Controle de Processos Aula: Função de transferência, diagrama de blocos, polos e zeros

Transcrição

1 Controle de Processos Aula: Função de transferência, diagrama de blocos, polos e zeros Prof. Eduardo Stockler Tognetti Departamento de Engenharia Elétrica Universidade de Brasília UnB 2 o Semestre 2017 E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 1/26

2 Sumário 1 Função de Transferência 2 Diagrama de blocos - Associações e álgebra 3 Processos com múltiplas saídas 4 Respostas da função de transferência 5 Polos de uma função de transferência 6 Zeros de uma função de transferência E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 1/26

3 Função de Transferência Seja um sistema não-linear contínuo e invariante no tempo Entrada f(t) Sistema não-linear Saída y(t) Um correspondente SLIT em torno de um ponto de operação (equiĺıbrio) pode ser expresso em termos de suas variáveis de desvio 1 Entrada f(t) Sistema (SLIT) Saída ỹ(t) O sistema pode ser analisado pela sua função de transferência se as condições iniciais são nulas Entrada F(s) G(s) Saída Ỹ(s) 1 Análise de estabilidade válida se a matriz Jacobiana não tem nenhum autovalor no eixo imaginário [Khalil, 2002]. E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 2/26

4 Função de Transferência Considere o sistema de equação diferencial linear com uma entrada f(t), uma saída y(t) e parâmetros constantes a i, i = 0,...,n, e b i, i = 0,...,m d n y(t) dy(t) d m f(t) df(t) a n +...+a dt n 1 +a 0y(t) = b m dt dt m +...+b1 +b 0f(t), n m dt Suponha condições iniciais nulas, ou seja y (n 1) (0) =... = y(0) = 0 e f (m 1) (0) =... = f(0) = 0 Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, tem-se: G(s) Y(s) F(s) = b ms m + +b 1s +b 0 a ns n +a n 1s n 1 + +a 1s +a 0, n m E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 3/26

5 Função de Transferência Exemplo Suponha condições iniciais nulas y (n 1) (0) =... = y(0) = 0 e f 1(0) = f 2(0) = 0 d n y dy a n dt n + +a1 +a0y = b1f1 +b2f2 dt Y(s) = b 1 b 2 F 1(s)+ F 2(s) a ns n + +a 1s +a 0 a ns n + +a 1s +a 0 Y(s) = G 1(s)F 1(s)+G 2(s)F 2(s) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 4/26

6 Função de Transferência Condições iniciais Observe que para o sistema linear expresso em termos de variáveis de desvio ỹ(t) = y(t) ȳ e f(t) = f(t) f a condição inicial nula é atendida considerando que o sistema encontra-se no ponto de operação (ȳ, f) de regime permanente no instante t = 0, ou seja y(0) = ȳ = ỹ(0) = y(0) ȳ = 0 e f(0) = f = f(0) = f(0) f = 0 E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 5/26

7 Ganho estático O ganho estático de uma função de transferência (relação de estado estacionário) pode ser obtida por pois K = lim s 0 G(s) lim y(t) = lim sg(s)f(s) t s 0 ( lim y(t) = lim G(s) t s 0 lim sf(s) s 0 lim t y(t) lim t f(t) = lim s 0 G(s) ) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 6/26

8 Sumário 1 Função de Transferência 2 Diagrama de blocos - Associações e álgebra 3 Processos com múltiplas saídas 4 Respostas da função de transferência 5 Polos de uma função de transferência 6 Zeros de uma função de transferência E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 6/26

9 Diagrama de blocos - Associações e álgebra Associação em série (cascata) R(s) X 1(s) C(s) G 1(s) G 2(s) X 1(s) = G 1(s)R(s) logo, C(s) = G 2(s)X 1(s) = G 2(s)G 1(s)R(s) H(s) = C(s) R(s) = G2(s)G1(s) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 7/26

