UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR FACULDADE DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1 Ciclo em Optometria

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1 Ciclo em Optometria Ficha Ano Lectivo / ) Efectue as seguinte operações a) ; b) ; c) 3 3 ; d) 3 3 ; e) ; f) ; g) 3 5 ; h) ) Calcule, em R, o conjunto solução das seguintes equações a) 8 43 = 65; b) 3 6 = 4 7; c) y 5(+y) = 3(y ) ; d) (+4)+(+) = +; e) 5 + = 3 ; f) 5+6 = ; 5 4 g) 4 = ; h) 3 6 = ; i) +6+8 = ; j) 7+3 = ; k) 6+9 = ; l) ++ =. 3) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições: a) +7 > 3; b) 4 3 6; c) < 3+4 6; d) < ; e) 5 3 9; f) 4 < + 3+; g) 3 < +4 < 3 ; h) (+3)( ) ; i) (+)( )(+3). 4) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições: a) + < ; d) g) +3 > ; < 3; b) +3 ; 3 e) + < 3; h) 3 + 3; 3 c) > ; f) + 3; i) < + < 3. 5) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições: a) 3 > ; b) 3 +3 < 4 ; c) + ; d) ++ > ; e) + > ; f) < 3; g) 5; h) 3 ; i) ++ > ; j) +3 < 3+; k) +3 +; l) 4 < +3 < 4. 6) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições: a) + ; d) 3 + +; b) + < 3; e) + ; c) + > ; f) 3 > +.

2 Ciclo em Optometria Ficha Ano Lectivo / ) Reescreva a epressão, sem usar o símbolo de valor absoluto: a) 5 3 ; b) 5 3 ; c) π ; d) π ; e) 5 5 ; f) 3 ; g) se < ; h) se > ; i) + ; j) ; k) + ; l). ) Determine, em R, o conjunto solução das seguintes condições: a) = 3; b) 3+5 = ; c) +3 = + ; d) + = 3; e) 4 < ; f) + 3; g) 4; h) < 5 < /. 3) Escreva em etensão ou na forma de um intervalo ou de uma reunião de intervalos o conjuntos dos números R tais que a) + = ; b) 3 < 3; c) + ; d) +5 7; e) < 3; f) < ; g) + ; h) 5 < ; i) 3+ ; j) + > 5; k) 3 + ; l) + + 3; m) + > ; n) 3 +/ > ; o) < ; p) 3 < 4; q) < < 3; r) < ; s) < < ; t) +3 = +. 4) Escreva em etensão ou na forma de um intervalo ou de uma reunião de intervalos o conjuntos dos números R tais que a) 5+3 > 3; b) 5+3 3; c) ; d) < ; e) + ; f) 3 ++ ; 5) Escreva em etensão ou na forma de um intervalo ou de uma reunião de intervalos o conjuntos dos números R tais que a) + ; b) + 3 = ; c) + < 3; d) + + < 3; e) 3; f) 3. 6) Escreva uma inequação da forma a < b ou a b cujo conjunto solução seja a) ],[; b) ] /,/[; c) [,]; d) ] 3, [; e) [ /,]; f) }. 7) Escreva uma inequação da forma a > b ou a b cujo conjunto solução seja a) ], [ ],+ [; b) ],[ ],+ [; c) ],] [3,+ [; d) ], 3] [,+ [; e) ], ] [,+ [; f) R.

