SME306 - Métodos Numéricos e Computacionais II Prof. Murilo F. Tomé. (α 1)z + 88 ]

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1 SME306 - Métodos Numéricos e Computacionais II Prof. Murilo F. Tomé 1 o sem/2016 Nome: 1 a Prova - 07/10/2016 Apresentar todos os cálculos - casas decimais 1. Considere a família de funções da forma onde α 0 é um parâmetro real. g α (x) 1 α No. USP: (α 1)x + 88, (1) x a) 0. Mostre que os pontos fixos de g α são as raies da equação 88 0, independentemente do valor do parâmetro α. SOLUÇÃO: De fato, seja um ponto fixo de g α. Então g α () e tem-se: g α () 1 (α 1) + 88 α ( ) α (α 1) é rai da equação b) Com o objetivo de aproximar a rai positiva dessa equação, pertencente ao intervalo 9, 9.6, considere a iteração do ponto fixo, x n+1 g α (x n ), associada a Eq. (??). A tabela seguinte mostra algumas iterações das sequências correspondentes aos valores α 3/2 e α 1/2, com iteração inicial x 0 9. n 0 n 1 n 2 n 3 n 4 n x n+1 g 3/2 (x n ) x n+1 g 1/2 (x n ) i) 2.0 No caso de α 3/2, preencha o espaço em branco na tabela. Diga o que indicam os resultados, no que respeita à convergência ou divergência das sequências para a rai acima referida. Confirme teoricamente, em cada caso. SOLUÇÃO: Da tabela temos, x 3 g 3/2 ( ) 2 (1. 1)x Facilmente pode-se observar que: (i) Pode-se observar que a sequência gerada por g 1/2 (x n ) não está convergindo visto que os pontos fixos da função g α (x n ) são também eros da equação f(x) (ver (***) acima) que são ± (88) ± Desde que procura-se a rai positiva no intervalo , facilmente vê-se que se tem g 1/2 176 (x) (1 + (x) x ) 2 g 1/2 g 1/2 (x) > 1 x 9, 9.6 g 1/2 () > 1 o método do ponto fixo DIVERGE (ii) Nota-se que a sequência associada a função g 3/2 (x n ) está convergindo para a rai positiva da equação f(x) 0. Para provar esse fato, precisamos 1

2 mostrar que g 3/2 (x) satisfa as condições: (iia) g 3/2 (I) I, onde I (iib) max g 3/2 (x) L < 1, onde g 3/2 (x) Temos que g 3/2 (x) > 0, x 9, x 3 g 3/2 (x) é monótona crescente em I. Logo, g 3/2 (9) g 3/2 (x) g 3/2 (9.6) < 0, donde vemos que max g 3/2 (x) L < 1, o que prova condição (iib) (*) Para provar condição (iia), basta observar que g 3/2 (x) < 0 em I e portanto g 3/2 (x) é monótona decrescente em I e tem-se g 3/2 (9) g 3/2 (x) g 3/2 (9.6) e portanto, como g 3/2 (9) I e g 3/2 (9.6) I temos que g 3/2 (I) I. Pelo TEOREMA do PONTO FIXO, a sequência x n+1 g 3/2 (x n ) converge para o único ponto fixo de g(x) em I (que é também o ero da equação 88 0 (mostrado em (a)). ii) 0. No caso de α 3/2, obtenha um majorante para o erro absoluto da iterada x 3. SOLUÇÃO: Um majorante para o erro é dado por x 3 L 1 L x iii) 1.0 Como deveria escolher α de modo a obter convergência quadrática? SOLUÇÃO: Basta resolver a equação g α() 0. De fato, temos g α(x) 1 (α 1) 88 α Se é ponto fixo de g(x) então impõe-se g α() 0 1 α (α 1) 88 2 De fato, tomando x obtém-se α e g () e

