Aula 4: Bases Numéricas
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1 Aula 4: Bases Numéricas Fernanda Passos Universidade Federal Fluminense Fundamentos de Arquiteturas de Computadores Material baseado nos slides do prof. Diego Passos Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 1 / 36
2 Introdução e Justificativa Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 2 / 36
3 Sistemas de Numeração Sistema de escrita para expressão de números. Notação matemática. Composto por símbolos. Símbolos tem significados ou valores diferentes. Suas posições (absolutas ou relativas a outros símbolos) também podem alterar seu significado. Exemplos: Sistema de numeração arábico: 7, 16, 154. Sistema de numeração romano: VII, XVI, CLIV. Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 3 / 36
4 O Sistema de Numeração Arábico Sistema utilizado no dia a dia (na maior parte do mundo). É um sistema decimal ou de base 10. Há dez símbolos (algarismos) diferentes disponíveis. 0, 1, 2,..., 9. Possivelmente motivado pela quantidade de dedos nas mãos. É um sistema posicional. i.e., mesmo símbolo representa valores diferentes dependendo da sua posição. e.g., símbolo 1 pode ter valor um, dez, mil (ou outros) dependendo da sua posição. Leitura de um número: Cada algarismo é multiplicado pela potência de 10 correspondendo à sua posição. Da direita para a esquerda, 10 0, 10 1, 10 2,... Os valores são somados. Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 4 / 36
5 O Sistema de Numeração Arábico: Exemplos Exemplo com 5 algarismos Número: Posição: Multiplicador: Valores: Total: Exemplo com 7 algarismos Número: Posição: Multiplicador: Valores: Total: Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 5 / 36
6 Bases Numéricas O sistema arábico é um sistema de base 10 (decimal). Há 10 algarismos. A cada posição, corresponde um multiplicador que é uma potência de 10. Mas nada impede que utilizemos outra base. Por exemplo, podemos utilizar uma base k qualquer. k símbolos possíveis para cada algarismo. Cada símbolo corresponde a um valor de 0 a k 1. Cada posição corresponde a um multiplicador que é uma potência de k. Para ler um número, multiplica-se o valor do símbolo pelo seu multiplicador posicional e soma-se para todos os algarismos. Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 6 / 36
7 Leitura de um Número em uma Base Numérica k: Exemplo Exemplo com n algarismos Número: α n 1... α 2 α 1 α 0 Posição: n Multiplicador: k (n 1)... k 2 k 1 k 0 Valores: k (n 1) α n 1... k 2 α 2 k 1 α 1 k 0 α 0 Total: k (n 1) α n k 2 α 2 + k 1 α 1 + k 0 α 0 Exemplo: número na base 10: Exemplo: número na base 10: Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 7 / 36
8 Por que Estudar Bases Numéricas? O que as bases numéricas tem a ver com arquiteturas de computadores? Alguns computadores antigos representavam informação em base 10. Sua memória e processador manipulavam dados compostos por unidades de informação que podiam assumir 9 estados diferentes. Mas hoje, a unidade básica de informação de um computador é o bit. Pode assumir dois estados: 0 ou 1. Por isso, é mais eficiente representar dados em base 2. Base binária. Cada bit representa um algarismo na base 2. Um conjunto ordenado de bits representa um número. Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 8 / 36
9 Outras Bases Além da base binária, nesta disciplina veremos outras bases numéricas. Base 8 (octal). Base 16 (hexadecimal). Embora a base binária seja a mais importante, as bases octal e hexadecimal também são muito usadas. Agrupam bits. Proveem representação mais compacta. Aparecem comumente em programação. Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 9 / 36
10 A Base Binária Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 10 / 36
11 Algarismos e Multiplicadores Posicionais A base binária possui dois algarismos (bits). 0 e 1. Assim como em qualquer outra base numérica, números são escritos dispondo-se algarismos em posições sucessivas. Da direita para a esquerda. Cada posição corresponde a um multiplicador posicional. Potências de = 1, para o algarismo mais à direita. 2 1 = 2, para o algarismo seguinte. 2 2 = 4, para o algarismo seguinte.... Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 11 / 36
12 Exemplo de Números em Base 2 Exemplo com 5 algarismos (bits) Número Posição Multiplicador Valores Total = 20 Exemplo com 7 algarismos (bits) Número Posição Multiplicador Valores Total = 83 Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 12 / 36
13 Potências (Não-Negativas) de 2 Nos exemplos anteriores, utilizamos várias potências de 2 para entendermos os números em base binária. Nesta disciplina, é útil decorar alguns destes valores para auxiliar na conversão de valores binários para seus correspondentes decimais. Potência Valor Potência Valor Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 13 / 36
