x 5 Df (( x))= ]0; 5[ ]5; + [

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1 Resoluções das atividades adicionais Capítulo Grupo A x. a) f( x) x + 7 x x 7 Df (( x)) R { 7} x b) f( x) x x 0 e x 0 x 0e x. Df (( x)) ]0; [ ]; + [. a) O ponto onde o gráfico de f corta o eixo O é tal que x 0. Logo f( 0) 0 +. O ponto é (0; ). b) O ponto onde o gráfico de f corta o eixo Ox é tal que 0. Logo 0 fx x + x x. O ponto é (; 0). c) f( x) x + x 0 0 x d) f( x) > 0 x + > 0 x < x <. Os valores são x R x <. e) f( x) < 0 x + < 0 x > x >. Os valores são x R x >.. Seja f( x) ax + b f( 0 ) b. a) (0; ) e ( ; 0) f( x). 0 Logo a 0 e f( 0) b. f(x)

2 Portanto f( x) x +. b) (0; ) e (7; 0) f( x). 0 Logo a e f( 0) b f( x) 7 x +. c) (0; ) e (; 0) f( x). 0 ( ) Logo a e f( 0) b f( x) x. 0 d) (0; 0) e (; ) f( x). 0 Logo a 0 e f( 0) b 0 f( x) x. e) (0; ) e (; ) f( x)e a tg 0 o. Logo a e b f x ( ) x. f) ( x 0) 7 7 x f( x) 7 x g) (8; ) e (; ) f( x). 0 a 8 6 e f( 8) 8 + b + 0 b f x x + ( ).. Temos que (8; ) e (; ) f( x). Seja f( x) ax + b, então ( ) a e f( ) ( ) + b b f( x) x. Logo f (), 8.. _ x

3 6. 0 x 7. a) x 0 ± x ± 0 + ± x ou x. Logo 0; ; (; 0) e ( ;0) f( x)e x., _ x b) x + x + x + x + ( x ) + ( x ) Portanto Im f( x) ] ;]. 8. x 0: f( x) x x + ( x ) f( x) 0 x ou x. x 0 + x x < 0

4 f( x) x + x + f( x) ( x + ) f( x) 0 x ou x. x x _ 9. a) Reta: ax + b (0; 0) e (; ) ax + b. 0 Logo f( 0) b 0e a 0 x.. Logo a equação da reta é b) Elas atingiram a mesma altura quando: x x e e e x x x x x 6 x x e e x 6x 0 x 0 ou x 6 não convém x 8x x x 6 9 e x 6 Então, elas atingiram a mesma altura no dia 6 que foi igual a 9 centímetros. 0. a) Seja ft () at+ b. Temos que ( 0; ) e (; ) ft. () Logo a ( ) e b f( 0) b ft () t. 0 0 t e ft () 0 t 0e t 0 t 0e t. Portanto f() t t e 0 t. Então o golfinho sairá da água no instante t s.

5 b) Como no instante t so golfinho estará saindo da água b 6 f ( ) 0. Como x 0+ 8 x 0 6 a s e a altura máxima será no vértice, isto é, v Δ a 6 ( ) 6 7 m. Portanto ele ficou 6 sfora da água e a altura máxima é igual a m.. alternativa C Temosf() t + t, portanto o gráfico será uma reta que passa pelos pontos (0; ) e (; ).. a) Temos f( x) a ( x )( x + ) e 0 ; f( x) a ( ) a +. Logo f( x) ( x + x ) 8 8 x + x. 8 8 b) Como (; ) é vértice e (0; 0) é raiz, 0 + r r 6 (0; 0) e (6; 0) f( x) f( x) a( x 0)( x 6) ax( x 6 ). Como (; ) f( x) a ( 6) a 9 8 f( x) ( x 6x) f( x) x + x Seja f( x) v x + t a reta. Como (; 0) e (; 0) gx ( ) gx ( ) ax ( )( x ) e 0; gx ( ) a ( ) ( ) a g( x) ( x )( x ) x 6x + x gx ( ) ( x 6x+ ) x + Logo os pontos A e B são tais que f( x) g( x) x 6x + x 7 x ou x 6. x 8x + 0.

