Cálculo Numérico - Splines

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1 Cálculo Numérico - Splines Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto Universidade Tecnológica Federal do Paraná 13 de março de 2016 D.R.Rossetto Splines 1/27

2 Exemplo 1 Considere f (x) = x 2 tabelada no intervalo [ 1, 1] nos pontos x i = 1 + 2i n. Determine o polinômio de grau 10 que interpola f (x i ) em x i para i = 0, 1,..., n. D.R.Rossetto Splines 2/27

3 Figura : Gráfico D.R.Rossetto Splines 3/27

4 Figura : 11 pontos D.R.Rossetto Splines 4/27

5 Figura : Polinômio de grau 10 - Fenômeno de Runge (A aproximação pode ser ruim quando n cresce) D.R.Rossetto Splines 5/27

6 Figura : Polinômio de grau 10 - Fenômeno de Runge (A aproximação pode ser ruim quando n cresce) D.R.Rossetto Splines 5/27

7 Uma alternativa é interpolar f em grupos de poucos pontos, obtendo-se polinômios de grau menor e impor condições para que a função aproximadora seja contínua e tenha derivadas contínuas até uma certa ordem. D.R.Rossetto Splines 6/27

8 Definição Seja f (x) uma função tabelada nos pontos x 0 < x 1 < < x n. Uma função S p (x) é denominada spline interpolante de grau p com nós nos pontos x i, i = 0, 1,..., n, se satisfaz as seguintes condições: (I) em cada subintervalo [x i, x i+1 ], i = 0, 1,..., n 1, S p (x) é um polinômio de grau p: s p (x). (II) S p (x) é contínua e tem derivada contínua até ordem p 1 no intervalo. (III) S p (x i ) = f (x i ), i = 0, 1,..., n. D.R.Rossetto Splines 7/27

9 Estudaremos Spline Linear. Spline Cúbica. D.R.Rossetto Splines 8/27

10 Definição A função Spline Linear interpolante de f (x), S 1 (x), nos nós x 0, x 1,..., x n, pode ser escrita em cada subintervalo [x i 1, x i ], i = 1, 2,..., n, como para todo x [x i 1, x i ]. s i (x) = f (x i 1 ) x i x x i x i 1 + f (x i ) x x i 1 x i x i 1, D.R.Rossetto Splines 9/27

11 Note que, S 1 (x) é um polinômio de grau 1 em cada subintervalo [x i 1, x i ], por definição. S 1 (x) é contínua em (x i 1, x i ), por definição, e nos nós x i, S 1 está bem definida. (s i (x i ) = s i+1 (x i )) S 1 (x i ) = s 1 (x i ) = f (x i ), ou seja, S 1 (x) é spline linear interpolante de f (x) nos nós x 0, x 1,..., x n. D.R.Rossetto Splines 10/27

12 Note que, S 1 (x) é um polinômio de grau 1 em cada subintervalo [x i 1, x i ], por definição. S 1 (x) é contínua em (x i 1, x i ), por definição, e nos nós x i, S 1 está bem definida. (s i (x i ) = s i+1 (x i )) S 1 (x i ) = s 1 (x i ) = f (x i ), ou seja, S 1 (x) é spline linear interpolante de f (x) nos nós x 0, x 1,..., x n. D.R.Rossetto Splines 10/27

13 Note que, S 1 (x) é um polinômio de grau 1 em cada subintervalo [x i 1, x i ], por definição. S 1 (x) é contínua em (x i 1, x i ), por definição, e nos nós x i, S 1 está bem definida. (s i (x i ) = s i+1 (x i )) S 1 (x i ) = s 1 (x i ) = f (x i ), ou seja, S 1 (x) é spline linear interpolante de f (x) nos nós x 0, x 1,..., x n. D.R.Rossetto Splines 10/27

14 Note que, S 1 (x) é um polinômio de grau 1 em cada subintervalo [x i 1, x i ], por definição. S 1 (x) é contínua em (x i 1, x i ), por definição, e nos nós x i, S 1 está bem definida. (s i (x i ) = s i+1 (x i )) S 1 (x i ) = s 1 (x i ) = f (x i ), ou seja, S 1 (x) é spline linear interpolante de f (x) nos nós x 0, x 1,..., x n. D.R.Rossetto Splines 10/27

15 Exemplo 2 Encontrar a função spline linear que interpola a função tabelada: x f (x) ,5 D.R.Rossetto Splines 11/27

16 Figura : Função tabelada D.R.Rossetto Splines 12/27

17 s 1 (x) = x, x [1, 2] S(x) = s 2 (x) = (x+4) 3, x [2, 5] s 3 (x) = ( 0.5x+8.5) 2, x [5, 7] D.R.Rossetto Splines 13/27

