Matemática financeira

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1 Matemática financeira Apostila MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 1

2 ÍNDICE APRESENTAÇÃO 4 AULA 1: REGIME DE CAPITALIZAÇÃO DE JUROS 6 INTRODUÇÃO 6 CONTEÚDO 6 INTRODUÇÃO 6 CONCEITO DE CAPITAL PRINCIPAL, JURO E MONTANTE. 7 JUROS COMPOSTOS: CAPITALIZAÇÃO 8 ATIVIDADE PROPOSTA 1 13 TAXAS DE JUROS E QUIVALÊNCIA DE TAXAS 13 DESCONTOS 16 ATIVIDADE PROPOSTA 2 18 APRENDA MAIS 19 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 20 REFERÊNCIAS 22 AULA 2: SÉRIES DE PAGAMENTOS 23 INTRODUÇÃO 23 CONTEÚDO 23 SÉRIES (OU ANUIDADES) UNIFORMES, VARIÁVEIS E PERPÉTUAS 23 SÉRIES UNIFORMES 25 SÉRIES VARIÁVEIS (NÃO UNIFORMES) 30 ATIVIDADE PROPOSTA 1 34 SÉRIES PERPÉTUAS 35 FORMULÁRIO 35 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 37 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 39 ATIVIDADE PROPOSTA 2 42 SISTEMA FRANCÊS OU TABELA PRICE 42 ATIVIDADE PROPOSTA 3 45 APRENDA MAIS 46 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 46 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 2

3 REFERÊNCIAS 49 AULA 3: FLUXOS DE CAIXA E PROJEÇÕES FINANCEIRAS 50 INTRODUÇÃO 50 CONTEÚDO 51 ESTRUTURA DO PROJETO 52 ETAPAS DE UM PROJETO 54 TIPOS DE PROJETOS 56 ESTIMATIVA DO FLUXO DE CAIXA 57 ATIVIDADE PROPOSTA 1 61 MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE VIABILIDADE FINANCEIRA DE PROJETOS 62 ATIVIDADE PROPOSTA 2 68 APRENDA MAIS 80 REFERÊNCIAS 84 CHAVES DE RESPOSTA 96 AULA 1 96 ATIVIDADE PROPOSTA 1 96 ATIVIDADE PROPOSTA 2 97 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 97 AULA 2 98 ATIVIDADE PROPOSTA 1 98 ATIVIDADE PROPOSTA ATIVIDADE PROPOSTA EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 100 AULA EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 104 AULA EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 109 CONTEUDISTA 111 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 3

4 Matemática financeira - Apostila Apresentação Ao administrar uma pequena ou grande empresa com fins lucrativos, um dos objetivos principais é a maximização dos resultados da atividade produtiva, seja ela uma empresa comercial, de bens ou de serviços. Para isso acontecer, sabemos que é necessário um excelente controle do processo produtivo, além de criatividade e motivação de seus funcionários, com o uso de inovação e disponibilidade da tecnologia da informação, com uma demanda crescente dos produtos através de excelentes campanhas publicitárias, etc. Entretanto, sabemos que para a empresa ser competitiva em todas essas áreas ela deverá ser, antes de tudo, competitiva em suas finanças! A disciplina de MATEMÁTICA FINANCEIRA irá justamente fornecer estas ferramentas básicas que irão desde os fundamentos básicos da matemática financeira até avançados conceitos de análise de investimentos, o que é fundamental para o conhecimento de um profissional que deseja fazer a gestão de uma organização. E uma ótima informação poderia dar a você aluno da disciplina de MATEMÁTICA FINANCEIRA: as aplicações de gestão financeira em empresas são também muito úteis para auxiliar em nossa vida pessoal! Poderemos utilizá-la ao comprar um eletrodoméstico, ao fazer o financiamento de um veículo, no planejamento de uma aposentadoria, no financiamento da casa própria e em inúmeras situações como auxiliar do planejamento financeiro de nossa vida pessoal. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 4

5 Sendo assim, esta disciplina tem como objetivos: Descrever a importância dos elementos da Matemática Financeira para as empresas e organizações. Discutir e argumentar sobre sistemas de capitalização e amortização Analisar e interpretar a Viabilidade Financeira de Projetos de Investimentos MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 5

6 Aula 1: Regime de capitalização de juros Introdução Já sabemos da importância que a gestão eficiente e eficaz de suas finanças representa para uma empresa. E para que isso aconteça é fundamental que você conheça os princípios da Matemática Financeira. Não poderemos estudar conceitos mais avançados, como, por exemplo, fazer a seleção e a análise da viabilidade financeira de um projeto de investimentos para a empresa, sem que antes conheçamos conceitos e princípios como os de taxas de juros e regimes de capitalização. Estudaremos nesta aula princípios como o do valor do dinheiro no tempo e o de equivalência de capitais, importantes para falarmos sobre valor presente e valor futuro. Ainda veremos nesta aula algumas relações comerciais envolvendo o conceito de descontos. Objetivos Distinguir os regimes de capitalização de juros e diferenciar taxa de juros efetiva de taxa de juros nominal. Aplicar o princípio do valor do dinheiro no tempo e o de equivalência de capitais para relacionar valor presente e valor futuro. Aplicar as fórmulas para desconto racional e desconto comercial. Conteúdo Introdução Para começar nosso estudo sobre os principais elementos da Matemática Financeira, precisamos ter em mente que os conceitos são muito intuitivos. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 6

7 Mais do que fórmulas, precisamos aprender a raciocinar financeiramente. Se este objetivo for alcançado, basta que você se lembre de que sempre existirá uma fórmula para ajudar nesse raciocínio financeiro. É isso mesmo, vamos estudar algo que é muito intuitivo. Deveríamos estudar os princípios da Matemática Financeira desde os primeiros anos escolares, pois é a parte da Matemática mais primitiva, é a Matemática do nosso dia-a-dia. Começaremos com algumas definições e conceitos. Conceito de capital principal, juro e montante. Entende-se por JURO (J) a remuneração paga ao capital emprestado por um determinado PERÍODO DE TEMPO (n). Para um investidor, o juro é a remuneração do investimento. Para o tomador de um empréstimo, o juro é o custo do capital obtido. A quantia que o investidor aplica ou a que os terceiros emprestam aos consumidores é chamada de CAPITAL PRINCIPAL. Usamos para representálo a sigla VP, Valor Presente, ou então a letra C, ou ainda podemos chamar simplesmente de Principal. A porcentagem que é paga a título de remuneração pelo valor principal investido ou pelo empréstimo do valor principal, por um determinado período de tempo, é chamada de taxa de juros (i). A taxa de juros mede o custo da unidade de capital, no período a que se refere. Essa taxa é fixada no mercado de capitais pela variação entre as forças que regem a oferta de fundos e a procura de créditos. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 7

8 Como consequência, findo o período em que o principal foi investido ou emprestado, haverá um capital denominado de MONTANTE (usamos para representar a sigla VF de Valor Futuro ou Valor Final), que nada mais é do que a soma do capital principal mais os juros correspondentes ao período. Chamamos de Regime de Capitalização ao processo de como os juros são capitalizados (incorporados ao capital) ao longo do tempo. Os regimes de capitalização de juros poderão ser de dois tipos, o simples e o composto. Juros compostos: capitalização No regime de capitalização de juros compostos, o rendimento gerado pela aplicação será incorporado ao capital. Não só o capital inicial, mas também os seus juros, passam a participar da geração do rendimento do período seguinte. Obs.: No regime de juros simples, apenas o capital inicial rende juros. Fórmula do valor futuro no regime de juros compostos: FV = PV (1 + i) n FV = valor futuro (ou do inglês Future Value); PV = valor presente (ou do inglês Present Value); i = taxa de juros na forma unitária; n = número de períodos (podendo ser expresso em meses, anos, semestres, etc.) O fator (1 + i) n é chamado de fator de capitalização para aplicação única. Obs.: Tendo em vista que estaremos lidando com funções exponenciais, a solução dos problemas poderá demandar a utilização de funções logarítmicas, ou a consulta a tabelas financeiras ou ainda à utilização de planilhas eletrônicas ou calculadoras financeiras. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 8

9 Vejamos um exemplo Se um banco oferece uma taxa de 1,80% ao mês no regime de juros compostos, qual o valor resgatado a partir da aplicação de R$ 3.500,00 por 4 meses? Solução: PV = R$ 3.500,00 ; i %= 1,80% a.m. ; n = 4 meses ; FV =? Se i %= 1,80% a.m. (forma percentual) i = 0,018 a.m. (forma unitária) FV = PV (1 + i) n FV = (1 + 0,018) 4 FV = R$ 3.758,89 Atenção A taxa de juros (i) e o prazo (n) deverão estar expressos na mesma unidade de tempo. Para tornar prazo e taxa compatíveis, divida ou multiplique o prazo adequadamente; NUNCA DIVIDA OU MULTIPLIQUE A TAXA. Para tornar prazo e taxa compatíveis mediante a conversão de taxa, o conceito de equivalência de taxas a juros compostos deverá ser utilizado. Fórmula do Valor Presente (PV) no regime de juros compostos: PV = FV / (1 + i) n Exemplo 1 Um título de crédito deverá ser resgatado por R$30.000,00 no seu vencimento que ocorrerá daqui a 5 meses. Admitindo que o custo de capital é de 4,00% MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 9

10 ao mês, determinar seu valor atual para liquidação antecipada, no regime de juros compostos. Solução FV = R$ ,00 ; i = 4,00% a.m. ; n = 5 meses ; PV =? PV = FV / (1 + i) n PV = / (1 + 0,04) 5 PV = R$ ,81 Exemplo 2 Este é um problema muito interessante e muito importante, vai ajudar a entender um dos princípios básicos da Matemática Financeira. Tenho um financiamento de um carro que está chegando ao seu final, faltam somente três prestações a serem pagas, todas com valores nominais iguais a R$ 700,00. Elas vencem daqui a 30, 60 e 90 dias, respectivamente. Se eu desejasse quitar este financiamento hoje, que valor eu deveria pagar pelo saldo devedor total? Considere que a taxa utilizada neste financiamento foi i% = 2,3% a.m. Solução Se ainda faltam pagar 3 prestações de valores nominais iguais a R$ 700,00 cada uma, não podemos dizer que a nossa dívida atual é de R$ 2.100,00 (o resultado de 3 vezes 700). Por quê? Por que quando fizemos este financiamento lá no passado, foram computados juros nas prestações. Ou seja, em cada uma das prestações de 700 reais existe uma parte que é relativa à amortização da dívida contraída e outra parte que é referente aos juros. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 10

11 Para sabermos o valor total da dívida na data de hoje, é preciso antes saber o valor presente (ou valor atual) de cada uma dessas três prestações futuras que faltam pagar. Ou seja, ao calcular o valor presente dessas três prestações, estaremos retirando a parte dos juros (podemos falar também: descapitalizando os juros ou então descontando os juros, ou ainda simplesmente descapitalizando ou descontando) que cada prestação tem e ficaremos apenas com a parte relativa à amortização da dívida. Assim, se chamarmos de: FV1 = valor da prestação que vence daqui a 30 dias = R$ 700,00 FV2 = valor da prestação que vence daqui a 60 dias = R$ 700,00 FV3 = valor da prestação que vence daqui a 90 dias = R$ 700,00 Podemos calcular o valor presente (valor atual na data de hoje), PV, de cada uma dessas prestações. PV1 = valor presente da prestação que vence daqui a 30 dias = 700 / (1 + 0,023) 1 = 684,26 PV2 = valor presente da prestação que vence daqui a 60 dias = 700 / (1 + 0,023) 2 = 668,88 PV3 = valor presente da prestação que vence daqui a 90 dias = 700 / (1 + 0,023) 3 = 653,83 O valor presente da dívida será a soma dos três valores PV1 + PV2 + PV3 = R$ 2.006,97 Veja o esquema do problema na figura abaixo: MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 11

