A evolução do caderno. matemática. 6 o ano ENSINO FUNDAMENTAL

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1 A evolução do caderno matemática 6 o ano ENSINO FUNDAMENTAL a edição são paulo 0

2 Coleção Caderno do Futuro Matemática IBEP, 0 Diretor superintendente Jorge Yunes Gerente editorial Célia de Assis Editor Mizue Jyo Assistente editorial Edson Rodrigues Revisão André Odashima Maria Inez de Souza Coordenadora de arte Karina Monteiro Assistente de arte Marilia Vilela Nane Carvalho Carla Almeida Freire Coordenadora de iconografia Maria do Céu Pires Passuello Assistente de iconografia Adriana Neves Wilson de Castilho Produção gráfica José Antônio Ferraz Assistente de produção gráfica Eliane M. M. Ferreira Projeto gráfico Departamento de Arte Ibep Capa Departamento de Arte Ibep Editoração eletrônica N-Publicações CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ S58m. ed Silva, Jorge Daniel Matemática, 6º ano / Jorge Daniel da Silva, Valter dos Santos Fernandes, Orlando Donisete Mabelini. -. ed. - São Paulo : IBEP, 0. il. ; 8 cm (Caderno do futuro) ISBN (aluno) (professor). Matemática (Ensino fundamental) - Estudo e ensino. I. Fernandes, Valter dos Santos. II. Mabelini, Orlando Donisete. III. Título. IV. Série CDD: 7.7 CDU: 7..06: a edição São Paulo 0 Todos os direitos reservados. Av. Alexandre Mackenzie, 69 Jaguaré São Paulo SP Brasil Tel.: () editoras@ibep-nacional.com.br

3 sumário Noções básicas de astronomia capítulo Números Naturais Noções básicas de astronomia capítulo 5 frações. Sequências...4. Conjunto dos números naturais (N)...6. Sucessor e antecessor Relação de ordem Representação de um número natural na reta numérica Sistema de numeração decimal...0 Noções capítulo básicas de operações astronomia fundamentais com Números Naturais. Adição...4. Subtração...8. Multiplicação Divisão Expressões numéricas...5. A ideia de fração e sua representação Tipos de frações Frações equivalentes Simplificação de frações Comparação de frações Adição e subtração de frações Multiplicação, divisão e potenciação de frações Expressões fracionárias Problemas com frações...8 Noções básicas de astronomia capítulo 6 Números decimais. Frações decimais Operações com números decimais...9. Dízimas periódicas...97 Noções básicas de astronomia capítulo potenciação e radiciação. Potenciação...7. Radiciação...4 Noções capítulo básicas 4 de múltiplos astronomia e divisores de Números Naturais. Múltiplos Divisores Critérios de divisibilidade Números primos Máximo divisor comum (mdc) Mínimo múltiplo comum (mmc)...64 Noções básicas de astronomia capítulo 7 Noções de Geometria. Curvas abertas e curvas fechadas...0. Ponto, reta, plano...0. Reta, segmento de reta e semirreta Perímetro Área...06 Noções básicas de astronomia capítulo 8 medidas. Medidas de comprimento.... Noção de área.... Volume, capacidade e massa Medidas de massa...8

4 . sequências capítulo Números Naturais Sequência é uma lista ordenada de números ou figuras, em que há um padrão que indica como os elementos vão se suceder. Exemplos Sequência dos números naturais: 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8,... Sequência dos números naturais ímpares:,, 5, 7, 9,,, 5, 7,... Sequência das estações do ano: Primavera, verão, outono, inverno, primavera, verão, outono,... Sequência dos meses do ano: Janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro, dezembro, janeiro, fevereiro,... Esta é uma sequência de figuras.. Descubra qual é o próximo elemento de cada sequência. a) 7 laranjas b) balão azul c) círculo laranja d) 4 seta verde para cima

5 e) seta verde para a direita f) seta verde para a direita g) coração preto h) coração vermelho i) trevo verde j) coração vermelho. Complete as lacunas das sequências numéricas a seguir. a) b) c) d)

6 . conjunto dos números naturais (N) O conjunto formado pelos elementos {0,,,,4,5,...} é chamado de conjunto dos números naturais, e é representado pela letra N. N = {0,,,,4,5...} N* representa o conjunto dos números naturais não nulos, ou seja, sem o número zero. N* = {,,,4,5,...}. Complete as sentenças. a) N = {0,,,,...} é o conjunto dos números naturais. b) N* = {,,,...} é o conjunto dos números naturais sem o zero. c) o número 5 pertence ao conjunto dos números naturais.. sucessor e antecessor Sucessor Todo número natural tem um número que vem depois dele, chamado de sucessor. Exemplos: O sucessor de 5 é 6. O sucessor de 9 é 0. O sucessor de 7 é 8. Note que o sucessor de um número natural n é dado por n +. Antecessor Com exceção do zero, todo número natural também tem um número que vem antes dele, chamado de antecessor. Exemplos: O antecessor de 6 é 5. O antecessor de 4 é. O antecessor de 9 é 8. Note que o antecessor de um número natural n é dado por n. 4. Complete as sentenças. a) Todo número natural tem um sucessor. b) O zero não é sucessor de nenhum número natural. 6

7 c) O sucessor de 45 é 45 + = 46. d) O sucessor de 7 é 7 + = 8. e) O sucessor de 0 é 0 + =. f) O sucessor de é + =. g) O sucessor de 00 é 00 + = 0. h) Todo número natural, com exceção do zero, tem um antecessor. 6. As letras apresentadas nesta atividade representam números naturais. Complete as sentenças com o valor que cada letra representa. a) Se a é o sucessor de 7, então a = 8. b) Se b é o sucessor de 5, então b = 6. c) Se n é o sucessor de 0, então n =. d) Se x é o antecessor de 5, então x = 4. i) O antecessor de 6 é 6 = 5. j) O antecessor de 88 é 88 = 87. k) O antecessor de 40 é 40 = 9. l) O antecessor de 00 é 00 = Escreva V (verdadeiro) ou F (falso). a) O conjunto N é infinito. V b) O zero pertence ao conjunto N*. F e) Se m é o antecessor de 9, então m = 8. f) Se p é o sucessor de q e q = 0, então p =. g) Se s é o sucessor de r e r = 5, então s = 6. h) Se i é o antecessor de j e j = 0, então i = 9. c) O zero é o menor número natural. V d) O sucessor do número 9 é o 0. V e) O antecessor de 4 é o número. V i) Se p é o antecessor de q e q = 7, então p = 6. j) Se b é o sucessor de a, e (a + b) = 5, então os números a e b valem 7 e 8. f) O antecessor do 0 é o número. F g) O zero não possui antecessor. V 7