3 Ciclo em Optometria Ficha 3 Ano Lectivo / ) A Velocidade v é a razão entre a distância percorrida d e o tempo t gasto a percorrê-la. a) Identifique a epressão que permite escrever t como função de d sempre que a velocidade v for constante. b) A distância entre Nova York e Lisboa é 5 5 Km. Quanto tempo demora o percurso entre as duas cidades i) num jacto a 8 Km/h? ii) para um raio luminoso a 3 Km/s? ) Uma haste rígida, feita de material muito leve, de modo que podemos considerar o seu peso desprezável, gira em torno de um eio. Numa das etremidades, à distância de metro do eio, está colocado um peso de 3 Kg. Para que a haste fique em equilíbrio (isto é, no plano horizontal do eio), colocamos um outro peso de P Kg no outro lado da haste e à distância d (metros) do eio; verifica-se eperimentalmente que o equilíbrio é conseguido se os valores de d e P se correspondem de acordo com a tabela d P É possível concluir da análise destes dados que as grandezas P e d são inversamente proporcionais. a) Identifique a epressão que permite escrever P como função de d. b) Determine o domínio da função P(d). 3) A frequência de som f recebida por um observador fio, de um objecto que se move à velocidade v e emite um som de frequência KHz é inversamente proporcional à diferença entre a velocidade do som S(=34m/s) e v. a) Sabendo que a constante de proporcionalidade inversa é S, identifique a epressão que permite escrever f em função de v. b) Determine a frequência de som que o observador recebe quando o objecto se move a 5 Km/h. 4) Sejam c e f duas variáveis representando a mesma temperatura medida respectivamente em graus Celsius (C) e em graus Fahrenheit (F). A relação entre c e f é descrita por uma função afim. O ponto de congelamento da água é de c = C ou f = 3 F. A temperatura de ebulição é de c = C ou f = F. a) Determine a fórmula de conversão da temperatura em graus Fahrenheit para a temperatura em graus Celsius. b) Eiste alguma temperatura para a qual os valores em graus Celsius e Fahrenheit sejam iguais? Determine-a em caso afirmativo. c) A relação entre a temperatura absoluta k, medida em graus Kelvin (K), e a temperatura c, em graus Celsius (C), é descrita por uma função afim. Sabendo que k = 73K quando c = C e k = 373K quando c = C determine k em função de f. 5) Eprima o raio de uma circunferência em função do perímetro da mesma. 6) Um paralelipípedo rectângulo tem dimensões a, a, 3a. Eprima a em função do volume do paralelipípedo.

4 Ciclo em Optometria Ficha 4 Ano Lectivo / ) Considere a função f : R R representada no gráfico ao lado. Esboce o gráfico de cada uma das funções seguintes: a) f() e) f() b)f( ) c)f(+) d)f() f)f()+ g)f() ) Resolva o eercício anterior considerando as funções f() = em R e g() = ],+ [. 3) Esboce os gráficos das seguintes funções: definida em a) f() = b) f() = + c) f() = +4 d) f() = e) f() = 3 f) f() = 4) Seja f() = ++3. Desenhe os gráficos das funções abaio indicadas. a) f() b) f( ) c) f( ) d) f() 5) Determine o domínio e o contradomínio das seguintes funções a) f() = + 5 b) f() = 4 +3 c) f() = d) f() = e) f() = + 4 f) f() = 6) Considere as funções f : R R, g : R R e h : R R dadas por Calcule: a) (f g)( ); b) (g f)(); c) (f g h)(); f() = +, g() = + d) (f h)(); e) (h f)(); f) (h f g)(); e h() = + g) h (); h) h (3); i) (h(3)). 7) Determine as epressões que definem as inversas das seguintes funções e indique os respectivos domínios: a) f() = 5 +; b) f() = 3 + ; c) f() = 3;

5 Ciclo em Optometria Ficha 5 Ano Lectivo / ) As funções N (t) = (.3) t, N (t) = 3 (.9) t, N 3 (t) = 4 (.8) t e N 4 (t) = 9 (.38) t descrevem a evolução do número de bactérias (em milhões por mililitro) em quatro colónias distintas ao longo do tempo (em horas), a partir de um certo instante inicial t =. a) Qual das populações tem mais bactérias no instante inicial? b) Qual das populações tem a maior taa de crescimento relativo? c) Algumas das populações de bactérias estão a decrescer no que diz respeito ao número de indivíduos. Concorda com esta afirmação? d) Caso eista, determine o instante no qual as populações descritas por N (t) e N (t) têm o mesmo número de indivíduos. e) Esboce os gráficos de N, N, N 3 e N 4. ) Resolva, em R, as equações: a) 5 = 8; b) 3 4 = 8; c) 5 4 = /5; d) = ; e) 5 = /64; f) 4 = ; g) 8 + = 6 ; h) e +3e = ; i) e e = ; j) e e = ; k) 4 = 5 ; l) =. 3) Calcule a) log 3; b) 5 log 5 3 ; c) log 5 d) ln(lne); e) log,,; f) log 9 ( 3 3 ). 4) Resolva, em R, as inequações: ( ) log 5 5 ; a) < ; b) ( ) + < 4 ; c) 5 3 < 5 ; d) (,),; e) log 4 7; f) g) +log 6 j) log (3+) > ; e ( ) 3 ; 8 ( > log( 5) h) log 6 3 ) > ; i) log (+) > ; 3 ( k) log () < log ).