12 Este problema nos permite concluir e enunciar um princípio muito importante da Matemática Financeira: Só podemos somar ou subtrair valores monetários se eles estiverem referenciados a uma mesma data. E a sua negativa também é importante ser lida: Não podemos somar ou subtrair valores que estejam referenciados a datas distintas. É por causa deste princípio que dissemos inicialmente que não podíamos fazer a conta 3x700=2100. A resposta é porque os três 700 reais estão referenciados a datas diferentes e não poderíamos somar e dizer que a dívida era de 2100 reais. Para podermos somar tivemos que trazer para a data presente cada uma dessas prestações de 700 reais. Observe que as prestações têm valores nominais iguais a R$ 700,00, mas o valor presente de cada uma delas é diferente um do outro. Observe também outro detalhe interessante: MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 12

13 PV1 = 684,26 ; PV2 = 668,88 e PV3 = 653,83 Quanto mais distante da data atual, menor é o valor presente da prestação. O valor atual da terceira prestação é o menor dos três. É por isso que você já deve ter escutado falar que, se for possível, pague duas prestações, a que vence hoje (para não ficar inadimplente) e a última (por que é a que tem o menor valor presente). Atividade proposta 1 Este exercício caiu em um concurso do Banco Centra (BACEN) - (Valores numéricos adaptados a realidade econômica atual) Tomei emprestado R$ ,00 a juros compostos de 3% ao mês. Um mês após a contratação do empréstimo, paguei R$50.000,00, dois meses após esse primeiro pagamento, paguei outra parcela de R$ ,00 e, dois meses após esse segundo pagamento, liquidei integralmente a dívida. O valor desse terceiro e último pagamento foi de (em R$): a) R$ ,80 b) R$ ,35 c) R$ 9.791,05 d) R$ 8.445,85 e) R$ 0,00 Taxas de juros e quivalência de taxas Taxas de Juros Diferentes tipos de taxas de juros são utilizadas nas operações financeiras correntes. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 13

14 Taxa efetiva São taxas de juros nas quais a unidade de tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. Exemplo: 3% ao mês, capitalizados mensalmente. 5% ao semestre, capitalizados semestralmente. Observação: Neste caso, costuma-se usar simplesmente, 3% ao mês, 5% ao semestre. Taxa Nominal São taxas de juros cuja unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo da capitalização. De um modo geral as taxas de juros nominais se referem a períodos anuais. Ex.: 16,0% a.a. com capitalização mensal Observação: A taxa nominal de juros é utilizada no mercado. Entretanto, previamente à sua utilização no cálculo das operações financeiras de juros compostos, é obrigatório obter a taxa de juros efetiva implícita nessa taxa nominal. Taxas Equivalentes São taxas de juros referidas a unidades de tempo diferentes que, aplicadas a um mesmo capital durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado ao final daquele prazo, no regime de juros compostos. Equivalência de Taxas (para o mesmo período de capitalização) (1 + i aa ) = (1 + i as ) 2 = (1 + i am ) 12 = (1 + i ad ) 360, onde: i aa = taxa de juros efetiva anual MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 14

15 i as = taxa de juros efetiva semestral i am = taxa de juros efetiva mensal i ad = taxa de juros efetiva diária Exemplos 1) Um capital foi colocado a juros compostos a uma taxa semestral de 7,00%. Qual é a taxa anual equivalente? Solução (1 + i aa ) = (1 + i as ) 2 (1 + i aa ) = (1 + 0,07) 2 (1 + i aa ) = 1,1449 i aa = 0,1449 ou 14,49% a.a. Assim, dizemos que uma taxa de 7,00% ao semestre é equivalente a uma taxa de 14,49% ao ano. 2) Dada a taxa de 17,5% a.a., determinar a taxa equivalente ao trimestre Solução: 1 ano = 4 trimestres (1 + i aa ) = (1 + i at ) 4 (1 + 0,175) = (1 + i at ) 4 (1,175) 1/4 = 1 + i at i at = 0,04114 ou 4,11% a.t. 3) A taxa de juros da caderneta de poupança é de 6,00% ao ano, capitalizados mensalmente. Determine a taxa efetiva anual. Solução 1 - transformar a taxa nominal em taxa efetiva: 6,00% ao ano, capitalizados mensalmente = 0,5% a.m. (taxa efetiva mensal) MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 15

16 NOTAS IMPORTANTES Quando dividimos 6,00% a.a por 12 e encontramos 0,5% a.m., significa que 0,5% a.m. é proporcional (e não equivalente) a 6,00% a.a. E, como dissemos acima, a taxa de 0,5% a.m. será a taxa que efetivamente será utilizada para computar os juros mensais sobre o capital 2 - calcular a taxa efetiva ao ano: (1 + i aa ) = (1 + i am ) 12 (1 + i aa ) = (1 + 0,005) 12 i aa = 0,0617 ou 6,17% a.a. Assim, a taxa de 6,17% a.a. é a taxa efetiva anual, ou seja, podemos agora sim dizer que 0,5% a.m. é equivalente (e não proporcional) a 6,17% a.a. Observamos que a taxa efetiva no final do período é superior à divulgada (6,17% ao ano contra 6,00% ao ano). Ou seja, a taxa que efetivamente incidirá sobre o capital em um ano é maior do que a taxa nominal anual. Esse tipo de taxa é utilizado para a remuneração da caderneta de poupança e dos financiamentos do Sistema Financeiro de Habitação. Em ambos os casos o período de capitalização é mensal. Descontos A operação de desconto de títulos privados de crédito consiste na negociação de um título em alguma data anterior a de seu vencimento. Habitualmente se utiliza o regime de juros simples em operações de curto prazo com títulos privados de crédito. Neste regime de juros são identificados dois tipos de desconto: a) desconto por dentro (ou racional) - DR MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 16

17 b) desconto por fora (comercial e bancário) - DF E, dependendo do tipo de desconto, ainda temos as relações: DR = FV PV ou DF = FV - PV Atenção A taxa de juros possui variáveis distintas para cada tipo de desconto. No desconto for fora, DF, é utilizada a nomenclatura d para identificar a taxa de juros. Já no desconto racional, DR, é utilizada a nomenclatura i para identificar a taxa de juros. Exemplo 1 Determinar a taxa de desconto (por fora) mensal de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento, sendo o seu valor nominal igual a R$ 2.600,00 e valor atual na data do desconto de R$ 2.260,00. Solução FV = 2600 n = 60 dias PV = 2260 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 17

18 DF = FV PV = = 340 DF = FV.d.n 340 = 2600.d.60 d = 0,2179 % ao dia d = 6,54% ao mês. Exemplo 2 Dada uma nota promissória no valor nominal de R$ ,00 a ser descontada a uma taxa linear de 8% a.m., 3 meses antes de seu vencimento, calcular os valores presentes descontados pelo: a) desconto por dentro: b) desconto por fora. Solução FV = i% = 8% a.m. n = 3 meses a) DR = PV.i.n = FV.i.n / (1+in) = ,08. 3 / ( 1 + 0,08. 3) = ,90 PV = FV DR PV = , ,90 PV = R$ ,10 b) DF = FV.d.n = ,08. 3 DF = PV = FV DF PV = , ,00 PV = R$ ,00 Atividade proposta 2 Vamos praticar? Verifique o gabarito em seguida. 1) Um investimento, após 3 meses, foi resgatado obtendo-se R$ ,00. Se a taxa de juros composta ganha foi de 10% a.m., qual foi o investimento realizado? MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 18

19 2) Uma pessoa deve 3 prestações de R$ 3.500,00 a vencer daqui a 1 mês, 2 meses e 3 meses, respectivamente. Se resolvesse pagar a dívida com um único pagamento para 60 dias, qual seria o valor desse pagamento considerando uma taxa de juros composta de 12% a.m.? 3) Na compra de um eletrodoméstico cujo valor à vista é de R$ 1.400,00, o comprador deve pagar uma entrada no ato e 2 prestações iguais de R$ 750,00 nos próximos dois meses (uma em 30 dias e outra em 60 dias). Qual deverá ser o valor da entrada se a loja cobra juros de 5% a. m.? 4) Uma loja vende um equipamento por R$ 6.000,00 à vista, ou a prazo em 3 pagamentos mensais de R$ 2.000,00 mais uma entrada paga no ato. Se a taxa de juros composta cobrada pela loja for de 7% a.m., qual deverá ser o valor da entrada? 5) Uma pessoa compra uma máquina em 2 prestações mensais mais uma entrada de 20% sobre o valor à vista de R$ ,00. Se a primeira prestação é de R$ ,00 e a taxa de juros composta é de 10% a.m., qual é o valor da segunda prestação? Aprenda Mais Visite as seguintes páginas em que você poderá explorar mais exemplos e exercícios para praticar sobre Matemática Financeira: Diponibilizamos em nosso Material Complementar algumas questões da BM&F BOVESPA MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 19

20 Exercícios de fixação Questão 1 Numa seção de classificados anuncia-se uma casa por $ ,00 a vista ou em quatro prestações trimestrais (a primeira delas daqui a 90 dias) de $ ,00. Qual é a melhor opção de compra, uma vez que a taxa de juros (composto) é de 15% ao trimestre. Para o exercício em questão, marque uma resposta abaixo (há apenas uma resposta correta): a) A prazo, em quatro prestações, pois o valor de R$ ,00 a vista é maior que o valor o valor das prestações quando descapitalizadas. A propósito, o valor das quatro prestações descapitalizadas e somadas a valor presente equivalem a R$ ,54. b) À vista, pois o valor de R$ ,00 a vista é menor que o valor o valor das prestações quando descapitalizadas. A propósito, o valor das quatro prestações descapitalizadas e somadas a valor presente equivalem a R$ ,48. c) A prazo, em quatro prestações, pois o valor de R$ ,00 a vista é maior que o valor o valor das prestações quando descapitalizadas. A propósito, o valor das quatro prestações descapitalizadas e somadas a valor presente equivalem a R$ ,16. d) À vista, pois o valor de R$ ,00 a vista é menor que o valor das prestações quando descapitalizadas. A propósito, o valor das quatro prestações descapitalizadas e somadas a valor presente equivalem a R$ ,32. e) As duas opções de compra são equivalentes, pois os valores presentes são nominalmente iguais. Questão 2 Um sítio é posto a venda, de forma parcelada, por $ ,00 de entrada e $ ,00 daqui a um ano. Como opção o vendedor pede $ ,00 à MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 20

21 vista. Se a taxa de juros de mercado é de 2,5% ao mês, qual a melhor alternativa? (juros compostos). Para o exercício em questão, marque uma resposta abaixo (há apenas uma resposta correta): a) A vista, pois o valor de R$ ,00 a vista é menor que o valor das prestações quando descapitalizadas. A propósito, o valor das duas prestações somadas a valor presente equivale a R$ ,58. b) A vista, pois o valor de R$ ,00 a vista é menor que o valor o valor das prestações quando descapitalizadas. A propósito, o valor das duas prestações somadas a valor presente equivale a R$ ,64. c) A prazo, em duas prestações, pois o valor de R$ ,00 a vista é maior que o valor o valor das prestações quando descapitalizadas. A propósito, o valor das duas prestações somadas a valor presente equivale a R$ ,12. d) A prazo, em duas prestações, pois o valor de R$ ,00 a vista é maior que o valor o valor das prestações quando descapitalizadas. A propósito, o valor das duas prestações somadas a valor presente equivale a R$ ,16. e) Nenhuma das respostas anteriores. Questão 3 O desconto simples comercial e o valor atual obtido por uma nota promissória de R$ 3.000,00, à taxa de 6% a m, 60 dias antes do vencimento são, respectivamente, iguais a: a) R$ 2.678,57; R$ 321,43 b) R$ 2.640,00; R$ 360,00 c) R$ 321,43; R$ 2.678,57 d) R$ 360,00; R$ 2.640,00 e) R$ 2.678,57; R$ 360,00 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 21

