Aula do cap. 10 Rotação

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1 Aula do cap. 10 Rotação Conteúdo da 1ª Parte: Corpos rígidos em rotação; Variáveis angulares; Equações Cinemáticas para aceleração Angular constante; Relação entre Variáveis Lineares e Angulares; Referência: Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1. Cap. 11 da 6 a. ed. Rio de Janeiro: LTC, Tipler, Paul. Física, Vol 1 cap a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 000.

2 O corpo rígido O corpo rígido é aquele no qual a distância entre duas partículas quaisquer é fixa! r r A r A = ( xa, ya, z A) r = x, y, z ) B ( B B B θ r Ângulo de rotação B ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) r A B A B A B = estamos interessados em estudar a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo

3 Variáveis rotacionais a linha de referência é perpendicular ao eixo de rotação e fixa ao corpo. O seu deslocamento define o ângulo de rotação do corpo rígido. ẑ o sentido da rotação é dado pela regra da mão direita. xˆ Linha de referência Um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo possui apenas duas possibilidades de rotação: no sentido horário (-) ou anti-horário (+). O sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra da mão direita: " Posiciona-se a mão direita aberta com os dedos maiores no mesmo sentido da rotação do disco. Então, o polegar indicará o sentido do vetor velocidade angular." Δθ ŷ

4 Variáveis rotacionais cada ponto do corpo rígido executa movimento circular Em geral as rotações em um plano podem ser facilmente descritas por um ângulo e um intervalo de tempo. Considere o comprimento S do segmento de um círculo (arco) contido em ângulo θ. Se o círculo tem um raio r, o comprimento de sua circunferência é dado por L = π r. t θ t 1 r a) S θ S = θ r o b) θ 1 x Relação 1 rad = 57,3 o ou π rad = 360 o.

5 Variáveis rotacionais r =(x, y) r Velocidade tangencial Vetor velocidade v, no MCU, tem módulo constante, sendo tangente a trajetória em cada ponto. Δθ = Δs r = πr r = π rad = π r v = distância percorrida tempo gasto t Unidade: m/s v rδθ = = r Δt O tempo necessário para percorrer uma volta completa, chama-se período do movimento. O inverso do período é a freqüência do movimento. ω

6 Variáveis rotacionais A velocidade angular média (ω) do corpo, no intervalo entre t 1 e t, é definida como a razão entre o deslocamento angular dθ = θ - θ 1, e o intervalo de tempo dt = t -t 1 : ω = Δθ Δt ω = π T ω = π A coordenada angular que descreve a posição de um corpo na trajetória circular (MCU) pode ser dada por: θ = θ o + ω t Em uma volta completa o ângulo é π rad.: Δs πr Δθ = = = π rad r r F

7 Variáveis rotacionais V 1 = πr 1 T V = πr T T 1 = T e f 1 = f ω 1 = ω = π T

8 Variáveis rotacionais Velocidade Angular Instantânea: A velocidade angular instantânea ω é definida como o limite de ω para o qual dt tende 0 dt aproxima-se de zero : ω = lim Δθ Δt -0 Δt dθ(t) = dt Unidade: É o radiano por segundo ( 1rad/s). Outras unidades: rotações por minuto (r.p.m.) ou 1 r.p.s. = π rad/s.

9 Variáveis rotacionais ac = v r = ω aceleração angular média é definida como: α = Δω Δt A unidade de aceleração angular é 1 rad/s = 1/s. aceleração angular instantânea a é definida como limite desta razão quando Δt tende a zero : α = lim Δω Força centrípeta provoca a aceleração centrípeta no Movimento Circular.v = d θ Δt -0 Δt dt v = r ω

10 Variáveis rotacionais Movimento com Principais Equações Movimento com aceleração aceleração linear constante angular constante a = constante v = vo + at α = constante w = wo + α t x = xo + vot + 1/ at θ = θo + wo t + 1/ α t Relação entre Variáveis Lineares e Angulares: V = w r a t = r α a c = v = w r = w v r

11 Δϕ Será um vetor? Na figura abaixo aplicam-se dois deslocamentos angulares de 90º a um livro inicialmente na horizontal; primeiro a rotação em torno do eixo x e depois a rotação em relação ao y. Inverte-se os deslocamentos angulares no segundo caso, isto é, primeiro rotação em y depois em x. O livro acaba chegando a diferentes orientações no final. Portanto, a soma de dois deslocamentos angulares depende da ordem em que é efetuada, eliminando a possibilidade de eles serem vetores. exemplo Δϕ não é um vetor! rotações sucessivas de um livro pag. 08.

