CÁLCULO I. 1 Concavidade. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Máximos e Mínimos - 2 a Parte

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 16: Máximos e Mínimos - 2 a Parte Objetivos da Aula Denir e discutir a concavidade de uma função em um intervalo do domínio; Denir e calcular os pontos de inexão de uma função; Utilizar o Teste da Segunda Derivada para determinar extremos de uma função; Resolver problemas envolvendo máximos e mínimos de funções. 1 Concavidade Considere um intervalo I e uma função f : I R derivável cujo gráco é dado abaixo. Figura 1: Gráco de uma Função f Sejam p, x I tais que x p, sendo representados no gráco como mostra abaixo: Figura 2: Gráco de uma Função f 1

2 Agora, tracemos a reta tangente ao gráco de f que passa pelo ponto (p, f(p)), como está ilustrado abaixo. Figura 3: Gráco de uma Função f Como já foi observado em aulas anteriores, sabemos que a equação da referida reta tangente em (p, f(p)) é dada por y = f(p) + f (p)(x p) Deste modo, a equação dessa reta tangente é dada por T (x) = f(p) + f (p)(x p) Note que para x p, temos que a reta tangente possui um valor menor que f(x) como foi ilustrado a seguir Figura 4: Gráco de uma Função f Dessa forma, podemos denir que f tem concavidade para cima em um intervalo aberto I se f(x) > T (x) para quaisquer x, p I com x p. De forma análoga, podemos denir que f possui concavidade para baixo em um intervalo aberto I se para quaisquer x, p I com x p. f(x) < T (x) Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Denição 1. Sejam f uma função contínua em um intervalo I e p I. Dizemos que p é ponto de inexão de f se existirem números reais a e b com p (a, b) I, tal que f tenha concavidade de nomes contrários em (a, p) e (p, b). Em outras palavras, p é um ponto de inexão de f se existir um intervalo aberto (a, b) I com p (a, b) tal que f tem concavidade para cima em (a, p) e concavidade para baixo em (p, b) ou vice-versa. Vejamos alguns exemplos de pontos de inexão. Figura 5: Ponto de Inexão de uma Função f Figura 6: Pontos de Inexão de uma Função f O próximo resultado é de extrema importância para determinarmos com mais facilidade a concavidade de uma função. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 Teorema 1. Seja f uma função que admite derivada até 2 a ordem no intervalo aberto I. (i) Se f (x) > 0 em I, então f terá concavidade para cima em I; (ii) Se f (x) < 0 em I, então f terá concavidade para baixo em I; Vejamos alguns exemplos de aplicação desse teorema. Exemplo 1. Estude a função f(x) = x 3 3x 2 9x com relação à concavidade e pontos de inexão. Pelo teorema anterior, basta estudar o sinal da função f (x). Sendo assim, note que f(x) = x 3 3x 2 9x f (x) = 3x 2 6x 9 f (x) = 6x 6 Agora, note que f é uma função polinomial do primeiro grau que possui raiz em x = 1. Logo, notamos que f (x) < 0 para x (, 1) e f (x) > 0 para x (1, + ). Então pelo teorema 1, f tem concavidade para baixo em (, 1) e concavidade para cima em (1, + ). É comum representarmos essas informações através do seguinte diagrama: Figura 7: Exemplo 1 Utilizando o diagrama acima, vê-se facilmente que p = 1 é ponto de inexão de f. Exemplo 2. Estude a função f(x) = x com relação à concavidade e pontos de inexão. 1 + x2 Como zemos anteriormente, devemos determinar primeiramente a função f e estudar o seu sinal. Dito isso, note que [ ] f x (x) = 1 + x 2 Agora, observe que f (x) = = (x) (1 + x 2 ) x(1 + x 2 ) (1 + x 2 ) 2 = 1 + x2 2x 2 (1 + x 2 ) 2 = [ 1 x 2 (1 + x 2 ) 2 1 x 2 (1 + x 2 ) 2 ] = (1 x2 ) (1 + x 2 ) 2 (1 x 2 ) [ (1 + x 2 ) 2] (1 + x 2 ) 4 = ( 2x)(1 + x2 ) 2 (1 x 2 ).4x.