Introdução ao Cálculo Numérico Lista de Exercícios 1. (x x k )ω (x k ) = 1.

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1 Introdução ao Cálculo Numérico 2005 Lista de Exercícios 1 Problema 1. Seja Q π n. Provar que L n (Q; x) Q(x), quaisquer que sejam os nos distintos x 0, x 1,..., x n. Problema 2. Se n N e x 0, x 1,..., x n são pontos distintos e ω(x) = (x x 0 ) (x x n ), então x k x 0 (x x 1 ) (x x n ) (x x k )ω (x k ) = 1. k=1 Problema 3. Construir o polinômio interpolador de Lagrange que satisfaz p(0) = 1, p(0.5) = 2, p(1) = 3, p(1.5) = 4. Problema 4. Simplicar a expressão 1 6 (x 1)(x 2)(x 3)+x(x 2)(x 3) 3 2 x(x 1)(x 3)+ 2 3 x(x 1)(x 2). Problema 5. Provar que para todo n N o polinômio l(x) = 1 + x x 0 + (x x 0)(x x 1 ) x 0 x 1 (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) + + (x x 0) (x x n 1 ) (x 0 x 1 ) (x 0 x n ) satisfaz as condições l(x 0 ) = 1, l(x k ) = 0, k = 1, 2,..., n. Problema 6. Provar que o polinômio de Lagrange que interpola a tabela (x 0, f 0 ),..., (x n, f n ) pode ser construído através da fórmula de recorrência P 0 (x) = f 0, p k (x) = P k 1 (x) + [f k P k 1 (x k )] ω k(x) ω k (x k ), onde ω 1 (x) = x x 0, ω k+1 (x) = (x x k )ω k (x). Problema 7. Provar que l nk (x) = 1 para todo x R. Problema 8. Provar que x m k l nk(x) = x m, m = 1, 2,..., n. 1

2 2 Problema 9. Provar que (x x k ) m l nk (x) = 0, m = 1, 2,..., n. Problema 10. Provar que (x x k ) n+1 l nk (x) = ( 1) n ω(x). Problema 11. Provar que (x x k ) n+2 l nk (x) = ( 1) n ω(x) ((n + 1)x x 0 x 1 x n ). Problema 12. Sejam x 0 < x 1 <... x n. Provar que x n+1 k l nk (0) = ( 1) n x 0... x n. Problema 13. Provar que, se x 0, x 1,..., x n são distintos, então 1 ω(x) = A k, x x k onde A k = 1 ω(x k ), k = 0,..., n. Problema 14. Decompor em soma de frações elementares a função x 2 x 1 (x 1)(x 2)(x 3). Problema 15. Usando a fórmula de Lagrange, provar que, se m, n N, m > n 0, então ( )( ) m n 1 ( 1) n k n k m k = 1 m n. Problema 16. Provar que, se m, n N, m > n 1, então ( )( ) m n k ( 1) n k n k m k = m m n. Problema 17. Sejam P π n e k N. Provar que, se P (j) são múltiplos de k para n + 1 valores consecutivos inteiros de j, então P (j) e múltiplo de k para todo valor inteiro de j.

3 Problema 18. Provar que, se n N e k N, 0 k n, então l nk (x) + l n,k+1 (x) 1 para x [x k, x k+1 ]. Problema 19. Sejam n N, s 0,..., s n 1 números reais e x 0 < x 1 <... x n. Construir o polinômio P (x) de grau n 1, que satisfaz xi+1 x i P (x)dx = s i, i = 0,..., n 1. Problema 20. Sejam n N e x 0 < x 1 <... x n. Provar que o coeciente de x n do polinômio que interpola a tabela (x 0, 0),..., (x i, 0), (x i+1, 1),..., (x n, 1), e diferente de zero. Problema 21. Construir explicitamente o polinômio de Lagrange de grau n 1 se os nos de interpolação coincidem com os zeros x k = cos((2k 1)π/(2n)), k = 1,..., n, do polinômio de Chebyshev de primeira espécie T n (x) = cos(n arccos x). Problema 22. Construir explicitamente o polinômio de Lagrange de grau n 1 se os nos de interpolação coincidem com os zeros x k = cos(kπ/(n+1)), k = 1,..., n, do polinômio de Chebyshev de segunda espécie U n (x) = sin((n + 1) arccos x). 1 x 2 Problema 23. Seja T n (x) = 2 n 1 x n + + a 1 x + a 0 o n-esimo polinômio de Chebyshev de primeira espécie. Determinar o coeciente a 1. Problema 24. Sejam x 0 < x 1 <... x n e P (x) π n o polinômio que satisfaz as condições de interpolação P (x k ) = ( 1) n k, k = 0,..., n. Provar que L n (f; x) P (x) para todo x (x 0, x n ), se f(x k ) 1, k = 0,..., n. Provar que igualdade e atingida somente quando f(x k ) = P (x k ), k = 0,..., n, ou f(x k ) = P (x k ), k = 0,..., n. Problema 25. Provar que Q(x) T n (x) max Q(x) x [ 1,1] para todo polinômio Q π n e para todo x, x 1. Aqui T n (x) = cos(n arccos x), para 1 x 1, isto é, o polinômio de Chebyshev de grau n. Problema 26. Provar que o problema extremo { min 1 x 0 <...<x n 1 max P (x) : P π n, P (x k ) = ( 1) n k, k = 0,..., n 1 x 1 possui uma única solução que é P (x) = T n (x). } 3