22 Questão 4 Qual o capital que acumula em 1 ano o montante de R$ 6.000,00, a juros compostos de 4% a.m., com capitalização mensal dos juros? a) R$ 3.477,85 b) R$ 3.774,58 c) R$ 3.474,85 d) R$ 3.447,58 e) R$ 3.747,58 Questão 5 Qual a melhor opção para um comprador que consegue investir seu capital a 2% a.m.? a) R$ ,00 à vista b) R$ 3.000,00 de entrada e 4 parcelas mensais de R$ 2.500,00 c) 1 entrada e mais 4 parcelas todas de R$ 2.400,00 d) 5 parcelas sem entrada de R$ 2.650,00 e) R$ 4.500,00 de entrada e 5 parcelas mensais de R$ 1.500,00 Referências SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: Aplicações à análise de Investimentos. São Paulo: Prenticce-Hall, 2006 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 22

23 Aula 2: Séries de pagamentos Introdução Nesta aula estudaremos as principais situações envolvendo as séries de pagamentos, falando sobre capitalização e amortização. Você entenderá a diferença entre séries uniformes e séries variáveis e conhecerá detalhes de cada uma delas. Como exemplo de aplicação de cada uma destas séries, conheceremos dois sistemas de amortização muito utilizados no mundo dos negócios, que são o sistema de prestações constantes (PRICE) e o sistema de amortizações constantes (SAC). O conteúdo do estudo da aula é apresentado com exemplos e situações práticas que, além de facilitar o entendimento, irá ambientar o aluno para o aprendizado das técnicas de análise de viabilidade financeira de projetos e de investimentos, assunto que estudaremos na aula seguinte. Objetivos: Identificar os diferentes tipos de séries de pagamento. Aplicar o princípio da equivalência de capitais para entendimento dos diferentes tipos de séries uniformes e variáveis. Elaborar planilhas de pagamento pelos sistemas de amortização SAC e PRICE. Conteúdo Séries (ou anuidades) uniformes, variáveis e perpétuas Todas as corporações se defrontam com oportunidades de vendas, compras ou investimentos que somente são viabilizados pelo parcelamento dos MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 23

24 pagamentos. O estudo das anuidades fornece o referencial teórico para o estabelecimento de planos de poupança, de financiamento, de renegociação de dívidas e avaliação de alternativas de investimento. Define-se série ou anuidade, a uma sucessão de pagamentos ou recebimentos exigíveis em épocas pré-determinadas, destinada a extinguir dívida ou construir um capital. Exemplo de anuidade postecipada: Onde: R é o valor da anuidade e n os períodos Características das anuidades Cada um dos pagamentos que compõem uma série denomina-se termo da anuidade. Os termos podem ser uniformes ou variáveis. Uma anuidade pode ser temporária ou perpétua, conforme seja, respectivamente, finito ou infinito o número de seus termos. As anuidades podem ser postecipadas, quando os pagamentos ou recebimentos forem efetuados no fim de cada intervalo de tempo a que se referir a taxa considerada (representada na ilustração acima), antecipadas, quando os pagamentos ou recebimentos ocorrerem no início do período (ilustração abaixo) ou diferidas, quando a primeira prestação só é efetuada após um certo número de períodos de tempo, contados a partir da data zero. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 24

25 Exemplo de anuidade antecipada: Onde: R é o valor da anuidade e n os períodos Séries uniformes Uma série uniforme é uma sequência de termos (pagamentos ou recebimentos) nominalmente iguais, efetuados a intervalos de tempo iguais (periodicidade constante). Vejamos por intermédio de aplicações práticas como calcular o Valor Futuro, o Valor Presente (ou Valor Atual) e o Valor da Prestação em uma série uniforme. Cálculo do valor futuro Considere o exemplo abaixo de uma série postecipada: Qual o saldo (valor futuro) que teremos ao final do 5 o. ano, se efetuarmos um depósito anual de R$ (ao final de cada ano), aplicando-se uma taxa de juros de 12% ao ano? MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 25

26 Para encontrar o valor futuro de uma série uniforme, basta levar todos os fluxos financeiros para uma data focal no futuro. FV = R(1 + i) n-1 + R(1 + i) n-2 + R(1 + i) n R Da teoria das progressões chegamos à seguinte fórmula do valor futuro para uma série postecipada: Galeria de vídeos A demonstração para se chegar à fórmula do FV não faz parte do escopo de nossa disciplina, no entanto, se quiser ver a demonstração assita ao vídeo Demonstração da Fórmula Valor Futuro (VF). Fórmula [ ] FV = * [((1 + 0,12) 5 1)/0,12] FV = * [(1, )/0,12] FV = * [0,76234/0,12] FV = R$ 6.352,85 Vamos resolver o mesmo exemplo, só que agora transformando em uma série antecipada: Neste caso, o resultado é simplesmente o da série postecipada, ajustado por 1 período. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 26

27 Fórmula [ ] FV = * [((1 + 0,12) 5 1)/0,12] * 1,12 FV = * [(1, )/0,12] * 1,12 FV = * [0,76234/0,12] * 1,12 FV = 6.352,85 * 1,12 FV = R$ 7.115,19 Cálculo do valor presente Nos dois exemplos até aqui demonstrados tivemos a apuração do valor futuro de uma anuidade com 5 termos uniformes. Podemos também ter uma situação onde seja necessário apurar o valor presente ou valor atual, correspondente a um determinado número de prestações. Exemplo: Suponha que você esteja fazendo o financiamento de um carro novo. A disponibilidade máxima que você tem em seu orçamento mensal para pagamento de uma prestação na compra deste um carro novo é de R$ 800,00. Você deseja saber qual é o valor máximo que é possível financiar pagando este valor mensalmente. O maior prazo de financiamento que a financeira disponibiliza é de 60 meses, na forma postecipada ( é a forma mais utilizada, a primeira prestação vence após trinta dias do ato da compra). Considerando uma taxa de juros de 1% ao mês, qual é o valor atual (valor presente) equivalente a esta série de 60 pagamentos mensais futuros de R$ 800,00 cada? MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 27

28 Para encontrar o valor presente de uma série uniforme, basta trazer todos os fluxos financeiros para a data zero. PV = R + R + R R _ (1 + i) (1 + i) 2 (1 + i) 3 (1 + i) n Da teoria das progressões chegamos à seguinte fórmula do valor presente para uma série postecipada: Fórmula [ ] PV = 800 * (((1,01) 60 1) / (0,1 * (1,01) 60 )) PV = 800 * (0,8167 / 0,018167) PV = 800 * 44,9551 PV = R$ ,03 Galeria de vídeos A demonstração para se chegar à fórmula do PV não faz parte do escopo de nossa disciplina, no entanto, se quiser ver a demonstração assita ao vídeo Demonstração da Fórmula Valor Presente (PV). MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 28

29 Da mesma forma como fizemos na apuração do valor futuro, no cálculo do valor presente de séries antecipadas, teremos apenas que proceder ao ajuste de 1 período: Assumindo o exemplo acima, mas com o recebimento da primeira retirada do benefício no ato da compra do título, teríamos: PV série antecipada = PV série postecipada * (1 + i) PV série antecipada = ,03 * (1,01) PV série antecipada = R$ ,67 Observe que o valor presente de uma série de pagamentos mensais fixos durante 60 meses, todos iguais a R$ 800,00, é equivalente a: Na série postecipada (0 + 60, ou seja, a primeira prestação vencendo 30 dias após o ato da compra): VP = R$ ,03 Na série antecipada (1 + 59, ou seja, a primeira prestação vencendo no ato da compra): VP = R$ ,67 É natural que o valor presente na forma postecipada seja menor do que na antecipada, pois quanto mais você retarda no tempo o pagamento, menor será o valor atual equivalente. E vice-versa, concordam? Cálculo do valor da prestação Vamos agora imaginar o problema inverso. Vamos manter o mesmo exemplo do financiamento do carro visto anteriormente. Da mesma forma que apuramos os valores futuro e presente de uma anuidade, podemos calcular o valor da prestação de uma série (uniforme). MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 29

30 Os dados do problema são: Valor Presente (série postecipada) VP = R$ ,03 Prazo (em meses) n = 60 meses Taxa de juros mensal i% = 1% a.m. Valor da prestação PMT =? Fórmula [ ] PMT = 35964,03 * {[0,01 * (1,01) 60 ] / [(1,01) 60 1)]} PMT = 35964,03 * (0,01817 / 0,8167) PMT = 35964,03 * 0,02225 PMT = R$ 800,00 Séries variáveis (não uniformes) Estudaremos agora um tipo de série em que os termos não são todos os iguais, ou seja, não serão uniformes. A este tipo de série chamamos de Série Variável. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 30

31 NOTAS IMPORTANTES Na maioria dos casos reais de análise de viabilidade financeira de projetos iremos encontrar fluxos de caixa que terão esta característica de uma série variável, onde as entradas e saídas financeiras do caixa são variáveis ao longo do ciclo de vida do projeto. Não poderemos empregar para as séries variáveis as fórmulas que estudamos para as séries uniformes. A solução desses problemas demandará que cada termo da série seja tratado como uma série única (importante você entender isso!). Exemplo de série variável A figura que estamos utilizando para exemplificar uma série variável servirá de base para fazermos o calcula do Valor Presente de uma série variável. Observe que cada valor está referenciado a uma data (momento) na linha do tempo. Observe também que temos valores positivos (simbolizam entradas financeiras do caixa de um projeto, por exemplo) e valores negativos (simbolizam saídas financeiras do caixa do projeto) NOTA IMPORTANTE O que iremos fazer neste exemplo já se assemelha muito ao cálculo do Valor Presente Líquido (VPL) do fluxo de caixa de um projeto, quando estaremos MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 31

32 interessados em investigar a viabilidade financeira de um projeto. O método do VPL é uma das técnicas de análise de viabilidade financeira de um projeto que serão estudadas na aula seguinte. Por isso é importante que você já se familiarize com o ambiente de análise e com as terminologias utilizadas neste tipo de estudo. Vamos prosseguir no cálculo do Valor Presente desta série variável da figura falando sobre a taxa de juros a ser utilizada. Então, iremos utilizar uma taxa de juros de 1% ao mês para correção e atualização dos valores monetários em nossa linha do tempo (utilizando a terminologia de análise de viabilidade de projetos, podemos dizer esta mesma frase da seguinte forma: Iremos utilizar a taxa de 1% ao mês como taxa de mínima atratividade para descontar o fluxo de caixa do projeto). Como falamos anteriormente, não podemos usar as fórmulas das séries uniformes, temos que calcular o valor presente de cada valor futuro individualmente. Na tabela abaixo apresentamos o fluxo de caixa destes valores ao longo do tempo. Imagine que poderia ser um problema fácil de ser resolvido, bastaria que somássemos os valores positivos das entradas financeiras e subtraíssemos dos valores negativos das saídas financeiras do caixa. Pois é isso mesmo que vamos fazer, somente com um detalhe muito, mas muito importante mesmo! Lembram-se daqueles princípios básicos da Matemática Financeira que falamos no início da aula? Vamos repetir aqui para você: MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 32

33 Só podemos somar ou subtrair valores monetários se eles estiverem referenciados a uma mesma data. Não podemos somar ou subtrair valores que estejam referenciados a datas distintas. Então, com base nestes princípios, não podemos somar e subtrair os valores nominais (valores nas datas a que cada termo está referenciado) por que eles estão em datas diferentes. Para que possamos somar e subtrair valores, temos que levá-los para uma mesma data. E lá, nesta data comum, aí sim poderemos fazer as contas de somar e subtrair que se fizerem necessárias. E para que data iremos levar ou trazer estes valores? Geralmente, na grande maioria das vezes, trazemos os valores futuros para a data atual (ou data presente ou também camada de data focal do problema). A data atual é a data em que estaremos fazendo a análise de viabilidade financeira do projeto. Não é tão complicado assim, concordam? Acostume-se a usar estes princípios básicos da Matemática Financeira, verás que serão muito úteis para ajudar a equacionar e encaminhar a solução de inúmeros problemas de ordem prática. Veja então que na tabela iremos trazer cada valor nominal (valor na data do vencimento) da data em que se encontra para a data 0. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 33

