Proposta de teste de avaliação

Transcrição

1 Proposta de teste de avaliação Matemática A O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: O teste é constituído por dois grupos, I e II O Grupo I inclui cinco questões de escolha múltipla O Grupo II inclui sete questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas

2 Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item Não apresente cálculos nem justificações Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível Considere, num plano munido de um referencial ortonormado Oy, pontos dos quais quatro são colineares Quantos triângulos distintos podem ser definidos com estes pontos? (A) 56 (B) 6 (C) 0 (D) 0 Seja g uma função, de domínio D, definida por ( ) ln( 3 3 ) Qual das seguintes opções pode ser o conjunto D? g (A) [,3 [ (B) ] 0, [ (C) ], 0[ ], [ (D) ], [ ] 3, [ 3 Na figura está representado, num plano munido de um referencial ortonormado Oy, um quadrado [ABCD] Sabe-se que E (, ) é o centro do quadrado e (,3) um dos seus vértices Quais são as coordenadas do vértice A? (A) (6, ) (B) (6, 3) (C) (, 5) (D) (5, ) B é Considere a função f, de domínio R, definida por f ( ) a b, com a > e a < b Qual é o valor de lim f ( ) (A) (B) 0 (C) (D)? Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página

3 5 Considere a função f, definida em ] ln, [, por f ( ) Qual é o valor de lim f ( ) (A) 0 (B) (C)? ( ) ln e e e (D) Grupo II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações que entender necessárias Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato Considere um prisma heagonal regular Quantas retas distintas passam por dois vértices do prisma que não contêm qualquer aresta? Pretende-se pintar as faces do prisma do modo seguinte: uma das bases é pintada de preto e a outra é pintada de branco; para pintar as faces laterais eistem seis cores disponíveis (amarelo, verde, azul, vermelho, castanho e magenta); todas as faces são pintadas e duas faces com arestas comuns não podem ter a mesma cor; uma, e uma só, das faces é pintada de vermelho Nestas condições, de quantas maneiras diferentes é possível pintar o prisma? 3 Admita que o prisma está representado num referencial ortonormado Oyz, de tal forma que uma das suas bases está contida no plano de equação y 3 Escolhendo, ao acaso, dois vértices do prisma, qual é a probabilidade de definirem uma reta paralela ao eio Oy? Apresente o resultado na forma de fração irredutível Considere a função f, real de variável real, definida em R \{ } por: Mostre que lim f ( ) ( ) f e se < se se > Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 3

4 3 Considere a função f, de domínio ( ) f Prove que ( ) R, definida por: i ln ln ln ln ln i R, f ln n Determine o número natural k de modo que lim n k e 5 Considere a função g, de domínio R, definida por: n ( ) g ln( 5) 3 se 3 se > 3 5 Estude a função g quanto à continuidade 5 O gráfico da restrição da função g ao intervalo ],3] tem uma assíntota horizontal Determine uma equação dessa assíntota 6 Considere a função h, de domínio 6 Determine limh( ) de h 0 ( ) h R, definida por: ln se 0< e e se > e verifique se a reta de equação 0 é uma assíntota ao gráfico 6 Mostre que o gráfico de h não tem assíntotas horizontais 63 Mostre que a função h tem pelo menos um zero no intervalo e, e f e 7 Seja f a função, de domínio R, definida por ( ) Determine f ( ) usando a definição de derivada de uma função num ponto Grupo I Cotações Grupo II Total 00 Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página

5 PROPOSTA DE RESOLUÇÕES Grupo I Três pontos não colineares definem um triângulo Assim, temos: Nenhum dos quatro pontos colineares é vértice do triângulo Número de triângulos distintos: 8 C 3 56 O triângulo tem um e um só vértice num dos quatro pontos colineares Número de triângulos distintos: C 8 C O triângulo tem eatamente dois vértices entre os quatro pontos colineares Número de triângulos distintos: C 8 C 8 Portanto, o número total de triângulos distintos é igual a Resposta: (B) D { R :3 3 > 0} ( ) 3 3 > 0 3 > > Cálculos auiliares: ( ) Logo, ( ) > 0 < 0 > ( ) ± 3 ± Portanto, D terá de estar contido em ],0[ ], [ Resposta: (C) 3 Comecemos por determinar o vetor EB EB B E,3, 3, ( ) ( ) ( ), 3 Os vetores u ( ) e (,3 ) v são os vetores normais a EB, com a mesma norma E u e Assim, os vértices A e C do quadrado obtêm-se calculando (, ) (, 3) ( 5, ) E v (, ) (,3) ( 3,) Como o vértice A se situa no quarto quadrante, as coordenadas de A são (5, ) Resposta: (D) Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 5

