Prof. Eugênio Carlos Stieler

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1 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO A ecessidade de recursos obriga aqueles que querem fazer ivestimetos a tomar empréstimos e assumir dívidas que são pagas com juros que variam de acordo com cotratos estabelecidos etre as partes iteressadas As formas de pagameto dos empréstimos são chamadas sistemas de amortização Os sistemas de amortização são os mais variados, algus prevedo pagameto úico, outros possibilitado parcelametos Algus deles são mais comus e têm até deomiações próprias, como o sistema PRICE, muito usado os egócios imobiliários ou o sistema Americao, usado os empréstimos iteracioais Outros ão têm deomiações próprias e, quado utilizados, são descritos em detalhes os cotratos de empréstimo Quado a forma escolhida para a amortização de uma dívida prevê pagameto parcelado, existe iteresse, tato por parte do devedor como do credor, em cohecer, a cada período de tempo, o estado da dívida, isto é, o total pago e o saldo devedor Por isso, é comum a elaboração de demostrativos que acompaham cada pagameto do empréstimo Não existe um modelo úico de demostrativo, mas de todos eles devem costar o valor de cada pagameto e o saldo devedor, devedo, aida, o valor de cada pagameto ser subdividido em juros e amortização A seguir, são descritos algus sistemas de amortização, seguidos de exemplos, para os quais são calculados os valores dos pagametos e, os casos de parcelameto, são elaborados os demostrativos 1 Sistema do Motate Por este sistema, o devedor paga o fial do prazo, o motate da divida que, coforme o cotrato pode ser calculado o regime de juros simples ou composto Para calcular o valor desse pagameto fial, basta calcular o motate correspodete à dívida somada aos juros, simples ou composto, coforme o caso O valor da dívida será o valor presete VP e o pagameto fial será o valor futuro VF, calculado com a taxa i cotratada para o empréstimo por períodos Se o cotrato prevê juros simples, tem-se: VFVP(1 + i) e se o cotrato prevê juros compostos, tem-se: VFVP(1 + i) Exemplo 1: Um empréstimo de R$ ,00 deve ser pago após quatro meses com juros de 10% am Calcular o pagameto fial: a) supodo que o empréstimo seja feito o regime de juros simples; b) supodo que o empréstimo seja feito o regime de juros compostos a) VF VP (1 + i) (1 + 0,1 x 4) b) VF VP (1 + i) (1 + 0,1) Resposta: a) Se o regime for de juros simples, o pagameto fial será de R$ ,00; b) Se o regime for de juros compostos, o pagameto fial será de R$ ,00 Sistema de Amortização ` Pág1

2 Sistema de Juros Atecipados Por este sistema, o devedor paga o total dos juros a data da liberação do empréstimo Como o sistema aterior, os juros poderão ser simples ou compostos É claro que, se os juros são pagos atecipadamete, o valor liberado como empréstimo (empréstimo efetivo) ão coicide com o solicitado pelo devedor, o que faz com que a taxa efetiva a que ele se obriga seja diferete da taxa omial cotratada Com os juros pagos atecipadamete, apeas será paga o fial a quatia solicitada como empréstimo Chamado de VP o valor efetivamete liberado (empréstimo efetivo) e de VF o pagameto fial (empréstimo cotratado) e supodo que o empréstimo seja feito à taxa i de juros simples e pelo prazo de períodos, o valor liberado será: VP VF VF x i x ou: VP VF(1 i x ) O que correspode ao valor solicitado deduzido com descoto comercial simples Para calcular a taxa efetiva i e paga pelo devedor, basta usar a fórmula de motate de juros simples cosiderado o empréstimo efetivo como VP e o empréstimo cotratado como VF Tem-se, etão: VF 1 VF VP(1+ i i VP e ) > e Se o empréstimo foi cotratado com juros compostos, o valor liberado será: VP VF - (VF (1 + i) - VF) ou: Juro em uma capitalização composta VP VF - VF(1 + i) + VF ou, aida: VP VF( - (1 + i) ) VF e a taxa efetiva será: i e 1A VP Na prática, essas fórmulas ão são ecessárias, como se pode ver o próximo exemplo: Exemplo : Cosidere-se o mesmo exemplo aterior, de um empréstimo de R$ ,00, à taxa de 10% am pelo prazo de quatro meses Se os juros são cobrados atecipadamete, calcular o valor liberado, o valor a ser pago o fial do prazo e a taxa efetiva: a) para o regime de juros simples; b) para o regime de juros compostos a) VP VF (1 - i) (1-0,1 x 4) Sistema de Amortização ` Pág