34 Observe em cada linha da tabela que para fazer esta conversão de um valor futuro e achar seu equivalente na data presente faremos o uso da fórmula (que já estudamos no início da aula): PV = FV / (1 + i) n Onde: FV é o valor nominal do movimento financeiro do caixa na data em que ele ocorre, é um valor futuro. PV, valor presente (na data atual) equivalente ao valor futuro FV Prazo Valor Nominal Valor presente Taxa de Juros Fórmula FV PV % (100,0) % - 50 / (1 + 0,01) 1 (49,5) % 50 / (1 + 0,01) 2 49, % 100 / (1 + 0,01) 3 97, % 150 / (1 + 0,01) 4 144, % 150 / (1 + 0,01) 5 142, % / (1 + 0,01) 6 (94,2) % 50 / (1 + 0,01) 7 46, % 100 / (1 + 0,01) 8 92, % 150 / (1 + 0,01) 9 137,2 Valor presente total 465,4 Atividade proposta 1 Este exercício caiu em um concurso do Banco Centra (BACEN) - (Valores numéricos adaptados a realidade econômica atual) Tomei emprestado R$ ,00 a juros compostos de 3% ao mês. Um mês após a contratação do empréstimo, paguei R$50.000,00, dois meses após MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 34

35 esse primeiro pagamento, paguei outra parcela de R$ ,00 e, dois meses após esse segundo pagamento, liquidei integralmente a dívida. O valor desse terceiro e último pagamento foi de (em R$): a) R$ ,80 b) R$ ,35 c) R$ 9.791,05 d) R$ 8.445,85 e) R$ 0,00 Séries perpétuas Em algumas situações o número de pagamentos da série uniforme pode ser considerado infinito. Temos, então, uma série perpétua, também conhecida por perpetuidade. São bastante utilizadas em cálculos de aposentadoria e de precificação de empresas (valuation). O valor presente de uma série uniforme postecipada perpétua é igual ao valor do pagamento (PMT) dividido pela taxa de juros (i). PV = PMT / i O valor presente de uma série uniforme antecipada perpétua é igual ao valor presente do pagamento (PMT) dividido pela taxa de juros (i), multiplicado pelo fator (1+i) PV = (PMT / i) * (1 + i) Formulário Séries uniformes anuidades postecipadas MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 35

36 [ ] onde: PMT = o valor das prestações [ ] [ ] [ ] Séries uniformes anuidades antecipadas [ ] [ ] [ ] MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 36

37 [ ] Séries variáveis Não permite a aplicação direta de fórmulas. É necessário tratar cada termo da série como uma série única. Séries perpétuas postecipadas PV = PMT / i Séries perpétuas antecipadas PV = (PMT / i) * (1 + i) Sistemas de amortização Você sabe o que significa Amortização? Segundo Samanez, 2006 A amortização é um processo financeiro pelo qual uma dívida ou obrigação é paga progressivamente por meio de parcelas, de modo que ao término do prazo estipulado o débito seja liquidado. Essas parcelas ou prestações são a soma de duas partes: a amortização ou devolução do principal emprestado e os juros correspondentes aos saldos do empréstimo ainda não amortizado. Prestação = amortização + juros Essa separação permite discriminar o que representa a devolução do principal (amortização) daquilo que representa o MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 37

38 serviço da dívida (os juros). É importante para as necessidades jurídico-contábeis e para a análise de investimentos, em que os juros, por serem dedutíveis para efeitos tributáveis, têm em efeito fiscal. Segundo Gitman, 2000 O termo amortização de empréstimo refere-se ao cálculo de prestações periódicas de pagamento de um empréstimo devido. Esses pagamentos proporcionam ao credor um rendimento determinado e causam a devolução do principal dentro de um prazo estipulado. O processo de amortização de empréstimo envolve a determinação das prestações futuras, ao longo do prazo do empréstimo, cujo valor presente, à taxa de juros do empréstimo, é igual ao montante do principal original captado. Os credores usam uma planilha de amortização de empréstimo para determinar os valores das prestações e a distribuição de cada uma entre juros e principal. Obs: Livros completos para consulta na Biblioteca Virtual da Universidade Estácio de Sá Podemos resumir o conceito de Amortização como o processo de liquidação de uma dívida através de pagamentos periódicos. A amortização de uma dívida pode ser processada de várias formas: 1. Pagamento, no vencimento, do capital (principal) mais juros capitalizados; 2. Pagamento dos juros periodicamente e do capital somente no vencimento; 3. Pagamento da dívida em prestações periódicas, constituídas de juros e quotas de amortização do capital. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 38

39 Cada uma das modalidades de pagamento constitui um sistema. O importante é que, seja qual for o sistema de pagamentos utilizado para amortizar a dívida, saibamos que o princípio da equivalência de capitais deverá ser respeitado. Entre os sistemas mais utilizados no mercado para amortização de dívidas, destacaremos os dois mais utilizados: SAC (Sistema de Amortizações Constantes) PRICE (Sistema de Prestações Constantes) Sistema de amortização constante (sac) O devedor paga a dívida em prestações periódicas postecipadas. As prestações englobam juros e amortizações do capital. Ou seja, em cada uma das prestações teremos uma parcela relativa à amortização da dívida e uma outra parcela que é relativa aos juros pelo fato de estarmos pagando a parcela da dívida em uma data posterior à data em que a dívida foi contraída. PRESTAÇÃO = AMORTIZAÇÃO DO PRINCIPAL + JUROS O valor da amortização é constante em todos os períodos e a taxa de juros incidindo sobre o saldo devedor faz com que as parcelas de juros diminuam a cada período. Portanto as prestações são decrescentes. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 39

40 Observe no gráfico que no sistema SAC as parcelas relativas à amortização do capital são iguais em todos os períodos e as parcelas relativas aos juros diminuem período após período tornando as prestações decrescentes. Exemplo 1 Um empréstimo de R$ ,00 foi contratado para ser pago pelo SAC em 3 prestações anuais à taxa de 15% a a. Elaborar planilha de pagamentos. Procedimentos 1. Calcular a amortização dividir o valor do empréstimo pelo número de prestações. 2. Calcular a parcela de juros aplicar a taxa de juros sobre o saldo devedor do período anterior. 3. Calcular a prestação somar o valor da amortização com a parcela de juros. 4. Apurar o saldo devedor do período subtrair o valor da amortização do saldo devedor do período anterior. Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor ,00 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 40

41 , , , , , , , , , , ,00 0,00 Veja o esquema de pagamento na linha do tempo: Cálculo do Saldo Devedor O saldo devedor após o pagamento de k prestações será: D k = D 0 k. A Exemplo 2 Uma dívida de R$ ,00 será amortizada pelo sistema SAC em 12 prestações anuais à taxa de 12% a a. Calcular o saldo devedor após o pagamento da 8 a. prestação. A = ,00/12 = 7.000,00 Usando a fórmula: D8 = ,00 8(7.000,00) = R$ ,00 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 41

42 Atividade proposta 2 Como atividade você para praticar o emprego do sistema SAC, elabore a planilha de pagamentos relativa ao exemplo anterior, em que uma dívida de R$ ,00 será amortizada pelo sistema SAC em 12 prestações anuais à taxa de 9% a.a. Veja em seguida a solução. Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor Sistema francês ou tabela price O sistema de amortização PRICE, também conhecido como sistema Francês, ou também como o sistema da Tabela PRICE, é o sistema em que o devedor paga o empréstimo com prestações constantes, periódicas e postecipadas. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 42

43 O valor da amortização do capital (valor presente) aumenta a cada período enquanto as parcelas de juros diminuem no mesmo valor mantendo as prestações nominalmente iguais em todos os períodos. É um dos sistemas mais utilizados, pois permite ao devedor um melhor planejamento dos pagamentos em razão das prestações serem constantes. Observe na figura que a parcela relativa à amortização do capital aumenta a cada período enquanto a parcela relativa aos juros diminui no mesmo valor mantendo as prestações constantes. Exemplo Um empréstimo de R$ ,00 foi contratado para ser pago pelo Sistema Francês (PRICE) em 3 prestações anuais à taxa de 15 % a a. Elaborar planilha de pagamentos. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 43

44 Procedimentos 1. Calcular a prestação constante: utilizar a fórmula de amortização composta de uma série postecipada. [ ] 2. Calcular a parcela de juros: aplicar a taxa de juros sobre o saldo devedor anterior. 3. Calcular a amortização do capital: diferença entre a prestação e os juros do período. 4. Calcular o saldo devedor: diferença entre o saldo devedor anterior e o valor da amortização. Período Prestação Juros Amortização Saldo Devedor , , , , , , , , , , , ,94 0,00 Veja o esquema de pagamento na linha do tempo: MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 44

45 Cálculo do saldo devedor: O saldo devedor após o pagamento de k prestações é o valor presente das (n-k) prestações restantes, portanto: [ ] Exemplo Um financiamento de R$ ,00 será pago em 48 prestações mensais pelo Sistema PRICE, à taxa de 5% a.m. Calcular o saldo devedor após o pagamento da 20 a. prestação. Cálculo da prestação [ ] PMT = R$1.327,64 Portanto [ ] = R$19.779,35 Atividade proposta 3 Comparação entre o sistema sac e o sistema price O exemplo do empréstimo de R$ ,00 visto, contratado para ser pago em 3 prestações anuais à taxa de 15 % a a., foi visto pelos dois sistemas de amortização que estudamos, o SAC e o PRICE Você já deve estar pensando em fazer a seguinte pergunta, qual dos dois sistemas de amortização é o mais vantajoso, o SAC ou o PRICE? Vamos comparar os dois sistemas, o PRICE e o SAC, colocando as duas planilhas lado a lado. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 45

46 Sistema sac (amortizações constantes) Período (Anos) Prestação Juros Amortização Saldo Devedor , , , , , , , , , , , ,00 0,00 Sistema price (prestações constantes) Período (Anos) Prestação Juros Amortização Saldo Devedor , , , , , , , , , , , ,94 0,00 Qual é a sua interpretação sobre estes resultados das duas tabelas? E que comparação você pode fazer a respeito das vantagens e desvantagens entre os dois sistemas de amortização, SAC e PRICE? Aprenda Mais Assista ao vídeo sobre as Tabelas Price e SAC que se encontram em nossa Galeria de vídeos. Exercícios de fixação Questão 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 46

47 O valor de um carro novo que você deseja comprar é de R$ ,00 em uma concessionária de veículos. O seu carro usado foi avaliado pela loja e o seu valor poderá ser usado como entrada. A diferença entre os valores do carro novo e usado será financiada em 60 prestações fixas mensais de R$ 890,24, na forma postecipada, a uma taxa de juros mensais de 1,8%. Podemos dizer que o valor da avaliação feita em seu carro usado foi de: a) R$ ,00 b) R$ 9.600,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Questão 2 Tenho dois financiamentos feitos pelo sistema PRICE, com prestações constantes e mensais. No primeiro financiamento, realizado com uma taxa de juros de 3% a.m., restam seis prestações de R$ 500,00 ainda para pagar, sendo que a primeira destas seis vence daqui a trinta dias. No segundo financiamento, realizado com uma taxa de juros de 2% a.m., restam dez prestações de R$ 350,00 ainda para pagar, sendo que a primeira destas dez vence também daqui a trinta dias. O saldo devedor total atual das duas dívidas somadas é igual a: a) R$ 3.143,90 b) R$ 5.852,50 c) R$ 2.708,60 d) R$ 6.500,00 e) R$ 3.500,00 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 47

