UFF- GMA- Lista 2 de Pré-Cálculo (6 páginas) LISTA 2

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1 UFF- GMA- Lista de Pré-Cálculo (6 páginas) - 9- LISTA )Resolva, se possível, as equações: a)( ) = b) = c) + + = + )a) Mostre que,,. Essa desigualdade significa que a média geométrica entre dois números reais não negativos é menor do que ou igual a média aritmética entre eles. b) Quando é que a igualdade vale? 3)a) Eiste algum subconjunto da reta onde vale a igualdade b) Eiste algum subconjunto da reta onde vale a igualdade )Represente no plano cartesiano a) = 3, R. b) =, R. { c) = + +, se < ; 6, se. =? =? ) Mostre que a soma de um número real positivo com seu inverso não pode ser menor do que. 6) a)se a, estime + a. b)se 3 <, estime 9. c)se 3 <, estime. d)se 3 <, estime 3. 7)Verifique se cada afirmativa abaio é falsa ou verdadeira. Se falsa, dê um contraeemplo, se verdadeira, demonstre-a.. a < b a < b.. a < b a < b. 3. a < b a < b.. a 3 < b 3 a < b. a < b ca < cb, c R. 8)Complete o quadrado das epressões e determine o sinal. a) E() = b) E() = c) E() = +, d) E() = +,. 9)Em cada caso, determine a constante c e a mudança de variável, tais que as igualdades se verificam. a) + 3 = + c b) = c c) + = + c )Encontre a interseção entre os gráficos de = e a reta = 6. Faça um esboço. E. tirado de Druck, S., Firmo, S. e Gomes, M. E., Preparação para o Cálculo.

2 UFF- GMA- Lista de Pré-Cálculo (6 páginas) - 9- )Complete: a) 3 =... b) 6 8 =... c) ( 6 ) / =... d) ( ) / =... )Faça as simplificações necessárias para que você saiba investigar o comportamento da epressão para próimo do ponto (fora do domínio da epressão) dado em cada caso. 3 a) E() = 3, = 3. b) E() = 3 +, =. c) E() = 3, =. 3)Dê o domínio, simplifique e estude o sinal. + + a) E() = + b) E() = ( ). ( ) c) E() = ( + )3/ (6 + ) 3(3 + )( + ) / ( + ) 3 d) E() = + ) a)utilize a equivalência: a a ou a; para resolver a inequação 3. b)utilize a equivalência: a a a ; para resolver a inequação 3. ) a)esboce a região limitada por =, a reta + = e o eio, determinando os pontos de interseção. b)esboce a região limitada por =, a reta + = e a reta =, determinando os pontos de interseção. 6)Resolva as equações elevando-as ao quadrado. a) = b) = 6 c) = 3 7)Estude o sinal das epressões.. E() = (7 )( + + ) +. E() = ( )( + 3 6) 3 3. E() = +. E() = + + +

3 UFF- GMA- Lista de Pré-Cálculo (6 páginas) )Estude o sinal e esboce o gráfico ; depois confira o sinal olhando o gráfico.. E() = + 3. E() = 3. E() = 3 9)Resolva =. 3 = = 6. = + 7. = 8. ( 3) = 6 9. ( )( ) ( ). ( )( + ) = > 3 3. ( ) = =. ( ) + ( 3) = )Determine o domínio. a) E() = b) E() = + + )Seja E() uma epressão com o seguinte quadro de sinais nd a)resolva E( ). b)determine o domínio de E( ). c)seja F () outra epressão com o quadro de sinais dado por nd - -/ Determine o domínio de G() = E() F () e de H() =. F ()E()

