GEOMETRIA ANALÍTICA Respostas da 10 a Lista de exercícios. a) x 2 = 8y b) y 2 = 8x c) x 2 = 12y. d) y 2 = 12x e) x 2 = 4y f) 3x 2 + 4y = 0

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERICANA Instituto Latino-Americano de Ciências da Vida e Da Natureza Centro Interdisciplinar de Ciências da Natureza 1. GEOMETRIA ANALÍTICA Respostas da 10 a Lista de exercícios a) x 2 = 8y b) y 2 = 8x c) x 2 = 12y d) y 2 = 12x e) x 2 = 4y f) 3x 2 + 4y = 0 g) x 2 + 4x + 8y 20 = 0 h) y 2 + 2y 12x + 25 = 0 i) y 2 2y 32x = 0 j) 4y 2 25x = 0 k) x 2 + 8x + 8y 8 = 0 l) x 2) 2 = 8y 1) m) x 6) 2 = 12y 1) n) y + 1) 2 = 7 x 5 ) 4 o) x 1) 2 = y 3) p) y = 1 3 x x q) y = 1 2 x2 3 2 x + 1 r) x = 1 4 y2 + 2y 6 2. a) V = 0, 0), F = 0, 3), L d : y = 3 e L f : x = 0. b) V = 0, 0), F = 25, 0), L d : x = 25 e L f : y = 0. c) V = 0, 0), F = 0, 5 ), L d : y = e L f : x = 0. ) 1 d) V = 0, 0), F = 4, 0, L d : x = 1 4 e L f : y = 0. e) V = 0, 0), F = 34 ), 0, L d : x = 3 4 e L f : y = 0. f) V = 2, 1), F = 2, 3), L d : y = 1 e L f : x = 2. g) V = 1, 2), F = 1, 3), L d : y = 7 e L f : x = 1. h) V = 3, 2), F = 1, 2), L d : x = 7 e L f : y = 2. i) V = 2, 1), F = 2, 1), L d : x = 6 e L f : y = 1. j) V = 3, 1), F = 7, 1), L d : x = 1 e L f : y = 1. k) V = 1, 0), F = 2, 0), L d : x = 4 e L f : y = 0. l) V = 2, 2), F = 2, 7 ), L d : y = e L f : x = 2. m) V = 0, 6), F = 0, 9), L d : y = 3 e L f : x = 0. n) V = 2, 4), F = 2, 15 ), L d : 4y 17 = 0 e L f : x 2 = 0. ) 1 o) V = 8, 2, F = , 3 ), L d : 8x + 15 = 0 e L f : y 3 = Seja P = {x, y) R 2 ; y 2 = 4px} e seja L = {x 1, y 1 ) + tm, n); t R} a única reta tangente à parábola P no ponto P = x 1, y 1 ) P. Como L não é paralela à reta focal eixo X), temos que n 0. Além disso, r \ P consiste apenas do ponto P, ou seja, a equação do segundo grau y 1 + nt) 2 = 4px 1 + mt) n 2 t 2 + 2y 1 nt + y 2 1 = 4px 1 + 4pmt n 2 t 2 + 2y 1 n 4pm)t + y 2 1 4px 1 ) = 0 n 2 t 2 + 2y 1 n 4pm)t = 0 t [ n 2 t + 2y 1 n 4pm) ] = 0 1

2 possui uma única solução t = 0, que corresponde a P = x 1, y 1 ). Portanto, 2y 1 n 4pm = 0. Logo, m, n) 2p, y 1 ). Se x 1 = 0, então y 1 = 0, pois y 2 1 = 4px 1. Nesse caso, m, n) 2p, 0), isto é, a reta L passa pela origem e é perpendicular ao eixo X. Logo L : x = 0. Se x 1 0, temos y 1 0 e 2p = y2 1 2x 2. 1 y 2 Nesse caso, m, n) 1 2x 2, y 1 ), ou seja, m, n) y 1, 2x 1 ). Logo, 1 já que P = x 1, y 1 ) L. L : y 1 x 2x 1 y = x 1 y 1, 4. As retas tangentes à parábola que passam pelo ponto 5, 6) são L 1 : y = x 5 x + 5 e L 2 : y = x A reta tangente à parábola de inclinação 1 é L : y = x A reta tangente à parábola perpendicular S é L : 3y + x = A reta tangente à parábola paralela à reta S é L : x 2y 1 = 0. 2

