Colégio D.Dinis Ano Letivo 2014/ º Ano Ficha de trabalho Nº08. Revisões Geometria no Plano e no Espaço (10º ano)

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1 Tema: Colégio D.Dinis Ano Letivo 2014/ º Ano Ficha de trabalho Nº08 1º Período O professor: Hugo Soares/Isabel Braga Data: Outubro 2014 Revisões Geometria no Plano e no Espaço (10º ano) 1. Retas Paralelas aos eixos coordenados. Semiplanos Retas paralelas ao eixo Ox retas verticais 1.2. Semiplanos 1.3. Retas paralelas ao eixo Oy retas horizontais 1

2 1.4. Semiplanos 2. Bissetrizes dos quadrantes pares e dos quadrantes ímpares. Semiplanos. 3. Planos Coordenados 2

3 3.1. Planos paralelos aos planos coordenados 3.2. Eixos coordenados e retas paralelas aos eixos coordenados Exercícios 1. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. Oxyz, um octaedro. Sabe-se que: um dos vértices do octaedro é a origem O do referencial; a reta ST é paralela ao eixo Oz ; o ponto P pertence ao semieixo positivo Ox ; o ponto R pertence ao semieixo positivo Oy ; a aresta do octaedro tem comprimento 1. Escolhidos ao acaso dois vértices do octaedro, qual é a probabilidade de estes definirem uma reta contida no plano de equação x y? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 2. Na figura está representado um poliedro com 12 faces que pode ser decomposto num cubo e em duas pirâmides quadrangulares regulares. a. Pretende-se numerar as 12 faces do poliedro, com os números de 1 a 12 (um número diferente em cada face). Como se vê na 3

4 figura, duas das faces do poliedro já estão numeradas, com os números 1 e 3. i. De quantas maneiras podemos numerar as restantes dez faces, com os restantes dez números? ii. De quantas maneiras podemos numerar as restantes dez faces, com os restantes dez números, de forma a que, nas faces de uma pirâmide fiquem só números ímpares e nas faces da outra pirâmide, fiquem só números pares? b. Considere agora o poliedro num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que o vértice P coincida com a origem do referencial, e o vértice Q esteja no semieixo positivo Oy. Escolhidos ao acaso, três vértices distintos, qual é a probabilidade de estes definirem um plano paralelo ao plano de equação y 0? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 3. Considere um prisma regular em que cada base tem n lados. Numa pequena composição, justifique que o número total de diagonais de todas as faces 2 n C n 2n. (incluindo as bases) é dado por 2 4. Considere, num referencial o.n., um octaedro regular em que cada um dos vértices pertence a um dos eixos coordenados (dois vértices em cada eixo). Escolhendo, ao acaso, três vértices desse octaedro, qual é a probabilidade de eles 5. definirem um plano perpendicular ao eixo Oy? a. Uma coluna com a forma de um prisma hexagonal regular está assente no chão de um jardim. Dispomos de seis cores (amarelo, branco, castanho, dourado, encarnado e verde) para pintar as sete faces visíveis (as seis faces laterais e a base superior) desse prisma. Admita que se pintam de verde duas faces laterais opostas. Determine de quantas maneiras diferentes podem ficar pintadas as restantes cinco faces, de tal modo que duas faces que tenham uma aresta comum fiquem pintadas com cores diferentes e que duas faces laterais que sejam opostas fiquem pintadas com a mesma cor. b. Considere um prisma hexagonal regular num referencial o.n. Oxyz, de tal forma que uma das bases está contida no plano de equação z 2. Escolhendo ao acaso dois vértices do prisma, qual é a probabilidade de eles definirem uma reta paralela ao eixo Oz? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 4

5 6. Escolhem-se, ao acaso, dois vértices diferentes de um paralelepípedo retângulo. Qual é a probabilidade de que esses dois vértices sejam extremos de uma das arestas? 7. Na figura estão representados dois poliedros, o cubo ABCDEFGH e o octaedro IJKLMN (o vértice L do octaedro não está visível). Cada vértice do octaedro pertence a uma face do cubo. a. Considere todos os conjuntos que são constituídos por cinco dos catorze vértices dos dois poliedros (como, por exemplo, A,B,C,K,L ). i. Quantos desses conjuntos são constituídos por três vértices do cubo e dois vértices do octaedro? ii. Quantos desses conjuntos são constituídos por cinco vértices do mesmo poliedro? b. Escolhem-se, ao acaso, cinco dos catorze vértices dos dois poliedros. Qual é a probabilidade de os cinco vértices escolhidos pertencerem à mesma face do cubo? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 8. Na figura está representado um prisma pentagonal regular. Quatro dos vértices desse prisma estão designados pelas letras A,B,E e O. a. Pretende-se designar os restantes seis vértices do prisma, utilizando letras do alfabeto português (23 letras). De quantas maneiras diferentes podemos designar esses seis vértices, de tal modo que os cinco vértices de uma das bases sejam designados apenas por vogais. Nota: Não se pode utilizar a mesma letra para designar vértices diferentes. b. Ao escolhermos três vértices do prisma, pode acontecer que eles pertençam todos à mesma face. Por exemplo, os vértices A, B e O pertencem todos a uma mesma face, o mesmo acontecendo com os vértices A, E e O. Escolhem-se aleatoriamente três dos dez vértices do 5

6 prisma. Qual é a probabilidade de esses três vértices pertencerem todos a uma mesma face? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. c. Escolhe-se aleatoriamente um vértice em cada base do prisma. Qual é a probabilidade do segmento de reta definido por esses dois vértices ser diagonal de uma face? Apresente o resultado na forma de fração irredutível. 9. Escolhem-se aleatoriamente dois vértices de um cubo. Qual é a probabilidade de o centro do cubo ser o ponto médio do segmento por eles definido? 1 (A) 8 C2 4 (B) 8 C2 (C) 1 8! (D) 4 8! 10. Na figura ao lado estão representados um prisma quadrangular regular e uma pirâmide cuja base ABCD coincide com a base inferior do prisma. O vértice I da pirâmide coincide com o centro da base superior do prisma. Considerando, ao acaso, cinco dos nove vértices da figura representada, qual é a probabilidade de que pelo menos quatro sejam da pirâmide? 11. Na figura está representado o sólido ABCDEFGHI. Dispomos de cinco cores (amarelo, branco, castanho, preto e vermelho) para colorir as suas nove faces? Cada face é colorida por uma única cor. a. De quantas maneiras diferentes podemos colorir o sólido, supondo que as quatro faces triangulares só podem ser coloridas de amarelo, de branco ou de castanho, e que as cinco faces retangulares só podem ser coloridas de preto ou de vermelho? 6

7 b. Admita agora que o sólido vai ser colorido ao acaso, podendo qualquer cor colorir qualquer face. Determine a probabilidade de exatamente cinco faces ficarem coloridas de branco e as restantes faces com cores todas distintas. Apresente o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas de milésima. 12. Considere num referencial o.n. Oxyz a superfície esférica de equação x y z 25. Considere todos os triângulos cujos vértices são pontos de interseção dessa superfície esférica com os eixos do referencial. Escolhido um desses triângulos ao acaso, determine a probabilidade de estar contido no plano z 0. Indique o resultado na forma de percentagem. 7