Diferenças finitas e o polinômio interpolador de Lagrange

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1 Diferenças finitas e o polinômio interpolador de Lagrange Cícero Thiago B. Magalhães 19 de janeiro de Diferenças finitas Seja P(x) um polinômio de grau m. Defina +1 P(n) = P(n +1) P(n), 1, com 1 P(n) = P(n+1) P(n). Teorema 1. Seja P(x) um polinômio de grau m, em que m > 0. Então m P(n) é uma constante diferente de zero. Prova. Seja P(x) = a m x m +a m 1 x m a 1 x+a 0 um polinômio qualquer. Então P(n) = P(n+1) P(n) = a m (n+1) m +a m 1 (n+1) m a 1 (n+1)+a 0 (a m n m +a m 1 n m a 1 n+a 0 ). É fácil ver que o grau de P(n) é m 1 e seu termo de maior grau é a m ( m 1) n m 1, pois a m 0. Dessa forma, para m, o grau de P(n) é m. Portanto, quando = m o grau de m P(n) é 0, assim m P(n) é uma constante diferente de zero. Problema 1. Determine todos os polinômios P(x) tais que P(x+1) P(x) = x+1, x. Temosque P(n) = n+1,assim P(n) = P(n+1) P(n) = (n+1)+1 (n+1)=. Como P(n) é constante e diferente de zero então P(x) tem grau, ou seja, P(x) = ax +bx+c, assim a(x+1) +b(x+1)+c ax bx c = x+1 ax+a+b = x+1, x. Dessa forma, a = e a + b Portanto, a = 1 e b = 0 e P(x) = x + c, para alguma constante c. Problema. (AIME) Sejam x 1, x,..., x 7 números reais tais que x 1 +4x +9x 3 +16x 4 +x +36x 6 +49x 7 = 1, 4x 1 +9x +16x 3 +x 4 +36x +49x 6 +64x 7 = 1, 9x 1 +16x +x 3 +36x 4 +49x +64x 6 +81x 7 = 13. Determine o valor de 16x 1 +x +36x 3 +49x 4 +64x +81x x 7. 1

2 Defina P(n) = (n+1) x 1 +(n+) x +(n+3) x (n+7) x 7. Temos que P(0) = 1, P(1) = 1, P() = 13 e que P(n) é um polinômio quadrático. Desejamos calcular o valor de P(3). Assim P(0) = P(1) P(0) = 11, P(1) = P() P(1) = 111, P(0) = P(1) P(0) = 100. Dessaforma, P(n) = 100, n. Assim, P(1) = P() P(1) 100 = P() 111 P() = 11. Mas, P() = P(3) P() 11 = P(3) 13 P(3) = 334. Polinômio interpolador de Lagrange Vamos resolver um problema que serve de motivação para a construção do polinômio interpolador de Lagrange. Problema 3. Determine um polinômio quadrático tal que P( 1) = 4, P(1) = e P() = 1. Seja P(x) = ax +bx+c, com a 0, então P( 1) = a ( 1) +b ( 1)+c= 4, P(1) = a 1 +b 1+c= e P() = a +b +c= 1. Resolvendo o sistema linear encontramos P(x) = x +3x+1. Resolverosistemalinearobtido pode sermuito trabalhosoedifícil seograudo polinômiofor grande. Para resolver problemas deste tipo e outros problemas vamos estudar o polinômio interpolador de Lagrange. Teorema. Dados n N, a 0, a 1,..., a n e b 0, b 1,..., b n números complexos com a 0, a 1,..., a n distintos, existe um único polinômio P(x), de grau no máximo n, tal que Demonstração: P(α i ) = β i, 0 i n. Vamos inicialmente determinar o polinômio. Para isto, observe os polinômios é fácil ver que D (x) = (x α 0 )(x α 1 )...(x α 1 )(x α +1 )...(x α n ) (α α 0 )(α α 1 )...(α α 1 )(α α +1 )...(α α n ) D (α i ) = { 1, i = 0, i AgoramultipliqueD (x)pelonúmeroβ e, então,adicionetodosessespolinômiosresultando no polinômio P(x) = n β D (x) que satisfaz as condições do enunciado. Para demonstrar a unicidade sejam P 1 e P dois polinômios, que satisfazem as condições impostas. O polinômio H(x) = P 1 (x) P (x) tem grau no máximo n e possui n + 1 raízes α 0, α 1,..., α n, portanto, é identicamente nulo.