3 2. Pretende-se resolver o seguinte sistema de equações não lineares pelo método de Newton x x 1 + x x 3 11 x 1 x x x 1 + x x x 1 x usando como aproximação inicial o vetor x (0) T. F(x) a) 1.0 Mostre qual é o sistema linear que deve ser resolvido para obter x (1). f 1 (x) 0 f 2 (x) 0 f 3 (x) 0 SOLUÇÃO: Pelo método de Newton, as aproximações são calculadas pelas equações: x (k+1) x (k) + d onde d é a solução do sistema linear f 1 f 1 ( ) Ad F(x (k) f ), A i x j (x (k) x 1 f ) 2 f 2 x 1 x 3 f 2 f 1 x 3 x 1 x 3 2x x 3 x 1 e para x (0) T obtemos: A e F(x (0) ) b) 1.0 Resolva o sistema linear e calcule x (1) SOLUÇÃO: Resolvendo o sistema Ad F(x (0) ) obtemos: d T x (1) x (0) + d T Considere a seguinte tabela de valores de uma função f x i f(x i ) Utiliando interpolação de 2a. ordem, forneça uma aproximação para f(0). SOLUÇÃO: Sejam os pontos x 0 0.0, f(x 0 ) 2.120; x 1 0.3, f(x 1 ) e 1.0, f( ) 6. O polinômio interpolador nesses pontos é dado por: P 2 (x) l 0 (x) f(x 0 ) + l 1 (x) f(x 1 ) + l 2 (x) f( ) onde os polinômios de Lagrange são calculados por: (x 0.3)(x 1.0) l 0 (x) ( )( 0. 1) (x + 0.)(x 1) l 1 (x) ( )(0.3 1) (x + 0.)(x 0.3) l 2 (x) (1 + 0.)( ) (x 0.30)(x 1.0) ( 0.8)( 1.) (x + 0.)(x 1) (0.8)( 0.7) (x + 0.)(x 0.3) (1.)(0.7) (x 0.3)(x 1) (x + 0.)(x 1) (x + 0.) (x 0.3)

4 Logo, e P 2 (x) (x 0.3)(x 1) ( 2.120) (x + 0.)(x 1) (1.4838) (x + 0.) (x 0.3) (6.) f(0) P 2 (0) ( 0.3)( 1) ( 2.120) (0.)( 1) (1.4838) (0.) ( 0.3) (6.) ( ) Determine pelo MMQ, a melhor reta que aproxima a função f(x) e x + e 2x no intervalo 0, 1. SOLUÇÃO: Se aproximarmos a função f(x) e x + e 2x pela reta, g(x) a x + b, no intervalo 0, 1 pelo MMQ, os parâmetros a e b são obtidos pela solução do sistema linear (x, x) (x, 1) a (f, x) (x, 1) (1, 1) b (f, 1) Calculando os produtos escalares, obtém-se (x, x) 1 0 x2 dx 1 3 x /3, (x, 1) 1 xdx x /2, (1, 1) 1 1dx 0 x (f, 1) 1 0 (ex + e 2x )dx e x + 1e2x 1 (e e2 ) (1 + 0.) (f, x) 1 0 x(ex + e 2x )dx x ( ( ) 1 e x + 1e2x) e x e2x 1 4 e Logo, temos o sistema linear: a b Resolvendo esse sistema obtém-se: a e b Sabe-se que a função da tabela abaixo é da forma y(x) e ax2 +b. Determine os valores de a e b pelo método dos minimos quadrados. x i f(x i ) F (x i ) SOLUÇÃO: Como a função g(x) envolve os parâmetros a e b de uma forma nãolinear, antes de aplicarmos o método de mínimos quadrados precisamos faer uma lineariação da função g(x) como segue. f(x) e ax2 +b f(x) e a x2 +b ln f(x) a + b. Logo, os parâmetros a e b são obtidos aplicando-se o método dos mínimos quadrados de modo que a função F (x) ln seja aproximada pela função G(x) a φ 0 (x) + f(x) bφ 1 (x) com φ 0 (x) e φ 1 (x) 1. Para isso, temos que resolver o sistema linear (Φ0, Φ 0 ) (Φ 1, Φ 0 ) a (F, Φ0 ) (Φ 1, Φ 0 ) (Φ 1, Φ 1 ) b (F, Φ 1 ) 4

5 onde Φ , Φ 1 Calculando os produtos escalares obtemos:, (ver tabela acima) F (Φ 0, Φ 0 ) , (Φ 1, Φ 0 ) , (Φ 1, Φ 1 ) , (F, Φ 0 ) , (F, Φ 1 ) Logo, temos o sistema linear a b Aplicando o método eliminação de Gauss a esse sistema obtemos: a que tem como { a b solução b Q 3 i0 f(x i ) G(x i )