MATEMÁTICA I ECONOMIA (5598) Ficha de exercícios 1 (2012/2013)

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1 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática MATEMÁTICA I ECONOMIA (5598) Ficha de eercícios (0/03). Determine o conjunto dos pontos interiores, eteriores e fronteiros dos seguintes conjuntos: (a) A = R : } (b) B = R : ( ) 0} (c) C = R : 3 > 5}. Indique o derivado e a aderência dos conjuntos seguintes. Indique os que são abertos ou fechados. (a) A = R : 3 > } (b) B = R : 6 < } (c) C = R : + < } (d) D = R : 3 +5 < 3} 3. Considere o conjunto A = [, 5[ ]5, 6[ 7}. Determine os conjuntos de pontos interiores e fronteiros a A, bem como o seu fecho e derivado. 4. Considere o conjunto A = R : 0 < 4 } 5 }. Determine o seu interior, fronteira, fecho e derivado. Indique, justificando, se o conjuntoaéaberto, fechado e itado. 5. Considere o conjunto A = 0, } [,4]\3}. Determine o seu interior, fronteira, fecho e 000 derivado. Indique, justificando, se o conjuntoaéaberto, fechado e compacto. 6. Determine emrointerior, a aderência, o derivado e o conjunto dos pontos isolados dos seguintes conjuntos: (a) A = [0,] ],3] 6,0} (f) F = R : (b) B = R : +3 > } + < 9} (g) G = ( R\],+ [ ) Q (c) C = R : 0 < 3 5} (h) H = N : 3 < 6} 0} (d) D = R : 3 > } (e) E = R : } (i) I = R : } + 0 \ } (j) J = Q : < } R\Q : 0} } (k) K = R : = +( ) n + ( )n n,n N } ] n 4 (l) L = n + : n N 3, 3 [ } n+ : n N. n Quais dos conjuntos são abertos? E fechados? Justifique.

2 } Considere o conjuntoa =]0,]. Determine o seu interior, fronteira, fecho e derivado. 99 Indique, justificando, se o conjuntoaéaberto, fechado e compacto. 8. Esboce os gráficos das seguintes funções: (a) f() = (b) f() = + (c) f() = +4 (d) f() = (e) f() = 3 9. Considere a seguinte f.r.v.r.: (f) f() = ln (g) f() = + (h) f() = log f() = (i) f() = sen (j) f() = log(+3) + se < se. (k) f() = tg π (l) f() = 5cos (m) f() = e (n) f() = cos Esboce o gráfico das seguintes funções: (a) f() (b) f( ) (c) f(+) (d) f() (e) f() (f) f()+ (g) f() 0. Resolva o eercício anterior considerando as funções f() = em R, bem como g() = definida em ]0,+ [.. Seja f() = ++3. Desenhe os gráficos das funções abaio indicadas: (a) f() (b) f( ) (c) f( ) (d) f(). Considere as f.r.v.r. definidas por: a() =, f() =, g() =, h() = 3, i() = +4 (a) Esboce o gráfico de cada uma das funções. (b) Determine os valores reais detais que: (i) f() = 0 (ii) f() < (iii) f() > (iv) f() = g() (v) h() < 0 (vi) i() > 0 (vii) i() < 0 (viii) g() 3 3. Esboce o gráfico da função f, definida porf() = e.

