O Método de Diferenças Finitas

Transcrição

1 1-16 O Método de Diferenças Finitas Andréa Maria Pedrosa Valli Laboratório de Computação de Alto Desempenho (LCAD) Departamento de Informática Universidade Federal do Espírito Santo - UFES, Vitória, ES, Brasil

2 2-16 O Método de Diferenças Finitas 1 Potencial Elétrico em Regime Estacionário 2 3 Cálculo do Potencial em 1D e 2D 4

3 3-16 O cálculo do potencial elétrico V e do campo elétrico E satisfazem, respectivamente, as equações:.( V ) = f (1) E = V (2) onde f é uma distribuição de cargas conhecida. Sendo assim, o potencial elétrico V (x, y) satisfaz a seguinte equação de Poisson em duas dimensões: ( 2 V V = x 2 ) + 2 V y 2 = f (x, y) (3) Para resolver a equação de Poisson em uma região Ω é preciso definir condições de contorno. Vamos considerar condições de contorno do tipo Dirichlet (V = V f em Ω 1 ) e Neumann ( V n = 0 em Ω 2).

4 4-16 O potencial elétrico V satisfaz a equação de Poisson sujeita a condições de contorno: V = f no domínio Ω (4) V = V f na fronteira Ω 1 (5) V. n = V n = 0 na fronteira Ω 2 (6) Desejamos obter potencial elétrico V e campo elétrico E no interior de um domínio Ω pelo método das diferenças finitas.

5 Cálculo do Potencial em 1D Cálculo do Potencial em 2D Série de Taylor de u(x) em torno do ponto x: u(x + h) = u(x) + h u (x) + h2 2! u (x) + h3 3! u3 (x) + h4 4! u4 (x) + (7) u(x h) = u(x) h u (x) + h2 2! u (x) h3 3! u3 (x) + h4 4! u4 (x) + (8) Aproximações para u (x) por diferenças finitas: (7) u (x) = u(x+h) u(x) h + O(h) (adiantada) (8) u (x) = u(x) u(x h) h + O(h) (atrasada) (7) (8) u (x) = u(x+h) u(x h) 2h + O(h 2 ) (central) Aproximação para u (x) por diferenças finitas: (7) + (8) u u(x + h) 2u(x) + u(x h) (x) = h 2 + O(h 2 ) (central)

6 6-16 Cálculo do Potencial em 1D Cálculo do Potencial em 2D Equação do potencial para x Ω = (0, L) d 2 V dx 2 = f em Ω (9) V = g em Ω (10) Discretização por diferenças finitas centrais no ponto x i L V (x i + h) 2V (x i ) + V (x i h) h 2 = f (x i ) onde h = n+1 é o número de subintervalos em [0, L]. Sendo assim, temos (n + 2) pontos no domínio [0, L], x i = x 0 + i h, i = 1, 2,, n. V i+1 2V i + V i 1 h 2 = f i av i+1 + bv i + cv i 1 = f i onde a = c = 1, b = 2 e f i = h 2 f i.

7 Cálculo do Potencial em 1D Cálculo do Potencial em 2D Equação de Poisson para (x, y) Ω = (0, L) (0, H) ( 2 ) V x V y 2 = f (x, y) em Ω (11) V (x, y) = g(x, y) em Ω (12) Discretização por diferenças finitas centrais no ponto (x i, y j ) V (x i + h x, y j ) 2V (x i, y j ) + V (x i h x, y j ) + h 2 x V (x i, y j + h y ) 2V (x i, y j ) + V (x i, y j h y ) h 2 y = f (x i, y j ) onde h x = L nx+1, h y = H ny+1, (nx + 1) é o número de subintervalos em [0, L] e (ny + 1) é o número de subintervalos em [0, H]. Sendo assim, temos (nx + 2) (ny + 2) pontos no domínio [0, L] [0, H], x i = x 0 + i h x, i = 1, 2,, nx y j = y 0 + j h y, j = 1, 2,, ny