48 Questão 3 A respeito dos sistemas de amortização SAC e PRICE é correto afirmar: a) Tanto no sistema SAC quando no sistema PRICE a parcela de juros das prestações decaem ao longo do financiamento b) No sistema PRICE a parcela de juros das prestações é constante ao longo do financiamento. c) No sistema PRICE a parcela de amortização das prestações decai ao longo do financiamento. d) No sistema SAC as amortizações são constantes e a parcela de juros das prestações cresce ao longo do financiamento. e) No sistema SAC as prestações iniciais são nominalmente menores do que as prestações do sistema PRICE. Questão 4 Uma dívida de R$ ,00 está sendo paga em 36 prestações mensais, sem entrada, à taxa de 6% a m, pelo sistema PRICE. Calcular o saldo devedor após o pagamento da 16 a. prestação. a) R$ 3.477,85 b) R$ 3.774,58 c) R$ 3.474,85 d) R$ 3.447,58 e) R$ 3.747,58 Questão 5 Um agente de mercado tomou empréstimo de R$ ,00 pelo sistema de amortizações constantes (SAC) à taxa de juros de 2,85% ao mês, com prazo de 36 meses para sua amortização. Qual é o valor da prestação inicila? a) R$ 1.666,67 b) R$ 1.810,67 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 48

49 c) R$ 1.710,00 d) R$ 3.346,67 e) R$ Referências SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: Aplicações à análise de Investimentos. São Paulo: Prenticce-Hall, 2006 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 49

50 Aula 3: Fluxos de caixa e projeções financeiras Introdução Nesta aula você dará os primeiros passos em direção à avaliação da viabilidade financeira de projetos e de investimentos. Como é relativamente comum em uma empresa não haver disponibilidade financeira suficiente para todos, os projetos lutam entre si para serem implementados. As empresas, obviamente, tentam selecionar aqueles que agregam maior valor para a organização. Você então saberá responder à pergunta O projeto deve ou não ser escolhido e implementado? após conhecermos os métodos de análise da viabilidade financeira. Iremos aprender a identificar se um projeto será financeiramente viável ou não. E, além disso, entre os projetos financeiramente viáveis, aprenderemos a selecionar qual é ou quais são os melhores, caso precisemos priorizar aqueles que poderão gerar uma maior lucratividade para a empresa. Conheceremos o método do Valor Presente Líquido (VPL), o método da Taxa Interna de Retorno (TIR) e método do Payback. Objetivos: Identificar os principais componentes do fluxo de caixa de um projeto. Elaborar o fluxo de caixa de um projeto e prepará-lo para a aplicação dos métodos de análise de viabilidade financeira. Aplicar o método do Valor Presente Líquido (VPL), o método da Taxa Interna de Retorno (TIR) e método do Payback para seleção e análise de viabilidade financeira de um projeto. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 50

51 Conteúdo Comecemos nossa aula repetindo a pergunta da apresentação. O projeto deve ou não ser escolhido e implementado? Esta resposta começaremos a aprender a responder um pouquinho mais adiante, após apresentarmos os métodos de análise de viabilidade financeira de projetos. Mas já podemos afirmar, desde já, que nosso trabalho será sempre o de um investigador. Isso mesmo! Neste tipo de análise estaremos interessados em investigar sobre o que poderá ocorrer em momentos futuros de um projeto. Para isso é necessário que conheçamos as ferramentas que irão nos auxiliar a tomar decisões como, por exemplo, autorizar ou não o início de um projeto, escolher entre projetos concorrentes aquele que é o mais viável sob o aspecto financeiro e, talvez o mais importante, minimizar o risco de tomar decisões equivocadas como autorizar o início de um projeto ruim ou até mesmo reprovar um projeto que poderia ser um bom projeto. VOCÊ TERÁ UM NOVO ÂNGULO PARA OLHAR OS PROJETOS Não é incomum nas empresas haver vários projetos para serem avaliados simultaneamente. E nem sempre existem recursos suficientes para todos. Os projetos travam batalhas entre si para serem aprovados e implementados. As empresas, obviamente, procuram selecionar e optar por aqueles que irão agregar maior valor e que poderão gerar maior riqueza para a organização. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 51

52 Antes de começarmos a estudar as ferramentas de análise de viabilidade financeira, precisamos conhecer um pouco mais sobre a estrutura e as etapas de concepção de um projeto. Você sabia que um projeto pode ser entendido como um conjunto de informações, que são coletadas e processadas, de modo que simulem uma dada alternativa de investimento para testar sua viabilidade? Isso, um projeto de investimento tem por objetivo a criação, a expansão, a modernização, a fusão, a incorporação, a alteração da localização ou a reorganização de um empreendimento visando o aumento de valor dos ativos dos acionistas. Assim, a análise de investimentos de capital busca mensurar a viabilidade econômica e financeira de projetos que principalmente aqueles que possuam retornos de longo prazo. Essa relevância vem do fato de que tais projetos costumam envolver grandes somas e que uma vez tomada a decisão, modificações, suspensões e paralizações costumam acarretar elevados prejuízos. Estrutura do projeto Vejamos os principais aspectos encontrados em uma alternativa de investimentos para uma empresa: Aspectos econômicos Mercado: são os elementos fornecidos pela análise de mercado que determinarão, de modo fundamental, muitas características do projeto. O que produzir, quantidade demandada, preço de venda, canais de distribuição, principais concorrentes, regulação do mercado, etc., tornam a análise de mercado um dos primeiros aspectos a serem considerados no projeto. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 52

53 É importante destacar que essa parte do projeto precisa estar suportada por dados estatísticos de institutos de pesquisa ou outras fontes que possuam credibilidade. As projeções de demanda devem ser baseadas em dados socioeconômicos que justifiquem o comportamento previsto. Localização: a escolha da localização dependerá de diversos fatores, tais como a proximidade do mercado consumidor, a escala pretendida, incentivos fiscais, considerações técnicas, etc. Além disso, será muito importante analisar a disponibilidade local dos diversos bens de produção intermediários tais como mão-de-obra, energia, matériasprimas e condições ambientais. Escala: a escala de produção irá depender, entre outros fatores, do estudo do mercado, da localização e dos aspectos técnicos. A existência de economias de escala pode ser um aspecto determinante na escolha de determinada capacidade de produção. Aspectos técnicos Envolvem as considerações referentes à seleção entre os diversos processos de produção, à engenharia do projeto, ao arranjo físico dos equipamentos na fábrica, etc. Aspectos financeiros Investimento necessário e cronograma de desembolso: envolve a determinação do capital a ser investido (instalações, equipamentos, treinamento de mão de obra, despesas gerais de implantação, patentes) assim como a peridiocidade dos desembolsos de caixa. Custos do projeto (fixos e variáveis): incluem não somente os custos de produção, mas todos os demais custos da organização, MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 53

54 passando por despesas de marketing (comunicação, pesquisas, desenvolvimento de produto), vendas, distribuição e administração. Receitas do projeto: estimativa das receitas de vendas, financeiras, outras. Composição do capital: neste aspecto são analisadas as diferentes opções que existem para compor o capital a ser investido no projeto. Simplificadamente, o que se procura é determinar a composição do capital próprio e de terceiros. Financiamentos: nesta parte são analisadas as alternativas de empréstimo. Procura-se determinar, entre outras fontes de empréstimo disponíveis, aquelas que apresentam maior conveniência e/ou que otimizam a rentabilidade do projeto. Capital de giro: a análise financeira das fontes e aplicações do dinheiro em giro permitirá que se determine o capital de giro próprio. Este, sendo um investimento a ser feito, deverá ser incluído nos desembolsos do projeto. Outros aspectos importantes são os administrativos (definição da estrutura organizacional que será necessária para a implementação e operação do projeto), legais (exigências ou incentivos por parte das esferas de governo), meio ambiente (análise dos impactos positivos e negativos) e contábeis. Etapas de um projeto Vejamos as etapas que permitirão a obtenção das projeções de custos e receitas de um projeto, combinadas com o cronograma de desembolso de caixa e o custo do capital para. Estes elementos permitirão a elaboração do fluxo de caixa do projeto, elemento essencial para início da análise de viabilidade econômico-financeira do projeto. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 54

55 NOTA: Entendamos que estas etapas a que estamos nos referindo não devem ser confundidas com as fases do gerenciamento de um projeto. Elas se referem a uma fase anterior à execução do projeto propriamente dita. O ponto de partida é uma oportunidade de investimento que foi detectada pela empresa e/ou pelo empresário. A partir daí, o primeiro passo é realizar um estudo de mercado. Neste estudo será caracterizado o produto, a quantidade demandada projetada, os canais de comercialização, o preço de venda, etc. A seguir, são abordados os aspectos técnicos, a localização e a escala do projeto. Estes aspectos estão intimamente relacionados: o tipo de processo a ser escolhido pode condicionar a localização geográfica e esta a escala de produção. Feita a seleção do processo e a determinação dos investimentos mais significativos para determinada localização e escala, será possível estimar o volume de financiamentos necessários e a provável composição do capital da empresa. Neste ponto será analisado o custo das fontes de recursos, bem como o risco inerente à opção de um endividamento excessivo. O passo seguinte é levantar as necessidades de pessoal para a estrutura administrativa a ser implantada. Nesta fase serão considerados também os incentivos de ordem fiscal e/ou econômica para a implantação do projeto bem como os aspectos relacionados ao meio ambiente. Nesse ponto é possível elaborar as projeções de custos e receitas. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 55

56 Tais projeções, combinadas com o cronograma de desembolso de caixa e o custo do capital, permitirão uma análise de viabilidade econômico-financeira do projeto. Tipos de projetos É importante destacar que na maioria das vezes uma empresa não analisa apenas um projeto de forma isolada. É comum existir uma carteira de projetos que será avaliada do ponto de vista financeiro para a seleção daqueles que agregam maior valor e que poderão gerar maior riqueza para a organização. Daí a relação entre os projetos disponíveis torna-se um elemento relevante no processo de análise. Vejamos alguns tipos de relações entre os projetos. Projetos economicamente independentes Dizemos que dois projetos são economicamente independentes quando os fluxos de caixa não são relacionados ou dependentes uns dos outros; a aceitação de um não elimina os outros de considerações futuras. Projetos mutuamente excludentes Dois projetos são mutuamente excludentes quando a decisão de investir em um impede o investimento no outro (ex.: Falta de capacidade física para acomodação dos dois projetos). Projetos economicamente dependentes Caso a decisão de investir em um projeto tenha efeito sobre os benefícios do outro projeto, dizemos que os projetos são economicamente dependentes. Dois tipos de dependência podem ser observados: MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 56

57 Projetos complementares Se o investimento no projeto (A) aumenta os benefícios do projeto (B), temos uma situação de complementaridade entre os projetos. Projetos substitutos Se a decisão de investir em (A) implicar na redução dos benefícios de (B), temos uma situação de substituição. No limite poderemos ter projetos excludentes. Estimativa do fluxo de caixa De posse de todas as premissas do projeto (volume de vendas, preços, impostos sobre vendas, custos de fabricação, despesas de comunicação e vendas, despesas gerais, etc.) a empresa irá construir o fluxo de caixa do projeto, o qual corresponde à estruturação de todas as entradas e saídas financeiras de caixa do projeto ao longo do tempo. É importante destacar que na avaliação do projeto de investimento deverão ser considerados apenas os fluxos de caixa relevantes, os quais correspondem aos fluxos de caixa incrementais gerados pelo projeto. Assim, se uma empresa estuda a possibilidade de aumentar a sua capacidade de produção, passando suas receitas de R$ ,00 para R$ ,00 o valor do incremento de receita (R$ ,00) é a parcela relevante para fins de tomada de decisão e não o total da receita a ser obtida (R$ ,00). Outro ponto de fundamental importância é que na avaliação de um projeto de investimento deve-se utilizar o Fluxo de Caixa dos Ativos. Não se deve levar em consideração a depreciação e as despesas financeiras (juros) na avaliação de projetos. FC ATIVOS = FC OPERACIONAL - FC CAPITAL GIRO - FC INVESTIMENTO NECESSÁRIO MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 57