3 4. Considere as funções: f: R R, f() = +; g: R R, g() = + ; e h: R R, h() = + Determine: (a) f g( ) (b) g f() (c) (f g h)() (d) (f h)() (e) (h f)() (f) (h f g)() (g) h (0) (h) h (3) (i) (h(3)) 5. Determine as epressões que definem as inversas das seguintes funções e indique os respectivos domínios: (a) f() = 5 + (b) f() = 3 + (c) 3 6. Determine, se eistirem, as inversas das funções seguintes: (a) f() = 3+, se 0 (b) f() =, se > 0 7. Caracterize a função inversa de cada uma das seguintes funções: ( (a) r() = + (b) l() = ln (c) p() = ) (d) t() = Considere a função f() = e +3 (a) Determine o domínio e o contradomínio def. (b) Defina a função inversa def. 9. Considere as funções reais de variável real definidas por f() = +3 e g() = +log 3 (+). (a) Calcule o domínio e o contradomínio de cada uma das funções. (b) Determine, se eistirem os zeros das funções. (c) Caracterize f eg. 0. Seja f a função real de variável real definida porf() = log (9 ). (a) Determine o domínio e o contradomínio def. (b) Justifique que a função não admite inversa.. Suponha que é representante de uma empresa que se dedica a fazer jogos para computador. O seu salário é de000 euros, fios, por mês, acrescido de50 euros por cada jogo vendido. (a) Escreva uma relação que lhe permita saber o salário que receberá num certo mês. Indique a variável independente e a variável dependente, eplicando os seus significados no conteto desta situação.

4 (b) Considere a f.r.v.r. definida pela relação da alínea anterior. Como se designa esta função? Qual a sua representação gráfica?. As funções N (t) = (.03) t, N (t) = 3 (0.9) t, N 3 (t) = 4 (.8) t e N 4 (t) = 9 (0.38) t descrevem a evolução do capital (em milhões de e ) de quatro fundos de investimento ao longo do tempo (em meses), a partir de um certo instante inicialt = 0. (a) Qual dos fundos de investimento tem mais capital no instante inicial? (b) Qual dos fundos tem a maior taa de crescimento relativo? (c) Alguns dos fundos não são rentáveis. Concorda com esta afirmação? (d) Caso eista, determine o instante no qual os fundos cuja evolução é descrita pelas funções N en têm o mesmo valor. (e) Esboce os gráficos den, N, N 3 e N Determine o domínio de definição das seguintes f.r.v.r. e represente-o na recta real: (a) y = ( + (d) y = ln(3 ) (h) y = ln 5 ) + (e) y = ln( 3+) (b) y = e + 3 (c) y = sen (f) y = ln( +e ) (g) y = 3 (i) y = e Determine o domínio das seguintes funções: (a) f() = + 3 (b) f() = e ( ) 5 (c) f() = ln (d) f() = ln( ) + + (e) f() = ln( ln( 5+6)) (f) f() = cos (g) f() = sen (h) f() = ln( ) ( ) + (i) f() = 3+ln ( ) e + (j) f() = ln e (k) f() = e e e 5. Determine, caso eistam, os zeros das funções reais de variável real definidas por: ( ) (a) g() = 3 (c) t() = ln + (b) h() = e + e (d) f() = Considere o conjunto C = R : } > 0. Defina C sob a forma de um intervalo de números reais. 7. Seja f: R + R definida porf() = 7+log 3 (7 3 ). Mostre quef() = 90+log 3. 3

5 8. Determine, caso eistam, os seguintes ites: 3+ (a) + (b) 0 (c) + sen (d) 0 sen (e) a 5 (f) 7 (g) 7 (h) +, paraa = ;0; ;+ 7 (i) 0 tg sen ( e +5 ) + (j) h 0 (t+h) t h (k) (l) ( + ) + (ln(+) ln) + (m) 0 sen( ) sen (n) + (3 3 +) (o) 0 e 3 5 ln(+) (p) 0 3 ( + (q) + +4 ) (r) 0 ln(5+ ) ln(5) 9. Determine, caso eistam, os ites: (a) 0 (b) 4 + sen (c) 0 sen (d) ( ) e e (e) 0 e 3 (f) 0 sen() (g) (h) (i) ln + ln( ) 0 + ( + ) 30. Calcule os seguintes ites: (a) (b) (c) (d) ( ) ( ) (e) ( a)( b) + [ ( (f) e / )] + (g) (h) (i) (j) (k) [ ln ( )] + ( ) ln( +) [ ( )] + (+)ln ln(+3) ln [ ( )] sen

