Prova de Conhecimentos Específicos. 1 a QUESTÃO: (1,0 ponto) PROAC / COSEAC - Gabarito. Engenharia de Produção e Mecânica Volta Redonda

Transcrição

1 Prova de Conhecimentos Específicos 1 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Calcule a derivada segunda d dx x ( e cos x) 1

2 ( ) d e x cosx = e x cos x e x sen x dx d dx ( x x ) e cos x e senx = 4e x cos x + e x sen x + e x sen x e x cos x = e x cos x + 4 e x sen x d dx x ( e cosx) = e x cos x + 4 e x sen x a QUESTÃO: (1,0 ponto) Calcule a integral senx cos xdx

3 Seja u = cos x du = sen x dx u Então senx cos xdx= u du= + C cos x senx cos xdx= + C a QUESTÃO: (,0 pontos) a) Determine a solução da seguinte equação diferencial dy by 1 dx + =

4 b) Verifique a resposta a) Solução da homogênea: dy by 0 dx + = eq. característica: r + b = 0 raiz: r = b solução: y = Ce bx Solução da particular: y P = D (Constante) y P = 0 Substituindo: 0 + b D = 1 D = 1 b Solução completa: y(x) = Ce bx + 1 b b) Verificação: y = b Ce bx Substituindo: b Ce bx + b Ce bx + b b = 1 1 = 1 4 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Indique se os vetores = ( ) = ( ) = ( ) linearmente independentes. r r ur u 1, 1, ; v 1,, e w 1,4, 1 são 4

5 Calculando-se o determinante = = Não. São linearmente dependentes. 5 a QUESTÃO: (1,0 ponto) 5

6 Um objeto de massa m = kg desliza sem atrito sobre um plano inclinado que faz um ângulo de 0 graus com a horizontal. O objeto é abandonado, a partir do repouso, de uma altura h = 1,8 m medida a partir do solo. Ao atingir a base do plano inclinado, o objeto passa a deslizar sobre o plano horizontal, com a presença de atrito, sendo que o coeficiente de atrito cinético entre o objeto e o plano horizontal é µ = 0,. Calcule: a) a velocidade do objeto na base do plano inclinado; b) a distância percorrida pelo objeto, no plano horizontal, até parar. adote g = 10m/s A V= 0 o 1,8 m 0 o B V B x V= 0 C C a) por conservação da energia mecânica 1 mgh= mvb V B = gh=.10.1,8=6m/s b) Pelo Teorema de energia cinética r F 1 AT 1 W = mvc mvb 1 VB 6 µ mg x= 0 mgv x= = = 9m B ìg ou usando a equação de Torricelli V =V0 +.a.äs onde F R = F AT = m.a obtém-se o mesmo resultado. 6 a QUESTÃO: (1,0 ponto) 6

7 Uma partícula de massa 0,1 kg vem-se deslocando ao longo do eixo x e está sujeita a uma força que varia com a posição dada por F(x) = 0x 4x (SI). Quando a partícula passa pela posição x = 0 sua velocidade é de 0 m/s no sentido positivo do eixo. a) Determine o trabalho realizado por essa força sobre a partícula no deslocamento entre x = 0 e x = m. b) Obtenha a velocidade dessa partícula na posição x = m. a) r xr r x F W = F.dr= F(x)dx= 0x 4x dx ( ) r F x x W = 0 4 = 40 16= 4J 4 0 b) pelo Teorema da Energia Cinética 1 1 W mv mv r F = = 0,1V 0,1(0) V = = 880 V = 9,7 m/s 7

8 7 a QUESTÃO: (1,5 pontos) Um anel de raio R (uma roda de bicicleta, por exemplo), com uma massa m uniformemente distribuída, gira com velocidade angular constante ω em torno de um eixo fixo, passando pelo seu centro de massa, e perpendicular ao eixo do anel. Obtenha: a) o momento de inércia do anel; b) a energia cinética de rotação; c) o módulo do torque necessário para fazer o anel parar com aceleração angular constante, após um intervalo de tempo t. 8

9 a) R I= mr = mr = R m = mr i i i i 1 1 b) Krot = Iω = mr ω c) r r r dl L τ = = dt t (já que α = cte) r r L 0 Iω mr ω τ = = τ = t t t 8 a QUESTÃO: (1,5 ponto) Um mol de um gás ideal monoatômico é usado como substância operante de uma máquina térmica, que opera no ciclo mostrado abaixo. P P o b c P o a d V o V o V 9

10 Calcule, em termos de P 0 e V 0 : a) o trabalho realizado por ciclo; b) o calor absorvido Q abc por ciclo na fase de expansão abc; c) o rendimento da máquina. a) W = o PdV = área do retângulo = P o V o b) du = dq dw W ab = 0 ( V = cte) Q ab = U = RT = PV = V = PV P o o Q bc = U + W bc = PV + P o V o = PV o o + P o V o = 5P o V o Q abc = PV + 5P o V o = 1 PV o o o o W PV o o c) η = = = Q 1 abc 1 PV o o 15% 10