3 ie VF VP , Outra solução: J VPi x 0,1 x (juros atecipados) (valor liberado) VF VP (1 + i e ) > (1+i e 4) > i e 0,1667 b) VP VF( - (1+i) ) ( (1+0,1) 4 ) e i VF VP Outra solução: , VF VP (1 + i) (1 + 0,1) (ver exemplo 1) (juros atecipados) (valor liberado) VF VP(1 + i e ) (1 + i e ) 4 i e 0,1688 Resposta: a) No regime de juros simples, o valor liberado é R$ 60000,00, o valor a ser pago o fial é R$ ,00 e a taxa efetiva que o devedor paga é 16,67% am; b) No regime de juros compostos, o valor liberado é R$ 53590,00, o valor a ser pago o fial é R$ ,00 e a taxa efetiva que o devedor paga é 16,88% am 3 Sistema Americao Por este sistema, o devedor paga os juros periodicamete; o valor emprestado é pago o fial do prazo estipulado para o empréstimo Chamado de VP o valor emprestado taxa i, os juros pagos em cada período são iguais e calculados como: J VP x i Termiado o prazo, o devedor, o último pagameto, além dos juros, salda o capital emprestado VP Observe-se que, por esse sistema, é idiferete que o regime de juros seja simples ou composto, pois, como os juros são pagos periodicamete, o saldo devedor é sempre o mesmo, o que ão muda o valor básico para o cálculo dos juros Exemplo 3: Cosiderar, aida, o mesmo empréstimo de R$ ,00 feito à taxa de 10% am, pelo prazo de quatro meses Qual será o desembolso mesal do devedor se o empréstimo for feito pelo sistema Americao com juros pagos mesalmete? Sistema de Amortização ` Pág3

4 J VP x i , Resposta: Nos três primeiros meses, seu desembolso será de R$ 10000,00 correspodetes ao pagameto dos juros No quarto mês, será de R$ ,00, sedo R$ 10000,00 correspodetes aos juros e R$ ,00 para saldar a dívida Veja quadro: Sistema Price, Fracês ou de Prestações Costates Por este sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações iguais imediatas, icluido, em cada, uma amortização parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo devedor O úmero de prestações varia em cada cotrato Supoha-se o empréstimo PV, feito à taxa i para ser pago em prestações, pelo sistema PRICE As prestações são calculadas como se fossem os termos PMT de uma reda imediata cujo valor presete é PV: PMT PV PV (1+ i) i ou PMT 1 (1+ i) [(1+ i) 1] i Como o sistema PRICE prevê pagameto da dívida de forma parcelada, é coveiete para o devedor e para o credor que se elabore um demostrativo que expoha o estado da dívida em cada período do prazo fixado Como já se disse o iício deste capítulo, ão existe um modelo úico de demostrativo, e cada istituição fiaceira adota o seu modelo de acordo com os seus iteresses ou com as exigêcias legais de cada caso O modelo mais simples seria um quadro, como o reproduzido a seguir, com coluas para data (0, 1,,, ), valor dos pagametos (PMT), valor dos juros (J 1, J,, J ), valor das amortizações (A 1, A,, A ) e saldos devedores (SD 1, SD,SD )) para cada período: SD 0 PV 1 PMT J 1 A 1 SD 1 PMT J A SD PMT J A SD 0 Para elaborar a tabela, os valores (juros, amortizações e saldos devedores) são colocados liha por liha e calculados da seguite forma: J 1 PV i A 1 PMT - J 1 SD 1 P - A J SD 1 i A PMT - J SD SD 1 A J SD -1 i A PMT - J SD SD -1 - A Sistema de Amortização ` Pág4

5 Exemplo 4: Cosiderado, aida, o mesmo empréstimo de R$ ,00, feito à taxa de 10% am, por quatro meses, agora devedo ser pago o sistema PRICE, determiar o pagameto mesal e fazer um demostrativo do estado da dívida esses quatro meses PV PMT 1 (1+ i) i ,08 (pagameto mesal) 4 1 1,1 0,1 J 1 PV i , A 1 PMT J , ,08 SD 1 SD 0 - A , ,9 J SD 1 i 7845,9 0,1 7845,9 A PMT - J 31547, ,9 3701,79 SD SD 1 - A 7845,9-3701, ,13 J 3 SD i 54751,13 0,1 5475,11 A 3 PMT - J , , ,97 SD 3 SD - A , , ,16 J 4 SD 3 i 8679,16 0,1 867,9 A 4 PMT - J ,08-867,9 8679,16 SD 4 SD 3 - A , , , , , , , , ,9 3701, , , , , , ,08 867,9 8679,16 0,00 Pode-se observar que os juros são cada vez meores, uma vez que são calculados sobre o saldo devedor que é cada vez meor Coseqüetemete, as amortizações são cada vez maiores para que, somadas aos juros, totalizem prestações iguais 5 Sistema de Amortizações Costates - SAC Por este sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações que icluem cada uma, uma parcela costate de amortização e os juros sobre o saldo devedor Equato o sistema PRICE as prestações são iguais, o SAC são iguais as amortizações icluídas em cada parcela Como amortizações iguais devem saldar a dívida PV, para calcular cada uma basta dividir o total do empréstimo PV pelo úmero de parcelas: PV A O quadro demostrativo para esse sistema de amortização também pode ser elaborado liha por liha, mas, desta vez, tem iício a terceira colua, em que se repete, em todas as lihas, o valor da amortização Em seguida, são calculados os juros (J 1, J,, J ) para cada período e só etão calcula-se o valor de cada prestação (P 1, P,, P ), que represeta a soma dos juros com a amortização correspodete ao período A seguir, o quadro demostrativo, aálogo ao do sistema aterior, e o cálculo dos valores ecessários á sua elaboração: Sistema de Amortização ` Pág5