6 3. Calcule os seguintes ites laterais: (a) (c) 0 + (b) (d) 0 ( + ) 3 ( ) 3 (e) (f) arctg 3. Calcule os ites laterais das seguintes funções no ponto 0 indicado. O que pode concluir sobre a eistência de 0 f()? (a) f() =, se ( ), se >, 0 = (b) f() =, se, se >, 0 = 3 a, se 0 (c) f() =, 0 = 0 a +, se > 0 8, se < 5 (d) f() = ( ), se 5, 0 = 5 (e) f() = etg e tg +, 0 = π (f) f() = / sen, 0 = Estude quanto à continuidade as seguintes funções: (a) f() = e + (b) f() = 4 (c) f() = ln sen + (d) f() =, se 0, se = 0 (e) f() = sen, se 0 0, se = 0 (f) f() = (g) g() = e (h) h() = +, 0, = 0 ln(+), > (i) i() =, (+)e (j) f() = (+), se < ln(+3), se arcsen, se 0 + (k) f() = e + +, se < 0 e (l) f() =, se = +ln(e ), se cotg, se > Determine, se possível, a constantek que torna as seguintes funções contínuas. e e e, se (a) f() = (b) f() = sen(3), se [ π, π ]\0} 6 6 k, se = k, se = 0

7 3 3 (c) f() = +k, se 0 /3, se = Estude a continuidade da função f : f() = 36. Considere a função f definida por: (a) Calcule f(). + f() = (d) f() = ] π, π [ R, definida por:, se = 0 tg(), se 0. sen() 3 4 se > 3 se = k 4 se <, k R. ( )sen, se k, se = (b) Determinek de modo que eista f(). Para este valor dek, f é continua em =? 37. Considere a função real de variável real definida por: (a) Estude a continuidade def. sen se 0 f() = se = 0. (b) f é contínua à esquerda de = 0? E à direita de = 0? Justifique. 38. Considere as funções f eg definidas por: (a) Estude a continuidade def. f() = ln 3 (b) Calcule 0 f(). (c) Indique o domínio da função f g. e g() =. 39. Calcule, sempre que possível, as derivadas das seguintes funções nos pontos indicados, utilizando a definição. (a) f() = +9, = 4 (b) f() =, = (c) f() = e +5, = (d) f() = 3, = 3 (e) f() = ln, = a D f (f) f() = + 4, = a D f (g) f() = 3 +, 0 e, = 0., < 0 sen, [0, π (h) f() = ) ], ] π,π], = π. ( π

8 40. Determine a derivada de cada uma das seguintes funções: (a) f() = (+3) 5 (b) f() = (c) f() = sen 4 (5) cos 4 (5) (d) f() = tg(3 ) (e) f() = e sen+e (f) f() = arcsen(ln) (g) f() = sen sen (h) f() = 3 arccos (i) f() = log 5 (arctan) 4. Determine a derivada de cada uma das seguintes funções: (a) a() = /3 (b) b() = (c) c() = e cos(7) (d) d() = ln( +5) (e) e() = e ln (f) f() = e ln(5 9) (g) g() = sen( ) (h) h() = (i) i() = (j) j() = 4 +4 (k) k() = 3 (l) l() = e 4. As funções f eg são diferenciáveis e f é invertível, verificando as condições: f() = 3, g() = 5, f () =, f ( 5) = 3, g () =, g (3) = 5. Determine os valores de : (a) (f +g) () (b) (4f) () (c) ( f g ) () (d) (f.f) () (e) (g f) () (f) (f g) () (g) (f ) (3) (h) ( f ) (). 43. Sejaf a função definida porf() = arcsen(+). Determine(f ()) dos seguintes modos: (a) calcule a função inversa e de seguida a respectiva derivada; (b) directamente. 44. Considere as seguintes funções reais de variável real:, 4 f() = 3, g() =, h() = +, +, < 4 4 i() = e se, j() = 4+ se >. (a) Esboce o gráfico de cada uma das funções. (b) Calcule: (i) f () (ii) g (4) (iii) h (3) (iv) i (0) (v) j (0) (c) Estude a continuidade e diferenciabilidade de cada uma das funções. (d) Estude as funções f ehquanto à monotonia e à eistência de etremos.