58 Os principais elementos de um fluxo de caixa são: Tempo de análise do projeto: é importante que esse tempo seja estabelecido de acordo com os objetivos do projeto. Nos casos de projetos sujeitos a apreciação do BIRD, BID e BNDES (para fins de financiamento) os resultados de um projeto de investimento devem ser projetados para um horizonte de 10 anos. Um aspecto muito importante na projeção dos fluxos de caixa é o risco envolvido nessas projeções. Quanto maior o horizonte de tempo da previsão, maior o risco de erro embutido na mesma. Receitas esperadas: corresponderão aos recebimentos de caixa gerados pelo projeto (incrementais). Vale destacar que na análise do projeto normalmente definem-se as entradas de caixa como as vendas realizadas. Questões envolvendo o prazo de recebimento são analisadas em separado para a definição do capital de giro mínimo necessário. Custos do projeto: englobam não apenas o custo de produção, mas também os demais custos envolvidos com a divulgação e comercialização dos produtos e eventuais acréscimos nos custos de administração. De forma a aumentar a qualidade das análises, permitindo a adoção de estudos de sensibilidade e análise do ponto de equilíbrio, é aconselhável desmembrar os custos em fixos e variáveis. Capital de giro: é a diferença entre o ativo circulante e o passivo circulante. Como recursos alocados ao capital de giro não podem ser usados em outras áreas da empresa, variações no capital de giro afetam o fluxo de caixa do projeto. As necessidades de capital de giro de uma empresa serão definidas pelo tipo de negócio em que opera. Empresas varejistas têm uma necessidade muito maior de capital de giro, como MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 58

59 percentual de receitas, por terem estoque e necessidades de crédito muito maiores do que empresas de serviços. Pontos que merecem destaque nas estimativas dos fluxos de caixa. Custos incorridos (ou irrecuperáveis): são aqueles que a empresa já realizou em um determinado projeto, isto é, são desembolsos passados e irreversíveis. Exemplo: pesquisas de mercado para avaliar a aceitação de um novo produto. Os gastos com essa pesquisa não poderão ser recuperados independente da decisão da empresa (desenvolver ou não o projeto). Assim, tais custos não devem ser considerados no fluxo de caixa do projeto, pois não contribuem para o processo de avaliação e tomada de decisão. Custos de oportunidade: correspondem as receitas que a empresa estará deixando de ter ao optar por investir em determinado projeto. Essa perda, ou custo de oportunidade, deve ser considerada no fluxo de caixa do projeto. Efeitos colaterais: são os efeitos secundários que atuam sobre o fluxo de caixa da empresa e devem ser considerados na avaliação. Exemplo: o lançamento de um novo produto acarretará uma redução de 50% na receita de outra linha já existente. Depreciação: é parte integrante do custo de fabricação. Entretanto, a mesma não gera saídas de caixa (uma vez que o desembolso já ocorreu anteriormente, quando o ativo foi adquirido). Assim sendo, a depreciação não é considerada no fluxo de caixa do projeto. Contudo, por ser dedutível para fins de imposto de renda, o impacto da mesma no imposto (benefício de redução do imposto devido) deve ser considerado. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 59

60 Benefício fiscal da depreciação = depreciação x alíquota do I.R. Existem diferentes métodos de depreciação de ativos (depreciação por unidade produzida, depreciação por hora de produção, etc.). Entretanto, o imposto de renda brasileiro só admite o método linear de depreciação, o qual se baseia na simples divisão do valor de aquisição do bem pela vida útil estimada (pelo próprio fisco). Os principais ativos e a vida útil admitida pela legislação fiscal são indicados abaixo: o Imóveis - 25 anos - 4% ao ano. o Equipamentos industriais - 10 anos - 10% ao ano. o Equipamentos informática - 5 anos - 20% ao ano. o Veículos - 5 anos - 20% ao ano. Valor residual dos ativos: corresponde ao valor que será obtido pela empresa com a venda do ativo ao final da vida útil do mesmo. Os bens, ao final de sua vida útil, podem possuir valor de mercado (revenda). Nestes casos, tal valor deverá ser considerado como uma entrada de caixa do projeto. Da mesma forma, o projeto pode se destinar a substituir bens que poderão ser revendidos. Essas entradas de caixa também deverão ser incorporadas ao projeto. Custos de financiamento: como já visto anteriormente, o fluxo de caixa que deve ser utilizado na avaliação de um projeto é o FC dos ativos. Logo, as despesas com juros não devem ser consideradas (decisões de investimento são diferentes de decisões de financiamento). Você imaginava essa quantidade de informações para elaborar um fluxo de caixa de um projeto? MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 60

61 Pois é, sem o fluxo de caixa não podemos fazer a análise de viabilidade financeira do projeto! Mas mesmo sem ainda termos visto as ferramentas de análise de viabilidade financeira de um projeto você com certeza já percebeu que: precisamos ter fluxos de caixa o mais precisos possíveis e que melhor reflitam a realidade após a execução e implementação de um projeto. a análise de viabilidade financeira do projeto será feita considerando verdadeiros os valores que compõem o seu fluxo de caixa. NOTA IMPORTANTE: Erros de previsão, falta de precisão, superficialidade de informações, insuficiência de dados, estimativas inseguras devem ser cuidadosamente levadas em consideração e servem como ponto de atenção para um analista proceder sua análise de viabilidade com isenção, seriedade e profissionalismo. De nada adianta utilizar a sofisticação das ferramentas de análise e chegar a resultados e conclusões para a tomada de decisão de aprovação de um projeto se os dados que alimentam a análise não forem confiáveis. Atividade proposta 1 Vamos praticar? Você consegue elaborar um fluxo de caixa com todas estas informações? Busque no material complementar o caso Baldwin. Procure acompanhar passo-a-passo a resolução do problema. Após entender a elaboração do fluxo de caixa deste caso, imagine uma segunda situação: No problema em estudo, a previsão da demanda que foi feita anteriormente foi muito otimista. O analista do projeto recebeu a incumbência de elaborar MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 61

62 um novo fluxo de caixa do projeto com os novos valores da projeção de tendência das vendas, que serão unidades a menos em cada ano em relação aos valores anteriormente informados, ou seja, durante a vida da máquina a produção anual deverá ser respectivamente de 4.000, 7.000, , e unidades. Tente elaborar o fluxo de caixa desta nova situação e compare com os valores do fluxo de caixa anterior. Métodos de avaliação de viabilidade financeira de projetos Agora que já temos conhecimento de como pode ser elaborado o fluxo de caixa de um projeto, passaremos a conhecer os principais métodos de avaliação da viabilidade financeira desses projetos. Existem diferentes métodos para avaliação dos fluxos de caixa projetados. Discutiremos os principais métodos utilizados: Método do Payback (período de retorno do investimento) Simples e Descontado Método do Valor Presente Líquido (VPL) Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) Método do Payback (tempo de recuperação ou período de retorno do investimento) Um dos métodos de avaliação mais largamente difundidos entre os administradores de empresas. O período de payback, segundo Gitman (2001), é largamente utilizado por empresas de grande porte para avaliar pequenos projetos, e por empresas de pequeno porte para avaliar a maioria de seus projetos. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 62

63 O método consiste na determinação do número de períodos necessários para recuperar o capital investido. Existem dois métodos de Payback, o Payback Simples (NÃO leva em conta o valor do dinheiro no tempo) e o Payback Descontado(leva em conta o valor do dinheiro no tempo). Payback simples No caso do Paybak Simples podemos calcular o período de retorno utilizando uma fórmula direta ou uma forma mais elaborada. Isso vai depender se o fluxo de caixa projetado tem valores de entradas financeiras iguais ou diferentes. Quando o fluxo de caixa projetado para os anos futuros do projeto tem valores de entradas financeiras iguais, a fórmula de cálculo é a seguinte: Payback = Investimento inicial _ Fluxo de caixa por período A partir desse dado a empresa decide sobre a implementação do projeto, comparando-o com os seus referenciais de tempo para recuperação de investimentos. Quanto menor o payback de um projeto, mais atrativo ele se torna para a empresa. Vejamos um exemplo numérico para ficar mais claro de entender: Assumindo um investimento original de R$ ,00 capaz de gerar um fluxo de caixa líquido para a empresa de R$ ,00 ao ano, utilizando a fórmula teríamos um payback de ,00 / ,00 = 2,5 anos, indicando que esse seria o período de tempo necessário para a empresa recuperar seu investimento. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 63

64 Quando o fluxo de caixa projetado para os anos futuros do projeto tem valores de entradas financeiras diferentes, não podemos utilizar essa fórmula, teremos que fazer o cálculo do período de retorno do investimento de outra forma. Vejamos um exemplo de fluxo de caixa com valores de entradas financeiras diferentes: A figura abaixo mostra o fluxo de caixa de um projeto A representado na linha do tempo. Os valores estão em múltiplos de R$ 1.000,00. Temos um investimento inicial de R$ ,00 e três anos de entradas financeiras líquidas correspondentes respectivamente a R$ ,00, R$ ,00 e R$ ,00. Podemos visualizar este mesmo fluxo de caixa analisando de outra forma, como visto na tabela abaixo. Cada linha da tabela representa um ano do fluxo de caixa. Na coluna da direita atualizamos o saldo a cada ano. Ano Fluxo de Caixa Operação PV (FC) Saldo (1+0,10) (1+0,10) (1+0,10) (1+0,10) O cálculo deve obedecer à seguinte sequência: MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 64

65 Observar em que ano o saldo deixa de ser negativo e passa a ser positivo. O último ano em que foi negativo foi o ano 2. Com isso já sabemos que o período de retorno estará entre 2 e 3 anos. Precisamos agora calcular que fração do ano será essa a ser adicionada aos 2 anos. Para isso, basta que peguemos o valor absoluto (sem o sinal negativo) do último saldo negativo (50.000,00) e dividamos pelo valor do fluxo de caixa do ano 3 ( ), que é o ano em que o saldo começará a ficar positivo. No caso teremos / = 0,125 anos = 1 mês e meio Chegamos ao período de retorno (Payback) pelo método simples, ou seja, sem levar o valor do dinheiro no tempo. Payback Simples 2 + ( / ) = 2 + 0,125 anos = 2,125 anos ou 2 anos 1 mês 15 dias Vantagens do Payback Simples 1) É um método bastante simples de ser utilizado e de fácil entendimento. 2) Funciona como um indicador de risco do projeto: quanto maior o payback, maior o risco envolvido na recuperação do investimento. Problemas do Payback Simples 1) Não leva em consideração o valor do dinheiro no tempo. 2) Não considera todos os fluxos de caixa do investimento (no exemplo visto, poderíamos ter os fluxos de caixa dos anos 4, 5,...e eles não entrariam no cálculo). 3) Desconsidera diferenciais de risco. 4) Uma importante deficiência do período de payback é que o período apropriado de recuperação é um número determinado subjetivamente. 5) Também ignora o objetivo de maximização de riqueza, pois não se baseia em fluxos de caixa descontados, e, assim, não fornece qualquer indicação de que um projeto acrescenta ou não valor à empresa. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 65