3 Com isso, P 1 (x) P (x). O polinômio D (x) não caiu do céu, então vamos ver a sua construção. Temos que { 1, i = D (α i ) = 0, i Como D (α i ) = 0 para todo i, então D (x) = C(x α 0 )...(x α 1 )(x α +1 )...(x α n ). Paradeterminar o valor de C vamos substituir x = α e usar a condição D (α ) Então, Portanto, D (x) = 1 = C(α α 0 )...(α α 1 )(α α +1 )...(α α n ). (x α 0 )(x α 1 )...(x α 1 )(x α +1 )...(x α n ) (α α 0 )(α α 1 )...(α α 1 )(α α +1 )...(α α n ). Problema 4. (Mandelbrot) Seja P(x) um polinômio de grau tal que P(0) = cos 3 10, P(1) = cos10 sin 10 e P() = 0. Determine P(3). Usando o polinômio interpolador de Lagrange temos P(x) = P(0) (x 1)(x ) (x 0)(x ) (x 0)(x 1) +P(1) +P() (0 1)(0 ) (1 0)(1 ) ( 0)( 1). Como P(0) = cos 3 10, P(1) = cos10 sin 10 e P() = 0 então P(x) = cos 3 10 (x 1)(x ) (0 1)(0 ) +cos10 sin 10 (x 0)(x ) (x 0)(x 1) +0 (1 0)(1 ) ( 0)( 1). Queremos P(3) assim P(3) = cos 3 10 (3 1)(3 ) (0 1)(0 ) +cos10 sin 10 (3 0)(3 ) (3 0)(3 1) +0 (1 0)(1 ) ( 0)( 1) P(3) = cos cos10 sin 10 ( 3) P(3) = cos cos10 sin 10 P(3) = cos cos10 (1 cos 10 ) P(3) = 4cos cos10 P(3) = cos3 10 = cos30 = Problema. (IMO Shortlist) Seja F 1 = F = 1, F n+ = F n+1 +F n e seja f um polinômio de grau 990 tal que f() = F, {99, 993,...,198}. Mostre que f(1983) = F Temosquef(+99) = F +99,para = 0,1,...,990eprecisamosprovarquef(99+991)= F Seja g(x) = f(x+99), que também possui grau 990. Nosso novo problema é tal 3. 3

4 que se g() = F +99, para = 0,1,...,990, então g(991) = F Usando o polinômio interpolador de Lagrange temos que Então g(x) = g() (x 0)(x 1)...(x +1)(x 1)...(x 990). ( 1)( )...1 ( 1)...( 990) ( ) 991 ( ) 991 g(991) = g() ( 1) = F +99 ( 1). Sabemos que F n = an b n, em que a = 1+ e b = 1. Assim, ( [ 991 )F +99 ( 1) = 1 ( ) 991 ( ] 991 a +99 ( 1) )b +99 ( 1). Usando binômio de Newton temos que ( 991 ( ) 991 )a +99 ( 1) = a 99 ( a) = a 99[ (1 a) 991 +a 991]. Mas a = a+1, então Temos que b = b+1 então a 99[ (1 a) 991 +a 991] = a(a a ) 991 +a 1983 = a+a ( ) 991 F +99 ( 1) = 1 (a 1983 b 1983 a+b) = a1983 b 1983 a b = F (AHSME) Determine o polinômio P, de menor grau possível, que satisfaz P(1) = 3, P() = 7, P(3) = 13, P(4) = 1 e P() = 31.. Um polinômio cúbico f(n) satisfaz f(0) =, f(1) = 4, f() = 17 e f(3) = 6. Determine f(4). 3. (AIME) A partir de uma sequência de números reais A = a 1, a, a 3,..., defina A como a sequência de números reais a a 1, a 3 a,a 4 a 3,..., em que o n - ésimo termo é a n+1 a n. Se todos os termos da sequência ( A) são iguais a 1, e que a 19 = a 9 = 0, determine a Determine um polinômio de grau 3 tal que: (a) P(1) =, P() = 1, P(3) = 4 e P(4) = 3. (b) P(1) = 1, P(i) =, P( 1) = 3 e P( i) = 4.. Se f é um polinômio de grau n tal que f(i) = i para i = 0, 1,...,n, determine f(n+1). 4

