MATEMÁTICA MÓDULO 17 APLICAÇÕES DA DERIVADA. Professor Renato Madeira

Transcrição

1

2 MATEMÁTICA Professor Renato Madeira MÓDULO 17 APLICAÇÕES DA DERIVADA

3 1. TESTE DE MONOTONICIDADE Se f (x) > 0, x, então f é estritamente crescente no intervalo. Se f (x) < 0, x, então f é estritamente decrescente no intervalo.

4 1. TESTE DE MONOTONICIDADE Exemplo: Identifique os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = x 3 2x 2 + x fx x 2x x 2 fx 3x 4x x 1 f x 0 f é decrescente em, x ou x 1 fx 0 3 f é crescente em, e 1, 3

5 2. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO p é um ponto de máximo local de f, se existir r > 0 tal que fx fp, xp r,p r Df p é um ponto de mínimo local de f, se existir r > 0 tal que fx fp, xp r,p r Df

6 2. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO OBSERVAÇÃO: Quando a primeira derivada é positiva antes de um ponto e negativa depois, esse é um ponto de máximo local. Quando a primeira derivada é negativa antes de um ponto e positiva depois, esse é um ponto de mínimo local.

7 2. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO Exemplo: Determine os máximos e mínimos locais de f(x) = x 3 3x fx 3x 6x 3xx 2 f cresce em,0, decresce em 0,2 e cresce em 2, Portanto, x = 0 é abscissa de um ponto de máximo local e x = 2 é abscissa de um ponto de mínimo local.

8 2. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO Teorema: Uma condição necessária para a existência de um ponto extremo é que a primeira derivada seja igual a zero ou não exista. Teorema (Teste da derivada segunda): Seja uma função f(x) derivável até a segunda ordem em um ponto crítico x 0, ou seja, onde f (x 0 ) = 0. Se f (x 0 ) < 0, então x 0 é abscissa de um ponto de máximo local; Se f (x 0 ) > 0, então x 0 é abscissa de um ponto de mínimo local; e Se f (x 0 ) = 0, então a existência de um ponto extremo em x 0 permanece em aberto.

9 2. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA FUNÇÃO Exemplo: Encontre e caracterize os pontos extremos de f(x) = x 4 8x x 2 24x f' x 4x 24x 44x 24 0 x 1 x 2 x 3 2 f'' x 12x 48x 44 f (1) = 8 > 0 x = 1 é abscissa de um ponto de mínimo local f (2) = -4 < 0 x = 2 é abscissa de um ponto de máximo local f (3) = 8 > 0 x = 3 é abscissa de um ponto de mínimo local

10 3. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO A reta tangente ao gráfico de f no ponto (p, f(p)) é uma função T(x) dada por: T(x) = f(p) + f (p) (x p). O gráfico de f tem concavidade voltada para cima no intervalo aberto, se f(x) > T(x), x, x p. O gráfico de f tem concavidade voltada para baixo (convexa) no intervalo aberto, se f(x) < T(x), x, x p.

11 3. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO

12 3. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO Definição: Dizemos que p é um ponto de inflexão de f, se ocorre mudança de concavidade em p.

13 3. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO Teorema: Seja f uma função derivável até a 2ª ordem no intervalo aberto. Se f (x) > 0, x, então o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em (função côncava em ). Se f (x) < 0, x, então o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em (função convexa em ).

14 3. CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO Exemplo: Encontre os intervalos nos quais a função é côncava ou convexa e identifique os pontos de inflexão de f(x) = x 4 + x 3 18x x f' x 4x 3x 36x 24 f'' x 12x 6x 36 Se x ], 2[, então f (x) > 0 e o gráfico de f tem concavidade para cima. Se x ]2, 3/2[, então f (x) < 0 e o gráfico de f tem concavidade para baixo. Se x ]3/2, + [, então f (x) > 0 e o gráfico de f tem concavidade para cima. Ocorrem mudanças de concavidade em x = 2 e x = 3/2 que são, portanto, abscissas de pontos de inflexão.

15 4. ASSÍNTOTAS A reta x = a é uma assíntota vertical ao gráfico de f se, e somente se, lim fx ou lim fx xa xa A reta y = mx + n é uma assíntota ao gráfico de f se, e somente se, lim fx mx n 0 x Se m = 0, a reta é uma assíntota horizontal. Se m 0, a reta é uma assíntota oblíqua.

16 4. ASSÍNTOTAS Método geral para obtenção das assíntotas fx 1 ) Calcular o limite lim x x m 2 ) Com o valor de m encontrado no limite anterior, calcular lim fx mx n x 3 ) Se m e n são finitos, então a reta y = mx + n é uma assíntota ao gráfico de f.