6 Ode: SD 0 PV 1 P 1 J 1 A SD 1 P J A SD P J A SD 0 J 1 PV i P 1 A+J 1 SD 1 PV - A J SD 1 i P A+J SD SD 1 - A J SD -1 i P A+J SD SD -1 - A Exemplo 5: Cosiderado, mais uma vez, o mesmo empréstimo de R$ ,00, feito taxa de 10% amês, pelo prazo de quatro meses, agora pago pelo SAC, fazer o demostrativo do estado da dívida esses quatro meses PV A J 1 PV i , P 1 A + J SD 1 PV - A J SD 1 i , P A +J SD SD 1 - A J 3 SD i , P 3 A + J SD 3 SD - A J 4 SD 3 i ,1 500 P 4 A +J SD 4 SD 3 - A Observe-se que o SAC os pagametos são decrescetes, uma vez que é a soma de amortizações iguais com juros cada vez meores Observe-se, aida, que o quadro demostrativo pode ser elaborado colua por colua, visto que as amortizações são costates, iguais a A; os saldos devedores, decrescetes, podem ser obtidos por subtrações sucessivas da parcela A; os juros podem ser obtidos, a partir de J 1 PV x i, por subtrações sucessivas do valor da amortização A e os pagametos podem ser obtidos, a partir de P A + PV x i Sistema de Amortização ` Pág6

7 6 Sistema de Amortização Misto - SAM Por este sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações, tais que cada uma delas é a média aritmética etre os valores ecotrados para as prestações do sistema PRICE e do SAC E claro que isso implica que os juros, amortizações e saldos devedores o SAM, em cada período, também costituam cada um, a média aritmética etre juros, amortizações e saldos devedores dos sistemas PRICE e SAC Mas a prática em sempre é coveiete calcular esses valores dessa forma e apeas as prestações são calculadas como médias aritméticas Chamado de PMT a prestação do sistema PRICE e de P 1, P,, P as prestações do SAC, para calcular as prestações P 1, P P do SAM, basta fazer: P1 1 P P Calculadas as prestações, o demostrativo deve ser elaborado, como o sistema PRICE, liha por liha A seguir, apresetam-se o quadro demostrativo e o cálculo dos demais elemetos: Ode: O SD 0 PV 1 P 1 J 1 A 1 SD 1 P J A SD P J A SD 0 J 1 PV i A 1 P 1 - J 1 SD 1 SD 0 - A 1 J SD 1 i A P - j SD SD 1 - A - J SD -1 i A P - J SD SD -1 A Exemplo 6: Cosiderar, ovamete o empréstimo de R$ ,00, taxa de 10% am, por quatro meses, agora pelo SAM Fazer o demostrativo do estado da dívida esse período PMT 31547,08 (ver exemplo 4) P ,00 P 3500,00 P ,00 (ver exemplo 5) P ,00 Sistema de Amortização ` Pág7

8 P P P 3 P , , , , , , , ,54 Pagameto Juros Amortização Saldo Devedor , , ,00 373, ,46 303,54 767, , , ,54 537, , , ,54 683, ,58 0,01 Comparado o quadro do exemplo 5 com este, observa-se que, equato pelo SAC os pagametos decrescem de 500, pelo SAM decrescete a metade desse valor, isto é, 150 SITUAÇÕES PROBLEMAS 1 Um empréstimo de R$ 10000,00 deve ser pago após doze meses com juros de 1% am Calcular o pagameto fial a) supodo que o empréstimo seja feito o regime de juros simples; b) supodo que o empréstimo seja feito o regime de juros compostos Cosidere-se o mesmo exemplo aterior, de um empréstimo de R$ 10000,00, à taxa de 1% am pelo prazo de doze meses Se os juros são cobrados atecipadamete, calcular o valor liberado, o valor a ser pago o fial do prazo e a taxa efetiva: a) para o regime de juros simples; b) para o regime de juros compostos 3 Cosiderar, aida, o mesmo empréstimo de R$ 10000,00, feito à taxa de 1% am, pelo prazo de um ao Qual será o desembolso mesal do devedor se o empréstimo for feito pelo Sistema Americao com juros pagos mesalmete? 4 Cosiderado, aida, o mesmo empréstimo de R$ 10000,00, feito à taxa de 1% am, por um ao, agora devedo ser pago o sistema PRICE, determiar o pagameto mesal e fazer um demostrativo do estado da dívida esses vite quatro meses 5 Cosiderado, mais uma vez, o mesmo empréstimo de R$ 10000,00, feito taxa de 1% am, pelo prazo de um ao, agora pago pelo SAC, fazer o demostrativo do estado da dívida esses vite quatro meses 6 Cosiderar, ovamete o empréstimo de R$ 10000,00, taxa de 1% am, por um ao, agora pelo SAM Fazer o demostrativo do estado da dívida esse período Sistema de Amortização ` Pág8