12 Lembrando, para as variáveis lineares... O cálculo de θ(t) a partir de ω(t) t θ θ 0 = ω ()dt t t 0 O cálculo de v(t) a partir de a(t) ω ω 0 = t t α 0 ()dt t Resumo dos Conceitos Problema direto, x(t) (derivada) v(t) v(t) (derivada) a(t) Problema inverso a(t) (integral) v(t) v(t) (integral) x(t) Quem fez? Newton

13 Variáveis rotacionais Exemplo Cálculo da velocidade angular da Terra em torno do seu eixo A Terra completa uma revolução a cada 3h56min (dia sideral). O módulo da sua velocidade angular é rad 6,8 rad ω = π = = 7, dia s rad s ω r e a sua direção aponta para o norte ao longo do eixo de rotação.

14 Aula do cap. 10 Energia Cinética na Rotação Conteúdo ª Parte: Energia Cinética de Rotação e Momento de Inércia. Definição de Torque. Trabalho e Potência no Movimento Rotacional. Referência: Halliday, David; Resnick, Robert & Walker, Jearl. Fundamentos de Física, Vol 1. Cap. 11 da 6 a. ed. Rio de Janeiro: LTC, Tipler, Paul. Física, Vol 1 cap a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 000.

15 Energia Cinética na Rotação A Energia cinética total de um corpo em rotação é a soma das energia cinéticas de todas as partículas que constituem o corpo. energia cinética translacional energia cinética rotacional K t = 1/ mv (rotação) K r =?

16 Energia Cinética na Rotação Energia cinética de translação K t = 1/ mv substituindo v = wr cada partícula m do corpo K = 1/ m(wr) K r = 1/ ( Σmr ) w A grandeza Σmr é denominada Inércia à rotação - momento de inércia I = Σ m r Momento de Inércia energia cinética translacional energia cinética rotacional K t = 1/ mv (rotação) K r = 1/ I w

17 Exemplo: Quatro partículas de massa m, estão ligadas por hastes de massa desprezível formando um retângulo de lados a e b. O sistema gira em torno de um eixo no plano da figura. Calcular o momento de inércia, nas situações apresentadas.

18 Momento de Inércia: I = Σ m r = m 1 r 1 + m r + m 3 r 3 + m 4 r 4 I = m a + m a + m a + m a = 4ma I = 4ma

19 Momento de Inércia: I = Σ m r = m 1 r 1 + m r + m 3 r 3 + m 4 r 4 I = m 0 + m 0 + m (a) + m (a) = 8ma I = 8ma

20 Anel homogêneo de massa M e densidade linear λ λ = Cálculo do Momento de Inércia: M dm = M R/ dϕ π R π R/ dϕ dl = R dϕ π R M Aro I = R dm = R dϕ = MR π 0 Cilindro ou Disco homogêneo de massa M e densidade superficial σ σ M M = dm = π r dr π R / π R / dr R r I R = r dm = 0 r M R r dr = M R 4 r 4 R 0 = 1 MR ds = π r dr

21 Tabela de momentos de inércia

22 Ver tabela 11. pag. 13 Halliday 6ª ed.

23 O teorema dos eixos paralelos Lista 0 exercício) I = I + Mh CM a) Calcule o momento de inércia de uma barra delgada de ferro de m de comprimento e 8,7 kg de massa, em torno de um eixo perpendicular à barra e localizado a 30 cm do centro da barra. b) O momento de inércia é uma grandeza escalar ou vetorial e qual sua unidade? CM. h

24 O trabalho e Energia cinética no deslocamento angular ΔW = 1 I ω f 1 I ω i O trabalho total é igual à variação da energia cinética de rotação.