10 Diagrama de blocos - Associações e álgebra Associação em paralelo R(s) G 1(s) + C(s) G 2(s) + X 1(s) = G 1(s)R(s), C(s) = X 1(s)+X 2(s) = X 2(s) = G 2(s)R(s) ( ) G 1(s)+G 2(s) R(s) H(s) = C(s) R(s) = G1(s)+G2(s) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 8/26

11 Diagrama de blocos - Associações e álgebra Associação com realimentação negativa R(s) + E(s) G(s) C(s) X 1(s) H(s) E(s) = R(s) X 1(s), X 1(s) = H(s)C(s) Substituindo (1) em (2), C(s) = G(s)R(s) G(s)H(s)C(s), Logo, E(s) = R(s) H(s)C(s) (1) C(s) = G(s)E(s) (2) ( ) 1+G(s)H(s) C(s) = G(s)R(s) M(s) = C(s) R(s) = G(s) 1+G(s)H(s) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 9/26

12 Representação em malha fechada Associação com realimentação negativa D(s) G d(s) Ỹ r(s) K m R(s) + Ẽ(s) Ũ(s) M(s) + + Ỹ(s) G c(s) G f(s) G p(s) C(s) Definições: Ramo direto: G c, G f, G p Ramo realimentação: G m G m(s) Regra de como achar a função de transferência: Numerador: ramo direto (Ỹ r Ỹ, D Ỹ) Denominador: 1 + produto FT s no laço Funções de transferência em malha fechada M = G fg c(k m Ỹ r G m Ỹ) Ỹ = G p M +G d D Ỹ = KmG 1+GG }{{ m } G := G pg fg c G r Ỹ = KmGpGfGc 1+G pg fg cg m Ỹ r + G d Ỹ r + 1+GG }{{ m } G dist G d 1+G pg fg cg m D E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 10/26 D

13 Diagrama de blocos - Associações e álgebra Associação com realimentação negativa Controle em cascata: exemplo de realimentação negativa D(s) G d(s) R(s) G c1(s) G c2(s) G 1(s) G 2(s) Y(s) H 1(s) H 2(s) Ache a funções de transferência Y(s) R(s) e Y(s) D(s) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 11/26

14 Sumário 1 Função de Transferência 2 Diagrama de blocos - Associações e álgebra 3 Processos com múltiplas saídas 4 Respostas da função de transferência 5 Polos de uma função de transferência 6 Zeros de uma função de transferência E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 11/26

15 Processos com múltiplas saídas Considere o processo com entradas f 1(t) e f 2(t) e saídas y 1(t) e y 2(t): dy 1 = a11y1 +a12y2 +b11f1 +b12f2 dt dy 2 dt e condições iniciais y 1(0) = y 2(0) = 0. = a21y1 +a22y2 +b21f1 +b22f2 Aplicando a transformada de Laplace no sistema de E.D.O., Y 1(s) = G 11(s)F 1(s)+G 12(s)F 2(s) Y 2(s) = G 21(s)F 1(s)+G 22(s)F 2(s) ou em forma matricial, [ ] [ ][ ] Y1(s) G11(s) G 12(s) F1(s) = Y 2(s) G 21(s) G 22(s) F 2(s) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 12/26

16 Processos com múltiplas saídas Exercício Encontre as expressões de G ij(s) e desenhe o diagrama de blocos do sistema de 2 entradas e 2 saídas. Solução: G 11(s) = b11s +(a12b21 a22b11) b12s +(a12b22 a22b12), G 12(s) = P(s) P(s) G 21(s) = b21s +(a21b11 a11b21) b22s +(a21b12 a11b22), G 22(s) = P(s) P(s) P(s) = s 2 (a 11 +a 22)s (a 12a 21 a 11a 22) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 13/26

17 Sumário 1 Função de Transferência 2 Diagrama de blocos - Associações e álgebra 3 Processos com múltiplas saídas 4 Respostas da função de transferência 5 Polos de uma função de transferência 6 Zeros de uma função de transferência E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 13/26