(1 + x 2 ) (1 + x 2 ) 4 = 2x 4x3 2x 5 4x + 4x 5 (1 + x 2 ) 4 = 2x(x4 2x 2 3) (1 + x 2 ) 4 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Note que (1 + x 2 ) 4 > 0, para qualquer valor real atribuído a x. Dessa forma, para estudar o sinal da função f, basta estudar o sinal da função 2x(x 4 2x 2 3). Sendo assim, vamos estudar o sinal do fator x 4 2x 2 3. Tomando y = x 2, podemos reescrever o polinômio como sendo y 2 2y 3 que possui raízes y 1 = 1 e y 2 = 3. Como y só admite valores positivos, temos que x 1 = 3 e x 2 = 3. Dessa forma, a concavidade de f é dada por Figura 8: Exemplo 2 Logo, f possui concavidade para baixo em (, 3) (0, 3) e concavidade para cima em ( 3, 0) ( 3, + ). Portanto, p = 3, p = 0 e 3 são os pontos de inexão de f. Observação 1. De posse desse resultado, podemos buscar os pontos de inexão de f analisando os pontos em f (x) = 0. Contudo, só vericar as raízes de f não basta, devemos também analisar a concavidade da função em pontos próximos dessas raízes. O exemplo a seguir ilustra essa observação. Exemplo 3. Considere a função f(x) = x 4. Determine seus pontos de inexão. e que Note que f (x) = 4x 3 f (x) = 12x 2 Estudando o sinal de f, temos que a concavidade de f é dada por Figura 9: Exemplo 3 Dessa forma, 0 não é um ponto de inexão de f, pois a concavidade em pontos próximos de 0 não muda. Logo, f não possui pontos de inexão. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 2 Teste da Segunda Derivada Sejam f uma função que admite derivada de 2 a ordem contínua no intervalo I e p I. (i) Se f (p) = 0 e f (p) > 0 então p é um ponto de mínimo local ou relativo; (ii) Se f (p) = 0 e f (p) < 0 então p é um ponto de máximo local ou relativo Os exemplos a seguir ilustram a utilização desse importante resultado. Exemplo 4. Utilizando o Teste da Segunda Derivada, determine os máximos e mínimos relativos da função f(x) = x4 4 x3 2x Primeiramente, vamos determinar f. Desse modo, f (x) = x 3 3x 2 4x Agora, vamos determinar os pontos críticos de f. Sendo assim, note que f (x) = 0 x 3 3x 2 4x = 0 x.(x 2 3x 4) = 0 Sendo assim, x = 0 ou x 2 3x 4 = 0. Resolvendo essa última equação, obtemos que os pontos críticos de f são x = 0, x = 4 e x = 1. Agora, note que f (x) = 3x 2 6x 4 E assim, f (0) = 4 < 0 f (4) = 20 > 0 f ( 1) = 5 > 0 Pelo Teste da Segunda Derivada, temos que x = 4 e x = 1 são mínimos locais de f e x = 0 é um ponto de máximo local de f. Exemplo 5. Considere a função f(x) = x 3 3x 2 + 3x 1. Podemos armar algo sobre seu(s) ponto(s) crítico(s), utilizando o Teste da Segunda Derivada? Note que f(x) = (x 1) 3. Logo, pela regra da cadeia, note que f (x) = 3(x 1) 2.(x 1) = 3(x 1) 2 Assim, o ponto crítico de f é x = 1. Agora, calculando f obtemos que f (x) = 6(x 1).(x 1) = 6(x 1) Mas observe que f (1) = 6(1 1) = 0 Isso implica que não podemos utilizar o teste da segunda derivada, pois ele não se aplica quando f (p) = 0 ou quando f (p) não existe. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 Observação 2. Note que o Teste da Segunda Derivada é inconclusivo se f (c) = 0 ou se f (c) não existir no ponto crítico c. Contudo, no exemplo anterior, estudando a concavidade de f notamos que x = 1 é um ponto de inexão de f(x) = x 3 3x 2 + 3x 1. Observando o gráco, podemos notar esse fato. Figura 10: Gráco de f(x) = (x 1) 3 Exemplo 6. Dada a função f(x) = 3x 5 5x 3. mínimos locais ou pontos de inexão. Classique os pontos críticos de f em máximos locais, Note que f (x) = 15x 4 15x 2 Fazendo f (x) = 0, obtemos que 15x 4 15x 2 = 0 15x 2 (x 2 1) = 0 implicando que os pontos críticos de f são x 1 = x 2 = 0, x 3 = 1 e x 4 = 1. Calculando a segunda derivada de f, obtemos que f (x) = 60x 3 30x = x(60x 2 30) logo, f (0) = 0 f ( 1) = 30 < 0 f (1) = 30 > 0 Então, pelo Teste da Segunda Derivada, podemos armar que x = 1 é ponto de máximo local e x = 1 é ponto de mínimo local de f. Analisando a concavidade de f, temos que Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7