6 7 Se x esex Logo A : ; e B : 6;... Temos que (0; 0) L(x) e (00; 0 000) é o vértice r r 000 L( 000) 0 L( x) a( x 0)( x + 000). Como (00; 0 000) Lx ( ) L( 00) a 00 ( 00) a L( x) x + 000x. E temos que (0; 00) e (00; 9 00) Cx ( ) Kx+ t Logo K 00 e t f( 0) Cx ( ) 00x a) A empresa terá lucro: Lx ( ) Cx ( ) > 0 x + 000x 00x 00 > 0 x 900x 00 > 0 x 900x + 00 < 0 ( x 0)( x 80) < 0 0 < x < 80 Então o intervalo será ]0 : 80[. b). Seja x o lado do quadrado. Temos que um lado de dois retângulos mede 0 x e o outro mede x. E os outros dois retângulos tem lados x e o outro mede x. Logo a região sombreada vale: ( 0 x) x + ( x) x x( x + 0 x) x( x) 8x( x) 8x + 88x O valor máximo de ocorre para x igual à abscissa do vértice da parábola: b x v a 88 +, cm 6 6

7 6. C 60 m C, x B B, 0 m A a) Temos que AB 0 e quec AB CAB e ABC AB C 90 o ΔABC ~ ΔAB C. Portanto AB AB 0 0 BC BC 0 x x x 0 x. b) Área do retângulo f( x) x x 0 x x + 0x. O máximo dessa função será atingido no vértice da parábola, b isto é, quando x 0 m. E portanto a 0 x 0 ( ) 0 m. Para os valores x m e 0 m. 7. a) Seja x o número de lugares não ocupados, o preço de cada passagem será p( x) 00 + x. Como há 00 x passageiros, o faturamento é: f( x) ( 00 x) p( x) ( 00 x)( 00 + x) x + 00x f(x) tem valor máximo para x igual à abscissa do vértice: b x a 00 lugares não ocupados. ( ) b) v Δ ( 00) ( )( 0 000) a ( ) 00 ou f ( ) ( ) + 00( )

8 8. a) II e IV. b) III e IV. c) IV. 9. a) II e IV. b) I e IV. c) IV. 0. a) f é bijetora, pois x x x + x + f( x) f( x) x, x R.E R temos que f( x). Pois x x x. b) f não é injetora nem sobrejetora, já que f( x) x + x 9 x + x x x Logo f( 0) f e como x 0, x R. Logo 9 Im f( x) ; 6.. f( x) x + 8x + ( x x) + ( x x + ) + ( x ) +. Como ( x ) 0 x R. Logo Imf( x) ] ; ] A ] ; ].. f( x) x x + 0 x x ( x ) + 6 Se x x temosf( x) ( x ) + 6ef( x) ( x ) + 6. Se f( x) f( x) ( x ) + 6 ( x ) + 6 x x ou x x x x ou x x x +. Portanto não podemos ter x + x. Como x + máx. { x; x } máx. { x; x }. Portanto, para que não exista x; x tal que x + x, basta que máx. { x; x }. Logo k.. a) As funções I e IV são pares, pois os expoentes de x são todos pares. b) A função II é ímpar, pois os expoentes de x são todos ímpares e não há termo independente de x. c) A função III não é par nem ímpar, pois x aparece com expoente par e ímpar. 8

9 . x [ k;7] x [ k;7] k 7.Se[ k 7] x [ k; 7] k 7. Logo k 7, então teremos f( x) x ( x) f( x), x [ 7;7]. Portanto k 7.. a) Não, pois f () e f ( ). b) Não, pois [ ;] e [ ; ]. 6. a) A função é crescente em 6 ;. b) A função é decrescente em 0; e [; ]. 7. f( x) x 6x + 9 ( x ) Como f: ] ; k[ R e ( xv; v ) ( ; ). Logo a parábola é simétrica em relação a. Logo k. Logo o maior valor de k é igual a. 8. alternativa A Seja f( x)e gx ( )duas funções. a) Falsa. Se f é ímpar e g é ímpar, logo f( x) g( x) f( x) ( g( x)) f( x) g( x). Logo o produto é par. b) Verdadeira. Se f é par e g é par, logo f( x) g( x) f( x) g( x)é uma função par. c) Verdadeira. Se f e g são ímpares, logo temos f( x) + g( x) f( x) + ( g( x)) [ f( x) + g( x)]. d) Verdadeira. Se f e g são pares, logo temos f( x) + g( x) f( x) + g( x). Logo f + g é par. e) Verdadeira, já que a alternativa A é falsa. 9. alternativa A a) Verdadeira. b) Falsa, já que f () 0e f( x) < 0, x k que < x <. c) Falsa, já que f( x) < 0, x ]; [. d) Falsa. f não é sobrejetora, pois x tal que f( x) <. e) Falsa. f não é injetora, pois f() f( ) 0. Grupo B 0. alternativa C f( x) x + x f( x) + d Logo, A { x R x }. 9