18 Resposta temporal da saída a partir da FT Em geral, uma função de transferência (FT) é representada por G(s) Y(s) F(s) = b ms m + +b 1s +b 0 a ns n +a n 1s n 1 + +a 1s +a 0, n m Reescrevendo Y(s) = termos do numerador a n(s p 1)(s p 2) (s p n)[termos devidos a entrada F(s)] Expandindo em frações parciais Y(s) = A1 s p 1 + A2 s p An s p n +[termos devidos a entrada F(s)] Aplicando a transformada inversa de Laplace y(t) = A 1e p1t +A 2e p2t + +A ne pnt +[termos devidos a entrada f] }{{}}{{} resposta não-forçada resposta forçada E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 14/26

19 Características da resposta temporal a partir da FT Os termos p i, i = 1,...,n são as raízes da equação característica do sistema (raízes do denominador da função de transferência) e são chamados polos do sistema A velocidade e o comportamento (oscilatório, assintótico, convergente, divergente) da resposta não-forçada é determinada pelas raízes da equação característica (polos do sistema) O valor dos coeficientes A i, i = 1,...,n, dependem do numerador da função de transferência (zeros do sistema) e do sinal de entrada f(t) O termo e λ jt da solução de uma edo homogênea é chamado de modo próprio e é linearmente independente se λ i λ j. Se as raízes λ da eq. característica tem multiplicidade r então os modos próprios são e λt, te λt,...,t r 1 e λt, A velocidade e o comportamento da resposta forçada é dada pelo modos próprios da edo que tem como solução f(t) (também chamado de modos forçados). Por exemplo: f(t) = au(t) (degrau de amplitude a) tem modo próprio e 0t ; f(t) = 10cos(2t) tem modos próprios e 2jt e e 2jt Se os modos forçados da entrada são iguais aos modos próprios do sistema então a solução forçada tem modos de multiplicidade aumentada E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 15/26

20 Exemplo Seja a função de transferência de 1 a ordem com polo 1/τ e uma entrada degrau de amplitude A G(s) = Y(s) F(s) = K τs +1 Logo, F(s) = A s Y(s) = G(s)F(s) = K τs +1 A s = AK s +1/τ }{{} termo 1 + AK s }{{} termo 2 termo 1: modo próprio (e t( 1/τ) ) devido ao polo 1/τ do sistema termo 2: modo forçado (e t0 ) devido a entrada (raiz na origem) Aplicando a transformada de Laplace inversa: y(t) = AKe t/τ }{{} + AKe }{{ 0t } resposta não-forçada resposta forçada E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 16/26

21 Sumário 1 Função de Transferência 2 Diagrama de blocos - Associações e álgebra 3 Processos com múltiplas saídas 4 Respostas da função de transferência 5 Polos de uma função de transferência 6 Zeros de uma função de transferência E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 16/26

22 Polos e Zeros de uma função de transferência Seja uma função de transferência (FT) é representada por (s z1)(s z2) (s zm) G(s) = K (s p 1)(s p 2) (s p, n m n) Polos Os polos de G(s), p 1, p 2,... p n, são valores de s tais que G(s) s=pi =. Em funções racionais os polos são as raízes do denominador. Zeros (finitos) Os zeros de G(s), z 1, z 2,... z m, são valores de s tais que G(s) s=zi = 0. Em funções racionais os zeros são as raízes do numerador. Ganho K é chamdo de ganho da função de transferência ou ganho estático e é dado por K = lim s 0 G(s) E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 17/26

23 Polos de uma função de transferência Emgeral, umafunçãodetransferência (FT)G(s)éumarazãodedoispolinômios (função racional) Q(s) e P(s): G(s) = Q(s) P(s) com exceção de sistemas com atraso no tempo θ: e θs. Zeros da FT: raízes de Q(s) G(s z) = 0 Polos da FT: raízes de P(s) G(s p) Localização dos polos característica qualitativa da resposta para uma entrada particular. E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 18/26

