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1 Conteúdo Tópicos sobre Números Complexos Polinómios Funções Racionais

2 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais Tópicos sobre Números Complexos Denição O conjunto dos números complexos representa-se por C e é constituido por todos os números da forma x + iy, sendo x, y R e i = a unidade imaginária. x designa-se por parte real do número z = x + iy, e abreviase neste texto por Re(z); y designa-se por parte imaginária do número z, e abrevia-se neste texto por Im(z). O conjunto dos números reais R está contido no conjunto dos números complexos C, porque qualquer número real x pode ser escrito da forma x + i0. Se Im(z) = 0 o número z diz-se real; se Re(z) = 0, o número z diz-se imaginário puro. Exemplos. z = / i3 Re(z) = / Im(z) = 3 z = π + i 3 5 Re(z) = π 3 Im(z) = 5 z = i Re(z) = Im(z) = z = i Re(z) = 0 Im(z) = Unidade imaginária i 0 = i = i = i.i = = i 3 = i i = i = i i 4 = i i = ( ) = i 3 =?? Representação de Números Complexos Seja z um número complexo. Representação cartesiana: z = x + iy (gura ). Mário Abrantes mar/

3 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais 08/9 ESTG/IPBragança Representação polar (ou trigonométrica): z = x + y e iθ (gura ), sendo e iθ = cos(θ) + isen(θ). O ângulo θ designa-se por argumento de z e escreve-se arg(z). Este argumento pode tomar uma innidade de valores que diferem entre si por múltiplos de π. O valor do argumento pertencente ao intervalo ] π, π], chama-se argumento principal de z e representa-se por Arg(z). Figura : Plano Complexo (ou Plano de Argand) Figura : z e iθ = x + iy Terminologia, Propriedades, Operações. Os números complexos z = x + iy e w = a + ib dizem-se iguais sse x = a e y = b.. Módulo do número complexo z = x + iy: z = x + y. 3. Conjugado do número complexo z = x + iy = z e iθ : z = x iy = z e iθ. 4. Soma\Diferença dos números complexos z = x + iy e w = a + ib: z ± w = (x + a) ± i(y + b). 5. Multiplicação\Divisão dos números complexos z = z e iθ e w = w e iϕ : zw = z w e i(θ+ϕ) z/w = z w ei(θ ϕ). 6. Potências de expoente inteiro do número complexo z = x + iy: ( z n = z e iθ) n = z n e inθ. Em particular (cos(θ) + isen(θ)) n = ( e iθ) n = e inθ = cos(nθ) + isen(nθ). Mário Abrantes mar/ 3

4 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais. Multiplicação de z = x + iy pelo seu conjugado: zz = (x + iy)(x iy) = x + y = z. 8. Conjugado do produto de z = x + iy e w = a + ib: zw = (x + iy)(a + ib) = (xa yb) + i(xb + ya) = (xa yb) i(xb + ya) = (x iy)(a ib) = z w. 9. Uma consequência da propriedade anterior é, para n inteiro: Exercícios. Sejam z = + 3i e w = 3 + i. z n = (z) n.. Escrever as representações polares de z e w. z : z = + ( 3) = 4 = arg(z) = arctan( 3/) = π/3 Rep. Polar z = e iπ/3 w : w = ( 3) + = 4 = ( ) arg(z) = arctan + π = π/6 + π = 5π 3 6 Rep. Polar w = e i5π/6. Escrever o conjugado de z na forma cartesiana e na forma polar. Forma cartesiana z = 3i Forma polar z = e iπ/3 Forma cartesiana w = 3 i Forma polar z = e i5π/6 3. Calcular z 3w. z 3w = ( + 3i) 3( 3 + i) = ( + 3 3) + ( 3 3)i 4. Calcular zw na forma cartesiana e na forma polar. Forma cartesiana zw = ( + 3i)( 3 + i) = 3 + i 3i + 3i = 3 i Forma polar zw = e iπ/3 e i5π/6 = 4e i(π/3+5π/6) = 4e iπ/6 Mário Abrantes mar/ 4

