FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 3

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1 FIHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTIA A 1.º Ano Versão 3 Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato. (15) 1. Seja A um acontecimento de um espaço de resultados S, tal que p A 0 1. Diga, justificando adequadamente, se a afirmação seguinte é verdadeira ou falsa. Se B é outro acontecimento de S, independente de A, então A e B são independentes. Os acontecimentos A e B são independentes se e só se p A B p A pb omo A e B são independentes sabemos que p A B p A pb Assim, p A B = p A p A B = p A p A pb = p A1 pb + = p A pb c.q.m. 3+3 Portanto a afirmação é VERDADEIRA 1 (15). Usando as propriedades das combinações, determine o valor de n que é solução da equação n n n 1 n Usando a lei de Pascal 3 vezes seguidas, temos 6 n n n1 n n1 n1 n n n n Assim, a equação inicial reduz-se à equação n3 1 5 Mas, pela lei da simetria, sabemos que Portanto, temos, de onde resulta n 3 1, ou seja, n 9 4 n Ficha de avaliação da Matemática A 1.º Ano Página 1/8 Versão 3

2 3. Todos os alunos inscritos num clube desportivo praticam pelo menos um dos dois desportos seguintes: futebol e andebol. Sabe-se que: 5% dos alunos praticam futebol; 60% dos alunos praticam andebol. Encontra-se, ao acaso, um aluno inscrito nesse clube. (15) 3.1. Determine a probabilidade de o aluno encontrado praticar apenas futebol. Apresente o resultado em percentagem. Nota: A construção de um diagrama de Venn ou de uma tabela ajuda a perceber o problema. Sejam os acontecimentos: A: o aluno escolhido pratica Andebol F: o aluno escolhido pratica Futebol Sabemos que: p A 60% e pf 5% p AF 100%, pois todos os alunos praticam pelo menos um dos desportos 3 Queremos a probabilidade de o aluno escolhido praticar apenas futebol, isto é, p A F 3 Sabemos que p A F pf p A F omo p A F p A pf p A F 1 Portanto, 100% 60% 5% p A F p A F 35% Assim, p A F 5% 35% 40% (10) 3.. Sabe-se que o aluno encontrado pratica andebol. Qual é a probabilidade de esse aluno não praticar futebol? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. Pretendemos determinar pf A pf A Sabemos que pf A p A Temos pf A p A pf A 60% 35% 5% 3 Portanto, pf A 5% % Admita que a variável altura, em centímetros, dos alunos inscritos nesse clube desportivo é bem modelada por uma distribuição normal N,. Na figura seguinte estão representadas: a distribuição das alturas dos rapazes, N 10, 6 ; a distribuição das alturas das raparigas, N c, d. Ficha de avaliação da Matemática A 1.º Ano Página /8 Versão 3

3 N 10, 6 N c, d (10) 4.1. Das opções seguintes, indique, justificando, a verdadeira. (A) c10 e d 6 (B) c10 e d 6 () c10 e d 6 (D) c10 e d 6 N 10, 6 e N c, d são distribuições normais com valores médios 10 e c, e desvios padrões 6 e d. omo a distribuição N 10, 6 está à direita, tem maior valor médio (a abcissa da média é maior), portanto, c 10 3 omo a distribuição N c, d é mais achatada (a curva está mais próxima do eixo), tem maior desvio padrão, portanto, d 6 4 Assim, c 10 e d 6 (opção B) 3 (15) 4.. Sabe-se que no clube estão inscritos 63 rapazes. alcule o número aproximado de rapazes com altura compreendida entre 10 e 18 cm. Distribuição normal N 10, 6, numa população de 63 rapazes. Sendo X a variável altura, comecemos por determinar p10 X 18 omo , queremos P X Sabemos que p X 05, e p X 0, , 9545 Portanto, p10 X 18 0, 45 ou outro processo 5 omo 0, , erca de 30 rapazes do clube têm altura entre 10 e 18 centímetros 1 5. O António é o melhor marcador de lances livres da equipa de andebol do clube. Da análise dos seus dados estatísticos concluiu-se que só falha em cada 10 livres. (10) 5.1. Num determinado jogo a equipa de andebol teve 8 lances livres que foram todos efetuados pelo António. Indique, justificando adequadamente, qual dos valores seguintes representa a probabilidade de o António ter marcado golo em 6 desses 8 lances livres. (A) 0, (B) 0, () 0, (D) 0, Ficha de avaliação da Matemática A 1.º Ano Página 3/8 Versão 3