10 . alternativa D Seja f( x) ax + b, f ( 0) 0e f ( ) 0, a E como f( 0) 0 a 0 + b 0 b 0, logo f( x) 8x 0. 0 Quando 0 8x 0 0 x + 8 min 60 min + s mins.. Seja f( x)a reta que passa por (; 0) e (0; ), e g(x) a reta que passa por (6; ) e (0; ): (; 0) e (0; ) f( x). 0 Logo a 0. b f( 0) f( x) x + (6; ) e (0; ) f( x). Logo a b f( 0) Logo gx ( ) x+. 6 A é o encontro das retas gx ( )e f( x). Temos gx ( ) f( x) x+ x+ x 6 6 ( ) 0 x x x Logo A: ; 9 9. alternativa E A função passa por ( ; 0) e (0; ). Logo a b.. alternativa A C:( c; 0) x + c + 0 c C: (; 0) A:( a; 0) x a 0 a A: (; 0) 0

11 B r s x + x x x x + x x x B: (; ) Como AABC b h ( ).. alternativa D f ( ) 0 < f Para x f( x) x 6. Portanto: f( ) + f( ) + f alternativa C Seja f ( x ) ax + bx + c. Como (0; 0) e (; ) f( x) f( 0) c 0 f( x) ax + bx e f( ) a + b. O mínimo da função é assumido no vértice b a b a b. a Portanto temos: 8b + b b a 0 0 f( x) x + x f( ) f () 0 7. alternativa C f( x) x + x x + x + x Com x 0, x R. Logo Im f(x) 7 ; 7

12 8. alternativa B Como a concavidade é para baixo a < 0. b b Temos x v < 0 a < 0 a > 0. Como a < 0 b < 0. Como o gráfico corta o eixo O com < 0 c < 0. Logo a < 0, b < 0 e c < alternativa D x mx + ( m ) ( x )( x ( m )) Como o gráfico da função tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas m m. Logo f( x) x x + f( ) ( ) alternativa B Para que tenha uma raiz positiva e outra negativa, temos que Δ>0eP < 0 b c a ac > 0 m ( m )( m + ) > 0 e e m m + < 0 m ( m ) > 0 ( m )( m + ) < 0 m > 0 e e < m <. <. alternativa A r d b x s Equação de r: ax + b ( a > 0 e b > 0) Equação de s: cx + d ( c < e d > 0) 0 ( ax + b)( cx + d ) acx + ( ad + bc ) x + bd a > 0 e c < 0 ac < 0 a concavidade da parábola é para baixo. O produto das raízes é bd ac.

13 < 0. Assim, as raízes devem ter si- Como bd > 0 e ac < 0, bd ac nais contrários.. alternativa C f ( x ) a x + x + a x + ac + a a a ( x + a) Logo a parábola é tangente ao eixo Ox e temos que f ( 0) a a. A parábola tem vértice em ( a; 0). Portanto, se ela tiver concavidade para cima, a > 0 e será tangente a a Ox em um ponto com abscissa negativa. Se a < 0, a parábola terá concavidade para baixo e será tangente a Ox em um ponto com abscissa positiva.. alternativa C A questão apresenta um erro. A equação correta é f ( x ) ax + bx + c. f ( x ) ax + bx + cx a( x x )( x x ) 0 Como f( ) f( ) 0 f( x) a( x )( x + ), temos que f( 0) a ( 0 )( 0 + ) a. Logo f( x) ( x )( x + ) x +. Portanto f() f( ) ( + ) ( + ) ( ) 8.. alternativa C Como f tangencia o eixo das abscissas no ponto ( ; 0), x é raiz dupla da equação f( x) 0. Assimf( x) a( x + ). Temos que ( ;) f( x) f( ) a( + ) a a. Logo f( x) ( x + ) x + x +.. alternativa B Seja M o pé da perpendicular de A em BC. Portanto, BH h e CH a h. Logo b h + ( a h). Como a + h a h. Portanto, b h + ( h h) b h + ( h) h + 6 6h + h h 6h + 6. Logo o mínimo será no vértice da parábola, isto é, h b ( 6)