8 4. relação de ordem i) 0 é diferente de + y: 0 + y. A passagem de uma sentença da linguagem comum (escrita) para a linguagem matemática pode ser feita de acordo com os exemplos: 7 é maior que (linguagem comum) 7 > (linguagem matemática) é menor que 9 (linguagem comum) < 9 (linguagem matemática) 0 é diferente de 7 (linguagem comum) 0 7 (linguagem matemática) j) x + é igual a : x + =. 8. Complete com os símbolos > (maior) ou < (menor). a) 5 > b) > 0 c) 5 < 8 7. As letras apresentadas nesta atividade representam números naturais. Passe da linguagem comum para a linguagem matemática. a) 5 é maior que : 5 >. b) 0 é menor que : 0 <. d) < e) 0 < f) 7 > 5. representação de um número natural na reta numérica c) b é diferente de 7: b 7. d) a é maior que b: a > b e) 8 é diferente de 9: 8 9. f) x + é maior que x: x + > x. g) a + b é igual a b + a: a + b = b + a. 9. Faça o que se pede: a) Complete as lacunas na reta numérica h) é igual a x: = x. 8

9 b) Na reta numérica abaixo, o valor de k é 6 e o valor de p é k 7 p Complete as sentenças com as seguintes palavras: antecessor sucessor maior menor a) Na reta numérica, qualquer número é menor do que aquele que está à sua direita. b) Na reta numerada, qualquer número a partir do é maior do que aquele que está à sua esquerda. c) Na reta numérica, o número à direita de outro é seu sucessor. d) Na reta numérica, o número à esquerda de outro é seu antecessor. 9

10 6. Sistema de numeração decimal No sistema de numeração decimal, os algarismos 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 são utilizados para representar qualquer quantidade. Por exemplo: Nesse sistema, a ordem de qualquer algarismo situado à esquerda de outro tem um valor dez vezes maior. Ordens e classe As casas das unidades, dezenas e centenas chamam-se ordens, e a cada três ordens, da direita para a esquerda, tem-se uma classe, como mostra o quadro. Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades 9 a ordem 8 a ordem 7 a ordem 6 a ordem 5 a ordem 4 a ordem a ordem a ordem a ordem C D U C D U C D U Complete: a) = 0 + b) 78 = c) 7 = d) 408 = e) 74 = a) a ordem a ordem a ordem 4 a ordem f) 05 = Escreva as ordens, conforme o exemplo: 7 9 b) a ordem a ordem a ordem 4 a ordem 0 a ordem a ordem a ordem 4 a ordem 5 a ordem 6 a ordem

11 . O número lê-se: novecentos e vinte e cinco milhões, quatrocentos e 5. Escreva os números abaixo na linguagem comum. a) 04: três mil e quarenta e dois vinte e sete mil e seiscentas e trinta e duas unidades. 4. Em 8.76: b) 5 789: quinze mil, setecentos e oitenta e nove o 6 ocupa a a ordem e a classe das unidades o ocupa a a ordem e a classe das unidades c) 75 50: setecentos e cinquenta e dois mil e quinhentos e vinte o 7 ocupa a a ordem e a classe das unidades d) : oito milhões, trezentos e setenta e cinco mil e seiscentos o 8 ocupa a 4 a ordem e a classe dos milhares O número 8.76 lê-se: oito mil, setecentas e vinte e seis unidades e) : cinco bilhões, setecentos e trinta e dois milhões, oitocentos e cinquenta e seis mil e setecentos e noventa e um

12 Valor absoluto e valor relativo de um número Valor absoluto de um algarismo não depende da sua posição no número, é o valor que ele representa quando considerado sozinho. Valor relativo de um algarismo depende da sua posição no número, é o valor que representa conforme a sua posição. Corresponde a seu valor posicional. 6. No número 758 9, temos: a) O valor absoluto do algarismo é. 7. Complete as lacunas. a) Em 468 o algarismo que ocupa a a ordem é o 4. b) Em 456 a ordem do algarismo 4 tem valor dez vezes maior do que a ordem do algarismo 5. c) Em 68 5 a ordem do algarismo 8 tem valor dez vezes menor do que a ordem do algarismo 6. b) O valor relativo do algarismo é 0. c) O valor absoluto do algarismo 9 é 9. d) Em 8 65 o algarismo que tem o valor absoluto igual ao valor relativo é o 5. d) O valor relativo do algarismo 9 é 9. e) O valor relativo do algarismo 8 é No número : a) O valor relativo de 7 é f) O valor relativo do algarismo b) O valor relativo de 5 é é g) O valor relativo do algarismo é 00. c) O valor relativo de é d) O valor absoluto do algarismo 7 é 7. h) O valor relativo do algarismo 5 é e) O valor relativo do algarismo 4 é 400.

13 9. Observe o exemplo: 7 80 = Decomponha os seguintes números:

14 . adição Capítulo operações fundamentais Com números naturais c) Em a + b = c, a operação chama-se adição e o resultado é Ideias associadas à adição: juntar quantidades e acrescentar uma quantidade a outra. Seus elementos são chamados de soma e parcela. 5 parcela + 4 parcela 9 soma. Na operação + 7 = 9, responda: a) Qual é o nome da operação? adição b) Como se chamam os números e 7? parcelas c) Como se chama o resultado da operação chamado de soma. d) Em =, o número é chamado soma e a operação chama-se adição. e) Em 7 + = 0, a operação chama-se adição. f) Em =, as parcelas são os números 4 e 7, a soma é o número e a operação chama-se adição, indicada pelo sinal +. adição? soma. Complete as lacunas com o número que. Complete as sentenças. a) Na operação 9 + = 0 os números 9 e chamam-se parcelas e o número 0 chama-se soma. b) Na operação 0 + =, os números 0 e chamam-se parcelas e chama-se soma. torna as igualdades verdadeiras. a) + = 5 b) 5 + = 8 c) 9 + = 0 d) = 0 e) = 5 4 f) = 9

15 g) + = 45 e) Adição é o nome da operação. V h) = 50 f) O sinal que indica a adição é. F i) = 0 Propriedades da adição j) 7 + = 0 k) = 5 l) + 5 = 7 m) 8 + = 50 n) = 00 o) = 90 Comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma. Exemplo: + = + Elemento neutro: O zero é o elemento neutro da adição. Exemplo: = 5 Associativa: Na adição de três ou mais números naturais, pode-se associar suas parcelas que o resultado não se alterará. Exemplo: (4 + ) + = 4 + ( + ) Fechamento: Na adição de dois ou mais números naturais o valor da soma será sempre um número natural. p) 99 + = Para a igualdade = 9, determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ( V ) ou falsas ( F ). a) Os números 5 e 4 são chamados de parcelas. V b) O número 9 é chamado de adição. F c) O número 9 chama-se soma. V 5. Complete as sentenças abaixo. a) A ordem das parcelas não altera a soma. b) Na adição de números naturais valem as propriedades associativa, comutativa, de fechamento e de elemento neutro. c) O zero somado a um número não altera esse número. d) A operação chama-se soma. F d) Na adição o zero é o elemento neutro. 5

