Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Lista de Revisão Física 1. prof. Daniel Kroff e Daniela Szilard 20 de junho de 2015

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Lista de Revisão Física 1 prof. Daniel Kroff e Daniela Szilard 20 de junho de 2015 OBS: Quando necessário, considere como dados a aceleração da gravidade g e os momentos de inércia em relação a um eixo perpendicular que passa pelo centro de massa: I barra = ML 2 /12, I disco = MR 2 /2 e I esfera = 2MR 2 /5. 1. Dois blocos de massa M estão em repouso sobre uma mesa, ligados por uma mola ideal relaxada de constante elástica k. Uma bala de massa m viaja com uma velocidade v 0, como mostra a figura e, em um dado instante, colide com um desses blocos, ficando incrustada nele. Considere desprezível o atrito entre a superfície da mesa e os blocos. (a) Descreva qualitativamente o movimento do sistema após a colisão. (b) Determine a velocidade do conjunto (bloco 1 + bala), imediatamente após a colisão. Ocorre perda de energia cinética nessa colisão? Se sim, quanto da energia cinética inicial da bala é perdida? (c) Determine a velocidade do centro de massa do sistema formado por esses três corpos. Ela é alterada após a colisão? (d) Determine a energia cinética total do sistema formada pelos dois blocos e pela bala imediatamente após a colisão. Como ela se compara com a energia cinética inicial da bala? (e) Determine a compressão máxima da mola após a colisão. 2. Uma placa em forma de disco de raio R = 2a tem um pedaço extraído, veja a figura, em forma de disco de raio r = a. Encontre o vetor posição do centro de massa. 3. Duas pequenas esferas de massa m e M m e raio desprezíveis para efeitos deste problema são soltas juntas, uma em contato com a outra, a uma altura H do solo. A esfera de massa M é posicionada embaixo da esfera de massa m. Considere todas as colisões elásticas. Determine: (a) a velocidade das duas esferas imediatamente antes de colidirem com o solo; (b) a velocidade da esfera de maior massa imediatamente antes de colidir com a esfera de menor massa; (c) o impulso que o chão realiza na esfera de maior massa;

2 (d) a velocidade das duas esferas após colidirem uma com a outra; (e) a altura máxima alcançada por cada uma das esferas. 4. Três partículas de massa m, m e 2m se movimentam sobre uma mesa plana. As duas partículas de mesma massa têm velocidades v 1 e v 2 de mesmo módulo v 1 = v 2 = v 0, porém direções diferentes, formando um ângulo de 60 entre si. A partícula de massa 2m apresenta velocidade de módulo V, fazendo um ângulo θ com a horizontal, como mostra a figura. Em um dado instante, as três partículas colidem e permanecem unidas. Obtenha: (a) a velocidade do centro de massa do sistema formado por essas três partículas, em termos de θ e V ; (b) o valor de V, em termos de θ, sabendo que, após a colisão, o sistem não se desloca na direção vertical; (c) que condição θ deve obedecer para que, após a colisão, o sistema se desloque no sentido positivo do eixo Ox; Suponha, agora, que após a colisão, o sistema permaneça em repouso. Determine, então: (d) o valor de θ; (e) a energia cinética perdida na colisão. 5. Um pêndulo balístico é constituído de modo que um bloco de massa M em repouso é mantido na vertical suspenso por um fio. Uma bala de massa m colide com esse bloco, ficando incrustada nele. Ao medir a altura que o bloco se eleva após a colisão, é possível descobrir o módulo da velocidade inicial v 0 da bala. No entanto, em um determinado experimento, a bala não fica incrustada no bloco e o atravessa, saindo do outro lado do bloco com velocidade de módulo v 0 /3. Sobre este experimento, responda: (a) Qual a velocidade do bloco de massa M imediatamente após ser atravessado pela bala? (b) Qual a altura máxima alcançada pelo bloco de massa M? (c) A colisão da bala com o bloco é elástica ou inelástica? Ela pode ser considerada totalmente inelástica? Justifique. Existe alguma situação em que esta colisão seria elástica? Se sim, qual? 6. Uma tábua homogênea de comprimento L e massa M está em repouso sobre um lago de águas calmas. Um sapo de massa m localizado na extremidade esquerda da tábua salta, fazendo um ângulo θ com a horizontal. Determine que condição θ deve assumir de modo que o sapo possa terminar seu salto caindo ainda sobre a tábua. Despreze a componente horizontal da força que a água exerce sobre a tábua. 7. Duas engrenagens circulares estão unidas por uma correia de modo que, quando uma completa uma volta, a outra já completou cinco. Como seus raios se relacionam? 8. Um satélite artificial de massa m é colocado em órbita circular e raio R > R T em torno da Terra. Considere que, em boa aproximação, a Terra é uma distribuição esfericamente simétrica de massa, com massa M T e raio R T. Frente à Terra, o satélite pode ser considerado um objeto pontual. 2