8 Figura 11: Concavidade de f(x) = 3x 5 5x 3 Logo, x = 0 é um ponto de inexão. 3 Problemas de Otimização Nessa seção mostraremos algumas aplicações do cálculo de máximos e mínimos relativos. Exemplo 7. Determine dois números x e y tais que a diferença entre eles seja igual 100 e o produto seja o mínimo possível. Se a diferença entre eles é igual a 100, escrevemos x y = 100 y = x 100 Logo, denimos a função f = x.y Note que podemos escrever f(x) = x(x 100) = x 2 100x. Sendo assim, vamos achar os pontos críticos da função f. Derivando f, temos que f (x) = 2x 100 Logo, o ponto crítico dessa função é encontrado, fazendo f (x) = 0, e logo, descobrimos que x = 50. Calculando a segunda derivada obtemos que f (x) = 2, logo, f (50) = 2 > 0, logo, pelo teste da segunda derivada, x = 50 é um mínimo da função f. Desse modo, temos que y = x 100 = = 50. Portanto, os números procurados são 50 e 50. Exemplo 8. Determine o ponto sobre a reta y = 2x + 3 que está mais próximo da origem. Queremos determinar o ponto mais próximo da origem. Isso signica que queremos encontrar o mínimo da função distância entre um ponto da reta y = 2x + 3 e a origem (0, 0). Vamos determinar a função distância. Sabemos que a distância entre dois pontos A(a 1, a 2 ) e B(b 1, b 2 ) é dada por d(a, B) = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 ) Para o nosso exemplo, consideraremos A(x, y) um ponto sobre a curva y = 2x + 3 e B(0, 0). podemos escrever a função distância como sendo Então, d(a, B) = (x 0) 2 + (y 0) 2 = x 2 + y 2 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8

9 como y = 2x + 3, então d(x) = x 2 + (2x + 3) 2 = x 2 + 4x x + 9 = 5x x + 9 Note que achar os mínimos da função d(x) é o mesmo que encontrar os mínimos da função d 2 (x). Logo, devemos encontrar o mínimo da função f(x) = 5x x + 9 Derivando e calculando os seus pontos críticos, obtemos que f (x) = 10x + 12 Assim, o único ponto crítico de f é x = 6 5. Note que f (x) = 10 > 0 para todo x R. Então, pelo teste da segunda derivada, x = 6 5 é mínimo da função f, e portanto, da função d(x). Agora, basta determinarmos o valor de y, que é encontrado substituindo x = 6 5 y = 3 ( 5. Enm, o ponto desejado é 6 5, 3 ). 5 na equação da reta e obtemos que Exemplo 9. Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para produzir a lata. Note que para minimizar o custo do metal utilizado na fabricação dessa lata, devemos minimizar a quantidade de metal utilizada na confecção da mesma, ou seja, minimizar a área total da lata. Sabemos da geometria espacial que a área total de um cilindro é dada por A = 2πr 2 + 2πrh (1) Como a equação acima depende de r e h, devemos escrever uma em função da outra para que possamos trabalhar com uma única variável. Para isso, note que o volume da lata deve ser de 1L = 1000 cm 3 e sabemos que o volume dessa lata é dado por V = πr 2 h 1000 = πr 2 h Então, podemos escrever h = Dessa forma, a equação (1) pode ser reescrita como πr2 ( ) 1000 A(r) = 2πr 2 + 2πr πr 2 = 2πr r Agora, para determinar as dimensões da lata que minimizam a área, precisamos encontrar o valor do raio que minimiza. Dessa forma, devemos determinar os pontos críticos de A(r) e determinar o ponto de mínimo relativo, utilizando o Teste da Segunda Derivada. Sendo assim, note que Desse modo, A (r) = 4πr 2000 r 2 A (r) = 0 4πr 2000 r 2 = 0 4πr = 2000 r 2 r 3 = 500 π r = π Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 9

