Matemática Financeira

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1 Aula 02 Matemática Financeira Prof. Ms. João Domiraci Paccez

2 Aula 02 Conversão das taxas de juros 1. Conversão da taxa de juros 2. Equivalência das taxas de juros na capitalização simples e na composta

3 Introdução Taxa de juros na mesma unidade de tempo dos prazos correspondentes aos fluxos de caixa Converter a taxa de juros de uma unidade de tempo para outra, nos dois regimes de capitalização

4 Exemplo Supõe-se que você tenha duas parcelas para receber de uma determinada pessoa 1ª parcela vence daqui a um mês R$1.300 P1 2ª parcela vence daqui a três meses R$1.500 P3 Se o devedor estiver disposto a liquidar integralmente a divida hoje e você puder aplicar o seu dinheiro a uma taxa de 24% ao ano...

5 Qual o menor valor que estaria disposto a receber em troca dessas duas parcelas?

6 Conversão de Taxa de Juros Conversão das taxas Regime de capitalização simples Calcular o valor presente de cada uma das parcelas para determinar o valor a ser recebido hoje P 1 = Equação de juros simples i = 24% a.a.

7 P P 0 = 1 P + 3 (1+ i x 1) (1+ i x 3) Prazos Taxa de Juros mês ano É necessário converter a Taxa Juros que está na unidade ANO para a unidade de tempo dos prazos MÊS

8 Problema Os prazos estão na unidade de mês e a taxa de juros está na unidade de ano. Como converter a taxa de juros da unidade de ano para mês no Regime de Capitalização Simples?

9 Conceito de Equivalência de Taxas Conversão de taxas Conceito de Equivalência de Taxas Equação para a conversão de taxas de uma unidade de tempo para outra

10 Duas taxas de juros: i 1 válida para o período de tempo n 1 i 2 válida para o período de tempo n 2 Capital (C) que será aplicado por um certo prazo Prazo = x. n 1 = y. n 2 Se aplicarmos C à taxa de juros i 1 : M 1 = C x (1 + x. i 1 ) Se aplicarmos C à taxa de juros i 2 : M 2 = C x (1 + y. i 2 )

11 i 1 é EQUIVALENTE a i 2 Se o montante obtido pela aplicação à taxa i 1 (M 1 ) for exatamente igual ao montante obtido pela aplicação da taxa i 2 (M 2 )

12 Conversão de Taxa de Juros Relação Matemática entre as taxas i 1, expressa na unidade de tempo n 1, e i 2, expressa na unidade de tempo n 2 As taxas serão equivalentes se gerarem os mesmos montantes M 1 deve ser igual ao M 2 C x (1 + x. i 1 ) = C x (1 + y. i 2 ) x. n 1 = y. n x. i 1 = 1 + y. i 2 x. i 1 = y. i 2 y x = n 1 n 2 i 1 i 2 = y x i 1 i 2 = n 1 n 2

13 Conversão de Taxa de juros Equação para conversão de uma taxa de juros de uma unidade de tempo para outra unidade de tempo, no Regime de Capitalização Simples i 2 1 = x n1 n2 i 1 representa a taxa de juros a ser determinada, enquanto o i 2 representa a taxa de juros já conhecida i O n 1 é o período de tempo da taxa de juros a ser determinada, enquanto o n 2 é o período de tempo da taxa de juros conhecida

14 Conversão de Taxa de Juros No exemplo, precisamos converter a taxa de juros de 24% a.a. para uma taxa de juros equivalente na unidade de mês para o Regime de Capitalização Simples

15 Solução Conversão de Taxa de Juros n 1 e n 2 devem sempre estar na mesma unidade de tempo i 1 =? Conversão da taxa ao ano para taxa ao mês n 1 = 1 mês i 2 = 24% n 2 = 1 ano = 12 meses Determinar uma taxa i 1 que falha para um período de tempo n 1 correspondente a um mês i i 2 = x n 1 n 2 1 i 1 = 0,24 12 x 1 i 1 = 2,0% a.m. Regime de Capitalização Simples

16 Solução Capitalização Simples Substituindo-se então a taxa de juros de 2% ao mês na equação anterior: P 0 = P 1 + (1+ i x 1) P 3 (1+ i x 3) P 0 = 1300 (1+ 0,02 x 1) P 0 = 1.274, ,09 (1+ 0,02 x 3) P 0 = 2.689,60 Com a taxa de juros de 24% a.a. e o Regime de Capitalização Simples, poderíamos receber $2.689,60 antecipadamente para liquidar as duas parcelas com vencimento nos meses 1 e 3.

17 Conversão de Taxa de Juros Regime de Capitalização Composta i = 24% a.a. P 1 = P 3 = Calcular na data de hoje o valor equivalente de cada uma das parcelas devidas do futuro Valor presente está na unidade de mês e a taxa de juros está na unidade de ano P 0 = P 1 + (1+ i ) 1 P 3 (1+ i ) 3 Necessidade de conversão da Taxa de Juros

18 Equivalência de taxas Converter uma taxa de juros, que se encontra na unidade de ano, para outra taxa de juros na unidade de mês Conceito de equivalência de taxas i 1 é EQUIVALENTE a i 2 Se qualquer uma delas aplicadas sobre o mesmo capital e pelo mesmo prazo gerarem o mesmo montante

19 O cálculo do montante será feito com a equação do regime de capitalização composta Se aplicar C á taxa de juros i 1 : M 1 = C x (1+i 1 ) Se aplicar C á taxa de juros i 2 : M 2 = C x (1+i 2 )

20 Conversão de Taxa de Juros Podemos assim definir a relação matemática entre as taxas de juros i 1 e i 2, agora no regime de capitalização composta M 1 = M 2 x. n 1 = y. n 2 C x (1 + i 1 ) x = C x (1 + i 2 ) y y x = n 1 n2 (1 + i 1 ) x = (1 + i 2 ) y 1 + i 1 = (1+ i 2 ) y/x 1 + i 1 = (1+ i 2 ) n1/n2 i 1 = (1+ i 2 ) n1/n2-1

21 Conversão de Taxa de Juros Equação de conversão de taxa de juros no Regime de Capitalização Composta n 2 i1 = ( 1 + i 2 ) - 1 x100 n 1 i 1 - taxa de juros a ser determinada i 2 - taxa de juros conhecida n 1 - período de tempo da taxa de juros a ser determinada n 2 - período de tempo da taxa de juros conhecida

22 Conversão de Taxa de Juros Converter, no regime de capitalização composta, a taxa de juros de 24% a.a. para uma taxa de juros equivalente para a unidade de mês

23 Solução - Conversão de Taxa de Juros i 1 =? i 2 = 24% n 1 = 1 mês n 2 = 1 ano = 12 meses n 1 e n 2 devem sempre estar na mesma unidade de tempo n1 i = ( 1 + i ) n i = (1 + 0,24) x100 x100 i 1 = 1, % a.m.

24 Solução Capitalização Composta Substituem-se os valores conhecidos para resolver a equação encontrada e determinar o valor a ser pago na data zero P 0 = P 1 + (1+ i ) 1 P 3 (1+ i ) P 0 = (1+ 0, ) (1+ 0, ) 3

25 Solução Capitalização Composta Calculadora financeira O cálculo do valor presente da parcela do mês um e o cálculo do valor presente da parcela do mês três, podem ser efetuados com a utilização deste equipamento n - 1 i - 1, PMT - 0 FV n - 3 i - 1, PMT - 0 FV PV ,90 PV ,46 P 0 = 2.698,36

26 Próxima aula 1. Estrutura de fluxo de caixa em série uniforme de pagamento ou recebimento