Séries de Potências AULA LIVRO

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1 LIVRO Séries de Potêcias META Apresetar os coceitos e as pricipais propriedades de Séries de Potêcias. Além disso, itroduziremos as primeiras maeiras de escrever uma fução dada como uma série de potêcias. OBJETIVOS Represetar fuções em séries de potêcias. PRÉ-REQUISITOS Séries Numéricas (Aula 3).

2 Séries de Potêcias. Itrodução Uma série de potêcias de x é uma série da forma a (x x 0 ) = a 0 + a (x x 0 ) + a (x x 0 ) + Observe que esta série pode ser vista como a geeralização de um poliômio. O pricipal objetivo de estudar essas séries é que é possível (veremos a diate) represetar uma fução dada como uma série de potêcias. Você pode imagiar por que queremos expressar uma fução cohecida como uma soma ifiita de termos. Veremos mais tarde que essa estratégia é útil para itegrar fuções que ão têm atiderivadas elemetares e para aproximar as fuções por poliômios. Cietistas fazem isso para simplificar expressões que eles utilizam e para poder represetar as fuções em calculadoras e computadores. Nesta aula, itroduziremos os coceitos de séries de potêcias. Além disso, iiciaremos o estudo de represetação de fuções em séries de potêcias.. Série de Potêcias Seja a, 0, uma seqüêcia umérica dada e seja x 0 um real dado. A série a (x x 0 ) (..) deomia-se série de potêcias, com coeficietes a, em volta de x 0 (ou cetrada em x 0 ). Se x 0 = 0, temos a série de potêcias em volta de zero: a x = a 0 + a x + a x +. (..)

3 Livro de Cálculo II Para cada x fixo, a série de potêcias é uma série de costates que podemos testar sua covergêcia ou divergêcia. Uma série de potêcias pode covergir para algus valores de x e divergir para outros. A soma da série é uma fução de x, cujo domíio é o cojuto de todos os x para os quais a série coverge. Esta fução assemelha a um poliômio. A úica difereça é que f tem ifiitos termos. Exemplo... x! e com coeficietes a =!. é uma série de potêcias em volta de zero Nosso objetivo, de agora em diate, é ecotrar os valores de x para os quais uma série de potêcias é covergete. Teorema.. Se a x for covergete para x = x, com x 0, etão a série covergirá absolutamete para todo x o itervalo aberto ( x, x ). Demostração: que Sedo, por hipótese, a x + = 0. a x covergete, segue Tomado-se ɛ =, existe um N N tal que, para todo N, a x. Como a x = a x x x, resulta que, para todo x e todo N, a x x x. 3

4 Séries de Potêcias Para x < x, a série geométrica do Teste da Comparação que para todo x, com x < x. x x x é covergete. Segue a x coverge absolutamete Exemplo... A série coverge para x =. Pelo Teorema aterior, a série coverge absolutamete para todo x (, ). Para x = a série ão é absolutamete covergete. Exemplo..3. Para quais valores de x a série!x é covergete? Solução: Usamos o Teste da Razão. Se fizermos a, como habitualmete, deotar o -ésimo termo da série, etão a =!x. Se x 0, temos a + + a = + ( + )!x +!x = ( + ) x = + Pelo Teste da Razão, a série diverge quado x 0. Etão, a série coverge apeas quado x = 0. Exemplo..4. Para quais valores de x a série covergete? Solução: Seja a = (x 3). Etão a + + a = (x 3) +! + + (x 3) = + + x 3 = x 3 (x 3) é Pelo Teste da Razão, a série dada é absolutamete covergete, e portato covergete, quado x 3 < e é divergete quado x 3 >. Agora x 3 < < x 3 < < x < 4 4

