Lista 10: Dinâmica das Rotações NOME:

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1 Lista 10: Dinâmica das Rotações NOME: Turma: Prof. : Matrícula: Importante: i. Nas cinco páginas seguintes contém problemas para serem resolvidos e entregues. ii. Ler os enunciados com atenção. iii. Responder a questão de forma organizada, mostrando o seu raciocínio de forma coerente. iv. Analisar a resposta respondendo se ela faz sentido. Isso lhe ajudará a encontrar erros! 1. Uma nuvem de gás interestelar de massa total M pode mover-se livremente no espaço. Inicialmente a nuvem tem a forma de uma esfera uniforme de raio a girando com velocidade angular ω em torno de um eixo através de seu centro. Observa-se mais tarde que a nuvem mudou sua forma para a de um disco circular uniforme de raio b que está girando em torno de um eixo através de seu centro e perpendicular a seu plano. Encontre: (a) a velocidade angular do disco (b) o aumento da energia cinética da nuvem. 1

2 2. Uma bolinha presa a um fio de massa desprezível gira em torno de um eixo vertical com velocidade escalar constante, mantendo-se a uma distância d 1 = 0,50m do eixo; o ângulo θ entre o fio e a vertical é igual a 30º. O fio passa sem atrito através de um orifício O numa placa, e é puxado lentamente para cima até que o ângulo θ passe a ser de 60º. (a) Que comprimento do fio foi puxado? (b) De que fator variou a velocidade de rotação? 2

3 3. Uma bola de sinuca está em repouso sobre a mesa quando ela é projetada para frente com uma velocidade V. (a) Encontre a velocidade da bola quando ela eventualmente começa a rolar. (b) Que proporção da energia cinética original é perdida no processo? 3

4 4. Um cilindro circular uniforme (um ioiô) tem um fio leve e inextensível enrolado nele de modo a não deslizar. A extremidade do fio está presa a um ponto fixo e o ioiô desce na vertical com o fio também se mantendo vertical. (a) Explique por que o fio não realiza trabalho sobre o ioiô. (b) Calcule a aceleração do ioiô. 4

5 5. Uma bola uniforme de massa M é liberada em repouso do topo de um plano inclinado que forma um ângulo θ com a horizontal. O coeficiente de atrito entre a bola e o plano é µ. (a) A bola vai rolar ou deslizar sobre o plano? (b) Encontre a aceleração da bola em cada caso. 5

6 Questões: (A) Se dois discos de mesmo peso e espessura são feitos de metais de densidades diferentes, qual deles possuirá a maior inércia rotacional em torno do seu eixo de simetria? (B) Ao derrubar uma árvore, um lenhador faz um corte do lado voltado para a direção em que a árvore deve cair. Explique porquê. Seria seguro postar-se diretamente atrás da árvore, no lado oposto ao da queda? (C) É possível distinguir entre um ovo cru e um cozido, girando-os sobre uma mesa. Explique como. Além disso, se você parar com os dedos um ovo cru que esteja girando e o soltar rapidamente, ele voltara a girar. Por quê? Exercícios e Problemas 1. Calcule o torque (módulo direção e sentido) em torno do ponto O devido à força F r em cada um dos casos ilustrados na figura ao lado. Em cada caso, a força F r e a barra estão no plano da página, o comprimento da barra é de 4,00 m e a força tem módulo igual a 10,0 N. 2. A força atuando sobre um corpo é dada por F = ( 5, 00 N ) iˆ + (4, 00 N ) ˆj corpo onde a força está sendo aplicada é rˆ = ( 0, 45 m) iˆ + (0,15 m) ˆj. r. O vetor da origem ao ponto do (a) Faça um esboço dos vetores r r e F r. (b) Usando a regra da mão direita no seu esboço, determine a direção e o sentido do vetor torque. (c) Calcule o vetor torque produzido por essa força e verifique que a direção e o sentido do torque correspondem ao que você encontrou no item (b). 6

