CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA VOLUME 1

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1 CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA VOLUME ) SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL O sistema de numeração que usamos é o sistema de numeração decimal, pelo fato de contarmos os elementos em grupos de dez. Dezenas cada grupo de 0 unidades dezenas = 0 unidades Centenas cada grupo de 0 dezenas centenas = 00 unidades Milhar cada grupo de 0 centenas milhar = 000 unidades Dizemos que cada algarismo ocupa uma ordem ou classe (ou casa) no numeral: Ex: casa das unidades (ordem das unidades) 8 casa das dezenas (ordem das dezenas) 7 casa das centenas (ordem das centenas) A partir de 000, os números são indicados por quatro ou mais algarismos. Neste caso, separamos os algarismos em classes de três, da direita pra esquerda (a última pode ficar incompleta) º º 0º 9º 8º 7º 6º 5º 4º 3º º º º Ordem das unidades º Ordem das dezenas 3º Ordem das centenas 4º Ordem das unidades de milhar 5º Ordem das dezenas de milhar 6º Ordem das centenas de milhar 7º Ordem das unidades de milhão 8º Ordem das dezenas de milhão 9º Ordem das centenas de milhão 0º Ordem das unidades de bilhão º Ordem das dezenas de bilhão º Ordem das centenas de bilhão ) FORMA POLINOMIAL Baseado no sistema de numeração decimal (posicional) podemos escrever da seguinte forma: 48 = ou ATENÇÃO! Será bastante útil nas resoluções dos problemas envolvendo sistema de numeração as notações. Para um número de dois algarismos: N = [ab] forma polinomial: N = 0 a + b Para um número de três algarismos: N = [abc] forma polinomial: 00 a + 0 b + c 3) NÚMERO NATURAIS Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos o que chamamos de números naturais: 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,... O sucessor de um número natural n é escrito (n + ), e o antecessor de n é (n ) Números consecutivos naturais podem ser consecutivos pares, ímpares ou simplesmente consecutivos. Veja as seguintes notações: I. n, n +, n +,... consecutivos II. n, n +, n + 4,... consecutivos pares III. n +, n + 3, n + 5,... consecutivos ímpares 4) OPERAÇÕES: I Adição: Na adição de dois, três ou mais números naturais, podemos substituir por um número o que chamamos de soma. A + B + C = S, onde: A, B e C são as parcelas e S é a soma. II Subtração: Sejam a e b números naturais, partimos que a > b escrevemos: A B = D ou A B = R, onde: A é o minuendo, B é o subtraendo e D ou R é o resto ou diferença. III Multiplicação: Na multiplicação de dois, três ou mais números naturais, podemos substituir por um número ou (fator) o que chamamos de produto. A B C = P, onde A, B e C são fatores e P o produto. É importante lembrar que a ordem desses fatores não altera o produto. IV Divisão: A divisão pode ser exata ou não-exata. Divisão Exata: Considerando a e b números inteiros onde a b 0. Dizemos que b é divisor de a quando existe q também inteiro tal que A = B Q, onde A é dividendo, B é divisor e Q é o quociente. Relação Fundamental da Divisão (R.F.D) A B R Q A B Q R, onde 0 R B. A é o dividendo; B é o divisor; Q é o quociente e R o resto.