6 5) Resolva as seguintes equações e inequações a) 4e 4e 3 b) log e = = 3 +5 ( ) ( ) d) e + < c) 3 3 e) ln( ) ln(+) f) e 5 + > 6) Determine o domínio das seguintes funções a) f() = c) f() = e e e b) f() = + 3 e) f() = ln( ) + + g) f() = 3+ln ( ) + i) f() = ln( ln( 5+6)) e + 3 ( ) 5 d) f() = ln +4 f) f() = ln( ) h) f() = ln 7) Determine o domínio e contradomínio das seguintes funções a) f() = 8) Considere a função f() = e +3. a) Determine o domínio e o contradomínio de f. b) Defina a função inversa de f. 9) Considere as funções reais de variável real definidas por ( e ) + e ( b) f() = +log 4 ) f() = +3 e g() = +log 3 (+). a) Calcule o domínio e o contradomínio de cada uma das funções. b) Determine, se eistirem os zeros das funções. c) Caracterize f e g. ) Seja f a função real de variável real definida por f() = log ( 9 ). a) Determine o domínio e o contradomínio de f. b) Justifique que a função não admite inversa.

7 Ciclo em Optometria Ficha 6 Ano Lectivo / ) Resolva as equações a) sen+sen() = b) tg() = cos c) tg() = 3tg ) Resolva as equações do eercício anterior no intervalo ] π, π]. 3) Se = cosα+cos(α) e y = senα+sen(α), mostre que 4) Sendo um valor que verifica a condição ( π calcule a epressão cos 4. ) +y = +cosα. tg(5π +) = 3/4 π < < 3π, ( ) 5π 5) Sabendo que sen + = 9 e que 3π < < π, calcule o valor de cos. 6) Use a fórmula sena+senb = sen a+b cos a b sen()+sen = cos. para resolver a equação 7) Considere a função real de variável real f : R R definida por f() = sen(6)+sen(4). ( π ( a) Calcule f +f 8) π ). 4 b) Resolva a equação f() = cos. 8) Considere a função dada por f() = sen() cotg. a) Determine o domínio e os zeros de f. b) Mostre que a função é par. c) Resolva a equação f() = sen. 9) Considere as funções dadas por f() = cos e g() =. a) Determine o domínio de g f. b) Mostre que (g f)() = sen, para todo o pertencente ao domínio de g f. c) Calcule (g f) ( ) π 3.

8 ) Calcule o valor de cada uma das seguintes epressões a) arcsen(/) b) arccos ( 3/ ) c) π/3 arctg ( 3/3 ) d) sen(arccos( /)) e) cos ( arcsen ( / )) f) tg(arcsen( /)) g) sen(arctg) h) cos ( arctg ( 3 )) i) arccos(cos( π/4)) j) cos(arc sen(4/5)) k) sen(arc cos( 5/3)) l) tg(arc sen(3/4)) m) cotg(arc sen(/3)) n) sen( arc sen(4/5)) o) tg(arc cos( 3/5)) p) sen(arcsen(3/4)+arccos(/4)) q) cos(arccos(/4)+arcsen(3/4)) ) Simplifique as epressões: a) sen(π +arccos) ( arccos ) b) cos c) cos(arc sen ) ) Resolva as seguintes equações e inequações a) ( arcsen(3 ) = b) e cos+ ) = c) arcsen 3 = e) e d) cos(arctg) = cos() > cos f) log +5 > 3) Determine o domínio e o contradomínio das seguintes funções a) f() = cos b) f() = /sen c) f() = cos ( + π ) +3 3 d) f() = arccos( ) e) f() = sen π 3 +3tg g) f() = arccos(+) h) f() = cos π 3 +arcsen + f) f() = 3arcsen( ) π ) i) f() = ln( +arcsen( ) 4) Considere a função dada por f() = +arcsen(3+). a) Determine o domínio, o contradomínio e os zeros de f. b) Calcule f() e f ( 6). c) Determine as soluções da equação f() = + π 3. d) Caracterize a função inversa de f. 5) Seja g a definida por g() = π 3 arcsen(3). a) Determine o domínio e o contradomínio de g. b) Resolva a equação sen(g()) =. c) Caracterize a função inversa de g. 6) Considere as funções f e g definidas por ( ( )) π f() = tg 4 +arctg e g() = π arcsen ( ++ ). a) Determine o domínio de f, D f. b) Mostre que f() = para D f. c) Determine o contradomínio de g. ( ) π 7) Seja h a função definida por h() = tg. Caracterize a função inversa de h.