16 6. Complete as sentenças abaixo de modo que as igualdades sejam verdadeiras. a) (4 + ) + = 9 8. Com base na propriedade associativa da adição, complete as igualdades. a) 5 + ( + ) = ( 5 + ) + b) 4 + ( + ) = 9 b) 7 + (6 + 4) = (7 + 6) + 4 c) (4 + ) + = 4 + ( + ) c) + ( + 5) = ( + ) + 5 d) 9 + = + 9 d) 8 + (9 + ) = ( 8 + 9) + e) = e) 5 + ( + ) = (5 + ) + f) (4 + 0) + = 6 f) a + (b + c) = ( a + b ) + c 7. Com base na propriedade comutativa da adição, complete as igualdades. a) 9 + = + 9 g) (5 + ) + 7 = 5 + ( + 7 ) h) m + (n + ) = ( m + n ) + b) + 6 = 6 + c) 0 + = + 0 d) = Indique com C a propriedade comutativa, com A a propriedade associativa, com E a propriedade de elemento neutro e com F a propriedade de fechamento. e) + 8 = 8 + f) 4 + = + 4 a) A Na adição de três números naturais, podemos agrupar as duas primeiras ou as duas últimas parcelas. g) + a = a + b) E O zero adicionado a um número em qualquer ordem não altera esse número. 6

17 c) C A ordem das parcelas não altera a soma. d) F Na adição de cinco números naturais o valor da soma será um número natural. 0. As letras nesta atividade representam números naturais. Complete com o valor de cada letra. a) Se x + 4 = 7, então o valor de x é. x + 4 = = 7 logo, x = b) Se = a, então o valor de a é = a = 4 a = 4. Complete as lacunas das sentenças. d) Em + 4 = 7, se adicionarmos a uma das parcelas e a outra, o valor da nova soma será igual a. ( + ) + (4 + ) = e) O elemento neutro da adição é o número a) b) zero.. Complete as adições. a) Na igualdade + 7 = 0, o número 0 é chamado de soma. c) b) Na igualdade + 5 = 5 +, foi aplicada a propriedade comutativa. c) Em 5 + = 8, se adicionarmos a uma das parcelas, o valor da nova soma será igual a 0. (5 + ) = 0 ou 5 + ( + ) = 0 d) e) f)

18 g) h) i) subtração Ideias associadas à subtração: tirar uma quantidade de outra, comparar quantidades e completar quantidades. É a operação inversa da adição. Seus elementos são chamados minuendo, subtraendo e diferença. 0 minuendo 6 subtraendo 4 diferença ou resto. Na operação 7 6 =, responda: j) a) Qual é o nome da operação? Subtração k) l) b) Como é chamado o número 7? Minuendo c) Como é chamado número 6? Subtraendo d) Como é chamado o resultado da operação de subtração? m) Diferença ou resto 4. Complete as lacunas com o número ou o sinal que torna as igualdades n) verdadeiras. a) = 0 b) 5 0 =5 8

19 c) 57 = 56 d) = 0 e) = 4 f) 0 7 = g) 5 4 = h) 5 = 4 5. Complete as sentenças. a) Em 5 =, o número 5 é chamado de minuendo, o número de subtraendo e o é a diferença. b) Na subtração = 9, o número é chamado de minuendo, o é o subtraendo e o 9 é a diferença. c) Em 0 8 =, o 0 é o minuendo, 6. Para a igualdade 5 4 =, determine se as afi rmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). a) Os números 5 e 4 são chamados de subtração. F b) O número é chamado de diferença. V c) O número 5 chama-se minuendo. V d) A operação chama-se adição. F e) Subtração é o nome da operação. V f) O sinal que indica a subtração é. F g) O número 4 é chamado de subtraendo. V 7. Associe a coluna da esquerda com a coluna da direita. o 8 é o subtraendo e o é a diferença. a) parcelas e soma b subtração d) Na operação 8 = 5, o número 5 é a diferença, o 8 é o minuendo e o é o subtraendo. b) minuendo, subtraendo e diferença a adição e) Em a b = d, a operação chama-se subtração e o resultado chama-se diferença. 9

20 8. Complete as sentenças. Apresente a conta ou descreva o raciocínio que você utilizou: a) Numa subtração, o subtraendo é 7 e a diferença é 0. Então, o minuendo é o número = 0 b) A diferença entre dois números é e o minuendo é 9. Então, o subtraendo é o número = c) Se a diferença é zero e o subtraendo é 0, então o minuendo é o número = 0 d) Se o minuendo é 80 e o subtraendo é 0, o valor da diferença é = 70 g) Dois números somam 0 e um deles é 8. Então, o valor do outro corresponde ao número. 0 8 = h) Três números somam 80. Dois entre eles somam 5 e um desses é 8. Então, os números são: 4,8 e = = 8 Verificação: (4 + 8) + 8 = = 80 i) De um rolo de corda de 40 m, foram utilizados na primeira vez 6 m e na segunda vez 0 m a mais que na primeira. Então restam 8 m. 6 + (0 + 6) = 40 = 8 e) A diferença é 7 e o subtraendo é 9. Então, o valor do minuendo é = 7 f) Se o minuendo, o subtraendo e a diferença são iguais, o valor dos três corresponde ao número zero. 0 0 = 0 j) Três irmãos recebem mensalmente a seguinte quantia: o primeiro R$ 6000,00, o segundo R$ 000,00 a mais que o primeiro e o terceiro R$ 000,00 a mais que o segundo. Então, os três juntos recebem mensalmente R$ 000, ( ) + + ( ) = 000 0

21 Propriedades da subtração f) 7 ( ) = 7 = 6 Comutativa: A propriedade comutativa não é válida na subtração, pois a ordem dos seus elementos altera o resultado. Exemplo: Associativa: Na subtração não vale a propriedade associativa, pois ao associar seus elementos de maneiras distintas o resultado se altera. Exemplo: 7 ( ) (7 ) Fechamento: A subtração de dois números naturais nem sempre resulta um número natural, ou seja, a subtração não é fechada para os naturais. Exemplo: o resultado de 7 0 não pertence ao conjunto dos números naturais. Elemento neutro: Na subtração não existe elemento neutro. Exemplo: g) Se (7 ) 7 ( ), então, na subtração não vale a propriedade associativa. h) A subtração não possui as propriedades: comutativa, associativa, de fechamento e de elemento neutro. 0. Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). a) Na subtração vale a propriedade associativa. F 9. Complete as lacunas de modo que as igualdades sejam verdadeiras. b) Na subtração não vale a propriedade comutativa. V a) 7 = 5 b) Se 7 7, então, na subtração não vale a propriedade comutativa. c) O zero é o elemento neutro da subtração. F d) 5 0 é igual a 0 5. F c) 8 0 = 8 d) Se , então, a subtração não possui elemento neutro. e) (7 ) = 4 = e) Na subtração vale a propriedade de fechamento. F f) A subtração não possui elemento neutro. V

22 . Complete as subtrações. a) h) i) 8 0 b) c) j) d) k) e) l) f) m) g)

23 . Nestas subtrações, cada letra representa um mesmo número natural. Determine os valores de A, B, C em cada item. b) ( 5) + 4 = = = c) 0 (7 + ) = = 0 8 = a) A A A C B 7 A = 9 B = 6 C = 8 d) + ( + 5) = = + 7 = 7 b) C B 0 B A 5 0 A = 0 B = 8 C = 9 e) (0 ) + ( ) = = = 9 c) A B C 7 C A = 9 B = 7 C = 6 f) ( + 5) ( 4) = = 8 8 = 0. Observe os exemplos e resolva as expressões a seguir. g) + [ + (4 )] = = + [ + ] = = + 6 = 7 Exemplo A: = = 5 0 = 4 Exemplo B: 5 + (8 ) = = = Exemplo C: 5 + {0 + [ (8 + )]} 5 + {0 + [ 0]} 5 + {0 + } 5 + = 8 h) [5 ( + )] = = [5 5] = = 0 = i) 7 + [ + ( + 0) 0] = = 7 + [ + 0] = = = = = j) + [8 (5 + ) + ] = = + [8 6 + ] = = + [ + ] = + 5 = 7 a) 7 ( ) = = 7 = 5