14 6. Seja f( x) x +. Como x tal que f( x) 0, pois teríamos x + 0 x N, f não é sobrejetora. x x x + x + f( x) f( x), portanto f é injetora, mas não é bijetora. 7. alternativa D Nenhuma reta paralela a O eaox pode encontrar a função em dois pontos. Logo o gráfico correto será o da alternativa D. 8. alternativa A f: A B Se f é injetora, logo x x f( x) f( x). Portanto, temos que B A k + k k. Como A e B > 0 k + > 0e k > 0 k >. Logo < k. 9. alternativa D Como f é sobrejetora, logo x A tal que f( x) ou f( x) ou f( x) 6 ou f( x) 9 x ou x ou x 6 ou x 9 x ou x 6 ou x 6 ou x 8. Portanto A {, 6, 6, 8}. Já que A tal que f: A B,te- mos que A A e A {, 6, 6, 8} já que f é sobrejetora. 0. alternativa C Como f está definida de E em P, esep P e E tal que fe ( ) p. Portanto f é sobrejetora.. alternativa D (A questão apresenta um erro, o primeiro n deve ser trocado por B.) Se f é injetora e m > n, então pelo Princípio Casas dos Pombos x, x, x x tal que f( x) f( x). Absurdo, logo m n. Se f é sobrejetora, temos que B, x tal quef( x). Logo m n. Se f é bijetora, temos m n e m n m n. Se f é bijetora, então o gráfico de f tem m n elementos.. alternativa E a) Falsa, f é bijetora, pois a R,! x t.q. f( x) a. b) Falsa. f é crescente em R já que, para x < 0, temos f( x) x, se x > x f( x) > f( x) e, se, x 0, temos que x > x f( x ) f( x ) 0.

15 c) Falsa. d) Falsa. e) Verdadeira.. alternativa C a) Falsa. Ela é decrescente em [0; 0]. b) Falsa. c) Verdadeira. d) Falsa. t (0 min) < 0. e) Falsa. Uma reta paralela ao eixo do tempo intersecta, no máximo, o gráfico em pontos.. alternativa A a) Verdadeira, já que f() f( ), porém f assume todos os valores reais, logo f é sobrejetora. b) Falsa. c) Falsa. f( ) f( ). d) Falsa. f ( ). e) Falsa. f é sobrejetora.. alternativa A A função f( x) é par, pois f R R x : { 0 }. Temos f( x) f( x). x ( x) 6. alternativa B a) f( n) ( n ) f( ), f( n) ( n ) é crescente, porém não é sobrejetora, pois dado Z, ímpar, x t.q. f( x) ( x ). b)f( n) n 6 f( ),f( n) n 6 é crescente e sobrejetora, pois Z, n tal que f( n) dado por n + 6. c) f( n) n é decrescente. d) f( n) n, temos que f ( ). e) f( n) n é crescente em Z alternativa A Temos que f( n) x crescente no intervalo [ 0; + [. tem vértice em (0; ). Logo f( n) é

16 8. alternativa E Como f( x)é par para c < x < c, temos f( x) f( x) ax + b ax b + ax + x ( ac b) + bc x + c x + c ax + x ( b ac ) + bc xac ( b) 0 ac b. ax + b Logo, f( x) x + c ax + ac x + c ax ( + c) x + c a. 9. alternativa B Como f é crescente, temos que k > 0,eff (( )) 0 f( k ) 0 ± + ± 8 k k 0 k. Como k > 0 k. Logo o valor de k é. 6