9 Ciclo em Optometria Ficha 7 Ano Lectivo / ) Determine o interior, o eterior, a fronteira, a aderência e o derivado de cada um dos conjuntos seguintes e indique quais são abertos e quais são fechados. a) A =],] [3,5[ 6,7} b) B = R: < } c) C = R: 6 > } d) D = R: 3 > 5 } e) E = R: 3 > } f) F = R: ( ) } g) G = R: < 3 } h) H = R: +3 > } i) I = R: + } j) J = R: } k) K = R: + 3 } l) L = m) M = R: } 6 < ) Calcule os seguintes limites. R: } 3 > n) N = R: + < } a) lim 3 3 d) lim a+a g) lim a a + j) lim 3) Calcule os seguintes limites. a) lim e d) lim e +4 e 4 g) lim e e j) lim ln(+3) m) lim ln b) lim e) lim 4 h) lim k) lim b) lim 4 e 4 6 e) lim e 3 e e 8 h) lim ( ln + ) k) lim n) lim ln(3+) ln8 c) lim f) lim i) lim l) lim c) lim e 7 3 f) lim e 3 i) lim 5( ) 3 e ( ) l) lim ln o) lim h ln(6+h) ln6 h

10 4) Calcule os seguintes limites. sen(7) a) lim cos d) lim 3 g) lim tg sen 3 j) lim sen(/) sen arcsen() m) lim p) lim / arc cos() 5) Calcule os seguintes limites. b) lim sen(5) sen(3) cos(sen) e) lim [( π ) ] h) lim π/ tg ( ) k) lim cos sen n) lim arcsen() arc sen(3) q) lim arctg(3) arc tg(7) ( sen ) c) lim tg() f) lim sen i) lim [ ( 4)sen l) lim e 3 sen() o) lim arccos r) lim arctg( ) sen( ) ( )] +3 a) lim + d) lim g) lim + b) lim + ( ) e) lim + ( )] + [ ln ln(+3) j) lim + ln h) lim + 6) Calcule os seguintes limites laterais. a) lim + ( d) lim ) 3 k) lim + b) lim 3 + [ ] ( a)( b) [ ] ln( +) [ ( )] sen e) lim 3 +3/( 3) c) lim [ ( )] f) lim e / + [ ( )] + i) lim (+)ln + l) lim (cosh senh) ( c) lim + ) 3 f) lim arctg 7) Calcule os limites laterais das seguintes funções no ponto indicado. O que pode concluir sobre a eistência de lim f ()? a) f() = c) f() = se ( ) se >, = b) f() = 3 a se, a = se > + d) f() = e) f() = etg e tg +, = π 8) Escreva as equações das assímptotas das funções definidas por a) f () = 6 b) f () = ( ) se se >, = 8 se < 5 ( ) se 5, = 5 f) f() = / sen, = c) f () = d) f () = ++ e) f () = 3 + f) f () = ln + g) f () = e / h) f () = e sen i) f () = ln +

11 Ciclo em Optometria Ficha 8 Ano Lectivo / ) Estude a continuidade das funções seguintes: a) f() = e + c) f() = +cos cos +, = e) f() =, = (+)e (+), < g) f() = ln(+3), e + e, i) f() = +senh(), < sen se = k) f() = se = b) f() = 4 d) f() = tg() ln(e +), f) f() = sen, < arc sen +, h) f() = e /(+), < e =, = +ln(e ), j) f() = 3 e, > l) f() = +3 cotg se [ π/,π/] } se = ) Determine, se possível, a constante k que torna as seguintes funções contínuas. k +ln, e a) f() = e b) f() = k, k +/e, < e k+, < k e e e, = c) f() = d) f() = sen(3), [ π 6, π 6 ] } k, = k, = 3 3 e) f() = +k, = ( )sen, = f) f() = /3, = k, = 3) Sejam f e g as funções definidas por se > f() = e k se = e +k e k se < cos(π) se < e g() = kπ se = cos cos(5) sen se < < π 4 a) Determine k de modo que f, em =, seja contínua à esquerda e descontínua à direita. b) Determine k de modo que f seja contínua. c) Prove que g é descontínua para = para qualquer k R.