24 k) 5 + (7 + ) 0 = = = 5. Multiplicação l) (8 ) + = = 7 + = 8 m) (6 + ) (5 + ) = = 9 8 = n) 7 (5 ) + = = 7 + = 7 A operação de multiplicação consiste em uma adição de parcelas iguais. Seus elementos são chamados de multiplicador, multiplicando e produto = 8 ou 6 = 8. 6 vezes 6 multiplicando multiplicador 8 produto 4. Na operação 4 7= 8, responda: o) 8 + [4 + (5 ) ] = = 8 + [4 + 4 ] = = = 4 a) Como é chamado o número 4? multiplicando p) 5 + {0 [8 (4 + )]} = = 5 + {0 [8 7]} = = = 4 b) Como é chamado o número 7? multiplicador q) {4 + [ ( )] + 7} = = {4 + [ ] + 7} = = = c) Como é chamado o número 8? produto 5. Complete as sentenças com as r) { + [5 ( + ) + 7]} = = { + [5 + 7]} = = { + 9} = s) 4 + [ ( + 5) + 9] = = 4 + [ 7 + 9] = = 4 + [5 + 9] = = = 8 palavras do quadro abaixo. multiplicador - multiplicando produto - multiplicação a) Na multiplicação 7 =, os números e 7 são chamados de multiplicando e multiplicador e o 8 é chamado 4 de produto.

25 b) Em 5 = 5, os números 5 e são chamados de multiplicando e multiplicador, e o número 5 é o produto. c) Em 0 = 0, a operação chama-se multiplicação. Para obter o resultado da multiplicação de 69 por 9 basta multiplicar o número 9 por cada algarismo que forma o número d) Em 8 = 4, os números 8 e são chamados multiplicando e multiplicador e o número 4 é o produto. 7. Desenvolva as multiplicações a seguir. a) Complete o quadro a seguir b) c)

26 d) Para a igualdade 7 4 = 8, determine se as afi rmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F). a) 7 é o minuendo e 4 o subtraendo. F b) O número 4 é o multiplicador. V e) c) O número 8 é a diferença. F d) A operação chama-se diferença. F e) A operação chama-se multiplicação. V f) O número 7 é o multiplicando. V g) O número 8 é o produto. V 8. Associe os elementos apresentados na coluna da esquerda com sua respectiva operação, apresentada na coluna da direita. a) parcelas e soma a adição b) minuendo e subtraendo c multiplicação c) produto e multiplicador b subtração 6

27 Propriedades da multiplicação g) 7 = 7 Comutativa: Na multiplicação de dois ou mais números naturais, a ordem dos fatores não altera o produto. Exemplo: = Elemento neutro: O número é o elemento neutro da multiplicação. Exemplo: 5 = 5 = 5 Associativa: Na multiplicação de três ou mais números naturais, pode-se associá-los de modos diferentes, que o resultado não se altera. Exemplo: (4 ) = 4 ( ) Distributiva: ( + 5) = + 5 = = Fechamento: Na multiplicação de dois ou mais números naturais o produto será sempre um número natural. h) 4 = 4. De acordo com a propriedade associativa da multiplicação, complete as lacunas de modo que as igualdades se tornem verdadeiras. a) (4 8) = ( 4 ) 8 b) 5 ( 9) = (5 ) 9 c) 8 ( ) = (8 ) d) 6 (5 ) = (6 5 ) 0. De acordo com a propriedade comutativa da multiplicação, complete as lacunas abaixo de modo que as igualdades tornem-se verdadeiras: a) = e) a (b c ) = (a b ) c f) 9 (a n) = ( 9 a) n g) 7 ( ) = ( 7 ) h) m (n p) = ( m n ) p b) 7 8 = 8 7 c) 4 5 = 5 4 d) a b = b a e) 8 9 = 9 8. De acordo com a propriedade distributiva da multiplicação, complete as lacunas de modo que as igualdades se tornem verdadeiras. a) 5 (8 + ) = f) 5 a = a 5 b) 9 (6 + ) =

28 c) 4 (8 + ) = d) ( + 7) = + 7 e) 5 (a + b) = 5 a + 5 b. Quanto aumenta ou diminui o valor do produto 5 8 se: a) Acrescentarmos ao 5? Aumenta 8: uma vez a mais o 8. b) Acrescentarmos ao 5? Aumenta 64: duas vezes a mais o 8 b) Quanto devo acrescentar ao para obter um resultado igual ao produto de 5? 48 Quatro vezes mais o, ou seja, = 60 (4 ) + = 60 c) Sabendo que uma caixa de leite contém unidades, quantas caixas devo comprar para obter 60 unidades? 5 5 = 60 c) Acrescentarmos ao 8? Aumenta 05: três vezes a mais o 5 d) Subtrairmos do 5? Diminui 8: uma vez a menos o 8 e) Subtrairmos do 8? Diminui 5: uma vez a menos o Apresente a solução dos problemas a seguir e explique os procedimentos que você utilizou. a) Quero multiplicar 5 por. Quanto devo acrescentar ao 5 para obter o mesmo resultado? 50 Duas vezes mais o 5, ou seja, = 75 ( 5) + 5 = Neste exercício, as letras representam números naturais. Complete as lacunas de modo que as sentenças sejam verdadeiras. a) Em k b = b k, a propriedade da multiplicação aplicada é a comutativa. b) Em uma multiplicação com dois números naturais, se um deles é 0, o valor do produto sempre será zero. c) O elemento neutro da multiplicação é o número. d) Se x =, então o valor de x é. 8 e) Se 5 x = 0, então o valor de x é zero.

29 f) Se x = 0, então o valor de x é 5. j) O quádruplo de 5 é 4 5 ou 0. g) Na expressão ( + x) = + x, foi aplicada a propriedade distributiva. h) O resultado da expressão 5 0 é zero. i) A expressão 5 (a + b) é equivalente à expressão 5a + 5b. k) O quádruplo de é 4 ou 8. l) O quádruplo de x é 4x. m) O dobro de a é a. n) O triplo de b é b. o) O quádruplo de c é 4c. Problemas com números naturais 6. O triplo de 4 é 4 ou. A partir desse exemplo, complete as lacunas das sentenças a seguir (as letras a tividade representam números naturais). a) O dobro de 7 é 7 ou Associe a coluna da esquerda com a da direita. a) O dobro de um número. b x b) O triplo de um número. a x c) O quádruplo de um número. d x + 5 d) Um número mais c 4x cinco unidades. b) O dobro de 5 é 5 ou 0. c) O dobro de é ou 6. d) O dobro de 4 é 4 ou 8. e) O dobro de x é x. Na linguagem comum dizemos, por exemplo, que o dobro de um número mais três unidades é igual a treze. Já na linguagem matemática, podemos escrever essa mesma afirmação da seguinte forma: x + =. f) O triplo de 5 é 5 ou 5. g) O triplo de 4 é 4 ou. h) O triplo de é ou Passe da linguagem comum para a linguagem matemática. a) O triplo de um número mais duas unidades é igual a. i) O triplo de x é x. x + = 9