6 Como < a < b, então lima, limb e lim a b 0 a pois < b ( ) ( ) a a lim a b lim b lim b ( 0 ) b b Resposta: (A) ( ) e ln e ln e e e lim lim lim 5 f ( ) e e lne ln ln e e lim lim e ln e ln lim lim 0 Resposta: (B) Sabe-se que dois pontos definem uma reta No caso de se ter: Grupo II retas definidas por dois vértices do prisma, um de cada base, e que não contenham qualquer aresta do prisma, o número de retas é igual a (para cada vértice de uma base podem-se escolher cinco vértices da outra base); retas definidas por dois vértices do prisma, ambos da mesma base, e que não contenham 6 qualquer aresta do prisma, o número de retas é igual a ( ) C 6 8 (para cada base 6 do prisma, ao número total de retas que se podem definir com os seis vértices ( C ) retiram-se as seis arestas) Portanto, há 8 retas nas condições eigidas no enunciado Em alternativa: C (total de retas definidas pelos vértices número de arestas) A primeira face é pintada de vermelho (há, portanto, apenas uma possibilidade) Para a segunda face há cinco possibilidades (qualquer cor eceto vermelho) Para a terceira face há quatro possibilidades (qualquer cor eceto vermelho e a da segunda face) Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 6

7 Para a quarta face há quatro possibilidades (qualquer cor eceto vermelho e a da terceira face) Para a quinta face há quatro possibilidades (qualquer cor eceto vermelho e a da quarta face) Para a seta face há quatro possibilidades (qualquer cor eceto vermelho e a da quinta face) Portanto, há 5 80 maneiras diferentes de pintar o prisma 3 Número de casos possíveis: C 66 (eistem vértices num prisma heagonal, dos quais se escolhem dois) Número de casos favoráveis: 6 (para que os vértices escolhidos definam uma reta paralela ao eio Oy, têm de pertencer à mesma aresta lateral Como eistem seis arestas laterais, eistem seis casos favoráveis) 6 Atendendo à regra de Laplace, a probabilidade pedida é C f ( ) 0 e e e lim lim lim lim lim ( )( ) e e lim lim Fazendo a mudança de variável y ; y 0 : y e lim f ( ) lim y y 0 f ( ) 0 0 lim lim lim ( )( 3 ) ( )( 3 ) lim ( 3 )( 3 ) ( 3) ( )( 3 ) ( )( 3 ) lim 8 8 lim lim 8 3 ( )( 3 ) 3 lim lim ( )( ) Como lim f ( ) lim f ( ), então eiste lim f ( ) e é igual a Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 7

8 3 f ( ) i ln i ln ln ln ln ln 3ln 5ln 3ln ( 3 5 3) ln 3 ln ( ln ) p ln pln, R Soma de termos consecutivos de uma progressão aritmética a an Sn n ( a ) n ln n n lim n k e Usando o algoritmo da divisão inteira de polinómios: n n n Assim: n n n k lim lim lim e n k e n n k e n Portanto, k 8 k e e k 8 k 5 No intervalo ],3[, a função g é contínua, pois é o quociente de duas funções contínuas: uma que é uma função polinomial ( 5 ) e outra que é o produto de uma função constante ( ) pela raiz quadrada de uma função polinomial ( 7 ) No intervalo ] 3, [, a função g é contínua, pois é o quociente de duas funções contínuas: uma que é a composta da função logarítmica com uma função polinomial ( ln ( 5) ) e outra que é uma função polinomial ( 3) Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 8

9 Continuidade em 3: limg ( ) lim g( ) 0 ( ) 0 ( ) 3 ( 3)( ) ln 5 ln 5 lim lim lim g ( 3) ( ) ( ) ln 5 ln 5 lim lim lim Fazendo a mudança de variável y 3, vem y 3 e 3 y 0 : ( y ) ( y ) ln 3 5 ln limg( ) lim lim y y 3 y 0 y 0 Como limg( ) limg( ) g( 3) 3 3 Portanto, a função g é contínua em R, a função é contínua em 3 5 g( ) lim lim lim lim lim lim 7 0 Logo, 5 y é a equação reduzida da assíntota horizontal do gráfico da restrição da função f ao intervalo ],3] ln lim lim ln lim ( ) ( ) ( 0 ) h Fazendo a mudança de variável y, e 0 y y Assim: ln y ln( y ) lny lny limh( ) lim lim lim lim 0 y y y y y y y y 0 Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 9

10 Como limh( ) 0 é um número real e Dh R, podemos concluir que a reta de equação 0 não é assíntota vertical ao gráfico de h 6 Como Dh R é minorado mas não é majorado vamos calcular limh( ) limh( ) lim ( e e ) lim e ( 0 0 ) e e Como limh( ) horizontais não é um número real podemos concluir que o gráfico de h não tem assíntotas 63 A função h é contínua no intervalo ] 0, ] pois é definida pelo produto de duas funções contínuas: uma função afim e uma função logarítmica e e Como, ] 0, ], então, a função h também é contínua no intervalo, e e Por outro lado, temos que: h ln ln e 0,37 e e e e e e e e h ln 0, Como h e < 0 e h e a função h é contínua no intervalo e,, pelo corolário do Teorema e de Bolzano podemos garantir que a função h tem pelo menos um zero no intervalo e, e 7 h ( h) f ( ) e( e ) h h h f e e e e e f ( ) lim lim lim lim e lim e e h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h f e Portanto, ( ) Proposta de teste de avaliação Matemática A, o ano Página 0