4 UFF- GMA- Lista de Pré-Cálculo (6 páginas) - 9- RESPOSTAS -a)s = {} b)s = (, ] c) + = é D = [, + ). Logo, S = =, daí <, mas o domínio -a) Basta considerar a inequação ( ) = +,,. b)pela inequação em a), a igualdade vale se e só se =, isto é, quando =. 3)-a)Sim, S = (, ). b)sim, S = (, ]. ).. /3 )Deve-se mostrar que o o sinal de + é sempre positivo ou nulo, >. 6-c)Como 3 <, elevando ao quadrado, a desigualdade é preservada e obtemos 3 <. Daí, 3 > e portanto >. Como a raiz quadrada também preserva a ordem, temos que > e portanto <. 7-)F- Contraeemplo: a= e b=-3: )F- Contraeemplo: a=-, e b= 3)V- Usamos a propriedade.8., pois a, b, a, b )V- Se a = oub =, o resultado é trivial. Suponha a, b. Considere o produto notável a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ), onde a parcela da direita pode ser considerada uma epressão do - o grau com incógnita a e b constante, mas arbitrária. Então, (a + ab + b ) >, a, b, pois = 3b < e a concavidade é para cima. Assim, do produto notável acima, a 3 b 3 < a b <, isto é, a 3 < b 3 a < b. )F- contraeemplo: tome qualquer c <. 8-a)3( + /3) + /3: b)( 3 + /) +, ; c)( ) 3; d)(/ /) +. 9-a) = + 3/ e c = 9/; b) = / e c = /; c) = e c = /. -P = (9, 3) P -a) ; b) 3 ; c) 3 ; d) /3. -a) E() = e se aproima de / b)e() = 3 ( + ) + 3 e se aproima de / c)e() = e se aproima de 8. 3-a)D = (, + ), E() < em (-,), E() > em (, + ) e E() = sse =. b)d = R\{±},E() < em (, ) (, + ), E() > em (, ) (, ) e E() = sse =. c)d = (, ), E() >, >.

5 UFF- GMA- Lista de Pré-Cálculo (6 páginas) - 9- d)d = R\{±,, }, E() < em (, ) (, ) (, ), e (, + ) (, ) (, ). -a)s = [, + ) (, ]. b)s = [/3, ]. -a)o ponto de interseção entre os gráficos da reta e de = é P = ( 9 7, + 7 ). E() > em b)as retas = e + = têm interseção no ponto (,). A reta = e a curva = têm interseção em (6,). P P 6-a)S = {, } b)observe que nesse caso, a equação dada é equivalente à equação ao quadrado e portanto não precisamos testar o conjunto solução! S = [ 3, 3]. c)s = {} 7-)E() > (, 7) ( 7, ); E() < ( 7, 7); E() = = ± 7; )E() > (, ) (, ) (, ) (3/, ); E() < (, ) (, 3/) (, + ); E() = = ±, ± ; 3)E() > (, /3) (, ); E() < ( /3, ); E() = =, /3; )E() > (, ) (, ); E() < (, /); E() = = ou [ /, ]; 8-)E() < (, ) (, ); E() > (, ); E() = =, )E() > (, /) ( + 3, ); E() < (/, + 3 ); E() = = + 3, /; ;.....

6 UFF- GMA- Lista de Pré-Cálculo (6 páginas) )E() > (, ); E() < (, ) (, ); E() = = ; )S = { + } 37 ; )S = {±} ; 3)Devem ser satisfeitas simultaneamente as inequações :, cujo conjunto solução é S = (, ) S = (, /] (, ). Logo, S = S S = (, ); )S = e +, cujo conjunto solução é [ ) [ 7 + ) 7,, ; )S = {} ; 6)S = {, /} ; 7)S = { ± } ; 8)S = {±(3 + 6)} { ; 9)S = R; )S = {, 3} ; 3 ± )S = [, ]; )S = (, ); 3)S = {, 8}; )S = {} ; )S =, 3 3, ± } ; -a)d = (, ) (, ) ; b)d = (, 3) (, ). - a)s = (, ) [, 6] [ 6, ] ; b)d = (, ) [3, 7] ; c)domínio de G: [ /, ) [, ]; Domínio de H: ( /, ) (, ) (, ).