30 b) O dobro de um número mais sete Cálculo de um número desconhecido unidades é igual a 7. x + 7 = 7 c) O dobro de um número menos cinco unidades é igual a. x 5 = d) O quádruplo de um número mais uma unidade é igual a 9. 4x + = 9 O dobro de um número é igual a 0. Que número é esse? Na linguagem matemática podemos escrever essa sentença da seguinte maneira: Se x = 0, quanto vale x? Vamos determinar o valor de x. x = 0 x = 0 x = 5 Resposta: O número procurado é Por meio da linguagem matemática, resolva os problemas. a) O dobro de um número é 4. Qual é esse e) Um número mais duas unidades é igual a 5. x + = 5 número? x = 4 x = 4 = Resposta: o número é. b) O triplo de um número é 5. Determine f) O dobro de um número mais o seu triplo é igual a 0. x + x = 0 esse número. x = 5 x = 5 ou x = 5 Resposta: o número é 5. c) O dobro da idade de uma pessoa é 0 g) Um décimo de anos. Quantos anos ela tem? x = 0 x = 0 ou x = 0 Resposta: ela tem 0 anos. h) A sétima parte de um número mais seu d) O triplo de uma quantia é R$ 60,00. Qual triplo. x 7 + x é essa quantia? x = 60 x = 60 ou x = 0 Resposta: a quantia é R$ 0,00. 0

31 Um número mais o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? Em linguagem matemática: Se x + x = 40, qual o valor de x? Vamos determinar o valor de x. x + x = 40 4x = 40 x = 40 4 ou x = 0 Resposta: o número é Por meio da linguagem matemática, resolva os problemas. a) Um número mais o seu triplo é igual a 0. Qual é esse número? x + x = 0 4x = 0 ou x = 5 Resposta: o número é 5. b) Um número mais o seu triplo é 8. Qual é esse número? x + x = 8 4x = 8 ou x = 7 Resposta: o número é 7. c) Determine um número sabendo que o seu dobro mais o próprio número é igual a. x + x = ou x = x = 4 Resposta: o número é 4. e) Qual é o número cujo dobro mais o seu triplo é igual a 60? x + x = 60 5x = 60 x = Resposta: o número é. f) A diferença entre o triplo de um número e o seu dobro é 4. Determine esse número. x x = 4 x = 4 Resposta: o número é Divisão A divisão é a operação inversa da multiplicação. Determina quantas vezes uma quantidade está contida em outra. Os elementos da multiplicação são chamados de divisor, dividendo, quociente e resto. dividendo resto Na operação 8 4 = 7, responda: a) Como é chamado o número 8? Dividendo divisor quociente Divisão por zero Não se define divisão de um número por zero, ou seja, a divisão por zero é impossível. d) O quádruplo de um número menos o dobro desse número é. Determine esse número. 4x x = x = x = 6 Resposta: o número é 6. b) Como é chamado o número 4? Divisor c) Como é chamado o número 7? Quociente

32 4. Complete as sentenças, de modo que sejam verdadeiras. a) Na divisão 4 = 8, o número é o 4. Determine o valor do quociente q e do resto r das divisões abaixo, como mostra o exemplo. dividendo, 4 é o divisor e 8 é o quociente q = r = b) Em 0 5 =, o número 0 é o dividendo, 5 é o divisor e é o quociente. c) Em = 4, o número é o dividendo, é o divisor e 4 é o quociente. a) 8 q = r = 8 b) 5 4 q = r = 5 4 c) 7 q = 5 r = 7 5 d) Em 0 5 = 4, o número 0 é o dividendo, 5 é o divisor e 4 é o quociente. e) Em 4 = 8, o número 4 é o dividendo, é o divisor e 8 é o quociente. f) Na divisão 8 = 6, o número 8 é o dividendo, é o divisor e 6 é o quociente. d) 0 6 q = r = 0 6 e) 8 7 q = r = f) 7 6 q = r = 7 6 g) 8 4 q = 4 r = h) 5 q = r = 5 i) 6 5 q = r = 6 5

33 j) 0 q = r = 0 k) 6 4 q = r = 6 4 l) 5 q = r = 5 m) 5 q = r = n) 0 q = r = Complete. a) = Complete a tabela. Dividendo Divisor Quociente Resto b) 8 5 c) 5 d) = 5 + = = Complete as operações de modo que as igualdades se tornem verdadeiras. a) 0 5 = 0 b) 7 7 = c) 0 9 = 0 e) f) = = d) = e) 9 = 9 f) 0 = 0 g) D d r q D = q d + r (d 0) g) 8 8 =

34 47. Complete as divisões com os elementos que faltam. a) b) c) d) e) f) g) Com base na igualdade 5 = 5, verifique se as afirmações são verdadeiras (V) ou falsas (F). a) O número 5 é o dividendo e é o divisor. V b) Divisão é o nome da operação. V c) O número 5 é a divisão. F d) Essa igualdade é equivalente a 5 = 5. V e) O número 5 é o quociente. V f) Quociente é o resultado da divisão. V g) A divisão é a operação inversa da multiplicação. V h) 5 i) j) k) l) Assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas. a) O divisor não pode ser nulo (zero). V b) O dividendo não pode ser nulo (zero). F c) Se o divisor for, o quociente é igual ao dividendo. V d) O resultado da divisão de um número dividido por ele mesmo é sempre. V e) 0 5 = 0 V

35 f) 7 7 = 0 F e) = = = 4 g) 8 0 é impossível. V h) 6 6 = V f) = = = 4 i) 0 6 = 6 F j) 4 4 = V 5. Expressões numéricas Numa expressão numérica em que aparecem as quatro operações, faz-se primeiro as multiplicações e divisões, depois as adições e as subtrações = = = = = = + 4 = Determine as soluções das expressões g) = = = 6 h) = = = i) = = = j) = = = 5 k) = = = 59 numéricas. a) 5 + = = = l) = = = 8 b) 8 6 = = 9 6 = m) = = = 7 c) = = = 7 n) = = = = = = + = d) = = = 5

36 5. Complete as lacunas de modo que as afirmações sejam verdadeiras. a) Em uma divisão, se o dividendo é igual ao divisor, o valor do quociente é sempre igual a. 5. Complete as sentenças com os sinais >, < ou =. a) 8 8 = 4 4 b) 4 + = c) 0 < 0 b) Em uma divisão, se o divisor é igual a, o valor do quociente é sempre igual ao valor do dividendo. d) 0 = 7 0 e) 6 > 8 8 c) Se o divisor é zero, então a divisão é indefinida. d) Numa divisão, se o dividendo é zero, então o valor do quociente é zero. f) 4 < g) 4 = 6 h) 5 5 = 8 8 i) 6 > 4 e) Em 8 4, o valor do quociente é. j) 8 8 < 7 f) Em 6, o valor do resto é. 6