12 d) Determine k de modo que g seja contínua à esquerda, no ponto. sen( 4π/3) 4) Seja h a função real de variável real definida por: h() = π/3 6/π se > π/3 se π/3 a) Prove que lim h() =. π/3 b) Considere o intervalo [, 5π/6]. Mostre que 5/π pertence ao contradomínio de h. 5) Mostre que a) a função dada por f() = sen 3 +cos 3 se anula, pelo menos uma vez, no intervalo [π,π]; b) eiste uma, e uma só, solução da equação cos cos() = em [π/,π]; c) eiste [,] tal que = ; d) função dada por f() = admite pelo menos um zero no intervalo [,]; e) a equação 7 3 =, tem, pelo menos, uma raiz real; f) a equação = tem, pelo menos, uma solução real. 6) Seja f contínua no intervalo [,] com f() = 5 e f() =. Qual é o número mínimo de zeros que f pode ter nesse intervalo? 7) Seja g uma função contínua em [,3] com g( ) =, g( ) =, g() =, g() =, g() = e g(3) = 5. Qual o número mínimo de zeros que g pode ter nesse intervalo. 8) Em modelos de queda livre, costuma-se supor que a aceleração gravitacional g é a constante 9,8m/s. Na verdade, g varia com a latitude. Se θ é a latitude (em graus) então g(θ) = 9,7849 [ +,564sen (θ)+,4sen 4 (θ) ] é uma fórmula que aproima g. Usando a máquina de calcular para efectuar os cálculos, mostre que g = 9,8 em algum ponto entre as latitudes 35 e 4. 9) A temperatura T (em graus Celsius) na qual a água ferve é dada aproimadamente pela fórmula T(h) =,86,45 h+43,3 ondehéaaltitude (em metros acima do nível do mar). Usando a máquina de calcular para efectuar os cálculos, mostre que a água ferve a 98 C a alguma altitude entre 4m e 45m. se 3 < ) Prove que a função f : [ 3,4] R, definida por f() =, admite (3 6)/ se 4 máimo e mínimo. senk ) Seja f : [ 5 [ se,+ + R a função definida por f() = +5 3 se 5 < a) Determine k de modo que f seja contínua para =. b) A função f é atinge máimo e mínimo em [,]? Justifique. sen se < ) Considere-se a função real de variável real dada por f() = k se = (+) / se > a) Estude a continuidade de f no ponto =. b) Determine k de modo que f seja contínua à direita no ponto =. c) Prove que em [ π, π/] eiste uma e, uma só, solução da equação f() =. d) Pode concluir-se que f é uma função limitada em [ π, π/], atingindo aí os seus etremos? Justifique.

13 Ciclo em Optometria Ficha 9 Ano Lectivo / ) Calcule, sempre que possível, as derivadas das funções seguintes nos pontos indicados utilizando a definição e, quando possível, escreva a equação da recta tangente ao gráfico de f nesses pontos. a) f() = +9, = 4 b) f() =, = c) f() = e +5, = d) f() = 3, = 3 e) f() = ln, = a D f f) f() = + 4, = a D f [ 3 + se sen se, π ] g) f() =, = h) f() = ( ) se < ] π ], = π se π,π ) As funções f e g são diferenciáveis e f é invertível, verificando as condições: f() = 3, g() = 5, f () =, f ( 5) = 3, g () = e g (3) = 5. Determine os valores de : ( ) f a) (f +g) () b) (4f) () c) () d) (f.f) () g ( ) e) (g f) () f) (f g) () g) (f ) (3) h) (). f 3) Seja f: R R a função definida por f() = 4 e e g : R R uma função diferenciável. Calcule (g f) (). 4) Seja f a função definida por f() = arcsen(+). Determine (f ()) dos seguintes modos a) calcule a função inversa e de seguida a respectiva derivada; b) directamente. 5) Determine a derivada de cada uma das seguintes funções. a) f() = (+3) 5 b) f() = 3 + c) f() = + d) f() = sen 4 (5) cos 4 (5) e) f() = tg(3 ) g) f() = 3 cos j) f() = e cos +sen m) f() = log 5 (arctg) p) f() = 5 + e ( ) a, a,b R b f) f() = e sen+e / h) f() = ln(cosh()) i) f() = arcsen(ln) k) f() = sen sen( ) n) f() = sen+cos sen cos l) f() = 3 arccos o) f() = e cos q) f() = cosh r) f() = sen(arccos( ))