25 Torque Para deslocarmos um corpo sobre uma superfície aplicamos uma força sobre ele. Agora, se quisermos girar um corpo ao redor de um ponto ou de um eixo devemos aplicar-lhe um torque. O torque tende a girar ou mudar o estado de rotação dos corpos, representando o efeito girante de uma força. F F Eixo de rotação

26 Torque Para aplicar um torque a força deve ser exercida em um ponto que não coincida com o eixo de rotação e numa direção que não coincida com o raio de giro. Torque e braço de uma força.

27 Torque O efeito girante de uma força ou torque depende de duas coisas: - da intensidade da força aplicada; - do comprimento do braço da força. Força Força Força Imagem: conviteafisica.com.br

28 Torque Forças de mesmo módulo/ torques diferentes F 4 Eixo de rotação F 3 F 5 F 1 F Giro no sentido horário torque - Giro no sentido anti-horário torque +

29 Torque Definimos o torque como sendo o produto da força pelo comprimento de seu braço. Torque τ = r x F. r F θ braço da força r sen θ Torque τ = r x F = F r senθ Eq O braço da força r senθ é a menor distância entre a direção da força aplicada e o eixo de rotação. Ele é obtido tomando a distância do ponto de rotação perpendicular à direção da força.

30 Torque F r θ braço da força r sen θ Torque τ = r x F = F r senθ O braço da força r é a menor distância entre a direção da força aplicada e o eixo de rotação. Ele é obtido tomando a distância do ponto de rotação perpendicular à direção da força. Eixo Braço da força = r sen90º = r r F

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32 Torque Vetor

33 Torque como produto vetorial τ = r x F i 3 Podemos calcular o produto vetorial entre vetores é através do determinante de uma matriz. Efetuar τ = r x F. r = 3m i + 4mj + 5m k e F = N i + 3Nj - 1N k j 3 4 k 1 5 = (15 + 4) i + ( 3 10) j + (8 9) k = 19i 13 j 1k 19i 13 j 1k τ =

34 Trabalho e Potência no Movimento Rotacional Uma força aplicada a um corpo em rotação realiza trabalho sobre o corpo. Este trabalho pode ser expresso em termos do torque da força e do deslocamento angular. dw = F. ds = F r dθ = τ dθ Onde grandeza τ = r F é o torque, que na forma vetorial : θf ds = dθ r τ = r x F W = τ dθ θi

35 Potência no Movimento Rotacional Voltando a potência relacionado como movimento rotacional podemos escrever: dw = F. ds = F r dθ = τ dθ Pot = dw = τ dθ dt dt ou Pot = τ ω Eq isto é, a potência instantânea é igual ao produto do torque pela velocidade angular instantânea. Resultado análogo ao caso linear P = Fv.

36 A segunda Lei de Newton para a rotação A segunda Lei de Newton toma uma forma peculiar quando aplicada aos movimentos que envolvem rotação. F = ma Torque τ = r x F e a = αr τ = I α

37 Exercícios 1) Uma bicicleta é montada de modo que a roda traseira possa girar livremente. A corrente aplica uma força de 18 N ao pinhão de força, a uma distância r PINHÃO = 7 cm do eixo da roda. Considere que a roda seja um aro (I = MR ) de raio R = 35 cm e massa M =,4 kg. Qual a velocidade angular da roda depois de 5 s?

38 Resposta exercício 1)

39 Exercício ) Um corpo de massa m está pendurado em uma corda que passa por uma polia cujo momento de inércia em relação ao próprio eixo é I e o raio e R. A polia tem rolamento sem atrito e a corda não escorrega pela sua borda. Calcular a tensão na corda e a aceleração do corpo.

40 Resposta do exercício )

41 Exercício Resolvido Máquina de Atwood com uma polia com massa Massa 1 Fy = m1 g T1 = m1a Massa F y = T m g = m a τ = T1 R T R = Iα = Polia a = MR = MRa T1 T = Ma R Então m m 1 g a = m + m + 1 M 1