37 capítulo - Potenciação e Radiciação. Potenciação d) Em x² = 5, temos que x é a base, é o expoente e 5 é a potência. A potenciação é uma operação matemática expressa por um número natural a elevado a um expoente n, e indica a multiplicação de a por ele mesmo n vezes. O número a é chamado de base, n de expoente e o resultado de potência. a n = a a a a... a n vezes Exemplo: A multiplicação = 8 pode ser expressa da seguinte maneira: = 8, em que a base, o expoente e 8 a potência. e) Em a n = b, temos que a é a base, n é o expoente e b é a potência. f) Em 7² = 49, a operação chama-se potenciação e o, expoente. g) Em 8¹ = 8, o é o expoente e a. Complete as sentenças com os operação, potenciação. elementos da operação de potenciação. base expoente potência h) Em b n = a, o b é a base e o a, potência. a) Em ² = 9, o número é o expoente, é a base e 9 é a potência. b) Em 8² = 64, o número 64 é a potência, 8 é a base e é o expoente. i) Em ³ = 8, o 8 é a potência.. Escreva as multiplicações como uma operação de potenciação. a) = 4 4 b) 5 5 = 5 c) Em 5³ = 5, o número 5 é a base, é o expoente e 5 é a potência. c) = 8 d) = 7

38 e) = 0 4 h) 5 4 = = 65 f) = 6 i) 4 = = 64 g) = j) 5 = = h) = 9 5 k) 6 = = 64 i) 7 = 7 l) 5 = = 4 j) b b = b m) 6 = 6 6 = 6 k) x x x = x n) 0 5 = = l) = 0 7 o) 6 = =. Sabemos que é igual, que por sua vez é igual a 7, ou seja, = = 7. Complete as igualdades. a) = = 4 p) 7 = 7 7 = 49 q) 6 = = 6 r) 0 4 = = s) = = b) 8 = 8 8 = 64 t) 0 = = 000 c) 9 = 9 9 = 8 d) 0 = 0 0 = 00 e) = = Complete o quadro abaixo f) = = 8 g) = = 9 8

39 5. Associe as operações de potenciação, Propriedades da potenciação apresentadas na coluna da esquerda, com seus resultados, apresentados na coluna da direita. a) 5 d 9 b) 5 e 8 c) 70 0 h 00 d) b e) j f) g 64 g) 4 a 5 Multiplicação de potências de mesma base: conserva-se a base e adicionam-se os expoentes. Exemplo: 5² 5 = 5 5 Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtraem-se os expoentes (base diferente de zero). Exemplo: 85 = = 8 Potência da potência: conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. Exemplo: ( ) = x = 6 Todo número elevado a zero é igual a. Exemplo: 6 0 = Produto elevado a um expoente: distribui-se o expoente para cada fator ou multiplicam-se os fatores e aplica-se o expoente. Exemplo: ( 5) = 5 ou ( 5) = 0 6. Determine o resultado das potenciações. a) 7 = b) 0 7 = 0 h) 0 f c) = i) 0 c d) 0 = 000 j) 0 4 i 0 e) 5 = 5 f) 0 0 = 0 g) 0 0 = h) 5 0 = 9

40 i) 5 = j) 0 5 = 0 k) 0 = 7. Com base na propriedade da multiplicação de potências de mesma base, apresente uma potência equivalente à multiplicação dada. l) 0 5 = 0 Exemplo: = 6 7 m) 0 4 = n) 8 = o) 0 85 = 0 p) 8 0 = q) = r) 0 = 0 s) 76 0 = t) 04 = 04 u) 0 = 0 v) 0 0 = x) 00 0 = y) 0 7 = a) 5 5 = 5 5 b) 4 6 = 0 c) = 7 6 d) = 4 7 e) a a 5 = a 8 f) x x 4 = x 6 g) b b = b h) x x = x i) m m = m j) a a = a 6 k) a 8 a = a 9 l) y 5 y 5 = y 0 z) 5 = 5 40

41 8. Com base na propriedade da divisão de potências de mesma base, apresente uma potência equivalente à divisão dada. 9. Com base na propriedade denominada potência de potência, apresente uma potência equivalente à potência dada. Exemplo: 57 5 = 54 Exemplo: (6 ) 4 = 6 a) = 8 a) (5 4 ) = 5 4 = 5 8 b) a 7 a = a 5 b) ( n ) m = n m c) b b= b 0 = c) (a ) 4 = a d) x x = x d) (x 5 ) = x 5 e) a 8 a = a 6 e) (x ) = x 6 f) 7 = 4 f) ( ) y = y g) = 5 4 g) (7 ) = 7 h) 7 7 = 7 h) ( ) 6 = 8 i) = 8 i) (5 ) = 5 j) = 9 4 j) (a n ) m = a n m k) x 4 x = x k) ( 7 ) = l) y 5 y = y l) (a ) = a 6 m) = 5 4 m) (0 a ) b = 0 a b n) = 50 n) (79 ) 5 =

42 0. Escreva as potências abaixo na linguagem natural, como se lê.. Complete os itens abaixo de modo que as sentenças se tornem verdadeiras. Exemplo: 5³ lê-se: cinco ao cubo. a) 5 é igual a. a) três ao quadrado b) é igual a 7. b) 5 cinco ao cubo c) 0 5 é igual a c) 7 sete ao quadrado d) Em = 8, o número é o expoente. d) a 4 a elevado à quarta potência e) Em 7 = 49, o número 7 é a base. e) b b ao cubo. Radiciação f) x x ao quadrado g) a a ao quadrado h) m 8 m elevado à oitava potência A radiciação é a operação inversa da potenciação. Por exemplo, se elevarmos um número ao quadrado e depois extrairmos sua raiz quadrada, voltamos ao número inicial. Exemplo: 5 = 5 x 5 = 5 5 = 5. Os elementos da operação de radiciação são: índice, radical, radicando e raiz. índice 7 = radical i) n 0 n elevado à décima potência radicando raiz j) 0 dez ao quadrado. Complete as lacunas das sentenças a seguir. a) Em 9 =, o número é o k) 5 n cinco elevado a ene ou cinco elevado à enézima potência índice, é a raiz e 9 é o radicando. 4

43 b) Em 8 =, o número 8 é o radicando, é a raiz e é o índice. c) Em 5 = 5, o número 5 é a raiz, é o índice e 5 é o radicando. 4. Se 8 = 64, então 64 = 8. Observando esse exemplo, complete as sentenças abaixo. a) 6 = 6 6 = 6 b) = 9 9 = c) 5 = 5 5 = 5 d) Em 44 =, temos que é a raiz, é o índice e 44 é o radicando. d) = 8 e) 4 = 6 8 = 4 6 = e) Em 49 =7, temos que 49 é o f) = 7 7 = radicando, é o índice e 7 é a raiz. f) Em 7 =, a operação chama-se radiciação. g) 4 = 6 6 = 4 h) 0 = = 0 i) 7 = = 7. Sabemos que 9 = pois = 9. Observe o exemplo e complete as sentenças. a) 00 = 0 pois 0² = 00. b) 7 = pois ³ = 7. c) 49 = 7 pois 7² = 49. d) 8 = pois ³ = 8. e) 5 = 5 pois 5³ = 5. j) 5 = 5 k) 4 = 8 l) 0 = 000 m) 5 = n) = o) 8 = 5 = = 000 = 0 5 = = 8 = f) 4 6 = pois 4 = 6. 4