9 45. Estude a diferenciabilidade das seguintes funções: (a) f() = (b) f() = (c) f() = 3 (d) f() = (e) f() = e (f) f() =, 0, > 0 ( )ln( ), > (g) f() = +,, (h) f() = sen, 0 0, = 0 arcsen +, 0 (i) f() = e /(+), < 0 e, = 46. Determine a recta tangente ao gráfico da funçãof() = sen ( ), no ponto de intersecção do gráfico da função com o eio das abcissas. 47. Determine as rectas tangente e normal ao gráfico da função f() =, no ponto de abcissa Sejam g,h : R R as funções dadas por: e a+b, < g() = +ln, eh() = +e /( ), 0, = (a) Determineaebde modo queg seja diferenciável no ponto =. (b) Prove quehécontínua em = mas não é diferenciável nesse ponto. 49. Usando o teorema da derivada da função composta, calcule (ln(ln)). 50. Utilize a regra de Cauchy para levantar as indeterminações dos seguintes ites: ( sen4 (a) 0 (e) 0 sen ) (i) ( 3 ) e sen e cos (j) (b) π 4 sen cos (f) + (e +) 0 + ( ln(sen) (c) (g) (tg) cos (k) 0 + ln(tg ) π + (d) ) (e (h) + (e ) (l) tg ( π ) ) +

10 5. Calcule os seguintes ites recorrendo à regra de Cauchy: a b (a), a,b > 0 0 ( ) (b) (c) 0 + e ( cos (d) + ( ) (e) e 0 (f) 0 + ) 3+ (g) (h) (i) + e + ()(+)/ (j) 0 (cos) cotg (k) (l) 0 +(sen)tg + (e +) / (m) (tg) cos π 5. Onde se encontra o erro na seguinte utilização da regra de Cauchy? = = 6 = Determine os etremos da funções seguintes nos conjunto indicados: (a) f() = +4, em ],4[ (b) f() = +4 em [,4] (c) f() = e +4 em ],[ (d) f() = e +4 em [,] 54. Uma droga é injectada na corrente sanguínea e a sua concentração apóstminutos é dada por C(t) = k a b (e bt e at ) para constantes positivasa,b, com a < b, ek. (a) Em que instante ocorre a concentração máima? (b) O que se pode dizer sobre a concentração após um longo período de tempo? 55. Considere a função g: R R definida por e, 0 g() = +, > 0. (a) Mostre queg é contínua para = 0. (b) Prove queg é diferenciável para = 0. (c) Determine o declive da recta tangente ao gráfico deg no ponto de abcissa = 0. (d) Calcule g(). (e) Estude a concavidade do gráfico deg e indique, caso eistam, os pontos de infleão. 56. Considere a função g: R R, definida por +e, g() =, =.

11 (a) Mostre queg é contínua à esquerda de =, mas não é aí contínua. (b) Calcule g(). (c) Determine uma equação da recta tangente ao gráfico deg no ponto(0, e ). 57. Considere a f.r.v.r. definida porf() = +3e +3. (a) Calculef ( 3). (b) Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico def cujo declive é3e. (c) Resolva, em R, a inequaçãof ()+f () > f(). 58. Estude o sentido da concavidade do gráfico e a eistência de pontos de infleão das f.r.v.r. seguintes: (a) f() = 3 6 (b) g() = ln (c) h() = e 59. Considere a seguinte função real de variável real: f() = 5 se < 0 ln(+e 5 ) se 0. (a) Determine o declive da recta tangente ao gráfico def no ponto de abcissa = ; (b) Estude a continuidade def no seu domínio; (c) Estude a diferenciabilidade def no seu domínio. 60. Considere a função real de variável real f() = 3 4. (a) Indique o domínio def; (b) Determine os etremos def. 6. Considere a seguinte f.r.v.r., ondek R: +3k se < 0 f() = e + se 0. (a) Determine o valor dek de modo quef seja contínua em = 0; (b) Estude a diferenciabilidade def no seu domínio; (c) Determine a equação da recta tangente ao gráfico def em = 4; (d) Determine os etremos da função g definida porg() = f(), Seja f : R R dada por (a) Mostre quef é contínua emr. f() = e /, 0 0, = 0 (b) Indique o domínio de diferenciabilidade def e calcule a sua derivada.