2 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL VOLUME COMBINATÓRIA 5) NÚMEROS PRIMOS O que é número primo? A seguir estão representados os números naturais de a 50: Fazendo um círculo no número e, em seguida, apagando todos os outros números que são divisíveis por, que números permanecem? Agora, circulando o número 3 e apagando todos os outros números que são divisíveis por 3, quais ficam? Fazendo agora um círculo em volta do próximo número, que é o 5, e, em seguida, apagando todos os outros números divisíveis por 5, quais ainda continuam? Se prosseguirmos fazendo assim, colocando um círculo no primeiro número não assinalado e apagando os demais números que são divisíveis por ele, vão sobrar apenas os números assinalados com o círculo. Veja os números que permanecem: Esses números que ficaram assinalados com o circulo são números primos. Você sabe o que é um número primo? Um número natural, maior que, é primo quando só é divisível por e por ele mesmo. Os números, 3, 5, 7, e 3, por exemplo, são números primos. Cada um deles é divisível por exatamente dois números: e ele mesmo. Números como 4, 6, 8, 9, 0, e 5 são chamados números compostos. Cada um deles é divisível por mais de dois números. Um número natural, maior que, é composto quando é divisível por mais de dois números naturais. Observações: Pelo texto acima, os números 0 e não entram na classificação de primo ou composto. O número 0 é divisível por mais de dois números naturais (é divisível por, por, por 3, por 4, etc.). Por isso, é considerado número composto. Já o número, que só e divisível por ele mesmo, não é considerado primo nem composto. 5. Como reconhecer um número primo Há infinitos números primos. Para saber se um número é primo, devemos dividi-io sucessivamente pelos números primos (, 3, 5, 7, etc.) e verificar o que acontece: Encontrando um resto zero, o número não é primo. Se nenhum resto é zero, o número é primo. Nesse caso, só precisamos fazer as divisões até obter um quociente menor ou igual ao divisor. Veja: 97 não é divisível por, porque não é par. 97 não é divisível por 3, porque a soma dos seus algarismos ( = 7) não é divisível por não é divisível por 5, porque não termina em zero ou Não precisamos continuar as divisões. Como não encontramos nenhum resto igual a zero até obter um quociente menor que o divisor, concluímos que 97 é número primo. 6) ALGORITMO DA DIVISÃO Dados dois números inteiros D e d, sendo d 0, existe um único par de números inteiros (q, r) tal que D = d q + r e 0 r d. Dizemos que q é o quociente e r é o resto da divisão de D por q (D é o dividendo e d é o divisor). dividendo resto 97 não é divisível por 7, porque nessa divisão ocorre resto. O quociente (8) é maior que o divisor (7). 97 não é divisível por, porque nessa divisão ocorre resto 0. O quociente (7) é maior que o divisor (). 97 não é divisível por 3, porque nessa divisão ocorre resto. O quociente (5) é maior que o divisor (3). 97 não é divisível por 7, porque nessa divisão ocorre resto 0. O quociente () é maior que o divisor (7). D d r q divisor D d q r onde 0 r d quociente - -

3 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL VOLUME TEORIA DOS CONJUNTOS 3 7) CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE É possível estabelecer algumas regras que permitem verificar se um número natural é divisível por outro. Estas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. Um número natural N é divisível por: se seu algarismo da unidade é par: Ex.: se a soma de seus algarismos é divisível por 3. Ex.: ( = 4) 4 se o número formado por seus dois últimos algarismos é divisível por 4. Ex.: ou 00 5 se seu algarismo da unidade é 0 ou 5. Ex.: ou 5 6 se é divisível por e por 3. Ex.: * 8 se o número formado por seus três últimos algarismos é divisível por 8. Ex.: ou se a soma de seus algarismos é divisível por 9. Ex.: ( = 36) 0 se seu algarismo das unidades é 0. Ex.: * Divisibilidade por 7 Um número com mais de 3 algarismos é divisível por 7 quando a diferença entre a soma das classes ímpares e a soma das classes pares é zero ou múltiplo de é divisível por 7? ª classe ª classe ª classe Soma das classes ímpares = 388 Soma das classes pares = 38 Diferença = 7 Como o obtido na diferença é um número múltiplo de 7, temos que também é múltiplo de 7. Se a soma das classes ímpares for menor que a soma das classes pares, somamos às classes ímpares tantos 7 quantos forem necessários até que se torne maior ou igual à soma das classes pares. Divisibilidade por Um número é divisível por, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a sorna dos algarismos de ordem par é zero ou múltiplo de é divisível por? Note: algarismos de ordem ímpar algarismos de ordem par Soma das ordens ímpares = 9 Soma das ordens pares = 8 Diferença 9 8 = Logo, o número não é divisível por e o resto na divisão por é. Observação Se a soma dos algarismos de ordem ímpar for menor que a soma dos algarismos de ordem par, somamos a ela tantos quantos forem necessários até torná-ia maior ou igual à soma dos algarismos de ordem par. 8) DESCOBRINDO OS DIVISORES DE UM NÚMERO Existe um método prático para obter todos os divisores de um número. Veja como vamos achar os divisores de 8: ) Fatoramos o número ) Colocamos um traço vertical ao lado dos fatores primos ) Ao lado desse novo traço e uma linha acima, colocamos o sinal de multiplicação e o número. Na linha seguinte (a linha do fator ), colocamos o produto de pelo número que está na linha acima dele ( ) ) Na linha seguinte (a linha do fator 3), colocamos o produto de 3 pelos números que estão nas linhas acima dele, à direita do traço (3 3 e 3 6) ) Repetimos esse procedimento nas outras linhas, anotando cada resultado uma só vez (como o produto de 3 e 3 já foi anotado, registramos 3 3 = 9 e 3 6 = 8) Os números colocados à direita da segunda linha vertical são os divisores do número 8:,, 3, 6, 9 e 8 9) QUANTIDADE DE DIVISORES POSITIVOS DE UM NÚMERO NATURAL Se N = ª 3 b 5 c 7 d..., a quantidade de divisores (positivos) de N, dada por: n[d(n)] = (a + ) (b + ) (c + ) (d + )...