18 Figura : Spline Linear D.R.Rossetto Splines 14/27

19 Figura : Polinômio de grau no máximo 3 D.R.Rossetto Splines 15/27

20 Definição Supondo que f (x) esteja tabelada nos pontos x i, i = 0, 1,..., n a função S 3 (x) é chamada spline cúbica interpolante de f (x) nos nós x i, i = 1, 2,..., n se existem n polinômios de grau 3, tais que: S 3 (x) = s k (x) para x [x k 1, x k ], k = 1,..., n S 3 (x i ) = f (x i ), i = 0, 1,..., n s k (x k ) = s k+1 (x k ), k = 1,..., n 1 s k (x k) = s k+1 (x k), k = 1,..., n 1 s k (x k) = s k+1 (x k), k = 1,..., n 1 D.R.Rossetto Splines 16/27

21 Para construirmos o splice cúbico interpolante para uma função dada, as condições indicadas na definição são aplicadas aos polinômios cúbicos s k (x) = d k + c j (x x k ) + b k (x x k ) 2 + a k (x x k ) 3 para cada k = 1, 2,..., n. O cálculo de S 3 (x) exige a determinação de 4 coeficientes para cada k, num total de 4n coeficientes. D.R.Rossetto Splines 17/27

22 Para construirmos o splice cúbico interpolante para uma função dada, as condições indicadas na definição são aplicadas aos polinômios cúbicos s k (x) = d k + c j (x x k ) + b k (x x k ) 2 + a k (x x k ) 3 para cada k = 1, 2,..., n. O cálculo de S 3 (x) exige a determinação de 4 coeficientes para cada k, num total de 4n coeficientes. D.R.Rossetto Splines 17/27

23 Denotando: g k = s k (x k) y k = f (x k ) h k = x k x k 1 D.R.Rossetto Splines 18/27

24 Impondo as condições da definição chegamos que: a k = g k g k 1 6h k b k = g k 2 c k = y k y k 1 h k + 2h kg k +h k g k 1 6 d k = y k D.R.Rossetto Splines 19/27

25 Onde g = (g 0, g 1,..., g n ) t é uma solução do sistema Ag = b, para A = h 0 2(h 0 + h 1 ) h h 1 2(h 1 + h 2 ) h h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) h n 1 D.R.Rossetto Splines 20/27

26 E, b = 6 y 2 y 1 h 2 y 1 y 0 h 1 y 3 y 2 h 3 y 2 y 1 h 1 y n y n 11 h n. y n 1 y n 2 h n 11 É um sistema com (n 1) equações e (n + 1) incógnitas. Portanto é um sistema indeterminado. D.R.Rossetto Splines 21/27

27 Spline cúbica natural Impondo as condições: S 3 (x 0) = g 0 = 0 S 3 (x n) = g n = 0 (os polinômios cúbicos nos extremos são próximos de funções lineares) D.R.Rossetto Splines 22/27

28 Para determinar os coeficientes g k, basta resolver o sistema Ax = b em que A = h 0 2(h 0 + h 1 ) h h 1 2(h 1 + h 2 ) h h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) h n D.R.Rossetto Splines 23/27

29 E, b = 6 0 y 2 y 1 h 2 y 1 y 0 h 1 y 3 y 2 h 3 y 2 y 1 h 1 y n y n 11 h n. y n 1 y n 2 h n 11 0 É um sistema com (n + 1) equações e (n + 1) incógnitas. D.R.Rossetto Splines 24/27

30 Determinados os coeficientes a k, b k, c k, d k, para k = 1, 2,..., n, a Spline Cúbica Natural que satisfaz as condições da definição é dada por S 3 = s 1 (x), x [x 0, x 1 ] s 2 (x), x [x 1, x 2 ].. s n (x), x [x n 1, x n ] D.R.Rossetto Splines 25/27

31 Exemplo 3 Encontrar a aproximação para f (0.25) por spline cúbica natural interpolante da tabela: x 0 0,5 1 1,5 2 f (x) 3 1,8616-0,5571 4,1987-9,0536 D.R.Rossetto Splines 26/27

32 Bibliografia BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas Análise Numérica Tradução da 8. ed. São Paulo, SP: Cengage Learning, CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos Numéricos para Engenharia Tradução da 5. ed. São Paulo, SP: McGraw-Hill, RUGGIERO, Marcia A. G.; LOPES, Vera L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Makron, CUMINATO, José A. Cálculo Numérico ICMC/USP D.R.Rossetto Splines 27/27