5 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais 08/9 ESTG/IPBragança 5. Mostrar que z 6 = 64. ( + i 3) 6 = ( e iπ/3) 6 = 6 ( e iπ/3) 6 = 64e i6π/3 = 64e iπ = 64(cos(π) + isen(π)) = 64( + i0) = 64 Por ser ( + i 3) 6 = 64 diz-se que + i 3 é uma raiz de índice 6 de 64. Quais são as raízes reais de índice 6 do número 64? Polinómios Denição Um polinómio na variável x é uma expressão na forma a n x n + a n x n + + a x + a 0, na qual n é um inteiro não negativo, designado por grau do polinómio, e os termos a i, 0 i n, são constantes reais ou complexas ditas coecientes do polinómio. Uma função cuja fórmula é um polinómio designa-se por função racional inteira. Exemplos. 3 x3 x + polinómio de grau 3 4 polinómio de grau 0; é igual a 4x 0 x x + não é um polinómio (o expoente de x não é um inteiro não negativo) ix 3x + 4i polinómio de grau Nesta breve abordagem estudam-se apenas polinómios de coecientes reais. Representa-se o grau de um polinómio p(x) por grau(p). Raízes de Polinómios Chama-se raiz ou zero do polinómio p(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0, a todo o número r, real ou complexo, tal que p(r) = 0. Mário Abrantes mar/ 5

6 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais Exemplos.. x = é uma raiz do polinómio p(x) = x 3 3x 4 porque p() = = 0.. x = i é uma raiz do polinómio p(x) = x + porque p(i) = i + = + = x = não é uma raiz do polinómio p(x) = x 3 3x 4 porque p( ) = ( ) 3 3 ( ) 4 = 9 0. Divisão de Polinómios A divisão de um polinómio p(x) por outro q(x), de grau menor ou igual ao de p(x), decorre como exemplicado nas guras 3 e 4 e permite-nos escrever p(x) da forma p(x) = q(x).q(x) + R(x), com grau(r) < grau(q). Se R(x) = 0, diz-se que p(x) é divisível por q(x) ou que q(x) divide p(x). Figura 3: x = (x + x + )(x x + 3) + ( 4x 3) Figura 4: x 3 6x + x 6 = (x )(x 5x + 6) Exemplos.. O polinómio q(x) = x 3 6x + x 6 é divisível pelo polinómio x, uma vez que q(x) se pode escrever q(x) = (x )(x 5x+6). q(x) é tambem divisível por x 5x + 6 (porquê?).. O polinómio q(x) = x 3 6x +x 6 não é divisível pelo polinómio x 5, uma vez que x 3 6x + x 6 = (x 5)(x x + 6) + 4. Esta igualdade representa uma divisão da seguinte forma: x 3 6x + x 6 é o dividendo; x 5 é o divisor; x 5x + 6 é o quociente; 4 é o resto da divisão (gura 5). Mário Abrantes mar/ 6

7 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais 08/9 ESTG/IPBragança Figura 5: Resto = 4 Figura 6 Factorização de Polinómios Um polinómio p(x) diz-se factorizado no produto dos k polinómios g (x), g (x),, g k (x), se aparece escrito como o produto destes polinómios, i.e p(x) = g (x)g (x) g k (x). Exemplos.. O polinómio p(x) = x 3 x +x pode ser escrito na forma p(x) = (x )(x )(x 3) (vericar!). Os polinómios envolvidos na factorização de p(x) são g (x) =, g (x) = x, g 3 (x) = x, g 4 (x) = x 3.. O polinómio q(x) = x 3 6x + x 6 pode ser escrito na forma q(x) = (x )(x 5x + 6) (vericar!). Os polinómios envolvidos na factorização de q(x) são g (x) = x, g (x) = x 5x + 6. Teorema. (de Bézout) O resto da divisão de um polinómio p(x), de grau maior ou igual a, pelo binómio x a é igual a p(a). Exemplo. Dado o polinómio q(x) = x 3 6x + x 6, temos q(5) = = 4, sendo 4 o resto da divisão de q(x) por x 5 (gura 5). O enunciado seguinte é uma consequência do teorema de Bézout. Mário Abrantes mar/