8 8-16 Cálculo do Potencial em 1D Cálculo do Potencial em 2D Notação: V ij = V (x i, y j ), f ij = f (x i, y j ) = f (ih x, jh y ) V i 1,j+1 = V (x i h x, y j + h y ) A discretização da equação de Poisson por diferenças finitas centrais para i = 1, 2,, nx, j = 1, 2,, ny pode ser escrita da forma V i+1,j 2V ij + V i 1,j h 2 x + V i,j+1 2V ij + V i,j 1 h 2 y = f ij onde a V i+1,j + bv i 1,j + c V i,j+1 + d V i,j 1 + e V ij = f ij a = b = h 2 y, c = d = h 2 x e = 2(h 2 x + h 2 y ), f ij = h 2 xh 2 y f ij Cálculo do campo elétrico: E = V = ( Vi+1,j V i 1,j 2 h x, V i,j+1 V i,j 1 2 h y ) T

9 9-16 Cálculo do Potencial em 1D Cálculo do Potencial em 2D Malha de diferenças finitas considerando apenas condições de fronteira do tipo Dirichlet: a V i+1,j + bv i 1,j + c V i,j+1 + d V i,j 1 + e V ij = f ij a V p+1 + bv p 1 + c V p+nx + d V p nx + e V p = f p, p = 1, 2,, nx ny

10 Cálculo do Potencial em 1D Cálculo do Potencial em 2D a V p+1 + bv p 1 + c V p+nx + d V p nx + e V p = f p onde p = 1, 2,, 20 e a c b e a c b e a c b e a c b e c d e a c d b e a c d b e a c d b e a c d b e c d e a c d b e a c d b e a c d b e a c d b e a c d e a d b e a d b e a d b e a d b e 20 20

11 Cálculo do Potencial em 1D Cálculo do Potencial em 2D Tratamento das Condições de Contorno do tipo Dirichlet: a V p+1 + bv p 1 + c V p+nx + d V p nx + e V p = f p p = 1 ev 1 + av 2 + cv 6 = f 1 dv S bv O p = 2 bv 1 + ev 2 + av 3 + cv 7 = f 2 dv S p = 3 ev 2 + bv 1 + av 3 + cv 8 = f 3 dv S p = 4 ev 2 + bv 1 + av 3 + cv 9 = f 4 dv S p = 5 bv 4 + ev 5 + cv 10 = f 5 dv S av L p = 6 dv 1 + ev 6 + av 7 + cv 11 = f 6 bv S p = 7 dv 2 + bv 6 + ev 7 + av 8 + cv 12 = f 7 p = 8 dv 3 + bv 7 + ev 8 + av 9 + cv 13 = f 8 p = 9 dv 4 + bv 8 + ev 9 + av 10 + cv 14 = f 9 p = 10 dv 5 + bv 9 + ev 10 + cv 15 = f 10 av L...

12 Cálculo do Potencial em 1D Cálculo do Potencial em 2D Tratamento das Condições de Contorno do tipo Neumann: V y = V i,j+1 V i,j 1 2h y = 0, V i,j+1 = V i,j 1 a V p+1 + bv p 1 + c V p+nx + d V p nx + e V p = f p p = 21 av 22 + (c + d)v 16 + ev 21 = f 21 bv O p = 22 av 23 + bv 21 + (c + d)v 17 + ev 22 = f 22 p = 23 av 24 + bv 22 + (c + d)v 18 + ev 23 = f 23 p = 24 av 25 + bv 23 + (c + d)v 19 + ev 24 = f 24 p = 25 bv 24 + (c + d)v 20 + ev 25 = f 25 av L

13 13-16 Telecomunicações: linhas de transmissão de microfitas [3] Figura: Distribuição tridimensional do potencial elétrico para uma permissividade elétrica do substrato igual ao do meio.

14 Telecomunicações: linhas de transmissão de microfitas [3] Figura: Linhas equipotenciais e distribuição do campo elétrico para uma permissividade elétrica do substrato igual ao do meio.

15 Telecomunicações: linhas de transmissão de microfitas [3] Figura: Distribuição do campo elétrico e do potencial elétrico para uma permissividade elétrica do substrato igual ao do meio.

16 1. Métodos Numéricos para Engenharia, Steven C. Chapa e Raymond P. Canale, Ed. McGraw-Hill, 5 a Ed., Computacional Modeling with Methods and Analysis, White, R.E., APLICAÇÃO DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS PARA SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE LAPLACE E POISSON PARA LINHAS DE MICROFITAS ACOPLADAS, Rayann Pablo de Alencar AZEVEDO; Ícaro Bezerra de Queiroz ARAÚJO; Eliel Poggi dos SANTOS; Paulo Henrique da FONSECA SILVA.