4 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL VOLUME COMBINATÓRIA O número de divisores positivos de 90 é: n[d(90)] ( ) ( ) ( ) Observação Para encontrar os divisores de 90 faça: , , , 0, 5, 30, 45, 90 Logo os divisores de 90 são D(90) = {,, 3, 5, 6, 9, 0, 5, 8, 30, 45, 90} 0) RESTO DA DIVISÃO Resto da divisão por e por 5. O resto da divisão de um número por ou 5 é o mesmo que o da divisão do algarismo das unidades por ou 5. Exemplos: 3.77 (7 : ) resto 3.77 (7 : 5) resto.33 (3 : ) resto.33 (3 : 5) resto 3 (é o próprio algarismo das unidades do nº). Observação No caso da divisão por, temos ainda a opção de utilizarmos a seguinte regra prática: Se o número a ser dividido for par o resto da divisão é zero, e se for ímpar o resto será um. Resto da divisão por 3 e por 9. O resto da divisão de um número por 3 ou 9 é o mesmo que o da divisão da sorna dos valores absolutos dos sem algarismos, por 3 ou 9. Exemplos: 5.97 ( ) : 3 3 : 3 resto 5.97 ( ) : 9 3 : 9 resto 5 Resto da divisão por 4. O resto da divisão de um número por 4 é o mesmo que o da divisão do número formado pelos algarismos das dezenas e das unidades de seu numeral por (5 : 4) resto 3 Resto da divisão por 6. O resto da divisão de um número por 6 é o mesmo que o resto da divisão da sorna do algarismo das unidades do número dado com o quádruplo da soma dos algarismos restantes. Qual o resto da divisão de 4 por 6? 4 4 ( ) Soma dos algarismos res tantes quádruplo Logo Assim o resto procurado é. Resto da divisão por 7. Caso a diferença entre o somatório das classes não seja um número múltiplo de 7, porém maior que 7 pode-se obter o resto, efetuando-se a divisão da diferença obtida por 7. Qual o resto da divisão de 3885 por 7? ª Classe ªClasse ªClasse Soma das classes ímpares 85 + = 396 Soma das classes pares = 38 Diferença = 5 Corno 5 não é múltiplo de 7 ternos que o número 3885 não é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será: 5 7 resto Porém se a diferença entre o somatório das classes não for um número múltiplo de 7 mas menor que 7, esta diferença já será o resto. Qual o resto da divisão de por 7? ª Classe ªClasse ªClasse Soma das classes ímpares = 345 Soma das classes pares = 340 Diferença = 5 Corno 5 não é múltiplo de 7, temos que o número não é divisível por 7 e o resto de sua divisão por 7 será 5. Resto da divisão por 8. O resto da divisão de um número por 8 é o mesmo que o da divisão do número formado pelos algarismos das centenas, dezenas e das unidades de seu numeral por (574 : 8) resto 6 Resto da divisão por 0. O resto da divisão de um número por 0 é o algarismo das unidades do numeral desse número..35 resto 5 Resto da divisão por. Caso a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par não seja um número múltiplo de, porém maior que, pode-se obter o resto efetuando-se a divisão da diferença obtida por. Qual o resto da divisão de por? algarismos de ordem ímpar