66 6) Devido aos seus problemas, o payback não deve ser utilizado, isoladamente, como método responsável pela tomada de decisão de investimento. Payback descontado Com o intuito de eliminar o grande ponto de crítica envolvendo o método do payback, podemos descontar os fluxos de caixa projetados pela taxa de desconto do projeto. Com isto, estaremos atualizando o valor do dinheiro pelo custo de capital e apurando um resultado mais preciso. O payback descontado nada mais é do que o número de períodos necessários para se recuperar o investimento, porém levando-se em consideração o valor do dinheiro no tempo. Devemos lembrar que os fluxos de caixa devem ser atualizados pela fórmula abaixo: PV = FV / (1 + i) n Vejamos o mesmo exemplo do projeto A utilizado para cálculo do período de retorno do investimento pelo método do Payback Simples, considerando agora o valor do dinheiro no tempo. O fluxo de caixa é o mesmo, você se lembra, não? MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 66

67 Fazendo a tabela do fluxo de caixa de forma semelhante, veremos ano a ano o saldo do fluxo de caixa do projeto. A diferença é que os valores deverão ser convertidos a valores presentes. Para isso, utilizaremos a taxa de desconto de fluxo de caixa igual a 10% ao ano, que representará o custo de capital do projeto para a empresa. Ano Fluxo de Caixa Operação PV (FC) Saldo (1+0,10) (1+0,10) (1+0,10) (1+0,10) Seguindo a mesma sequência de cálculo do Payback Simples, chegaremos ao valor do período de retorno do investimento no método do Payback Descontado. Payback Descontado = 2 + ( / ) = 2 + 0, anos = 2 anos 4 meses 14 dias (aproximadamente) A introdução do valor do dinheiro do tempo incorpora ao método do payback a dimensão de avaliação de resultado econômico, a qual estará presente em todos os demais métodos. Muito embora o desconto dos fluxos de caixa pelo custo de capital corrija o principal desvio existente no método do payback, os outros problemas anteriormente mencionados ainda permanecem, como por exemplo, o fato do método desconsiderar os fluxos de caixa após o período do retorno do investimento. Veja em um exemplo como este fato poderá induzir a uma análise falsa! Tomemos por base dois projetos, A e B, representados pelos seus fluxos de caixa. O projeto A é o projeto que utilizamos nos exemplos anteriores e o projeto B é muito parecido com o projeto A, só que ele tem mais dois anos de MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 67

68 entrada em seu fluxo de caixa. Veja na tabela abaixo o estes fluxos de caixa dos projetos A e B: Ano Fluxo de Fluxo de Caixa Caixa Projeto Projeto A B , , , , , , , , , ,00 Atividade proposta 2 Calcule o valor do Payback Simples e descontado para os dois Projetos A e B acima. Método do Valor Presente Líquido (VPL) O método do Valor Presente Líquido (VPL), ou em inglês Net Present Value (NPV), é o método mais utilizado na análise de viabilidade financeira de projetos. Trata-se do desconto de todos os fluxos de caixa do projeto pelo custo de capital do mesmo, apurando-se o valor atual de cada fluxo e, por conseguinte, o valor líquido gerado pelo projeto. Vamos assumir os dois exemplos de projetos utilizados no estudo do Payback, os projetos A e B, para apresentar os métodos do VPL e depois o da Taxa Interna de Retorno (TIR). Nas tabelas a seguir, uma para cada projeto, visualizamos ano a ano os valores dos fluxos de caixa nominais e, na coluna mais à direita, o valor presente de cada valor anual atualizado pelo fator de conversão de valor futuro (FV) em valor presente (PV). MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 68

69 Na última linha da tabela é apresentada a soma de todos os valores presentes (lembrando que o valor do investimento inicial no ano 0 é negativo, pois é uma saída financeira do caixa). Esta soma dos valores presentes de todas as entradas e saídas financeiras ao longo do fluxo de caixa do projeto é o que chamamos de Valor Presente Líquido (VPL) do projeto. Utilizaremos para desconto do fluxo de caixa de cada projeto a taxa de 10% ao ano. Ano Fluxo de Caixa Projeto A Operação PV (FC) , (1+0,10) , , (1+0,10) , , (1+0,10) , , (1+0,10) , Valor Presente Líquido Projeto A R$ ,67 Ano Fluxo de Caixa Projeto B Operação PV (FC) , (1+0,10) , (1+0,10) , (1+0,10) , (1+0,10) , (1+0,10) , (1+0,10) Valor Presente Líquido Projeto B R$ ,91 Podemos dizer que os VPLs dos projetos A e B, sendo positivos, indicam que os projetos são financeiramente viáveis. Em outras palavras podemos interpretar estes resultados de várias formas: os ganhos dos projetos A e B remuneram o investimento feito em 10% ao ano e ainda permitem aumentar o valor da empresa daqueles valores que os VPL indicam. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 69

70 poderiam ser gastos mais R$ ,67 e R$ ,91, respectivamente nos projetos A e B, como investimento no início do primeiro período e mesmo assim os ganhos remunerariam a empresa em 10% ao ano. os dois projetos são mais atrativos do que, por exemplo, uma aplicação financeira que remunerasse o capital inicial de R$ ,00 em 10% ao ano. os dois projetos A e B são financeiramente viáveis comparados a essa atratividade de remuneração de 10% ao ano. No entanto, como o VPL do projeto B (R$ ,91) é maior do que o VPL do projeto A (R$ ,67), pode-se dizer que o projeto B é financeiramente mais atrativo do que o projeto A. Atividade proposta 3 Vejamos agora um terceiro projeto, o Projeto C. Veja o seu fluxo de caixa na tabela abaixo. Tente fazer sozinho o preenchimento da tabela de forma semelhante como fizemos para os projetos A e B, calculando ao final o valor do VPL do Projeto C. Aproveite interprete o resultado e compare com os resultados dos projetos A e B. Veja a solução em seguida com a tabela preenchida. Ano Fluxo de Caixa Projeto C , , , , Operação Valor Presente Líquido Projeto C PV (FC) MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 70

71 Com esses exemplos que vimos dos projetos A, B e C podemos enunciar os critérios de aceitação de um projeto pelo método do Valor Presente Líquido: VPL > 0; o projeto será economicamente interessante ao custo de capital considerado. Quanto maior o VPL, maior o valor gerado para a empresa. VPL = 0; significa que o valor presente das entradas é igual ao valor presente das saídas de caixa. Isso implica dizer que o projeto produz retorno igual à taxa mínima de atratividade da empresa. VPL < 0; o projeto não será economicamente interessante ao custo de capital considerado, pois não ocorre a recuperação do investimento realizado. A expressão matemática do VPL é dada pela equação: onde: R 0 => investimento inicial R 1, R 2,..., R n => Valor do fluxo de caixa gerado pelo projeto t => tempo i = > custo de capital Utilizando a HP 12C temos a seguinte solução para o cálculo do VPL do projeto A. Tente depois você fazer o mesmo para os projetos B e C. Tecle f reg Limpa os registros financeiros (acostume-se a fazer isso sempre que iniciar uma nova operação) MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 71

72 Digite ; CHS Valor do investimento inicial ; troca sinal para negativo (CHS, CHange Signal) Tecle g cfo Informa à calculadora que o é o investimento inicial (CF0, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 0) Digite Valor do primeiro fluxo de caixa Tecle g cfj Informa à calculadora que o é o valor do primeiro fluxo de Caixa (CF1, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 1) Digite Valor do segundo fluxo de caixa Tecle g cfj Informa à calculadora que o é o valor do segundo fluxo de Caixa (CF2, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 2) Digite Valor do terceiro fluxo de caixa Tecle g cfj Informa à calculadora que o é o valor do erceiro fluxo de Caixa (CF3, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 3) Digite 10 Valor da taxa de desconto do fluxo de caixa Tecle i Informa à calculadora o valor da taxa de desconto do fluxo de caixa Tecle f NPV Solicita à calculadora que informe o valor do VPL (NPV, Net Present Value, Valor Presente Líquido em inglês) Resultado no display R$ ,67. MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 72

73 Método da Taxa Interna de Retorno (TIR) A Taxa Interna de Retorno (TIR), em inglês Internal Rate of Return (IRR), demonstra a rentabilidade efetiva de um investimento durante todo o ciclo de vida do projeto. Por definição, a Taxa Interna de Retorno de um projeto convencional é a taxa de juros para o qual o seu VPL é nulo. Após determinar a TIR do projeto, deve-se compará-la com o custo de capital da empresa (TMA taxa mínima de atratividade). O projeto será considerado rentável e, portanto, atraente do ponto de vista econômico se sua TIR for, no mínimo, igual ao custo de capital. Quanto maior a TIR, mais desejável é o investimento. Iremos utilizar os mesmos projetos A, B e C utilizados anteriormente para entendermos o método da TIR. Ao utilizarmos uma taxa de desconto (custo de capital) de 10% ao ano encontramos os seguintes VPLs: TMA = 10% ao ano Valor Presente Líquido Projeto A Valor Presente Líquido Projeto B Valor Presente Líquido Projeto C R$ ,67 R$ ,91 -R$ ,53 Se os VPLs dos Projetos A e B são positivos com a TMA de 10% ao ano, é sinal de que eles têm um retorno maior do que o valor de 10 % aa MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 73

74 E qual seria essa taxa de retorno máxima em que haveria atratividade para cada um desses projetos A e B? Já para o Projeto C a taxa de 10% ao ano forneceu um VPL negativo, sinal de que não há atratividade para o projeto C com esta taxa, ou seja, a taxa de retorno do projeto C é menor do que 10% ao ano. E qual seria essa taxa de retorno máxima em que haveria atratividade para o projeto C? Ora, você já deve ter percebido que existe uma forte ligação entre os conceitos de VPL e da TIR. A TIR de um projeto será a taxa que se for utilizada para descontar o fluxo de caixa de um projeto acarretará em um VPL igual a zero, ou seja, a TIR é a taxa que faz com que o VPL seja nulo. Vamos pegar como exemplo o fluxo de caixa do projeto A e vamos calcular o VPL para vários valores de taxa, faremos isso em uma tabela, variando a taxa de 5 e 50% ao ano. Taxa de Desconto do Fluxo de Caixa (% ao ano) VPL Projeto A 0,0% R$ ,00 5,0% R$ ,60 10,0% R$ ,67 15,0% R$ ,45 20,0% R$ ,26 25,0% R$ ,00 30,0% -R$ ,40 35,0% -R$ ,80 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 74

75 40,0% -R$ ,24 45,0% -R$ ,21 50,0% -R$ ,04 Veja na tabela que o VPL para a taxa de 10% ao ano já conhecemos quando fizemos o estudo do VPL. Observe que à medida que vamos utilizando valores de taxas maiores, o VPL vai diminuindo, passando inclusive a mudar de sinal, deixando de ser positivo e passando a ser negativo. O valor da taxa de desconto que iguala o VPL a zero, corresponde ao valor da TIR do projeto. No caso do projeto A vemos pela tabela que deverá estar entre 25 e 30% ao ano. Utilizando a HP12C ou o Excel poderemos encontrar este valor com precisão. A TIR do projeto A é igual a 27,95% ao ano. Os valores da TIR para os projetos B e C são respectivamente 42,5% ao ano e 4,14% ao ano. NOTA: Utilizando a HP 12C temos a seguinte solução para o cálculo da TIR do projeto A. É muito semelhante ao cálculo do VPL, no final é que há uma pequena alteração. Tente depois você fazer o mesmo para os projetos B e C. Tecle f reg Limpa os registros financeiros (acostume-se a fazer isso sempre que iniciar uma nova operação) Digite ; CHS Valor do investimento inicial ; troca sinal para negativo (CHS, CHange Signal) Tecle g cfo Informa à calculadora que o é o investimento inicial (CF0, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 0) MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 75