8 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais Corolário. Se r é uma raiz do polinómio p(x), isto é, se p(r) = 0, então p(x) é divisível exactamente por x r e pode por isso ser escrito na forma com grau(p) = grau(q) +. p(x) = (x r)q(x), Exemplos.. O polinómio q(x) = x 3 6x + x 6 anula-se para x =, isto é q() = 0. Então q(x) é divisível por (x ), x 3 6x + x 6 = (x )(x 5x + 6).. O polinómio s(x) = x + 3x + 5/4 anula-se para x = 3+i 4, isto é ( ) s( 3+i 4 ) = 0. Então s(x) é divisível por x 3+i 4 (ver gura 6), ( x + 3x + 5/4 = x 3 + i ) ( x i ) 4 ( = x 3 + i ) ( x i ). 4 4 O teorema seguinte é essencial para a factorização de um polinómio qualquer num produto de termos lineares. Teorema 3. (Teorema Fundamental da Álgebra) Todo o polinómio p(x) de grau maior ou igual a tem, pelo menos, uma raiz real ou complexa. Podemos fazer o seguinte raciocínio: O Teorema Fundamental da Álgebra diz-nos que dado um polinómio qualquer p(x), grau(p), existe uma raiz r de p(x). Pelo teorema de Bézout se p(x) tem a raiz r, então podemos escrever p(x) = (x r)q(x). Repetindo este procedimento com o polinómio q(x): se q(x) é um polinómio de grau zero (uma constante), então temos p(x) factorizado em factores de grau ou grau 0; se grau(q), então q(x) tem uma raiz s e, usando o teorema de Bézout, podemos escrever q(x) = (x s)t(x) e p(x) = (x r)(x s)t(x), com grau(p) = grau(t) +. Este argumento valida o seguinte resultado. Mário Abrantes mar/ 8

9 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais 08/9 ESTG/IPBragança Teorema 4. Todo o polinómio p(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0 de grau, se pode factorizar num produto do tipo p(x) = a n (x r )(x r ) (x r n ), sendo r, r,, r n, as n raízes do polinómio, podendo algumas destas ser iguais. Exercício. Vericar que o polinómio q(x) = 3(x )(x )(x 3) pode ser escrito na forma 3x 3 8x + 33x 8, e que esta última expressão se anula para x =, x = e x = 3. Uma consequência imediata deste teorema, é que todo o polinómio da forma ax + bx + c, com as raízes r, r, se pode factorizar na forma a(x r )(x r ). Exemplos.. O polinómio q(x) = x x + tem uma raiz dupla x =, como pode ser vericado usando a fórmula resolvente de Bhaskara: x = ( ) ± ( ) 4 Podemos escrever (vericar!) = ± 0 =. q(x) = (x ).. O polinómio q(x) = x 4x + tem igualmente a raiz dupla x = (vericar!). Como o coeciente que multiplica x é, temos q(x) = (x ). 3. O polinómio q(x) = x + x + não tem raízes reais, como se pode ver usando a fórmula resolvente de Bhaskara, x = ± 4 = ± 3 = ± i 3. q(x) pode ser escrito (vericar!) ( q(x) = x + i ) ( 3 x i ) 3. Vale também o seguinte resultado. Mário Abrantes mar/ 9

10 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais Teorema 5. Se o número complexo z é raiz do polinómio de coecientes reais p(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0 de grau, então o seu conjugado z é também raiz de p(x). Dito de outra forma, as raízes complexas de polinómios com coecientes reais aparecem aos pares de números conjugados. Prova. Se z é raiz de p(x), então p(z) = 0, i.e., a n z n + a n z n + + a z + a 0 = 0. Conjugando ambos os membros desta igualdade, ela continua válida (porquê?), e temos a n z n + a n z n + + a z + a 0 = 0 a n z n + a n z n + + a z + a 0 = 0 a n z n + a n z n + + a z + a 0 = 0 a n z n + a n z n + + a z + a 0 = 0 p(z) = 0 Esta igualdade signica que z é raiz de p(x). Uma consequência deste teorema e do teorema da factorização na página 9, é o seguinte caso especíco de factorização de polinómios de coecientes reais. Teorema 6. Todo o polinómio de coecientes reais p(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0 de grau, se pode factorizar num produto de termos lineares da forma (x r), sendo r uma raiz real, de termos quadráticos da forma (x + bx + c), com duas raízes complexas conjugadas, e do coeciente a n. Alguns termos podem ser iguais. De facto, por as raízes complexas surgirem aos pares, a decomposição em termos lineares contém um termo na forma (x z) para cada termo (x z), sendo z uma raiz complexa. Tal permite reduzir a factorização à forma enunciada, uma vez que (x z)(x z) é um polinómio do segundo grau com coecientes reais (vericar!). Mário Abrantes mar/ 0