14 6) Um balão meteorológico é solto e sobe verticalmente de modo que a sua distância s(t) ao solo durante os primeiros segundos de voo é dada por s(t) = 6+t+t na qual s(t) é epressa em metros e t em segundos. Determine a velocidade do balão quando a) t =, t = 4 e t = 8; b) o balão está a 5m do solo. 7) A posição de uma partícula é dada pela equação do movimento s = f(t) = onde t é medido +t em segundos e s em metros. Encontre a velocidade da partícula após segundos. 8) Analise a diferenciabilidade das seguintes funções. a) f() = b) f() = 3 c) f() = e) f() = se se > sen se = g) f() = se = d) f() = e ( )ln( ) se > f) f() = + se, = arc sen + se h) f() = e /(+) se <, = se = 9) Determine a recta tangente à função dada por f() = arcsen, no ponto de intersecção da função com o eio das abcissas. ) Determine a recta tangente à função f() =, no ponto de abcissa = 4. ) Considere a função f() = +3e +3 definida em R. a) Calcule f ( 3). b) Escreva a equação da recta tangente ao gráfico de f cujo declive é 3e. ) Mostre que a recta de equação y 3+ π 3 = é a recta tangente ao gráfico da função f() = π 3 arccos3 e determine o ponto de tangência. 3) Considere a função definida por g() = e +3 +ln(arctg). a) Calcule o domínio de g. b) Calcule a derivada de g no ponto =. c) Determine a equação da recta tangente ao gráfico de g no ponto =. 4) Sejam g,h : R R as funções dadas por g() = e a+b se <, +ln se, e h() = +e /( ) se =, se =. a) Determine a e b de modo que g seja diferenciável no ponto =. b) Prove que h é contínua no ponto =, mas não é diferenciável nesse ponto.

15 Ciclo em Optometria Ficha Ano Lectivo / ) Considere a função f : R R definida por f() = 8+3. Mostre que a função f no intervalo [,3] verifica as condições do Teorema de Rolle e calcule c ],3[ tal que f (c) =. ) Seja f : [,π/] R definida por tg se [,π/[, f() = se = π/. a) Verifique que f (π/) = f (π/4). b) Mostre que f é contínua e diferenciável no intervalo ]π/4, π/[. c) No intervalo ]π/4,π/[, a derivada f não tem zeros. Isto contradiz o Teorema de Rolle? Justifique a resposta. 3) Prove que a) a equação ln ( + ) = tem no máimo duas soluções em R. b) a função definida por f() = 3 +3 tem um só zero em R; mais precisamente em ],[; c) o polinómio p() = n +p+q não pode ter mais do que duas raízes se n for par e não pode ter mais do que três raízes se n for ímpar (p,q R, n N). 4) Mostre que a equação ln = tem duas raízes em ],+ [ e localize essas soluções. 5) Mostre que a equação e = admite apenas a solução =. 6) Localize os zeros da função definida por f() = ) Considere a função f : R R definida por f() = 3 +. Mostre que a função f no intervalo [,] verifica as condições do Teorema de Lagrange e calcule c ],[ a que se refere o Teorema de Lagrange. 8) Aplique o Teorema de Lagrange à função definida por f() = no intervalo [5,6] para calcular um valor aproimado de 6. 9) Mostre que a) 8+ 8 < 65 < 8+ 6 ; b) π < arcsen,6 < π ) Sejam a e b dois números reais tais que < a < b. Use o Teorema de Lagrange para provar que b a b < ln b a < b a a