4 4 Problema 27. Provar que inf 1 x 0 <...<x n 1 1 ω (x k ) = 2n 1 e que este ínmo é atingido somente para os pontos de extremo do polinômio de Chebyshev ±T n (x). Problema 28. Construir o polinômio de grau n cujo valor no ponto ξ, ξ > 1, e η e que menos desvia de zero no intervalo [ 1, 1]. Problema 29. Seja P π 2. Provar que max P (x) 5 max { P (a), P (b), P ((a + b)/2) }. x [a,b] 4 Problema 30. Seja f C 2 [0, 1] e f (x) x 2 para todo x [0, 1]. Denotamos por p ξ (x) a função continua e linear em cada um dos intervalos [0, ξ] e [ξ, 1] que interpola f(x) nos pontos 0, ξ, 1. Determinar ξ de tal modo que f(x) p ξ (x) seja menor que 0.02 em [0, 1]. Problema 31. Seja P x i(x) π 2 o polinômio que interpola a função f(x) = x nos pontos 1, ξ, 1, onde 0 ξ < 1. Determinar ξ de modo que o erro seja o mínimo possível. max f(x) P ξ(x) x [ 1,1] Problema 32. Seja P x i(x) π 2 o polinômio que interpola a função f(x) = x nos pontos ±1/2, ±ξ, onde 0 ξ 1, ξ 1/2. Determinar o erro R(ξ) := max f(x) P ξ(x) x [ 1,1] e minimizar R(ξ) com respeito a todos os admissíveis ξ. Para qual ξ este mínimo e atingido? Problema 33. Seja n N e {P i (x)} i=0 uma sequência de polinômios, todos de grau no máximo n e tais que P i (x) 1 para todo x [a, b]. Usando a formula de interpolação de Lagrange, provar que esta sequência possui uma subsequência {P ik (x)} cujo limite e um polinômio de grau n, isto e, que P ik (x) f(x), quando k, para todo x [a, b], onde f π n. Problema 34. Seja f(x) uma função continua em [a, b], para a qual existe um polinômio algébrico de grau n que satisfaz max f(x) P (x) E, x [a,b] onde E > 0. Sejam x 0 <... < x n pontos arbitrários de [a, b] e λ(x) := l nk (x)

5 a função de Lebesgue para estes pontos. Provar que f(x) L n (f; x) (1 + λ(x))e, x [a, b]. Problema 35. Seja L n (f; x) o polinômio que interpola f(x) = x/(x + 1) em 0, 1,..., n. Provar que L n (f; n + 1) = ( 1)n+1 + n + 1. n + 2 Problema 36. Seja f uma função tal que f (n) (x) e integrável em [a, b]. o Provar que, para todo x [a, b], f(x) = n 1 f (k) (a) (x a) k + k! 1 (n 1)! x Esta e a fórmula de Taylor com erro em forma integral. a (x t) n 1 f (n) (t)dt. 5

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7 Problema 37. Provar que f[x 0, x 1,..., x n ] = onde ω(x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ). f(x k ) ω (x k ), Problema 38. Provar que, se F (x) = αf(x) + βg(x), então F [x 0, x 1,..., x n ] = αf[x 0, x 1,..., x n ] + βg[x 0, x 1,..., x n ]. Problema 39. Provar que, se (i 0, i 1,... i n ) é qualquer permutação de 0, 1,..., n, então f[x 0, x 1,..., x n ] = f[x i0, x i1,..., x in ]. Problema 40. Provar que x m k ω = 0, m = 0, 1,..., n 1. (x k ) Problema 41. Provar que x n k ω (x k ) = 1. Problema 42. Seja f(x) = x n. Provar que e f[x 0, x 1,..., x n ] = 1 f[x 1, x 2,..., x n ] = x 1 + x 2 + x n. Problema 43. Sejam t 1 < t 2 < < t n e x 1 < x 2 < < x n. Denotamos f(x) := (x t 1 )(x t 2 ) (x t n ), g(x) := (x g 1 )(x g 2 ) (x g n ). Provar que f(x k ) g (x k ) = (x i t i ). k=1 Problema 44. Provar que Problema 45. Provar que ω (x k ) x k ω (x k ) i=1 ω (x k ) ω (x k ) = 0. = n(n + 1). Problema 46. Calcular, para qualquer n N, a expressão { } 1 ω (x k ) ω (x k ) (x x k). 7