11 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais 08/9 ESTG/IPBragança Polinómios Idênticos Dois polinómios p(x), q(x) dizem-se idênticos sse têm os mesmos coecientes para as mesmas potências de x. Teorema. Se os valores de dois polinómios p(x), q(x), de grau n, coincidem para n + valores diferentes x, x,, x n, x n+ da variável x, então estes dois polinómios são idênticos, isto é, têm os mesmos coecientes das mesmas potências de x. Exemplo. Mostrar que se (ax + b) e (3x + 4) forem iguais para dois valores de x distintos, então a = 3 e b = 4, i.e., os polinómios são idênticos. Suponhamos que os polinómios são iguais para, por exemplo, x = e x =. Podemos escrever { a + b = a( ) + b = 3( ) + 4 { a + b = 0 a + b = Resolvendo o sistema é imediato vericar que se tem a = 3 e b = 4. 3 Funções Racionais Chama-se função racional a uma função cujos numerador e denominador são polinómios. A função p(x) q(x) diz-se própria se grau(p(x)) < grau(q(x)). De contrário diz-se imprópria. Exemplos. x 4 x + x + x x + x + função imprópria função própria Uma função imprópria pode ser escrita como a soma de um polinómio e de uma função própria. Tal pode ser conseguido efectuando a divisão do numerador pelo denominador. Mário Abrantes mar/

12 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais Exemplos. (i) x 4 3 x +x+ = x x + 3 4x+6 x +x+ (vericar!) (ii) x +5x 3 x x+ = + x 4 x x+ (vericar!) Decomposição em Fracções Parciais Uma função racional própria pode ser decomposta na soma de fracções parciais mais simples. Esta decomposição é útil para a integração de funções racionais. Trata-se de, dada a função p(x)/q(x) na qual q(x) aparece factorizado em termos da forma (x r) k, ou (x + bx + c) s, ou a n, sendo a n o coeciente da potência de x mais elevada em q(x) e k, s inteiros positivos, fazer o seguinte: Para cada factor do tipo (x r) k escrever a expressão sendo os As constantes reais; A k (x r) k + A k (x r) k + + A x r, Para cada factor do tipo (x + bx + c) s escrever a expressão B s + C s x (x + bx + c) + B s + C s x s (x + bx + c) + + B + C x s x + bx + c, sendo os Bs e Cs constantes reais. Cada uma das fracções que aparece nestas expressões designa-se por fracção parcial de p(x)/q(x). Exemplos (x+)(x ) = A x+ + B x x + (x+) 3 (x ) = A (x+) 3 + x 4 = A + B (x +x+)x x x + Cx+D x +x+ B + C (x+) x+ + D x x 4 (x +x+) x = A x + Bx+C (x +x+) + Dx+E x +x+ Mário Abrantes mar/

13 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais 08/9 ESTG/IPBragança Podemos usar esta decomposição para escrever uma função racional própria como uma soma de fracções parciais, e uma função racional imprópria como soma de um polinómio e de fracções parciais. As constantes As, Bs, Cs, etc, designam-se por coecientes da decomposição e são calculadas como mostra o exemplo seguinte. Exemplo. Consideremos a função racional p(x) q(x) = x4 (x +x+)x. Como grau(p) = grau(q) = 4, a função racional é imprópria. Começamos por efectuar a divisão de p(x) por q(x), que nos permite escrever (vericar!), p(x) q(x) = x3 +x + (x +x+)x. Observa-se que, no segundo membro, já não temos funções impróprias. O passo seguinte é decompôr a função x3 +x + (x +x+)x numa soma de fracções parciais. Como x + x + tem as raízes complexas ( ± i 3)/, a decomposição em fracções parciais ca x 3 + x + x (x + x + ) = A x + B x + C + Dx x + x +. () O cálculo dos coecientes A, B, C, D faz-se do seguinte modo: Começa-se por eliminar as divisões em (), multiplicando ambos os membros por x (x + x + ). Obtém-se x 3 + x + = A(x + x + ) + Bx(x + x + ) + (C + Dx)x ; Expande-se o segundo membro desta igualdade e agrupam-se os coecientes de iguais potências de x x 3 + x + = (B + D)x 3 + (A + B + C)x + (A + B)x + A. Como se quer que os polinómios nos dois membros da igualdade sejam idênticos, os coecientes dos polinómios devem ser iguais (teorema, pg. ). Obtemos o sistema de equações lineares B + D = A + B + C =. A + B = 0 A = Resolvendo temos A =, B =, C =, D = 3. Mário Abrantes mar/ 3