5 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL VOLUME TEORIA DOS CONJUNTOS algarismos de ordem par Soma das ordens ímpares = 3 Soma das classes pares = 6 Diferença = 6 Como 6 não é múltiplo de, temos que o número não é divisível por e o resto de sua divisão por será: 6 resto 4 ) MÚLTIPLO DE UM NÚMERO Múltiplo de um número natural é o produto dele por um número inteiro. Assim, por exemplo, o conjunto dos múltiplos de 7 (indicado por M(7)) é: 7 (0) 0 7 ( ) 7 7 ( ) 4 7 ( 3) 7 ( 4) 8 M(7) {0, 7, 4,, 8, 35, 4,...) 7 ( 5) 35 7 ( 6) 4... ) MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Definição: O mínimo múltiplo comum (MMC) entre os números inteiros e positivos a e b, MMC(a, b), é o produto dos fatores primos comuns e não comuns de a e b, tomados com o maior expoente. 3) MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Definição: O máximo divisor comum (MDC) entre os números inteiros e positivos a e b, MDC(a, b), é o produto dos fatores primos comuns de a e b, tomados com o menor expoente. 4) PROPRIEDADES DO MDC E DO MMC DE DOIS NÚMEROS ª) Se dois números são primos entre si o MMC é o produto deles e o MDC é. Ex.: MMC(7, 9) = 63; MDC(7, 9) = ª) Quando um número é divisível por outro, o maior deles é o MMC e o menor é o MDC. Ex.: MMC(6, 36) = 36; MDC(6, 36) = 6 3ª) O produto de dois números a e b é igual ao produto do MDC pelo MMC desses números. a b = MMC(a, b) MDC(a, b) Ex.: 5 0 MMC(5, 0) MDC(5, 0)

6 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL VOLUME COMBINATÓRIA 6 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM Questão Sejam A e B algarismos que compõem os números AB e AB representados em notação posicional. Sabendo que B =.A e que a diferença entre AB e AB vale 80, determine o valor de A + B. Questão O número de inteiros positivos que são divisores do número N = , inclusive e N, é a) 84. b) 86. c) 40. d) 60. e) 6. Questão 3 O Sr. Francisco foi com seu filho João, comprar azulejos que necessitava para a reforma do banheiro de sua casa. O Sr Francisco explicou ao vendedor da loja que a parede onde utilizaria os azulejos era retangular e media 3,5 metros de altura por 6,5 metros de comprimento. E por uma questão de economia ele gostaria de utilizar o menor numero possível de azulejos quadrados. Antes que o vendedor planejasse quantos azulejos seriam necessários para revestir toda a parede, o Sr Francisco esclarecer que ele poderia desprezar os espaços ocupados pelos rejuntes entre um azulejo e outro. João ficou todo feliz e disse: papai eu sei calcular quantos azulejos serão necessários e disse a seu pai a quantidade de azulejo que ele deveria comprar. Pergunta-se: a) Quais cálculos devem ser feitos por João para encontrar o numero de azulejos, nas condições acima? b) Qual a quantidade de azulejos calculada por João c) Qual a medida do lado do azulejo? Questão 4 Numa divisão, o quociente é igual ao divisor e o resto é o maior possível. Sabendo que a soma do divisor com o quociente vale 6, calcule o dividendo. Questão 5 Ache um número de dois algarismos XY sabendo que a soma dos seus algarismos vale 6 e que, subtraindo 36 unidades do número XY, ele fica escrito na ordem inversa YX.