5 6. Prove que se f(x) é um polinômio de grau n na variável x, então f(x) = f(0)+ x 1 f(0)+x (x 1) 1 f(0)+...+ x (x 1)... (x n+1) n f(0), n! em que f(0), f(0),..., n f(0) são obtidos a partir de +1 f(n) = f(n + 1) f(n), 1, com 1 f(n) = f(n+1) f(n). 7. (Mandelbrot) Se P(x) é um polinômio de grau n tal que P(0) = 1, P(1) = 1, P() = 1, P(3) = 1,..., P(n) = ( 1) n. Determine P(n+1). 8. (Mandelbrot) Se P(x) é um polinômio de grau n com P(1) = 1, P() = 3, P(4) = 9,... e P( n ) = 3 n. Determine P( n+1 ). 9. (USAMO)Se P(x) é um polinômio de grau n tal que P() =, = 0, 1,..., n, +1 determine P(n+1). 10. (IMO Shortlist)Se P(x) é um polinômio de grau n tal que P(i) = i = 0, 1,,..., n. Determine P(n+1). 1 ( n+1 ), para 11. Resolva o sistema ax 1 + a x + a 3 x 3 + a 4 x 4 = 1 bx 1 + b x + b 3 x 3 + b 4 x 4 = 1 cx 1 + c x + c 3 x 3 + c 4 x 4 = 1 dx 1 + d x + d 3 x 3 + d 4 x 4 = 1 se a, b, c, d são reais não - nulos e distintos. 1. (Reino Unido) Sejam a 1, a,..., a n números inteiros positivos distintos. Prove que n a i para qualquer inteiro positivo o número é um inteiro. (a i a j ) i=1 j i 13. Sejam x 1, x,..., x n, n, n números reais distintos no intervalo [ 1,1]. Prove que n, t 1 t t n em que j i x i x j. 14. Prove que se m e n são inteiros, 1 < m < n, então n ( ) n ( 1) m = 0. =1 1. Prove a identidade n ( ) n ( 1) n n+1 = n(n+1)!.

6 16. Seja f R[X] um polinômio de grau n com coeficiente líder igual a 1, e sejam x 0 < x 1 <... < x n números inteiros. Prove que existe {0, 1,..., n} tal que f(x ) n! n. 17. (IMO Shortlist) Seja f um polinômio com coeficientes inteiros, e seja p um número primo tal que f(0) = 0, f(1) = 1 e f() é congruente a 0 ou 1 módulo p, para todo inteiro positivo. Mostre que o grau de f é no mínimo p (USAMO) Prove que qualquer polinômio mônico de grau n, com coeficientes reais, pode ser escrito como média aritmética de dois polinômios mônicos de grau n com n raízes reais cada. 19. Sejam a 1, a, a 3, a 4, b 1, b, b 3,b 4 números reais tais que b i a j 0 para i, j = 1,, 3, 4. Suponha que exista um único conjunto de números, X, X 3, X 4 tais que b 1 a 1 b 1 a b 1 a 3 b 1 a 4 b a 1 b a b a 3 b a 4 b 3 a 1 b 3 a b 3 a 3 b 3 a 4 b 4 a 1 b 4 a b 4 a 3 b 4 a 4 Determine +X +X 3 +X 4 em função de a 1, a, a 3, a 4, b 1, b, b 3,b (Espanha) Sejam a, b e c números reais e seja f(x) = ax +bx+c tal que máx{ f(±1), f(0) } 1. Prove que se x 1 então f(x) 4 e x f ( ) 1. x 1. (ARML) f(x) é um polinômio de grau maior que 3. Se f(1) =, f() = 3 e f(3) =, determine o resto da divisão de f(x) por (x 1)(x )(x 3). Bibliografia 1. Problems from the boo Titu Andreescu e Gabriel Dospinescu. Winning Solutions Edward Lozansy e Cecil Rousseau 3. The Mandelbrot Problem Boo Sam Vandervelde 4. Kvant Selecta: Algebra and Analysis, II Serge Tabachniov 6

7 . Lagrange Interpolation Formula Kin Y. Li Mathematical Excalibur - July - September, A problem boo in algebra V. A. Krechmar 7. Straight from the boo Titu Andreescu e Gabriel Dospinescu. 8. Fifty lectures for American Mathematics Competitions, vol. 3 Jane, Yongcheng, Sam e Guiling Chen 7