7 3. Uma casca esférica uniforme de 8,40 kg e de diâmetro 50,0 cm tem quatro massas pequenas, de 2,00 kg cada, presas à sua superfície externa e igualmente espaçadas em torno dela. Esta combinação está girando em torno de um eixo que passa através do centro da esfera e de duas das pequenas massas (figura ao lado). (a) Qual o momento de inércia do sistema {esfera + pequenas massas}, em relação ao eixo considerado? (b) Que torque produzido por atrito seria necessário para reduzir a velocidade angular do sistema de 75,0 rpm para 50,0 rpm em 30,0 s? 4. Ache o momento de inércia de um disco maciço, uniforme, de raio R e massa M em relação a um eixo perpendicular ao plano do disco passando pelo seu centro. 5. Uma barra delgada horizontal de comprimento L possui massa por unidade de comprimento variando a partir da extremidade esquerda, onde x = 0, de acordo com =, onde é γ uma constante de unidade kg/m 2. (a) Calcule a massa total da barra em termos de γ e L. (b) Calcule o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra e passando pela sua extremidade esquerda. 6. Determine o momento de inércia de um cone maciço uniforme em relação a um eixo que passa através de seu centro. O cone possui massa M e altura h. O raio do círculo da sua base é igual a R. 7. Exercício corrigido em aula de monitoria Um carretel é constituído de três partes: dois cilindros externos, cada um de raio Re = 1,0 m e de massa 1,0 kg, e entre estes, um terceiro cilindro de raio Ri = Re/3 e massa 9,0 kg. Este carretel repousa sobre uma superfície plana e é desenrolado sob a ação de uma força F = 5,0 N na direção horizontal. Considerando que o carretel rola sem deslizar e que I cm (cilindro) = (MR 2 ) 2, determine: (a) Icm o momento de inércia do carretel; (b) a aceleração do centro de massa do carretel; (c) o módulo e o sentido da força de atrito; (d) se o carretel está inicialmente em repouso, quais serão o a velocidade do seu centro de massa e sua energia cinética após percorrer 2,0 m? 8. Dois blocos idênticos, cada um com massa M, são ligados por uma corda leve que passa sobre um polia de raio R e de inércia rotacional I. A corda não escorrega sobre a polia e não se sabe se existe atrito ou não entre o plano e o bloco que escorrega. Quando esse sistema é solto, verifica-se que a polia gira do angulo θ durante o intervalo de tempo t e a aceleração dos blocos é constante. Explicite todas as respostas em termos de M, I, R, θ, g e t. (a) Qual a aceleração angular da polia? (b) Qual a aceleração dos dois blocos? (c) Quais são as trações nas porções superior e inferior da corda? (d) A partir do ítem (a) obtenha a aceleração dos blocos no caso 7

8 onde podemos desprezar a massa da polia. Explique a diferença. 9. Exercício corrigido em aula de monitoria Uma bolinha compacta de massa m e raio r rola sem deslizar ao longo do trilho em curva mostrado na figura abaixo, tendo sido abandonado em repouso em algum ponto da região reta do trilho. (a) De que altura mínima, a partir da sabe do trilho, a bolinha deve ser solta para eu percorra a parte superior da curva? (suponha que R>>r). (b) Se a bolinha for solta da altura 6R acima da base do trilho, qual a componente horizontal da forca que atua sobre ela no ponto Q? 10. Duas partículas, localizadas sobre o eixo dos y, são ligadas por uma haste rígida de massa igual a 3 kg. Se o sistema girar em torno do eixo dos X, com uma velocidade angular de ω =2 rad/s, achar (a) o momento de inércia do sistema em torno do eixo dos X (b) a energia cinética de rotação do sistema. (c) Considere, agora, que o sistema gira em torno do eixo X', como apresentado na figura. Responda os ítens a) e b), neste caso. (d) Nestes dois casos, responda e explique, qual configuração é mais fácil de girar? Respostas 1. (a) 40,0 N.m; (b) 36,4 N.m; (c) 20,0 N.m; (d) 17,3 N.m; (e) e (f) zero. r τ = ( 1,05 N. m) k 2. (c) ˆ 3. (a) 0,600 kg.m; (b) N.m (a) 1 2 γl ; (b) 1 2 ML (a) 1,5 kg m 2 ; (b) 0,58 m/s 2 ; (c) 0,8N, sentido contrário à F 8. (a) α 9. hmin 2, 7 2 = 2 θ / t, (b) = R, NQ = a R t I 2Rθ 2Rθ R t t 2 = 2 θ /, (c) T2 = Mg M +, T = M g mg 10. (a) 28 kg.m 2, (b) 56 J, (c) 48 kg.m 2, 96 J 8