10 Calculando agora A (r), temos que Logo, note que Sendo assim, r = π A (r) = 4π r 3 ( ) A = 4π π ( ) 3 = 4π + 8π = 12π > π é um mínimo relativo de A(r). Logo, temos que h = 1000 π.( 500 π ) 2 3 = π = 2r Exemplo 10. Certa pessoa que se encontra em A, para atingir C, utilizará na travessia do rio (de 100 metros de largura) um barco com velocidade máxima de 10 km/h; de B a C utilizará uma bicicleta com velocidade máxima de 15 km/h. Determine B para que o tempo gasto no percurso seja o menor possível. Marcaremos na margem que contém o ponto C, um ponto D como mostra na gura abaixo. E denotaremos por x a distância desse ponto D ao ponto B. Vamos analisar cada parte do trajeto. Note que na primeira parte do trajeto, que será de barco, podemos traça o seguinte triângulo retângulo A DB Convertendo 100 m = 0, 1 km e denotando por d a distância entre A e B, segue do teorema de Pitágoras que d 2 = x 2 + (0, 1) 2 d = x 2 + (0, 1) 2 Utilizando o fato que tempo = distância velocidade Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 10

11 temos que o tempo gasto nessa parte do percurso é dado por T 1 (x) = x 2 + (0, 1) 2 10 (2) Agora, na segunda parte do percurso, temos que a distância percorrida de B até C é dada por 10 x. Logo, o tempo gasto nessa etapa é dado por T 2 (x) = 10 x 15 (3) Utilizando (2) e (3), temos que o tempo gasto no percurso total é dado por T (x) = x 2 + (0, 1) x 15 Agora, determinando os pontos críticos de T, T (x) = Dessa forma, fazendo T (x) = 0, temos que x 10 x 2 + (0, 1) 2 = 1 15 Convertendo para metros, temos que x 10 x 2 + (0, 1) x = x 2 + (0, 1) 2 = x = x 2 + (0, 1) x2 = x 2 + (0, 1) x2 x 2 = (0, 1) x2 = (0, 1) 2 x 2 = 4 (0, 1) x = 5 x = = 2 5 Agora, determinando a função T, notamos que 5.10 = 2 5 x = = 40 5m T (x) = 0, 1 x 2 + (0, 1) 2 > 0 x 2 + (0, 1) 2 50 km Logo, pelo Teste da Segunda Derivada, x = 40 5m a direita de D é o ponto que minimiza o tempo do percurso. Exemplo 11. Um sólido será construído acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio r, uma semiesfera de raio r. Deseja-se que a área da superfície do sólido seja 5π. Determine r e h para que o volume seja máximo. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 11

12 Sabemos que o volume do cilindro circular reto é dado por V c = πr 2 h e o volume da semiesfera é dado por V s = 1 2 V esfera = 2 3 πr3. Então, o volume do sólido em questão é dado por V = πr 2 h πr3 (4) Como argumentamos em exemplos anteriores, vamos escrever a expressão em função de uma variável apenas. Para isso, notemos que a área da superfície desse sólido é de 5π. Então, como a área total desse sólido é a soma da área da superfície da semiesfera, da área lateral do cilindro e a área apenas da sua base inferior, segue que a área total é dada por A = 1 2 4πr2 + 2πrh + πr 2 = 3πr 2 + 2πrh Então, isolando o termo h, temos que Assim, podemos reescrever (4) como h = 5 3r2 2r V (r) = πr 2 ( 5 3r 2 2r ) πr3 (5) = 5π 6 (3r r3 ) Dessa forma, V (r) = 5π 6 (3 3r2 ) Para encontrar os pontos críticos de V (r), fazemos V (r) = 0 5π 6 (3 3r2 ) = 0 3 3r 2 = 0 3r 2 = 3 r 2 = 1 r = 1 Então o ponto crítico de V é r = 1. Agora, calculando a função V (r) obtemos que V (r) = 5π 6 ( 6r) = 5πr < 0 pois os valores de r são sempre positivos. Logo, pelo Teste da Segunda Derivada, r = 1 é o raio que maximiza o volume. E sendo assim, temos também que h = = 1 Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas e do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas e do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 12