44 5. Complete os quadros com as potências e raízes. 0 = 0 = = 4 = 9 4 = 6 0 = 0 = 4 = 9 = 6 = 4 5 =5 6 = 6 7 = 49 8 = 64 9 = 8 5 = 5 6 = 6 49 = 7 64 = 8 8 = 9 4) A radiciação é a operação inversa da: a) multiplicação; b) adição; c) potenciação; d) divisão. 5) A raiz quadrada de 9 é: a) 8 b) 4 6. Assinale a alternativa correta. ) Em 5 = 5, os números 5 e 5 são, respectivamente: a) raiz e índice; b) radicando e raiz; c) radicando e índice; d) nenhuma das anteriores. ) Quando omitimos o índice da raiz, ele é: a) b) c) d) 0 ) Em 6, lemos: a) raiz cúbica de 6; b) raiz quadrada de 6; c) raiz quarta de 6; d) nenhuma das anteriores. 44 c) 8 d) 6) A raiz quadrada de 00 é: a) 50 b) 0 c) 5 d) 0 7) A raiz quadrada de 6 é o dobro de: a) 6 b) 8 c) d) 4 8) Em x = 6, o valor de x é: a) 6 b) c) 8 d) 6

45 9) O valor de é: e) 8 raiz cúbica de 8 a) 0 b) c) d) nenhuma das anteriores f) 4 6 raiz quarta de 6 0) O valor de 0 é: a) 0 g) 4 8 raiz quarta de 8 b) c) d) nenhuma das anteriores h) 7 raiz sétima de 7. Escreva como se lê. a) 5 raiz quadrada de 5 i) 8 raiz oitava de b) 4 raiz quadrada de 4 j) 00 raiz quadrada de 00 c) a raiz quadrada de a k) b raiz quadrada de b d) 7 raiz cúbica de 7 45

46 Capítulo 4 Múltiplos e divisores de números naturais. Múltiplos Para determinar os múltiplos de um número natural, multiplicamos esse número por todos os números naturais. Exemplo: Vamos determinar os múltiplos de. N 0 0 = 0 = = 6 = = (e assim por diante) Representação: M() = {0,, 6, 9,, 5, 8,,...}.. Represente o conjunto formado pelos múltiplos dos números abaixo. a) 5 M (5) = {0, 5, 0, 5,...}. Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ( V ) ou falsas ( F ). a) é múltiplo de 4. V b) 6 não é múltiplo de. F c) 8 é múltiplo de 9. V d) é múltiplo de 5. F e) 0 é múltiplo de. V f) 00 não é múltiplo de 90. V g) 0 é múltiplo de. V h) 8 é múltiplo de 8. V i) O zero é múltiplo de qualquer número natural. V b) 4 M (4) = {0, 4, 8,,...} j) Os quatro primeiros múltiplos de 5 são: 5, 0, 5, 0. F c) M () = {0,,,,...} k) Os quatro primeiros múltiplos de 4 são: 0, 4, 8,. V d) 0 M (0) = {0, 0, 0, 0,...} l) é múltiplo de,, 4 e 6. V e) 8 M (8) = {0, 8, 6, 4,...} 46

47 . Complete as lacunas de modo que as sentenças se tornem verdadeiras. a) 0 = 5, então 0 é múltiplo de e 5. b) 0 = 0, então 0 é múltiplo de e 0. c) 8 = 4, então 8 é múltiplo de e 4. d) 8 = 9, então 8 é múltiplo de e 9. e) 8 = 8, então 8 é múltiplo de e 8. f) 8 = 6, então 8 é múltiplo de e 6. g) 0 = 5, então 0 é múltiplo de, e Determine se as sentenças abaixo são verdadeiras ( V ) ou falsas ( F ). a) O conjunto dos múltiplos de 7 é infinito. V b) O conjunto dos múltiplos de 5 é finito. F c) O conjunto dos múltiplos de é unitário. F d) O menor múltiplo de qualquer número é o zero. V e) O menor múltiplo de qualquer número é ele mesmo. F f) Todo número é múltiplo de. V g) O maior múltiplo de qualquer número é ele mesmo. F h) Sempre existirá um maior múltiplo de qualquer número. V i) Qualquer número é múltiplo de si mesmo. V j) Os múltiplos de são pares. V k) Os múltiplos de são ímpares. F 5. Complete as lacunas com os números,,, 4, 5. a) 6 é múltiplo de,,. b) 8 é múltiplo de,, 4. c) 0 é múltiplo de,, 5. d) 5 é múltiplo de, 5. e) é múltiplo de,. f) 0 é múltiplo de,, 4, 5. g) 0 é múltiplo de,,, 5. h) 5 é múltiplo de,, 5. i) é múltiplo de. j) 4 é múltiplo de,, 4. 47

48 . divisores f) 9 D (9) = {,, 9} Como 4 =, sabemos que é múltiplo de e 4. Podemos então afirmar que é divisível por e por 4. = 4 4 = Ou seja, e 4 são divisores de. A quantidade de divisores de é finita. Para encontrar os divisores de, dividimos pelos números naturais que resultam quocientes exatos. : = : = 6 : = 4 4 : 4 = 6 : 6 = : = Representação: D() = {,,, 4, 6, }. g) D () = {,, 7, } 7. Complete as lacunas de modo que as afirmações sejam verdadeiras. a) 5 é múltiplo de 5, então 5 é divisor de 5. b) 8 é múltiplo de, então é divisor de 8. c) é múltiplo de, então é divisor de. d) 9 é múltiplo de, então é divisor de Represente o conjunto formado pelos divisores dos números abaixo. a) 4 D (4) = {,, 4} 8. Determine se as afirmações são verdadeiras ( V ) ou falsas ( F ): a) 4 é divisor de 0. V b) 8 D (8) = {,,, 6, 9, 8} b) 0 é divisor de 4. F c) é divisor de 6. F c) 0 D (0) = {,, 4, 5, 0, 0} d) é divisor de 6. V d) 7 D (7) = {, 7} e) é divisor de 7. V e) 4 D (4) = {,, 7, 4} f) 7 não é divisor de 4. F g) 5 não é múltiplo de. F 48

49 h) 5 não é múltiplo de 5. F i) 00 não é múltiplo de 0. F j) 00 é múltiplo de 0. V 9. Assinale ( V ) quando as afirmações forem verdadeiras ou ( F ) quando forem falsas. a) O conjunto dos divisores de é finito. V b) O conjunto dos divisores de 8 é infinito. F c) O conjunto dos divisores de é unitário. V d) O conjunto dos divisores de 7 é vazio. F e) O menor divisor de qualquer número é o zero. F f) O menor divisor de qualquer número é o. V g) O maior divisor de um número diferente de zero é ele mesmo. V h) O conjunto dos divisores de zero é vazio. F i) O conjunto dos divisores de zero é infinito. V 0. Complete as sentenças com as palavras é ou não é. a) não é divisor de 8. b) 0 não é múltiplo de 00. d) é divisor de qualquer número natural. e) Zero não é divisor de números naturais. f) Zero é múltiplo de qualquer número natural. g) Todo múltiplo de é par.. Critérios de divisibilidade Um número é divisível por outro se a divisão desse número pelo outro for exata, ou seja, se o resto da divisão for igual a zero. Exemplo: é divisível por, pois = resto zero. Complete as lacunas das sentenças. a) Um número é divisível por se for par, isto é, se o último algarismo for 0 ou ou 4 ou 6 ou 8. b) Um número é divisível por outro, se a divisão do mesmo pelo outro for exata. c) 0 é múltiplo de. 49