8 8 Problema 47. Sejam x k 0, 1, para todo k = 1,..., n, e f(x) = (x x 1 ) (x x n ). Provar que x n k f(1/x k) (1 + x k )f (x k ) = ( 1)n+1 (1 x 1 x 2 x n ). k=1 Problema 48. Provar que a diferença dividida é o único funcional linear da forma D(f) = A k f(x k ) que satisfaz D(x n ) = 1 e D(x k ) = 0, k = 0,..., n 1. Problema 49. Sejam {x k } n 0 números inteiros arbitrários mas distintos. Provar que, se P (x) é um polinômio de grau n com coeciente 1 de x n (isto é, P (x) é mônico), então existe um número x j, 0 j n, para o qual P (x j ) n! 2 n. Problema 50. Sejam x 0 < x 1 < < x n, n N, n 2 Provar que, para todo índice k N, 0 < k < n, existem números positivos A i, i = 0,..., n 2, tais que n 2 A 0 + A 1 + A n 2 = 1 e f[x 0, x k, x n ] = A i f[x i, x i+1, x i+2 ]. Problema 51. (Fórmula de Stefenson) Se x 0, x 1,..., x n são distintos e f(x) = g(x)h(x), prove que f[x 0,..., x n ] = g[x 0,..., x k ]h[x k,..., x n ]. i=0 Problema 52. Calcular f[x 0,..., x n ] para f(x) = 1/x. Problema 53. Provar que ( ) n 1 ( 1) n j j 2k + 1 = 22n (n!) 2 (2n + 1)! para todo n N. j=0 Problema 54. Sejam x 0 < x 1 < < x n e f C n [x 0, x n ]. Prove que existe ξ (x 0, x n ), tal que f[x 0,..., x n ] = f (n) (ξ) n!. Problema 55. Provar que, se f[x 0, x 1,..., x n ] = 0 para qualquer escolha de n + 1 posntos distintos de [a, b], então f(x) coincide com um polinômio algébrico de grau n 1, em [a, b].

9 Problema 56. Seja p(x) o polinômio de grau três que interpola a função ln x nos pontos 1, 2, 3, 4. Provar que p(x) > ln x para todo x (2, 3). Problema 57. Seja p(x) um polinômio de grau n que satisfaz a desigualdade p(x) 1 em [ 1, 1]. Provar que p[x 0, x 1,..., x n ] 2 n 1 para qualquer escolha dos pontos reais x 0 < x 1 < < x n. Problema 58. Seja g(x) := f[x 0, x 1,..., x k, x]. Provar que g[y 0, y 1,..., y n ] = f[x 0, x 1,..., x k, y 0, y 1,..., y n ]. Problema 59. Sejam x k = x 0 + kh, k = 0, 1,.... Provar que f[x 0, x 1,..., x k, x] = n f 0 n!h n. Problema 60. Se x k = x 0 + kh, k = 0, 1,..., mostre que, para todo polinômio P (x) = a n x n + + a 0, valem as igualdades: a) n P 0 = a n n!h n e b) m P 0 = a n n!h n, m > n. Problema 61. Provar que ( ) { n ( 1) n j j k 0, k = 0, 1,..., n 1, = j n!, k = n. j=0 Problema 62. Prove que ( )( ) n m + j ( 1) n j = 0 j k j=0 para todo número natural m e para k = 0, 1,..., n 1. Problema 63. Sejam f 0, f 1,..., f n números dados. Mostrar que ( ) n ( 1) n j n k f k = f 0. j j=0 Problema 64. Seja P (x ) um polinômio algébrico para o qual são conhecidos as quantidades P n, P n 1,..., n P 0, onde P k = P (x k ), x k = x 0 + kh, k = 0, 1,.... Mostre que os valores de P (x), para x = x n+1, x n+2,..., podem ser calculados através de soma de n termos, cada um sendo uma das quantidades dadas. Problema 65. Sejam f 0, f 1,..., f n+1 números dados que satisfazem as condições f 0 = f n+1 = 0 e 2 f i 1, i = 1,..., n. Prove que f k k(n + 1 k). 2 9

10 10 Problema 66. Seja f 0, f 1,... uma sequência de números para a qual n+1 f i = 0 para todo i = 0, Prove que existe um polinômio q(x) de grau n para o qual q(k) = f k para todo k = 0, 1,.... Problema 67. Calcular as somas a) n 2 ; b) n 3 ; c) (2n 1) 2 ; d) (2n 1) 3. Problema 68. Seja f(x) um polinômio de grau k. Provar que existe polinômio F (x) de grau k + 1, tal que,para todo n temos f(1) + f(2) + + f n = F (n). Problema 69. Seja f(x) uma função contínua em [a, b] e n+1 ( ) n + 1 ( 1) n+1 j f(x 0 + kh) = 0 j j=0 para cada x 0 e h > 0, com [x 0, x 0 +(n+1)h] [a, b]. Prove que f(x) coincide com um polinômio de grau n em [a, b].