76 Digite Valor do primeiro fluxo de caixa Tecle g cfj Informa à calculadora que o é o valor do primeiro fluxo de Caixa (CF1, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 1) Digite Valor do segundo fluxo de caixa Tecle g cfj Informa à calculadora que o é o valor do segundo fluxo de Caixa (CF2, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 2) Digite Valor do terceiro fluxo de caixa Tecle g cfj Informa à calculadora que o é o valor do erceiro fluxo de Caixa (CF3, Cash Flow, Fluxo de Caixa no ano 3) Tecle f IRR Solicita à calculadora que informe o valor da TIR (IRR, Internal Rate of Return, Taxa Interna de Retorno em inglês) Resultado no display 27,95. Observação: O método da TIR considera que os fluxos de caixa são reinvestidos a uma taxa igual à TIR do projeto. Para projetos convencionais, a Taxa Interna de Retorno (TIR) e o Valor Presente Líquido (VPL) vão sempre gerar as mesmas decisões de aceitar-rejeitar um projeto, mas existem alguns casos em que esses métodos podem levar a diferentes classificações Veja a seguir. Casos em que não é desejável a utilização do método da Taxa Interna de Retorno: MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 76

77 1) Fluxos de caixa não convencionais Projetos com fluxos de caixa com mais de uma inversão de sinal podem gerar tantas taxas internas de retorno quantas forem as mudanças de sinal dos fluxos de caixa. Exemplo Seja um projeto com o seguinte fluxo de caixa: Cálculo da TIR: 0 = _ (1 + i) 1 (1 + i) 2 Resposta: Teremos uma equação de segundo grau que terá duas raízes para a variável i, fornecendo dois valores de TIR TIR = 25% ou TIR = 33,33% VEJA QUE DILEMA: Se o custo de capital fosse 30%, qual seria a decisão do administrador? A dedução direta da TIR só é plenamente confiável quando os fluxos do projeto apresentam apenas uma direção (uma saída financeira inicial e posteriormente apenas entradas financeiras). Nos casos onde haja inversão do fluxo (entradas e saídas alternadas), poderemos ter mais do que uma TIR. Dada à complexidade dessas análises, sugere-se que na ocorrência de inversões no fluxo de caixa do projeto, este MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 77

78 critério seja substituído por outro de aplicação mais simples e precisa, como o VPL. 2) Problemas de Escala Projetos de escalas muito diferentes podem levar a tomadas de decisões erradas se forem baseadas na TIR. Exemplo Uma empresa adquiriu os direitos sobre um filme e está em dúvida se produz esse filme com uma verba grande ou pequena. Os fluxos de caixa estimados são: Fx. Cx._0 Fx. Cx._1 TIR VPL a 25% Verba Pequena -$10 +$40 300% +$22 Verba Grande -$25 +$65 160% +$27 Baseados apenas pelo critério da TIR, a opção seria produzir o filme com uma verba pequena, porém, ao se analisar pelo método do VPL a opção seria a utilização de uma verba grande. Se seguir o critério da TIR, terá a satisfação de obter uma taxa de rentabilidade de 300%; se seguir o critério VPL, ficará $27 mais rico. Uma maneira de se resolver esse problema da TIR é através da análise dos fluxos incrementais. Fluxos Incrementais (Vb. Grande - Vb. Pequena) Fx. Cx._0 Fx. Cx._1 TIR VPL a 25% Diferença dos Fls. Cx. -$15 +$25 66,67% +$5 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 78

79 A TIR incremental do investimento é de 66,67%, o que também excede os 25% do custo de capital utilizado. Desta forma, deve-se preferir produzir o filme com uma verba grande. A menos que se analise o investimento incremental, a TIR não é um critério em que se possa confiar para ordenar projetos de diferentes grandezas. 3) Projetos do tipo financiamento Projetos em que a entrada de capital ocorre na data zero e o desembolso ocorre em uma data futura. Em projetos desse tipo a regra se geral da TIR se inverte. Deve-se aceitar fazer o investimento quando o custo de capital for superior à TIR. Exemplo: Uma empresa promotora de eventos recebe o valor de R$ para produzir uma festa. Os desembolsos serão efetuados ao final de um período e totalizam $ Esse projeto é vantajoso para a empresa, considerando um custo de capital de 10%? TIR do projeto = 30% VLP 10% = - $18 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 79

80 Esse projeto não é vantajoso para a empresa (VPL negativo), porém se analisado pela TIR, da forma tradicional, chegar-se-ia à decisão de aceitar o projeto (TIR > custo capital). Observação: O VPL é visto como a melhor abordagem para a análise de projetos. Sua superioridade teórica se deve a um certo número de fatores. O mais importante é que o uso de VPL presume implicitamente que quaisquer fluxos de entrada de caixa intermediários gerados por um investimento são reinvestidos ao custo de capital da empresa. O uso da TIR presume reinvestimento com as taxas muitas vezes altas especificadas pela TIR. Tendo em vista que o custo de capital tende a ser uma estimativa razoável da taxa com a qual a empresa poderia reinvestir realmente fluxos de entrada de caixa intermediários, o uso do VPL com sua taxa de reinvestimento mais realista e conservadora é preferível na teoria. Além disso, conforme visto, existem alguns casos em que a TIR deve ser utilizada de forma cuidadosa, de modo a se evitar erros de aceitação-rejeição de projetos. Aprenda Mais Conheça a Ferramenta de EVEF so SEBRAE. Leia a Análise da viabilidade econômico-financeira de projeto de piscicultura. Leia a Análise de viabilidade econômico-financeira de uma unidade de processamento de frutas de Paula Moreira Nardelli e Marcelo Alvaro da Silva Macedo. Leia a Análise da viabilidade da implantação de projetos de automação em pequenas empresas como alternativa a MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 80

81 modernização: um estudo de caso em uma microempresa do ramo supermercadista. Leia a pesquisa de Antonio Carlos Sanguino sobre Custos de implantação e rentabilidade econômica de povoamentos florestais com teca no estado do Pará. Leia o artigo A importância da indústria de terceirização de frota para geração de valor em negócios de Fernando Cesar Romao e Marco Aurelio Cabral Pinto. Leia o artigo Resumo sobre Métodos de Análise de Investimentos por Marcelo Mesquita Leia o artigo Método para análise de investimentos: alternativa para classificação de projetos com prazo e volume de recursos diferentes de Alexandre Lerch Franco e Oscar Claudino Galli. Leia o artigo Estudo da Viabilidade de Investimentos em uma Franquia de Ensino Profissionalizante de Pablo Luiz Martins. Leia o artigo Seleção de projetos de licitação pública através da aplicação de técnicas de orçamento de capital em obras de construção civil de Elisane Pagno, Juliana Andréia Rüdell Boligon, Flaviani Souto Bolzan Medeiros e Élio Sérgio Denardin. Exercícios de fixação Questão 1 O diretor de uma empresa precisa conhecer o resultado da avaliação de um novo investimento que, segundo suas estimativas, vai gerar os seguintes fluxos de caixa anual: $70.000; $60.000; $50.000; $40.000; $30.000; MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 81

82 $20.000; $ O investimento será de $ e ele trabalha com uma taxa mínima de atratividade (TMA) de 15% ao ano. É INCORRETO afirmar que: a) A taxa interna de retorno (TIR) do projeto está entre 17% aa e 18% aa. b) O projeto é inviável para valores de TMA inferiores a 15% aa. c) O projeto será viável sempre que a TMA for inferior à TIR. d) O projeto é viável, mas seu valor presente líquido (VPL) é inferior $ ,00. e) Par uma TMA de 20% aa o projeto seria inviável. Questão 2 A empresa Alfa precisa avaliar um novo negócio com investimento inicial de $ e vida útil de 3 anos. Ela tem as seguintes estimativas para o fluxo de caixa anual: $20.000; $35.000; $ A taxa mínima de atratividade (TMA) é de 15% ao ano. Pode-se afirmar que: a) A taxa interna de retorno (TIR) do projeto está entre 13%aa e 14%aa. b) O valor presente líquido (VPL) do projeto é positivo para uma TMA de 15%aa. c) O projeto é inviável, pois a TIR é inferior à TMA de 15% aa. d) O projeto é atrativo se a TMA for igual a 11% aa. e) O período de retorno do projeto é superior a três anos. Questão 3 Em relação ao exercício anterior, qual o valor máximo para o investimento inicial que torna o projeto viável? a) $ ,30 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 82

83 b) $ ,03 c) $ ,81 d) $ ,14 e) $ ,97 Questão 4 Considere um projeto de investimento financeiramente viável. Neste caso, o valor presente líquido de seus fluxos da data zero é: a) Igual ao payback descontado. b) Menor que zero. c) Igual a seu valor futuro descontado. d) Maior que seu valor futuro descontado. e) Maior ou igual a zero. Questão 5 Uma empresa deverá escolher um entre dois projetos X e Y, mutuamente excludentes, que apresentam os seguintes fluxos de caixa: Ano Projeto X Projeto Y 0 -D -R$ ,00 1 R$ ,00 R$ ,00 2 R$ ,00 R$ ,00 A taxa mínima de atratividade é de 8% ao ano (capitalização anual) e verificase que os valores presentes líquidos referentes aos dois projetos são iguais. Então, o desembolso D referente ao projeto X é igual a: a) R$ 5.000,00 b) R$ ,00 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 83

84 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 Referências GITMAN, L., Princípios de Administração Financeira, 2ª Ed., Bookman, 2000 SAMANEZ, C. P. Matemática Financeira: Aplicações à análise de Investimentos. São Paulo: Prenticce-Hall, 2006 MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 84

85 Aula 4: Uso da calculadora HP 12C Introdução Nesta aula iremos conhecer particularidades operacionais de uma das mais importantes ferramentas para auxílio nos cálculos financeiros, a calculadora eletrônica financeira HP12C. Veremos que esta calculadora tem as principais funções e fórmulas financeiras residentes em sua memória. A ideia de seu fabricante foi facilitar e agilizar os cálculos, bastando seguir uma sequência de operações simples que se limita apenas a informar à calculadora os dados de um problema e ela faz as contas de forma mais automática. Uma vez aprendido, sua operação é muito fácil e simples. No entanto, de nada adianta ter uma calculadora dessas em mãos se não tivermos o conhecimento prévio do que foi estudado nas aulas anteriores a esta em nossa disciplina. Objetivos: Utilizar a calculadora HP 12C para cálculo de operações básicas de juros compostos Utilizar a calculadora HP 12C para resolver problemas de sistemas de amortização de dívidas pelo sistema PRICE Utilizar a calculadora HP 12C para resolver problemas de análise de viabilidade financeira de projetos por meio do cálculo do Valor Presente Líquido (VPL) e da Taxa Interna de Retorno (TIR) Conteúdo Introduçao Nossa aula não tem a finalidade de ser um manual de uso da calculadora financeira HP12C. Na Internet você poderá acessar inúmeros sites com manuais e vídeos contendo instruções e exemplos em seus mais diferentes níveis. Se é a primeira vez que você está tendo contato com a calculadora HP12C, o primeiro passo é você ter a sua disposição uma calculadora. Hoje em MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 85

86 dia você já tem a possibilidade de obter e você nunca m esses manuais e instruções de utilização da calculadora Vamos visualizar a calculadora HP12C e explorar os principais botões? n - Representa o período em anos, meses, dias, etc. i - Representa a taxa de juros em anos, meses, dias, etc. PV - Representa o Valor Presente (Capital Principal) na função branca, o Investimento na função azul e o VPL na função laranja PMT - Representa o Valor das Prestações (valores iguais) no sistema PRICE na função branca e o valor das parcelas (valores diferentes) na função azul FV - Representa o Valor Futuro (Montante) na função branca e a TIR na função laranja CHS - Muda o sinal de positivo para negativo e vice-versa y x - Eleva ao expoente (realiza operações com exponencial) CLx - Apaga o visor, mas não apaga a memória ON - LIGA e DESLIGA f - Ativa as funções laranja (acima das teclas) como, por exemplo, NPV. OBS.: NPV significa VPL. g - Ativa as funções azuis (na parte inferior das teclas) como, por exemplo, CFO. OBS.: CFO significa Investimento na data zero. ENTER - É utilizada para processar os dados digitados X - + Operadores matemáticos MATEMÁTICA FINANCEIRA - APOSTILA 86