14 Distinguindo Números entre Bases Diferentes Se escrevemos um número 638, ele claramente não está em base 2. Algarismos 6, 3 e 8 não existem nesta base. Mas e se escrevemos o número 1010? Ele está em base 2 ou em base 10? Os algarismos 0 e 1 existem tanto em uma base, quanto em outra. Este número, portanto, é válido em ambas as bases. A compreensão de um número escrito depende do conhecimento da base utilizada. Por isso, em contextos em que números de várias bases podem ser usados, é preciso de alguma notação para informar a base. Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 14 / 36
15 Distinguindo Números entre Bases Diferentes (Mais) A notação mais comum é a informar a base como um valor entre parêntesis, após o número, usando fonte sub-escrita. Exemplos: 17 (10) = (2). 23(10) = (2). 54(10) = (2). 1010(2) = 10 (10). 101(2) = 5 (10) (2) = 107 (10). Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 15 / 36
16 Números Não-Inteiros Até este ponto, discutimos apenas números inteiros. Números sem vírgula. Mas números não-inteiros também são importantes. Computadores são frequentemente usados para manipulá-los. Além disso, bases diferentes da 10 também são capazes de representar números não-inteiros. Podendo existir certas limitações de representação em algumas bases. Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 16 / 36
17 Representando Números Não-Inteiros em Base 10 Em base 10, números não-inteiros são representados com a adição de algarismos após a vírgula. Exemplos: 145,36. 12, ,678. A existência de uma parte fracionária não altera o funcionamento da notação posicional. Continuamos entendendo cada posição como uma potência da base (no caso, 10). A chave é o fato de que as potências à direita da vírgula são negativas. Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 17 / 36
18 Representando Números Não-Inteiros em Base 10: Exemplos Exemplo com 4 algarismos (1 após a vírgula) Número 3 1 7, 7 Posição Multiplicador Valores ,7 Total ,7 = 317,7 Exemplo com 6 algarismos (2 após a vírgula) Número , 2 5 Posição Multiplicador Valores ,2 0,05 Total ,2 + 0,05 = 4871,25 Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 18 / 36
19 Representando Números Não-Inteiros em Base 2 A mesma ideia se aplica à base 2. E a qualquer outra base numérica. Utilizamos a vírgula como um separador. A posição imediatamente à esquerda da vírgula é a 0. A imediatamente à direita, é a -1. Posições são incrementadas andando para a esquerda. E decrementadas andando para a direita. Cada posição corresponde a uma potência da base (no caso, 2). Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 19 / 36
20 Representando Números Não-Inteiros em Base 2: Exemplos Exemplo com 4 algarismos (1 após a vírgula) Número 1 0 1, 1 Posição Multiplicador Valores ,5 Total ,5 = 5,5 Exemplo com 6 algarismos (2 após a vírgula) Número , 1 1 Posição Multiplicador Valores ,5 0,25 Total ,5 + 0,25 = 11,75 Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 20 / 36
21 Potências (Negativas) de 2 De forma análoga às potências positivas, conhecer potências negativas auxilia a entender rapidamente números não-inteiros em base 2. Potência Valor 2 1 0, , , , ,03125 Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 21 / 36
22 Propriedades de Números em Base 2 Multiplicação rápida por 2. Dado um número escrito em base 10, adicionar um 0 à direita multiplica por 10. De forma análoga, em base 2, adicionar um zero à direita multiplica por 2. Exemplos: 15 (10) = 1111 (2) e 30 (10) = (2). 20 (10) = (2) e 40 (10) = (2). 177 (10) = (2) e 354 (10) = (2). 1,5 (10) = 1,1 (2) e 3 (10) = 11 (2). Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 22 / 36
23 Propriedades de Números em Base 2 (II) Divisão rápida por 2. Análoga à propriedade anterior. Remoção de algarismos à direita divide por 2. Exemplos: 46 (10) = (2) e 23 (10) = (2). 100 (10) = (2) e 50 (10) = (2). 254 (10) = (2) e 127 (10) = (2). 11 (10) = 1011 (2) e 5 (10) = 101 (2) (divisão inteira). 47 (10) = (2) e 23 (10) = (2) (divisão inteira). No caso de números ímpares, o tratamento é diferente se for considerado números não-inteiros. Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 23 / 36
24 Propriedades de Números em Base 2 (III) Números pares e ímpares: Todo número par em base 2 tem o bit mais à direita igual a 0. Todo número ímpar em base 2 tem o bit mais à direita igual a 1. Consequência da propriedade de divisão. Números pares divididos por 2 resultam em inteiros. Números ímpares divididos por 2 resultam em números terminados em,5 (10) ou,1 (2). Exemplos: 86 (10) = (2) é par. 75 (10) = (2) é ímpar. 19 (10) = (2) é ímpar. 200 (10) = (2) é par. Exemplos de divisão por 2 de números ímpares: 19(10) = (2) e 9,5 (10) = 1001,1 (2). 47(10) = (2) e 23,5 (10) = 10111,1 (2). 201(10) = (2) e 100,5 (10) = ,1 (2). Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 24 / 36