5 Livro de Cálculo II assim a série coverge quado < x < 4 e diverge quado x < e x > 4. O Teste da Razão ão forece iformação quado x 3 = ; assim, devemos cosiderar x = e x = 4 separadamete. Se colocarmos x = 4 a série, ela se torará, a série harmoica, ( ) que é divergete. Se x =, a série é que é covergete pelo Teste da Série Alterada. Etão a série dada coverge para x < 4. Exemplo..5. Ecotre o domíio da fução defiida por f(x) = x!. Solução: Seja a = x!. Etão a + + a = x + + ( + )!! x = + + x = 0 < para todo x R. Etão pelo Teste da Razão, a série dada coverge para todos os valores de x. fução dada é (, + ) = R. Em outras palavras, o domíio da Para as séries de potêcias que temos vistos até agora, o cojuto de valores de x para os quais a série é covergete tem sempre sido um itervalo (um itervalo fiito os exemplos.. e..4, o itervalo ifiito (, + ) o exemplo..5 e um itervalo colapsado [0, 0] = {0} o exemplo..3). O teorema a seguir, diz que isso, em geral, é verdadeiro. Teorema.. Para uma dada série de potêcias existem apeas três possibilidades: (i) a série coverge apeas quado x = x 0 ; (ii) a série coverge para todo x R; a (x x 0 ) 5

6 Séries de Potêcias (iii)existe um úmero R tal que a série coverge se x x 0 < R e diverge de x x 0 > R. Nos extremos x 0 R e x 0 + R a série poderá covergir ou ão. Demostração: Fazedo u = x x 0 a série obtemos a u, deste modo basta provarmos que (i) a série coverge apeas quado u = 0; a (x x 0 ) (ii) a série coverge para todo u R; (iii)existe um úmero R tal que a série coverge se u < R e diverge de u > R. Nos extremos R e R a série poderá covergir ou ão. Provemos: Seja A o cojuto de todos u 0 para os quais a série coverge.. 0 Caso: A = {0} Se a série covergisse para algum valor u 0, pelo Teorema., covergiria, também, para todo u ( u, u ), que cotradiz a hipótese A = {0}. Logo, se A = {0} a série covergirá apeas para u = Caso: A = (0, + ) = R + Para todo u R, existe u > 0 tal que u < u. Como a série a u é covergete, pelo teorema., a série covergirá absolutamete para todo u, com u < u. Portato, a série coverge absolutamete para todo u Caso: A R + e A {0} 6

7 Livro de Cálculo II Se, para todo r > 0, existisse u > r tal que a u fosse covergete, pelo teorema., a série seria absolutamete covergete para todo u, que cotradiz a hipótese A R +. Portato, se A R +, etão A será itado superiormete; logo, admitirá supremo R : R = sup A. Como A {0}, teremos, evidetemete, R > 0. Sedo R o supremo de A, para todo x com u < R, existe u A, com u < u. Resulta ovamete do teorema., que a série coverge absolutamete para todo u ( R, R). Fica a cargo do leitor verificar que a série diverge para todo u, com u > R. O úmero R que aparece o Teorema aterior é chamado Raio de Covergêcia da série de Potêcia. Por coveção, o raio de covergêcia é R = 0 o caso (i) e R = o caso (ii). Exemplo..6. Ecotre o raio de covergêcia e o itervalo de covergêcia da série (x + ) ( ). = (x + ) Solução: Seja a = ( ). Etão a + + a = ( ) + (x + ) + + ( + ) + ( ) (x + ) = x = x +. Pelo Teste da Razão, a série dada coverge se x + < e di- verge se x + >. Etão, ela é covergete se x + < e 7

8 Séries de Potêcias divergete se x + >. Isso sigifica que o raio de covergêcia é R =. A desigualdade x + < pode ser escrita como 4 < x < 0; assim, testamos a série os extremos 4 e 0. Quado x = 4, a série é ( 4 + ) ( ) = = = que é uma série harmoica e, portato, diverge. Quado x = 0, a série é (0 + ) ( ) = =. ( ). = que coverge pelo Teste das Séries Alteradas. Etão a série coverge apeas quado 4 < x 0, assim, o itervalo de covergêcia é ( 4, 0]. Exemplo..7. Ecotre o raio de covergêcia e o itervalo de covergêcia da série Solução: +!(x ). = Seja a =!(x ). Etão a + a = + ( + )!(x ) +!(x ) = ( + ) x = 0 < + se, e somete se, x = 0, ou seja, x =. Etão, o raio de { } covergêcia é R = 0. E o itervalo de covergêcia é. 8