4 Pretendemos determinar a probabilidade de o António marcar (golo) em 6 de 8 lances livres. Sendo X a variável número de golos marcados, podemos usar a Lei binomial da probabilidade com n 8 provas repetidas (número total de lances livres) 8 10 p X 6 0, 8 0, 8 0, 8 0, 0, (opção B) 3+3 Assim, psucesso pmarcar golo 08, e pinsucesso 0, Portanto, (15) 5.. Suponha agora que no próximo jogo a equipa dispõe de 9 lances livres. Determine a probabilidade de o António fazer golo em pelo menos 3 desses 9 livres. Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às décimas de milésimas. Sendo X a variável número de golos marcados, podemos usar a Lei binomial da probabilidade com n 9 provas repetidas (número total de lances livres) 1 Pretendemos determinar p X 3, isto é, o António marcar três ou mais golos 1 omo o contrário de marcar pelo lemos três golos é marcar 0, 1 ou golos, é mais simples calcular a probabilidade do acontecimento contrário. Assim, p X 3 1 p X 0 p X 1 p X Temos, psucesso 08, e pinsucesso 0, Portanto, p X 0 0 0, 8 0, 0, p X 1 1 0, 8 0, 9 0, 8 0,, 0, 9 p X 0, 8 0, 36 0, 64 0, 3, 04 0, Logo, 9 8 p X 3 1 0,, 0, 3, 04 0, 0, , Num determinado treino da equipa de andebol os sete jogadores de campo colocam-se em disposição circular, tal como sugere a figura do lado. (15) 6.1. Supondo que a escolha das suas posições é aleatória, de quantas formas o Bernardo (B) pode ficar entre o Fernando (F) e o Gonçalo (G)? Numa pequena composição, entre 5 e 10 linhas, explique todos os raciocínios efetuados. Supondo que o Bernardo já está na roda, o Fernando e o Gonçalo têm duas formas para ficarem ao seu lado (um á direita e outro à esquerda ou vice-versa) 5 Ou, só há duas formas de o Bernardo ficar entre o Fernando e o Gonçalo: F-B-G e G-B-F olocados estes três jogadores, restam 4 elementos que podem permutar entre si de 4! 4 formas 5 Assim, pelo princípio geral da multiplicação, existem 4! 48 formas de o Bernardo ficar entre o Fernando e o Gonçalo 5 Ficha de avaliação da Matemática A 1.º Ano Página 4/8 Versão 3

5 (15) 6.. Determine a probabilidade de o Fernando e o Gonçalo ficarem um ao lado do outro. n.c.p. = 6! O número de permutações circulares de n elementos é n 1! 5 n.c.f. = 5! 6 Supondo que o Fernando ocupa uma posição qualquer, o Gonçalo tem duas posições para ficar ao seu lado (à direta ou à esquerda) e os restantes elementos da equipa podem permutar entre si de 5! formas. Portanto, 5! 5! 1 p 4 6! 65! 6 3 Outro processo: n.c.p. =! Todas as permutações dos elementos (havendo muitas repetidas) 4 n.c.f. = 5! 6 O Fernando pode ocupar uma das posições, o Gonçalo tem duas posições para ficar ao seu lado (direita ou esquerda), os restantes elementos da equipa podem permutar entre si de 5! formas. 5! 5! 1 Portanto, p 5! 65! 6 3. No clube de Andebol há bolas de três cores diferentes: amarelas, brancas e vermelhas, separadas por caixas, com bolas da mesma cor. Num determinado dia estavam as caixas com 8 bolas amarelas, brancas e k vermelhas. 8 Amarelas Brancas k Vermelhas (10).1. olocando as bolas amarelas e brancas numa fila, diga, justificando, qual das opções seguintes representa o número de filas diferentes que se podem formar. (A) 15 A (B) 15 () 15 8! (D) P 15 omo as bolas formam uma sequência de 15 objetos, podemos contar as várias formas de ocupar lugares com as bolas brancas (iguais), que são , ocupando as bolas amarelas os restantes 8 lugares da fila (de uma única forma) Portanto, são possíveis filas diferentes (opção B) 3+3 Outro processo: Se as bolas fossem todas de cores diferentes existiriam 15! formas de as colocar numa fila 3 No entanto, quando as 8 bolas amarelas, assim como as bolas brancas, permutam entre si originam a 15! mesma sequência. Portanto, o número total de filas diferentes é !! (opção B) 4+3 (0).. As bolas brancas foram juntas com as k bolas vermelhas (numa mesma caixa). Depois, ao acaso, tiraram-se simultaneamente duas bolas. Seja X a variável aleatória número de bolas brancas obtidas. A tabela seguinte representa a distribuição de probabilidades da variável X. Ficha de avaliação da Matemática A 1.º Ano Página 5/8 Versão 3