24 Polos de uma função de transferência Exemplo G(s) = Q(s) P(s) = Expandindo em frações parciais: G(s) = c1 s p 1 + c2 s p c4 s p 4 + c 4 s p 4 Q(s) (s p 1)(s p 2)(s p 3) m (s p 4)(s p4 )(s p5) { c31 s p c5 s p 5 Considere p 1, p 2, p 3 reais, p 5 = 0 e p 4 complexo, ou seja, p 4 = a+jb p 4 = a jb } c 32 (s p + + c 3m 3) 2 (s p 3) m E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 19/26

25 Polos de uma função de transferência Considere que a função de transferência G(s) tem uma entrada f(t) e uma saída y(t) com respectivas transformadas de Laplace F(s) = r(s) q(s) e Y(s), Y(s) = G(s)F(s) = Q(s) r(s) P(s) q(s) Importante O comportamento qualitativo da saída y(t) depende da localização no plano-s (s = σ +jω) das raízes de P(s) (pólos do sistema) e das raízes do denominador da entrada q(s). E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 20/26

26 Polos de uma função de transferência Considerando apenas a contribuição das raízes do sistema na resposta qualitativa de y(t), temos os seguintes casos: 1 Polos distintos reais: p 1 > 0 e p 2 < 0 c 1e p 1t e c 2e p 2t 2 Polos reais múltiplos: p 3 ( ) c 31 + c32 1! t + c33 2! t2 + + c3m (m 1)! tm 1 e p 3t Obs.: p 3 > 0 e p 3t quando t E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 21/26

27 Polos de uma função de transferência 3 Polos complexos conjugados: p 4 e p 4 p 4 = α+jβ p 4 = α jβ Aplicando a transformada de Laplace inversa: c 4 s p 4 + c 4 s p 4 ce αt sen(βt +φ) Observações Relação de Euler: e (a+jb) = e a e jb = e a (cos(b)+jsen(b)) Caso R{p 4} > 0 e αt quando t Caso R{p 4} = 0 oscilação não amortecida E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 22/26

28 Polos de uma função de transferência 4 Polos na origem: p 5 = 0 Aplicando a transformada de Laplace inversa: c 5 = c5 s p 5 s c5u(t) Obs.: Sistema integrador pois Y(s) = G(s)F(s) y(t) = g(t) f(t) y(t) = c 5u(t) f(t) t y(t) = c 5 f(τ)dτ u(t) f(t) = = + t u(t τ)f(τ)dτ = f(τ)dτ t u(t τ)f(τ)dτ E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 23/26

29 Polos de uma função de transferência Observações 1 Para uma entrada particular f(t) deve-se considerar as raízes adicionais introduzidas pelo denominador de F(s) na resposta total de y(t). 2 Polos p com parte real positiva produzem saídas ilimitadas, ou seja, Sistemas instáveis: R{p} > 0 Sistemas estáveis: R{p} < 0 E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 24/26

30 Respostas associadas a localização dos pólos Figura: Respostas ao impulso associadas a localização dos pólos no plano-s [Franklin, Powell & Emami-Naeini 2013]. E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 25/26

31 Sumário 1 Função de Transferência 2 Diagrama de blocos - Associações e álgebra 3 Processos com múltiplas saídas 4 Respostas da função de transferência 5 Polos de uma função de transferência 6 Zeros de uma função de transferência E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 25/26

32 Efeito da adição de um zero Seja duas funções de transferência com os mesmos pólos e mesmo ganho estático 2 H 1(s) = (s +1)(s +2) = 2 (s +1) 2 (s +2) e 2(s +1.1) H 2(s) = 1.1(s +1)(s +2) = 0,18 (s +1) + 1,64 (s +2) Zero próximo do pólo 1 reduziu o efeito deste pólo na resposta do sistema Observe outros casos H 3(s) = Zero à direita do pólo 1 H 4(s) = 2(s +0.9) 0.9(s +1)(s +2) = 0.22 (s +1) (s +2) 2(s 1) 1(s +1)(s +2) = 4 (s +1) + 6 (s +2) Zero no semiplano direito causa resposta inversa do sistema E. S. Tognetti (UnB) Controle de processos 26/26