14 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais A decomposição pretendida é p(x) q(x) = x4 (x +x+)x = x + x + 3x x + x +. (Vericar a correcção da segunda igualdade transformando o terceiro membro no segundo!) Integração de Funções Racionais A integração de uma função racional p(x) q(x) consiste em 3 etapas:. Dividir p(x) por q(x), se grau(p(x)) grau(q(x));. Decompôr em fracções parciais a função racional própria resultante da divisão, ou a função p(x)/q(x) se nenhuma divisão foi efectuada. 3. Integrar a expressão equivalente a p(x) q(x) obtida o integral ca agora reduzido a casos que admitem uma resolução sistemática. Exemplo. Calcular x + (x+) 3 (x ) dx.. Como grau(x + ) < grau((x + ) 3 (x )), a função racional é própria. Podemos decompô-la em fracções parciais. x + (x + ) 3 (x ) = A (x + ) + B 3 (x + ) + + C x + + D x. Segue-se o cálculo dos coecientes A, B, C, D. Elimina-se as divisões em ambos os membros da igualdade. x + = A(x ) + B(x + )(x )+ + C(x + ) (x ) + D(x + ) 3. () Pode-se tirar partido de os polinómios nos dois membros serem idênticos para fazer o cálculo dos coecientes. Substitui-se nesta expressão x pelo valor de cada raiz de (x+) 3 (x ) e utilizam-se Mário Abrantes mar/ 4

15 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais 08/9 ESTG/IPBragança as igualdades resultantes para calcular A, B, C, D Substituindo x por : ( ) + = A( ) + B( + )( )+ + C( + ) ( ) + D( + ) 3 3 = 3A A = Substituindo x por : + = A( ) + B( + )( )+ + C( + ) ( ) + D( + ) 3 6 = D D = /9 Substituem-se estes valores na identidade e simplica-se. x + = (x ) + B(x + )(x )+ + C(x + ) (x ) + /9(x + ) 3 x + = x + + B(x x )+ + C(x 3 3x ) + /9(x 3 + 3x + 3x + ) x + = (/9 + C)x 3 + (B + /3)x + + ( B 3C + /3)x + ( B C + /9) Igualando os coecientes de iguais potências nos dois membros, obtém-se o sistema de equações lineares /9 + C = 0 B + /3 = B 3C + /3 = 0. B C + /9 = Resolvendo temos A =, B = /3, C = /9, D = /9. A decomposição em fracções parciais ca x + (x + ) 3 (x ) = (x + ) + /3 3 (x + ) + /9 x + + /9 x. Mário Abrantes mar/ 5

16 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais O cálculo do integral faz-se agora do seguinte modo: x + (x + ) 3 (x ) dx = ( (x + ) + /3 3 (x + ) /9 x + + /9 ) dx = x (x + ) 3dx + 3 (x + ) 3 dx + 3 (x + ) (x + ) + (x + ) 3 (x + ) dx 9 x + dx + 9 x dx = (x + ) dx 9 x + dx + 9 x dx = 9 ln( x + ) + ln( x ) + C 9 3 (x + ) 9 ln( x + ) + ln( x ) + C. 9 Caso geral As fracções parciais que podem aparecer numa decomposição são dos 4 tipos seguintes: Tipo I: Tipo III: A x r A + Bx x + bx + c Tipo II: Tipo IV: A (x r) k A + Bx (x + bx + c) k. sendo k um inteiro positivo. A resolução de integrais dos primeiros dois tipos já foi tratada em exemplos anteriores. Vamos agora ver, por meio de exemplos, como se resolvem integrais envolvendo fracções dos tipos III e IV. Exemplo. (Tipo III) Calcular o integral I = 3x+ x +5x+8 dx. Começa-se por escrever o integral I como a soma de dois integrais 3x I = x + 5x + 8 dx + dx. x (3) + 5x + 8 Por a derivada do denominador ser x + 5, modica-se o primeiro integral de modo a obter, por integração, um logaritmo. Notar que (u /u)dx = ln( u ) + C. Mário Abrantes mar/ 6