3 8. As retas tangentes à parábola traçadas desde o ponto 3, 3) são L 1 : 2x + y 3 = 0 e L 2 : 2x 3y 15 = As retas tangentes à parábola traçadas desde o ponto 4, 1) são L 1 : 2x + y 9 = 0 e L 2 : 2x 3y 5 = O lugar geométrico é uma circunferência C : x 8 ) 2 + y 2 =

4 11. O ângulo entre as parábolas é formado pelo ângulo que determinam as retas tangentes a cada parábola. A reta tangente à parábola y 2 = 4x + 4 é L : 2y x = 5 e a reta tangente à parábola y 2 = 64 16x é S : y + 2x = 10. O ângulo entre L e S é π A equação da circunferência é C : x 2 + y 2 5x = A equação da circunferência é A reta diretriz L d ; y = 4. C : x + 1) 2 + y 4) 2 = 25. 4

5 14. As retas tangentes à parábola traçadas desde o ponto 1, 1) são L 1 : 2y + x 3 = 0 e L 2 : 6y x 5 = 0. ) 8 O ângulo entre estas retas é arctan a) Quando t, 8 a reta corta em dois pontos distintas à parábola. b) Quando t = 8 a reta é tangente à parábola. c) Quando t 8, a reta não corta à parábola. 16. A equação da elipse é E : 2x 2 + y 2 = 8. 5

6 17. A equação da elipse é E : x 6) 2 + 4y + 3) 2 = A equação da hipérbole é H : 72y 2) 2 9x 3) 2 = A equação da hipérbole é H : 244x + 3y) 2 4y 3x) 2 = A soma das áreas é df rac732 unidades quadradas. 6

7 21. A equação vetorial parábola é P = {x, y) R 2 ; x, y) = 7, 4) + x 1, 1) + y 1, 1), y ) 2 = 12 } 2x O valore de c = 6 e d = 5. A equação da parábola é P : x 2y + 16) 2 / = 4 2x + y + 7). e da diretriz é L d : 2x + y + 12 = A equação da parábola é } P = {x, y) R 2 ; x, y) = 17, 1) + x y 3, 4) , 3), com y ) 2 = 20x. O ponto R é igual a 21, 29). 7

8 24. Equação da parábola com equação: P : x 2 + ax + by + c = 0 a) Como A = 2, 19), B = 3, 4) e C = 5, 26) P temos que a = 5 2, b = 1 2 e c = 1 2. Assim a equação é P : 2x 2 5x y + 1 = 0. b) Não existe parábola passando por estos pontos A = 2, 19), B = 3, 4) e C = 5, 26). 25. A equação da parábola é P : 4x 2 4xy + y 2 20x 40y = O vértice é A = 1 5, 1 ) e a equação dá parábola P : x 2 4xy + 4y 2 + 4x + 2y 1 =

9 27. k <, 1 >, a equação representa uma hipérbole de centro k, 0) e reta focal coincidente com o eixo X. k = 1, a equação representa o par de retas concorrentes y = ±2x 1) que passam pelo ponto 1, 0). k < 1, 0 >, a equação representa uma hipérbole de centro k, 0) e reta focal: x = k paralela ao eixo Y. k = 0, a equação representa o conjunto vazio. k < 0, 6 >, a equação representa o conjunto vazio. k = 6, a equação representa o ponto 6, 0). k < 6, + >, a equação representa uma elipse de centro k, 0) e reta focal coincidente com o eixo X. 28. λ <, 1 >, a equação representa uma hipérbole de centro λ, 1) e reta focal: y = 1 paralela ao eixo X. λ = 1, a equação representa o par de retas concorrentes y + 1 = ±x + 1) que se cortam no ponto 1, 1). λ < 1, 2 >, a equação representa uma hipérbole de centro λ, 1) e reta focal: y = 1 paralela ao eixo X. λ = 2, a equação representa o par de retas x + 2 = ±1, ou seja, x = 3 e x = 1, paralelas ao eixo Y. λ < 2, + >, a equação, que se escreve também na forma representa: x + λ) 2 y + 1)2 + λ 1) 2 λ 1) 2 λ 2 uma circunferência de centro 3, 1) e raio 2, se λ = 3. uma elipse de centro λ, 1) e reta focal: x = λ, paralela ao eixo Y, se λ < 2, 3 >. uma elipse de centro λ, 1) e reta focal: y = 1 paralela ao eixo X, se λ < 3, + >. = 1 Foz de Iguaçu, 09 de junho de 2015 Víctor Arturo Martínez León 9