7 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL VOLUME TEORIA DOS CONJUNTOS 7 Questão 6 O estoque de um depósito atacadista de cereais está constituído de 8 sacas de arroz com 60kg cada, 9 sacas de trigo com 64kg cada e 6 sacas de milho com 7kg cada. Os cereais disponíveis devem ser reembalados em sacas menores, todas com o mesmo peso, com o maior peso possível em cada saca, sem misturar os cereais e sem sofrer qualquer perda. Nas novas embalagens, o estoque ficará distribuído em n sacas. O valor de n é: a) 9 b) 30 c) 3 d) 3 Questão 7 - (UECE) Três cidades brasileiras, A, B e C, realizam grandes festas: de 5 em 5 meses em A, de 8 em 8 meses em B e de em meses em C. Essas festas coincidiram em setembro, de 00. Coincidirão novamente em: a) outubro de 0. b) setembro de 003. c) setembro de 0. d) algum mês de 004. e) fevereiro de 05. Questão 8 Seja N = Sabe-se que os restos das divisões de N por 5, 8 e 9 são respectivamente n, p e q. Então o mínimo múltiplo comum de n, p e q vale: a) 76 b) 84 c) 88 d) 9 e) 96 Questão 9 O número : a) é divisível por 7. b) na divisão por 7 deixa resto. c) na divisão por 7 deixa resto. d) na divisão por 7 deixa resto 3. e) na divisão por 7 deixa resto 4.

8 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL VOLUME COMBINATÓRIA 8 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Questão Ache um número de dois algarismos tal que o algarismo das dezenas seja o triplo do das unidades e que subtraindo ao número unidades o resto seja igual ao quadrado do algarismo das dezenas. Questão O quociente da divisão de um número N de algarismos pela soma de seus algarismos é 7. Qual o número, se o dobro do algarismo das dezenas excede de 3 o triplo das unidades? Questão 3 - (UECE) O número de algarismos, contados com as repetições, necessários para numerar as 96 páginas de um livro é igual a: a) 80 b) 8 c) 8 d) 83 Questão 4 - (Fuvest) Abaixo está representada uma multiplicação onde os algarismos a, b e c são números desconhecidos. Qual o valor de a + b + c? a) 5 b) 8 c) d) 4 e) 7 Questão 5 abc 3 abc 4 Qual o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos números 8, 4 e 30? Questão 6 Qual o Máximo Divisor Comum (MDC) dos números 8, 4 e 30? Questão 7 Sendo dois números A = e B = 3 3, o quociente da divisão do seu MMC pelo seu MDC será: a) 5 b) 3 3 c) 3 5 d) e) 3 5 Questão 8 (UECE) Seja n o menor inteiro positivo para o qual n, n, n, n, n, n, n e n são números inteiros. O produto dos algarismos do número n é: a) 0 b) 5 c) 0 d) 0

9 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL VOLUME TEORIA DOS CONJUNTOS 9 Questão 9 (PUC) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia? a) 9 de dezembro b) 0 de dezembro c) de dezembro d) 4 de dezembro e) 8 de dezembro Questão 0 Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes. a) 9 equipes com 6 participantes cada uma b) 8 equipes com 5 participantes cada uma c) 0 equipes com 4 participantes cada uma d) equipes com 3 participantes cada uma GABARITO F F F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F0

10 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL VOLUME COMBINATÓRIA 0 RESOLUÇÃO Questão 0 XY X = 3Y XY = X 0X + Y = X 0. (3Y) + Y = (3X) 30Y Y = 9Y 0 = 9Y 3Y + = = Y = 8 X = 9 Resposta: 93 Questão 0 N = XY XY X + Y 7 XY = (X + Y) = 7 X = 3Y + 3 0X Y = 7X + 7Y. (Y) = 3Y + 3 3X = 6Y X = Y Y = 3 X = 6 Resposta: 63 Questão 03 De a 9 9 algarismos De 0 a números 74 algarismos Resposta: = 83 algarismos Questão 07 A = B = MMC (A, B) = MDC (A, B) =. 3 Resposta: = = 30 opção C Questão 08 N já deve ser múltiplo de e 5 simultaneamente, logo também é múltiplo de 0, então terminará em zero. Logo o produto de seus algarismos será zero Resposta: opção A Questão 04 a b c x 3 a b c 4 ( a + 0b + c). 3 = 000a + 00b + 0c a + 30b + 3c = a + 00b + 0c 996 = 700a + 70b + 7c + (7) 48 = 00a + 0b + c Logo a = 4 b = c = 8 Resposta: D Questão 05 8 =. 3 4 = = MMC (8, 4, 30) = 360 Resposta: 360 Questão 06 MDC (8, 4, 30). 3 = 6 Resposta: 6