50 . Assinale com X os números que são divisíveis por. a) 4 X b) 4 X c) X h) 05 X i) 45 j) 009 k) 5 X l) X d) 5 e) 8 X f) 0 X g) 0 h) 9 i) 5 j) 546 X k) l) 76 X Um número é divisível por 4 se os seus dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número divisível por Verifique quais números são divisíveis por 4 e assinale com X. a) 40 X b) 7 c) 48 X d) 500 X Um número é divisível por se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por.. Assinale com X os números que são a) X b) 8 X c) 9 d) e) 47 f) 7 divisíveis por. e) 48 f) 48 X g) 44 h) 00 X i) 4 8 X j) 08 X k) 5 X l) 56 X m) 575 n) 656 X o) 0048 X g) 60 X 50

51 e) 70 X Um número é divisível por 5 se seu último algarismo for igual a 0 ou Assinale com X os números que são divisíveis por 5. a) 55 X b) 0 X c) f) 006 g) 5 6 h) 5 i) 999 j) 06 k) 6 X l) 4 X d) 80 X e) 40 X f) 44 g) 45 X h) X i) 80 X j) k) 5 80 X l) 4 50 X Um número é divisível por 8 se seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por Assinale com X os números que são divisíveis por 8. a) X b) 04 X c) 4 00 d) 40 X Um número é divisível por 6 se for divisível por e por ao mesmo tempo. 6. Verifique quais números são divisíveis a) 6 X b) 84 por 6 e assinale com X. c) 0 X e) 008 X f) 000 X g) h) 6 X i) 500 j) X k) 5 l) 456 X d) 0 X 5

52 Um número é divisível por 9 se a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por Verifique quais números são divisíveis por 9 e assinale com X. a) 06 X b) 98 c) 4 48 d) 09 e) 79 X f) 49 g) 70 X h) X i) 5 j) 9 87 X k) 45 l) 9 e) 8 f) 4 0 X g) 75 h) 0 X i) 99 j) 000 X k) 0 X l) 4 0 X 0. Complete as sentenças explicando por que as afirmações são verdadeiras. a) 4 86 é divisível por, pois é par. b) 87 é divisível por, pois a soma dos valores absolutos dos algarismos é divisível por. c) é divisível por 5, pois Um número é divisível por 0 se seu último algarismo for 0. termina em zero. 9. Assinale com X os números que são divisíveis por 0. a) 540 X d) 07 é divisível por 9, pois a soma dos valores absolutos dos algarismos é divisível por 9. b) 705 c) d) X 5 e) 540 é divisível por 0, pois termina em zero.

53 . Verifique se os números do quadro são divisíveis por,, 4, 5, 6, 8, 9 e 0. Assinale com X. Divisível por x x x x x x x 6 x x x 70 x x x x x 4 57 x 65 x 000 x x x x x 800 x x 500 x x x x Do exercício ao 4 há somente uma alternativa correta. Assinale-a.. O número 45 é divisível por: a) e 5 b) e 5 X 4. O número 4 é divisível por: a), e 5 b), e 9 c), e 4 X d) n. d. a. 4. números primos Um número natural é primo quando tem exatamente dois divisores distintos: o número e o próprio número. O número não é primo, pois não apresenta dois divisores distintos. Um número que tem mais de dois divisores é chamado de número composto. 5. Complete as lacunas das sentenças abaixo. a) Números primos são todos os números naturais maiores que que têm somente dois divisores: e ele próprio. c) e d) 5 e 0. O número 8 é divisível por: a) e 4 X b) e c) e 5 d) e 5 b) Números compostos são aqueles que possuem mais de dois divisores. c) Escreva os números primos compreendidos entre e 0.,, 5, 7,,, 7, 9 5

54 Como reconhecer se um número é primo Os divisores primos de 6 são os números e, que formam o conjunto {, }. 6. Apresente o conjunto dos divisores primos dos números abaixo. a) { } b) 4 { } c) 9 { } d) 0 {, 5 } e) { } f) 5 {, 5 } 7. Determine se as sentenças abaixo são verdadeiras ( V ) ou falsas ( F ). a) O único número par que é um número primo é o. V b) Todos os números ímpares são primos. F c) Nenhum número composto admite um divisor primo. F d) O número é um número primo. F Para identificar se um número é primo, testamos sucessivamente sua divisibilidade pelos números primos menor do que ele. Se nenhuma divisão for exata e se o resultado for um quociente menor ou igual ao divisor, então esse número é primo. Exemplo: Vamos verificar se o número 67 é primo Como nenhuma divisão foi exata e chegamos a um quociente (6) menor que o divisor (), podemos afirmar que o número 67 é primo. 8. Verifique e assinale com X os números primos. a) X e) Todo número composto admite pelo menos um divisor primo. V f) Um número primo admite apenas dois divisores. V b) 40 g) Um número composto admite mais de dois divisores. V h) não é primo nem composto. V 54

55 c) 5 j) d) 6 X k) 89 X e) 75 l) f) m) g) 9 n) 9 X h) 7 X o) 40 X i) 0 X p)

56 Decomposição de um número natural em fatores primos Decompor um número em fatores primos é escrevê-lo como um produto de números primos. Para encontrar esses fatores, dividimos o número pelo seu menor divisor primo, em seguida dividimos o resultado pelo seu menor divisor primo, e assim sucessivamente, até obter quociente igual a. Exemplos: = = e) f) = 5 g) 5 5 h) = = = 5 9. Decomponha os números em fatores primos. a) 0 b) = 5 6 = i) 0 j) = = c) 8 d) 9 8 = = k) 5 6 l) = = 5 56

57 Nas questões a seguir, há somente uma alternativa correta. Assinale-a. 5. Máximo divisor comum (mdc) 0. O menor número primo é o número: a) zero b) c) d) nenhuma das alternativas. X. Se um número é primo, então: a) só pode ser ímpar. b) não pode ser par. c) não pode ser ímpar. O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de Máximo Divisor Comum (mdc) desses números. Exemplo: Vamos determinar o mdc dos números e 8. Divisores de : D() = {,, 6, } Divisores de 8: D(8) = {,, 6, 8} Divisores comuns de e 8: D() D(8) = {,, 6} O maior divisor comum de e 8 é igual a 6. Logo: MDC (, 8) = 6. d) nenhuma das alternativas. X. Se um número é composto, então: a) só pode ser ímpar. b) não pode ser par. c) não pode ser ímpar. d) possui mais de dois divisores. X. Complete as lacunas de modo a apresentar o mdc dos números em questão. a) D (0) = {,, 5, 0 } D (5) = {,, 5, 5 } D (0) D (5) = {, 5 } O maior divisor comum de 0 e 5 é 5. mdc (0, 5) = 5 b) D (8) = {,, 4, 8 } D (9) = {,, 9 } D (8) D (9) = { } O maior divisor comum de 8 e 9 é. mdc (8, 9) = 57