17 4. ASSÍNTOTAS Exemplo: Encontre as assíntotas ao gráfico de 2 y 4x x 1. fx 1 1 lim lim 4 2 x x x 2 x x x 2 lim 4x x 1 2x lim x 4x 2 2 x 1 4x 2 4x x 1 2x x lim 1 1 x x 2 x y 2x é uma assíntota quando x 4

18 4. ASSÍNTOTAS fx 1 1 lim lim 4 2 x x x 2 x x x 2 lim 4x x 1 2x lim x 4x 2 2 x 1 4x 2 4x x 1 2x x lim 1 1 x x 2 x y 2x é uma assíntota quando x 4

19 4. ASSÍNTOTAS

20 5. MÉTODO BÁSICO PARA A CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 1 ) Identificar o domínio de definição da função; 2 ) Identificar se a função é par, ímpar ou periódica; 3 ) Testar a continuidade da função e encontrar os pontos de descontinuidade. 4 ) Encontrar as assíntotas ao gráfico; 5 ) Encontrar os pontos extremos da função e calcular o valor da função nesses pontos; 6 ) Estudar a concavidade da função e identificar seus pontos de inflexão.

21

22

23 MATEMÁTICA Professor Renato Madeira MÓDULO 17 APLICAÇÕES DA DERIVADA

24 QUESTÃO 6 (EN 2011) Seja L uma lata de forma cilíndrica, sem tampa, de raio da base r e altura h. Se a área da superfície de L mede 54pa 2 cm 2, qual deve ser o valor de a) a cm b) 3a cm c) 6a cm d) 9a cm e) 12a cm 2 2 r h, para que L tenha volume máximo?

25 RESOLUÇÃO: a r S 2rh r 54a 2rh r 54a h 2r a r 2 3 V r h r 54a r r 2r V' 54a 3r 0 r 18a r 3 2 a V" 6r 3r 0 MÁXIMO 2

26 RESOLUÇÃO: h a r 54a 18a 2r 23 2 a 3 2 a r h 18a 18a 6 a 2 2 a 0 r h 6a cm OPÇÃO: C

27

28

29 MATEMÁTICA Professor Renato Madeira MÓDULO 17 APLICAÇÕES DA DERIVADA

30 QUESTÃO 8 (EN 2015) A concentração de um certo remédio no sangue, t horas após 10t sua administração, é dada pela fórmula yt, t 0. 2 t 1 Em qual dos intervalos abaixo a função y(t) é crescente? a) t 0 b) > 10 c) t > 1 d) 0 t < 1 e) 1/2 < t < 10

31 RESOLUÇÃO: 10t y t t t 1 10t2t t 4 4 t 1 t 1 y' t 0 1 t 1 Mas é dado que t 0, então a função y(t) é crescente em 0 t < 1. OPÇÃO: D

32

33

34 MATEMÁTICA Professor Renato Madeira MÓDULO 17 APLICAÇÕES DA DERIVADA

35 QUESTÃO 11 (EN 2006) Dentre as opções abaixo, aquela que melhor representa o gráfico da função real de variável real f(x) = x + 2arctgx é

36 RESOLUÇÃO: fx x 2 arctgx f 0 0 2arctg x f' x f écrescente, x 2 2 1x 1x f'' x 2 2x 1 x 2 2 x 0 f'' x 0 concavidade para cima x 0 f'' x 0 concavidade parabaixo OPÇÃO: A

37

38

39 MATEMÁTICA Professor Renato Madeira MÓDULO 17 APLICAÇÕES DA DERIVADA

40 QUESTÃO 18 (EN 2015) A função real de variável real fx 2x a 2 bx cx 2, onde a, b e c são constantes reais, possui as seguintes propriedades: I) o gráfico de f passa pelo ponto (1, 0) e II) a reta y = 1 é um assíntota para o gráfico de f. O valor de a + b + c é a) 2 b) 1 c) 4 d) 3 e) 2

41 RESOLUÇÃO: 21a 1,0 f f 1 0 f 1 0 a 2 2 b1 c1 2 Se y = 1 é uma assíntota horizontal ao gráfico de f, então 2x 2 lim f x 1 lim 1 x 2 bx cx 2 x Se b 0, o limite é 0. Assim, para que o limite seja igual a 1, devemos ter b = 0 e c = 2. Portanto, a + b + c = = 4. OPÇÃO: C

42

43

44 MATEMÁTICA Professor Renato Madeira MÓDULO 17 APLICAÇÕES DA DERIVADA

45 QUESTÃO (EN 2010) Considere o triângulo ABC dado abaixo, onde M 1, M 2 e M 3 são os pontos médios dos lados AC, BC e AB, respectivamente, e k a razão da área do triângulo AIB para a área do triângulo IM 1 M 2 e f x x x 2x Se um cubo se expande de tal modo que num determinado instante sua aresta mede 5 dm e aumenta à razão de f(k) dm/min então podemos afirmar que a taxa de variação da área total da superfície deste sólido, neste instante, vale em dm 2 /min a) b) c) d) e)

46 RESOLUÇÃO: 2 SAIB AB 2 IM M M1M 2 k 2 4 S f k f dm 2 min S 6a 2 ds d 2 da 2 dm 6a 12a dt dt dt min OPÇÃO: E

47