6 x i 0 1 p X x i a b 15 Determine os valores de k, a e b, apresentando todos os raciocínios efetuados. omo p X = Temos k 15 k k k p obter bolas brancas = k 15 k k6 k ! k 13k k k k 3 k Portanto, como k 0, a caixa tinha 3 bolas vermelhas Assim, a p X 0 e b p 10 X k A (15) 8. Do desenvolvimento do binómio 6 x resulta um polinómio de grau 1. Determine, caso exista, o monómio (ou termo) de grau 5 do seu desenvolvimento. 6 6 p Qualquer termo do desenvolvimento deste binómio é da forma T x p p p p Assim,, com 0 p 6 p p 1 p T x 5+1 No termo de grau 5 temos 1 p 5, ou seja, p 1 5 omo p 35, não é um natural entre 0 e 6, o desenvolvimento de 6 p x não tem termo de grau 5 3 (0) 9. Nas figuras seguintes estão representados, num referencial ortonormado Oxyz, um octaedro regular [ABDEF], cujos vértices pertencem aos eixos coordenados. Nota: responda apenas a uma das duas questões seguintes, à sua escolha. Ficha de avaliação da Matemática A 1.º Ano Página 6/8 Versão 3

7 9.1. Escolhem-se, ao acaso, três vértices do octaedro. Determine a probabilidade de esses vértices definirem um plano paralelo aos planos coordenados. Para definir um plano são necessários (e suficientes) 3 pontos não colineares. Assim, qualquer grupo de 3 pontos (escolhidos entre os 6 vértices do octaedro) define um plano, embora alguns desses planos sejam coincidentes (ou o mesmo), como acontece quando escolhemos 3 dos 4 pontos que estão no plano xoy (por exemplo) 3 Portanto, representa o número de casos possíveis 5 Para definirmos um plano paralelo aos planos coordenados temos 3 possibilidades: - escolhendo 3 dos pontos A, B, e D, definimos sempre um plano paralelo ao plano xoy; - escolhendo 3 dos pontos A, F, e E, definimos sempre um plano paralelo ao plano yoz; - escolhendo 3 dos pontos B, F, D e E, definimos sempre um plano paralelo ao plano xoz. Assim, o número de casos favoráveis é Portanto, a probabilidade pedida é 1 3 p Pretende-se numerar as faces do octaedro com os números de 1 a 8, ficando um número diferente em cada face, tal como ilustra a figura da direita. Determine o número de maneiras diferentes de, no máximo, uma das faces concorrentes no vértice A ficar numerada com números ímpares. Para ficar, no máximo, uma das faces concorrentes em A numerada com números ímpares temos duas alternativas: - alternativa 1: nenhuma face concorrente em A fica com números ímpares (todas com n.os pares). - alternativa : uma das faces concorrente em A fica com número ímpar e as outras com números pares; Na alternativa 1, existem 4! formas de colocar os 4 números pares (, 4, 6 e 8) nas faces concorrentes em A; para cada uma dessas formas existem também 4! formas de colocar os 4 números ímpares (1, 3, 5 e ) nas restantes quatro faces; portanto, existem 4! 4! 56 de as 4 faces concorrentes em a ficarem com números pares 6 Na alternativa, existem 4 1 forma de escolher um dos números ímpares (1, 3, 5 ou ) e 4 1 formas de o colocar numa das 4 faces; assim, existem 4 4 formas de escolher e colocar um dos números ímpares numa das faces concorrentes em A; para cada uma dessas formas há 4 A3 4 de escolher e colocar 3 dos números pares (ou 4 3 formas de os escolher e 3! formas de os colocar); finalmente, para cada maneira de numerar as faces concorrentes no vértice A, há 4! formas de colocar os restantes números pelas faces ainda não numeradas; portanto, existem 444 4! 916 maneiras de numerar as restantes faces do octaedro, satisfazendo a alternativa 10 Assim, há formas de, no máximo, 1 face concorrente em A ficar com número ímpar. Formulário Ficha de avaliação da Matemática A 1.º Ano Página /8 Versão 3

8 BOM TRABALHO Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 1.º Ano Página 8/8 Versão 3