3 Despreze a interação do satélite com outros corpos além da Terra. Determine: (a) a velocidade do satélite em órbita; (b) o período que ele leva para completar uma volta; (c) a energia total do satélite em órbita. Como ela se compara com a sua energia cinética e potencial gravitacional? (d) a velocidade que ele deve ser lançado da superfície da Terra para entrar em órbita. Como essa velocidade se compara com a velocidade de escape da Terra? 9. Uma criança de massa m corre com velocidade de módulo v 0 ao longo de uma trajetória retilínea tangente a um carrossel inicialmente em repouso. Considere o carrosel um disco circular de massa M e raio R que pode girar em torno de um eixo perpendicular que passa pelo seu centro. Para não tropeçar, a criança pula sobre o carrossel, que começa a girar. Determine: (a) o módulo da velocidade angular de rotação do carrossel após o salto da criança. (b) a diferença de energia cinética K do sistema formado pela criança e pelo carrossel antes e depois de a criança saltar no carrossel. Suponha que agora a criança se desloque dentro do carrossel em direção ao seu centro de modo que ela passa distar R/2 do seu centro. Determine, então: (c) o módulo da velocidade angular de rotação do carrossel. Que grandezas se conservam enquanto a criança caminha? (d) a razão entre a energia cinética do sistema formado pelo carrossel e pela criança antes e depois da caminhada; (e) o trabalho realizado pela criança nessa caminhada. 10. Uma barra homogênea de massa M e comprimento L é suspensa por uma de suas extremidades, formando um pêndulo físico. Uma bala de massa m e velocidade de módulo v 0 colide com a barra, ficando incrustada nela a uma distância 2L/3 da extremidade suspensa. Responda: (a) Quais as grandezas conservadas na colisão? Justifique. (b) Qual a velocidade de rotação ω da barra após a colisão? (c) Qual o ângulo máximo que a barra forma com a vertical após a colisão? 11. Uma barra homogênea de massa M e comprimento L é suspensa por uma de suas extremidades, como no exercício anterior. Uma partícula de massa m viajando paralelamente ao teto com velocidade v 0 colide elasticamente com a barra a uma distância L do ponto de contato com o teto. Determine: (a) o módulo da velocidade angular de rotação da barra; (b) o módulo da velocidade v da partícula após a colisão; (c) a altura máxima que o centro de massa da barra se eleva após a colisão. 12. Um ioiô de raio interno r e raio externo R é puxado com força de módulo F por um fio, enrolado na parte interior de modo que o fio é sempre mantido paralelo ao chão. Considere que o ioiô rola sem deslizar, µ e é o coeficiente de atrito estático entre o chão e o ioiô e I cm, o momento de inércia do ioiô em relação ao seu centro de massa. Responda: 3

4 (a) Qual o módulo da aceleração do centro de massa do ioiô? (b) Qual o módulo e a direção da força de atrito que atua entre o ioiô e o chão? (c) Qual o maior valor possível que F pode assumir para que o ioiô não deslize? (d) A força de atrito pode ser nula? Se sim, sob que condições? 13. (Moysés I - cap. 12, adaptada) Um bloco de massa m, que pode deslizar com atrito desprezível sobre um plano inclinado de inclinação θ em relação à horizontal, está ligado por um fio, que passa sobre uma polia de raio R e massa M, a uma massa m > m suspensa (vide figura). O sistema é solto do repouso. Calcule: (a) a aceleração angular da polia; (b) as tensões nos fios; (c) os módulos das acelerações dos blocos. Considere, agora, que o bloco m, inicialmente em repouso, cai uma altura h. (d) Obtenha, por conservação de energia, a velocidade de m. Como esse resultado está relacionado à sua resposta do item (c)? 14. Uma fita leve está enrolada em volta de um disco circular de massa m e raio r (I CM = Mr 2 /2), que rola sem deslizar por uma mesa horizontal áspera. A fita passa por uma roldana fixa de massa desprezível e está presa a um corpo suspenso de massa m (figura ao lado). (a) Faça um diagrama de forças sobre o disco de massa m e o bloco de massa m. (b) Qual a relação entre os módulos de aceleração do fio e do centro de massa do disco? (c) Qual a relação entre os módulos das tensões na extremidade ligada ao corpo e na extremidade ligada a borda do disco? Que informações do problema você usou para chegar a esta conclusão. (d) Escreva as equações para a dinâmica de translação do disco e do corpo. (e) Escreva as equações para a dinâmica de rotação do disco. (f) Calcule a aceleração a da massa m. (g) Calcule a tensão T da fita. r m m Uma corda de massa desprezível e inextensível está enrolada ao redor de um disco uniforme de raio R e de massa M e possui a outra extremidade fixada numa barra (conforme mostra a figura). O disco, liberado a partir do repouso, cai com a corda na posição vertical e mantém o seu eixo de rotação sempre na mesma direção. Dado: o momento de inércia de um disco de raior e de massa M, segundo um eixo que passa pelo seu centro e perpendicular a sua superície, é igual a (1/2)MR 2. 4

5 (a) Determine a aceleração do centro de massa do disco. (b) Qual é o módulo da tensão na corda? (c) Qual é a velocidade do centro de massa após o disco ter descido uma altura h? (d) Qual é a razão K R /K T entre as energias cinéticas de rotação K R e de translação K T, na mesma situação do item c)? 16. Um corpo de seção reta circular, momento de inércia em relação ao centro de massa I, massa M e raio R e solto do repouso sobre um plano inclinado com atrito (coeficiente de atrito estático µ e ) a uma altura h do solo. O corpo rola sem deslizar até atingir a horizontal. (a) Determine a aceleração linear do corpo. (b) Que condição o ângulo θ que o plano faz com a horizontal deve obedecer para possibilitar que o corpo role sem delizar? (c) Determine a velocidade angular de rotação ω 1 do corpo ao chegar na horizontal. (d) Qual o trabalho realizado pela força de atrito na descida? Desafio! Ao atingir a horizontal, o corpo entra numa superfície perfeitamente lisa, na qual pode deslizar, e permanece rolando com velocidade angular ω 1. O corpo, então, sobe até uma altura desconhecida H. (e) Determine H. Compare: quem é maior h ou H? 5