25 Propriedades de Números em Base 2 (IV) Números com representação infinita. Há números reais que não podem ser representados em base 10 com um número finito de algarismos. Exemplos: 1 = 0, = 0, = 0, Números irracionais, como π, e, 2. Números irracionais não possuem representação finita em nenhuma base. Mas para números racionais, isso pode variar. Exemplos: 1 = 0,2 5 (10) = 0, = 0,1 10 (10) = 0, Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 25 / 36
26 Propriedades de Números em Base 2 (V) Números com representação infinita (continuação). Conclusão: há números com representação finita em base 10, cuja representação em base 2 é infinita. Relevante para discussão sobre ponto flutuante. Mas todo número com representação finita em base 2, tem representação finita em base 10. E todo número com representação infinita em base 10, tem representação infinita em base 2. Como saber se um número racional tem representação finita em base 2? Coloque o número na forma de uma fração irredutível. Se o denominador for uma potência de 2, a representação é finita. Caso contrário, a representação é infinita. Exemplos: 1 tem representação infinita. 9 5 tem representação infinita. 7 tem representação finita Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 26 / 36
27 Número de Algarismos e Limites Um byte tem 8 bits. Qual o maior valor inteiro que podemos representar em um byte? Em qualquer base, o maior número representável com uma determinada quantidade de algarismos contém o maior algarismo disponível em todas as posições. Na base 2, com 8 algarismos: (2). Em base 10, corresponde a: = 255. De forma geral, com n bits, o maior número que podemos escrever é: 2 n n = 2 n 1. E quantos números diferentes podemos representar? Cada bit tem pode ter dois valores: 0 e 1. Como são 8 bits, a quantidade de valores é: = 2 8 = 256. Em geral, com n bits, podemos representar 2 n valores. Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 27 / 36
28 Número de Algarismos e Limites (II) Note que cada número tem uma representação única em base 2. Na verdade, em qualquer base. Logo, com 8 bits somos capazes de escrever todos os números de 0 a 255. No caso geral, com n bits, escrevemos todos os números de 0 a 2 n 1. Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 28 / 36
29 As Bases Octal e Hexadecimal Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 29 / 36
30 A Base Octal: Algarismos e Multiplicadores A base octal tem 8 algarismos possíveis. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Seus multiplicadores são potências de 8: 8 0 = = = = Assim como em qualquer outra base numérica, números em base 8 são escritos combinando-se os valores dos algarismos com seus multiplicadores posicionais. Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 30 / 36
31 A Base Octal: Exemplos Exemplo com 3 algarismos Número Posição Multiplicador Valores Total = 83 Exemplo com 4 algarismos Número Posição Multiplicador Valores Total = 2553 Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 31 / 36
32 A Base Hexadecimal: Algarismos A base hexadecimal possui 16 algarismos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. Ao contrário das outras bases estudadas até então, a base 16 tem mais algarismos que a base 10. Por este motivo, é necessário adicionar 6 símbolos novos. Foram escolhidas as letras de A a F. Os algarismos em comum com a base 10 possuem os mesmos valores. Já os algarismos representados por letras assumem os valores 10, 11, 12, 13, 14, 15 (nesta ordem). Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 32 / 36
33 A Base Hexadecimal: Valores dos Algarismos Em resumo: Algarismo (Base 16) Valor (Base 10) Algarismo (Base 16) Valor (Base 10) A B C D E F 15 Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 33 / 36
34 A Base Hexadecimal: Exemplos Exemplo com 2 algarismos Número E 7 Posição 1 0 Multiplicador Valores Total = 231 Exemplo com 3 algarismos Número 1 A 7 Posição Multiplicador Valores Total = 423 Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 34 / 36
35 A Base Hexadecimal e o Byte Um byte pode representar qualquer valor de 0 a 255. Esta é exatamente a faixa de valores representáveis por dois algarismos hexadecimais. Do 00 (16) = 0 (10). Ao FF (16) = 255 (10). Esta é uma das utilidades da base 16 na computação: O valor de qualquer byte pode ser resumido em dois algarismos hexadecimais. E dado um número de dois algarismos em base 16, certamente existe um valor correspondente em 8 bits. Como comparação, considere a base 10. São necessários 3 algarismos para representar todos os valores possíveis de um byte. Mas há valores de 3 algarismos decimais que não podem ser representados em um byte (e.g., 256, 500, 999). Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 35 / 36
36 Números Não-Inteiros nas Bases 8 e 16 Assim como em qualquer outra base, podemos escrever números não inteiros nas bases 8 e 16. Processo análogo ao visto nas bases 2 e 10. Adicionar algarismos após a vírgula, considerando potências negativas da base. Fora do escopo da disciplina. Pouco utilizado em arquiteturas de computadores. Fernanda Passos (UFF) Bases Numéricas FAC 36 / 36
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