17 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais 08/9 ESTG/IPBragança 3x x + 5x + 8 dx = 3 x x + 5x + 8 dx = 3 x x + 5x + 8 dx = 3 x + (5 5) x + 5x + 8 dx = 3 x + 5 x + 5x + 8 dx 3 5 x + 5x + 8 dx = ( 3 x ) ln + 5x x + 5x + 8 dx Substituindo este resultado na fórmula (3), tem-se I = 3 ( x ) ln + 5x dx. x (4) + 5x + 8 O cálculo de I ca completo com a resolução do integral I = x + 5x + 8 dx. O integral I resolve-se da forma seguinte: Começa-se por completar o quadrado no denominador x + 5x + 8 = (x + 5/) + /4; Usa-se esta forma para obter, por integração, uma função arctan(u). u Recordar que +u dx = arctan(u) + C. I = dx = (x + 5/) (5) + /4 4 4 ( ) x+5/ + /4 / dx = 4 ( ) dx (6) x ( x+5 ) dx = () ( ) x + 5 arctan (8) De (5) para (6), dividiu-se ambas as partes da fracção por /4; ( ) de (6) para (), colocou-se u x+5/ = = 4/ = / /4 Mário Abrantes mar/

18 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais no numerador; de () para (8), usou-se a fórmula de integração u +u dx = arctan(u) + C. Finalmente, substituindo a expressão (8) na fórmula (4), obtém-se I = 3 ( x ) ln + 5x ( ) x + 5 arctan + C. Os integrais do tipo IV são geralmente trabalhosos. É um treino muito bom ler a resolução abaixo e procurar perceber todos os passos. Exemplo. (Tipo IV) Calcular o integral I = 3x+ (x +5x+8) dx. Começa-se por escrever o integral como a soma de dois integrais 3x I = (x + 5x + 8) dx + (x + 5x + 8) dx. (9) Por a derivada do denominador ser x + 5, modica-se o primeiro integral de modo a obter, por integração, uma potência de base x + 5x x (x + 5x + 8) dx = 3 x (x + 5x + 8) dx = x (x + 5x + 8) dx = 3 x + 5 (x + 5x + 8) dx 3 3 (x + 5x + 8) x + (5 5) (x + 5x + 8) dx = 5 (x + 5x + 8) dx = (x + 5x + 8) dx Substituindo esta expressão no primeiro integral de (9), temos I = 3 (x + 5x + 8) 3 (x + 5x + 8) dx. (0) O cálculo de I ca completo com a resolução do integral I = (x + 5x + 8) dx. () O integral I resolve-se da forma seguinte. Começa-se por completar o quadrado na base do denominador x + 5x + 8 = (x + 5/) + /4; Mário Abrantes mar/ 8

19 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais 08/9 ESTG/IPBragança Substitui-se esta expressão na fórmula () I = ( ) /4 + (x + 5/) dx. Para simplicar faz-se a substituição u = x + 5/, du = dx, I = ( ) /4 + u du. Modica-se a forma de I. I = 4 /4 ( /4 + u ) du = 4 u + /4 u ( /4 + u ) du Escreve-se este integral como soma de dois integrais. I = 4 /4 + u du 4 u ( ) /4 + u du () Primitiva-se por partes o segundo integral. u I 3 = ( ) /4 + u du = u u( ) /4 + u du f = u g = u (u + /4) f = g = (u + /4) Fica I 3 = u (u + /4) + /4 + u du. Substituindo I 3 em I I = 4 /4 + u du + u(u + /4) = /4 + u du + u u + /4 /4 + u du Um integral do tipo do que aparece nesta expressão foi calculado no exemplo anterior. Podemos escrever, com a substituição u = x + 5/ I = ( ) x + 5 arctan + x + 5/ x + 5x + 8 = 4 3 arctan ( x + 5 ) + x + 5 x + 35x + 56 Mário Abrantes mar/ 9

20 Números Complexos. Polinómios. Integração de Funções Racionais Finalmente, substituindo esta expressão para I na equação (0), obtém-se I = 3 x + 5x ( ) 4 x + 5 arctan 3 3 x + 5 x + 35x C I = 6 3 arctan ( x + 5 ) 3x + 43 x + 35x C Bibliograa. Cálculo Diferencial e Integral, vol I, N. Piskounov.. Calculus, Howard Anton. Mário Abrantes mar/ 0