parâmetros iduzem sempre pequeas variações a solução Estabilidade (de um método) A resolução de um problema umérico requer, em geral, a eecução de um grade úmero de operações aritméticas e, origiado de cada uma um erro de arredodameto, o efeito cumulativo desses erros pode afectar sigificativamete o resultado calculado A estabilidade de um método descreve a sesibilidade do método relativamete à acumulação dos erros gerados durate o cálculo Um método umérico diz-se istável se a acumulação de erros durate o cálculo pode ter grade ifluêcia a precisão dos resultados Um método estável produz sempre bos resultados (com problemas bem codicioados) Estes apotametos foram feitos com base o º capítulo do livro Aálise Numérica da Profª Drª Mª Raquel Valeça, Uiversidade Aberta, bem como outros livros referidos a bibliografia do programa da disciplia Acetato 6-Erros em cálculo umérico