12 ( )e 63. Seja f : R R a função definida porf() =, 0 +arctan, < 0. (a) Estude a continuidade def. (b) Calcule f() e f(). + (c) Estudef quanto à diferenciabilidade e determine a sua função derivada. (d) Determine os intervalos de monotonia e os etremos locais (se eistirem) def. (e) Prove que o gráfico def não tem pontos de infleão. (f) Calcule + (f())/ 64. Seja f : [,+ [ R a função definida porf() = arcsen,, ( )ln( ), >. (a) Estude a continuidade def para =. (b) Estudef quanto à diferenciabilidade e determine a sua função derivada. (c) Mostre quef tem um etremo em = +/e. Classifique-o e calcule-o. (d) Determine, caso eistam, os pontos de infleão def. 65. Seja f :]0,+ [ R a função definida porf() = ln. (a) Estude a continuidade e a diferenciabilidade def. (b) Determine os etremos e os intervalos de monotonia def. (c) Calcule 0 +f() e f() Considere a função f : R R definida por ln(+), se 0 f() = cos, se < 0 (a) Estude a diferenciabilidade def. (b) Calculef () usando a definição. (c) Caracterize a função inversa def, para 0. (d) Sem usar o resultado da alínea anterior, determine(f ) (). 67. Considere a função f : [,] R definida por f() = 3. Determine os etremos de f 3 em [,]. 68. Considere as funções f eg definidas por: f() = ln( 5) e g() = sen e. (a) Calcule 5 +f(). (b) Esboce o gráfico de f().

13 (c) Caracterize a função f indicando o seu domínio, contradomínio e epressão analítica. (d) Sem utilizar o resultado da alínea anterior, determine(f ) (). (e) Estude a monotonia e determine os etremos da função f() 5. (f) Determine o domínio da função g f. 69. Considere a função f : R R definida por e 3, se 3 f() = 8, se > 3 (a) Estude a continuidade def (b) Estude a diferenciabilidade def. 70. Considere as funções f eg definidas por: f() = ln(+3) g() = sen(5) h() = 5 g() (a) Sem usar a regra de Cauchy, calcule 0 f(). (b) Esboce o gráfico deg( ). (c) Caracterize a função h indicando o seu domínio, contradomínio e epressão analítica. (d) Sem utilizar o resultado da alínea anterior, determine(h ) ( 4). (e) Estude a monotonia e determine os etremos da função i() = f() Considere a função f : R R definida por, se f() = +e 0, se = Mostre quef é contínua em = mas não é diferenciável em =. 7. O valor de revenda de uma peça de equipamento industrial comporta-se de acordo com a seguinte função: v(t) = 50000e 0,06t (em euros), denotandotonúmero de anos desde a compra original. (a) Qual o valor original da peça de equipamento? (b) Qual o valor esperado de revenda após cinco anos? (c) Quanto tempo demora para o valor de revenda chegar a5% do valor original?

14 73. Foi feito um estudo sobre a opinião formada acerca de determinada empresa. A função que traduz esses resultados é dada por (a) Esboce o gráfico da função O. O(p) = p, sendop > medido em meses. log 0 p (b) Indique a altura em que a opinião acerca da empresa foi mais desfavorável. 74. Uma agência de publicidade considera que se uma empresa gasta milhões de u.m. em publicidade na T.V., o lucro total pode ser estimado pela função P () = 50 e 0,5, em milhões de u.m. (a) Quanto deve ser gasto em publicidade para maimizar o lucro? (b) Qual o lucro máimo?