INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Transcrição

1 INSTRUMENTAÇÃO E CONTROLE DE PROCESSOS TRANSFORMADAS DE LAPLACE Preliminares No estudo de sistemas de controle, e comum usar-se diagramas de blocos, como o da figura 1. Diagramas de blocos podem ser utilizados para: a) Visualizar os diversos componentes do sistema e/suas interligações; b) Analisar matematicamente o sistema. Cada bloco no diagrama representa um elemento com uma "entrada" e uma "saída". A relação entre a entrada e a saída pode ser dada por uma equação algébrica ou uma equação diferencial. Essa relação e chamada função de transferência do bloco. Vamos supor que a relação possa ser expressa por uma equação diferencial linear. Essa hipótese nem sempre é verdadeira, entretanto, se considerarmos somente pequenas variações na entrada e saída, as não-iinearidades podem em geral ser desprezadas. A transformada de Laplace e um meio sistemático e relativamente simples para resolver equações diferenciais lineares. Transformando-se uma equação diferencial tem-se como resultado uma equação algébrica, em que a variável "s" substitui o tempo como variável independente. Apos se resolver a equação algébrica, faz-se uma "anti-transformação" para se encontrar a solução da equação diferencial original. Tabelas de transformadas de Laplace permitem realizar de uma maneira simples as transformações e anti-transformações. 1

2 Definição A transformada de Laplace de uma função do tempo f (t) é dada por: em que F(s) é uma função da variável "s", e de nota o processo de transformação. Relações fundamentais a) A transformada da soma de 2 funções é igual a soma das transformadas de cada função: b) Multiplicando-se uma função por uma constante, a transformada também será multiplicada pela constante: A transformada de uma variável, dependente x pode ser escrita X ou X(s), onde o uso de letras maiúsculas e do X(s) servem para lembrar que a equação foi transformada. Entretanto, a presença da letra s na equação já mostra que a mesma foi transformada, e é comum, por esse motivo, usar-se o mesmo símbolo x tanto na equação original como na transformada. Transformadas elementares Para uso da equação (1), e necessário que f(t) = 0 para t 0. Consideremos a função "degrau" f(t) = A, que pode ser interpretada como uma variação brusca de f(t), de 0 para A, no instante t = 0. A transformada da função "degrau" é: Vamos tomar agora a função f(t) =. A transformada será: 2

3 Para se poder usar transformadas de Laplace, não há necessidade de se fazer as integrações acima. Existem tabelas como a da figura 2, que dão diretamente as transformadas e anti-transformadas das funções mais comuns. 3

4 A transformada da Laplace de uma derivada é: em que f é o valor inicial de f(t) - mais exatamente o valor para t = 0+. Para derivadas de segunda ordem ou superior, as transformadas são dadas por equações como as que se seguem: Na maioria dos problemas de controle de processos, o valor inicial da função e das derivadas e zero, o que simplifica os cálculos. A transformada de uma integral é dada por: A transformada de uma função atrasada de um tempo L é expresso como segue: Um tempo morto numa malha de controle é representado por um bloco com a função de transferência. Exemplo 1 No bloco da figura acima, a relação entre y e x é dada pela equação: 4

5 20 + y = x Sabendo-se que = 0, determinar a função de transferência Solução: ( ) ( ) A transformada de é s.y(s) -, como vimos acima, formula (6). Portanto, transformando a equação original temos: Exemplo 2 No exemplo 1, suponhamos que x(t) = 5 (constante), para t > 0, x = 0 para t 0. Resolver a equação Solução: Conforme visto no exemplo 1, A transformada de uma constante A é, fórmula (4)(e que pode também ser encontrada na tabela). Portanto X(s) = a equação transformada passa a ser: 5

6 Resta, agora anti-transformar essa equação. Podemos proceder de duas maneiras: a) Consultando a tabela, verificamos que a transformada de. No nosso caso, T = 20. Alem disso, Y (s) tem um fator 5 no numerador. A anti-transformada será: b) Vamos supor que não dispomos de tabela; nesse caso, seremos obrigados a separar a equação em duas frações parciais; O 2 membro vale: O numerador deve ser igual a 5. Portanto: Portanto:, para qualquer valor de s Substituindo:, donde Logo:, ou Aplicando as equações (4) e (5): 6

7 Ou seja, o mesmo resultado obtido pelo método a). Como pudemos observar pelos exemplos 1 e 2, o procedimento para resolver equações diferenciais usando-se transformadas de Laplace e o seguinte: a) Transformar ambos os membros da equação, b) Resolver algebricamente a equação transformada, c) Anti-transformar. Funções Parciais Geralmente a função Y(s) que deve ser anti-transformada pode ser escrita na forma A(s)/B(s), em que A(s) e B(s) são polinômios: onde m<n, e com raízes A(s) diferentes das raízes de B(s). Em geral, e necessário escrever Y(s) na forma de uma soma de frações parciais (como foi feito no exemplo 2), para que se possa faz era anti-transformação. O procedimento para tanto pode ser simplificado como segue: 1. Se todas as raízes de B(s) forem desiguais: Y(s) pode ser escrito na forma: Para encontrar o valor de A, podemos multiplicar ambos os membros da equação por ( s - ), e em seguida fazer s =. todos os termos do 2 membro são cancelados, menos A, de maneira que Exemplo 3 Anti-transformar a Função, usando o método descrito acima. 7

8 Portanto, Usando a tabela vem, 2. Se houver 2 ou mais raízes iguais em B(s), Os coeficientes,,,..., sao encontrados como no caso anterior. Os valores de, - 1,..., podem ser encontrados usando derivadas: Etc. Teoremas de valor inicial e final Esses teoremas podem ser usados para a verificação de funções de transferência para sistemas cujos valores inicial e final sejam conhecidos, e a equação (18) pode ser usada para obter o desvio permanente de um sistema de controle. 8