9 Livro de Cálculo II.3 Represetação de Fuções em Séries de Potêcias Nesta seção aprederemos como represetar certos tipos de fuções como soma de séries de potêcias pela maipulação de séries geométricas ou pela difereciação ou itegração de tais séries. Começaremos com uma equação que vimos ates: x = + x + x + x = x, x < (.3.) Ecotramos essa equação o Exemplo??, ode a obtivemos observado que ela é uma série geométrica com a = e r = x. Mas aqui osso poto de vista é diferete. Agora os referiremos à Equação.3. como uma expressão da fução f(x) = x como uma soma de uma série de potêcias. Uma ilustração geométrica da Equação.3. é mostrada a Figura.. Como a soma de uma série é o ite da seqüêcia de somas parciais, temos ode S = x = S (x) x k é a -ésima soma parcial. Note que, quado k=0 aumeta, S (x) se tora uma aproximação de f(x) para < x <. Exemplo.3.. Expresse f(x) = como a soma de uma + 9x série de potêcias e ecotre o itervalo de covergêcia. Solução: Temos que + 9x = [ (3x) ] 9

10 Séries de Potêcias Figura.: f(x) e algumas somas parciais Trocado x por (3x) a Equação.3., obtemos: + 9x = [ (3x) ] = ( ) 3 x = 3 x x x Como essa é uma série geométrica, ela coverge quado (3x) <, isto é, 9x <, ou seja, x <. Portato o itervalo de covergêcia é 3, ) ( 3. 3 Exemplo.3.. Ecotre a represetação em série de potêcias para f(x) = x +. Solução: Note que + x = ( + x ) = ( x ) Trocado x por x a Equação.3., obtemos: + x = ( x ) = ( ) x + Como essa é uma série geométrica, ela coverge quado x <, isto é, x <. Portato o itervalo de covergêcia é (, ). 0

11 Livro de Cálculo II.4 Resumo Uma série de potêcias de x em volta de x 0 (ou cetrada em x 0 ) é uma série do tipo Seja. A série a (x x 0 ) (.4.) ode a, 0 (coeficietes) é uma seqüêcia umérica dada e x 0 um real dado. Para cada x fixo, a série de potêcias é uma série de costates que podemos testar sua covergêcia ou divergêcia. Uma série de potêcias pode covergir para algus valores de x e divergir para outros. A soma da série é uma fução de x, cujo domíio é o cojuto de todos os x para os quais a série coverge. Dada uma série de potêcias de x, utilizamos pricipalmete o Critério da Razão, visto a Aula 3, para ecotrarmos o domíio da série dada. Vimos uma primeira maeira de represetar fuções em série de potêcias, através da série geométrica que foi estudada com detalhes a Aula 3. Nosso objetivo com essa aula era que você (aluo) apredesse a represetar fuções em séries de potêcias, através da série geométrica. Na próxima aula, estudaremos outras maeiras (mais eficietes) de represetar fuções em séries de potêcias.

12 Séries de Potêcias.5 Atividades 0. Determie o domíio das seguites séries de potêcias de x : (a) x x (b) l = x (c) 3 (d) ( ) 4 x = = (x ) (e) ( ) (f)!(x ) = = 0. Ecotre uma represetação em série de potêcias para Ecotre seu domíio. x 3 x +..6 Cometário das Atividades Essas atividades tem o objetivo de você (aluo) exercitar os coceitos desevolvidos esta aula. A Atividade 0. pede para ecotrar o domíio de algumas séries de potêcias dadas. Para tato, você precisa ecotra o raio de covergêcia (usado o Critério da Razão) e testar a série os extremos do itervalo de covergêcia da série. Na Atividade 0. você deve utilizar a série geométrica para represetar a fução dada em série de potêcias..7 Referêcias GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo (Vol. e 4). Rio de Jaeiro: LTC Editora, 006. STEWART, J., Cálculo (vol. e ). São Paulo: Pioeira Thomso Learig, 006.

13 Livro de Cálculo II THOMAS, G. B., Cálculo (vol. e ). São Paulo: Addiso Wesley, 00. 3