16 e que b a b a +arctga < arctgb < +b +a +arctga e use estes resultado para estimar ln, e arctg,. ) Seja f : R R a função definida por f() = + e e. Aplicando o Teorema de Lagrange à função f no intervalo [,], mostre que, para qualquer >, < e < e. ) Recorrendo ao Teorema de Lagrange, mostre que a) e > + para > ; b) ln + < para > ; c) sen < para > ; d) e < para ],[; e) cos < sen ] < para, π [ f) sen < cos < para ] g) tg > para, π [ 3) Considere as funções reais de variável real definidas por f() = log (+) e g() = 4+. a) Determine o domínio de cada uma das funções. ], π [ b) Mostre que no intervalo [,3] as funções f e g estão nas condições do Teorema de Cauchy e determine o valor de c a que se refere o Teorema de Cauchy. 4) Sejam f e g as funções reais de variável real definidas por a) Indique o domínio de f e de g. b) Caracterize a função f. f() = ln e g() = 3. c) Justifique que, embora contínuas em [,] e diferenciáveis em ],[, não se pode aplicar o Teorema de Cauchy às funções f e g. 5) Calcule ( tg + π ) a) lim 4 3 ln(sen) d) lim + ln(tg ) g) lim [ ln arctg( ) j) lim (e ) m) lim + p) lim + (sen)tg ] b) lim π 4 e sen e cos sen cos ( e) lim sen ) h) lim + k) lim + ( e ) [ ( arctge π )] n) lim + ()(+)/ ; q) lim + (e +) / c) lim e f) lim +ln( )ln i) lim π/ l) lim ( 3 ) [ ( arc sen π ) ] tg o) lim (cos) cotg r) lim π/ (tg)cos

17 Ciclo em Optometria Ficha Ano Lectivo / ) Determine a derivada de segunda ordem das funções seguintes. a) f() = sen( 3 +) b) f() = cos(sen) c) f() = ln( 3 +) d) f() = log ( +) e) f() = e sen(3 +) f) f() = sen(e ) g) f() = sen h) f() = + i) f() = j) f() = ln ( ) + +3 k) f() = sen() cos(3) + l) f() = + cos() ) Uma droga é injectada na corrente sanguínea e a sua concentração após t minutos é dada por C(t) = k a b (e bt e at ) para constantes positivas a,b e k. Em que instante ocorre a concentração máima? O que se pode dizer sobre a concentração após um longo período de tempo? ) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B distantes 3Km um do outro e situados em margens opostas de um rio de Km de largura. Parte do oleoduto ficará submersa, de A a C estando C na margem oposta, e a restante parte acima do solo ligando C a B. Se o custo de operação do oleoduto sob água é quatro vezes o custo da operação no solo, determine a localização de C que minimize o custo da operação do oleoduto.(desprezar a inclinação do leito do rio.) 3) Suponhamos que um peso é sustentado a m da recta horizontal AB por meio de um arame em forma de Y. Se os pontos A e B estão separados por.8m, qual é o menor comprimento total de arame que pode ser usado. 4) Uma bala de canhão é lançada do solo com velocidade v segundo um ângulo α. Em cada momento t a altura da bala relativamente ao solo é y(t) = 4.9t + (vsenα)t e a distância percorrida na horizontal é (t) = (vcosα)t. Verifique que a trajectória da bala é uma parábola e determine a inclinação α que permite lançar a bala mais longe. 5) Uma janela rectangular encabeçada por um semi-círculo tem 3 metros de perímetro. Determine o raio da parte semi-circular de modo que a área total da janela seja máima. 6) Mostrequeentretodososrectânguloscomumdadoperímetroéoquadradoquetemáreamáimo equeentre todos os rectângulos com umaárea dadaé oquadradooquetem o perímetromínimo. 7) Qual é o triângulo de dois lados iguais e de área com menor perímetro? 8) Calcule o volume máimo de uma caia rectangular de base quadrada com superfície total de 48cm. 9) Pretende-se construir uma caia com base rectangular de um rectângulo de cartolina com 6 cm de largura e cm de comprimento cortando-se um quadrado em cada quina. Determine o lado desse quadrado para que a caia tenha volume máimo. ) Pretende-se construir em folha zincada um cilindro sem tampa com capacidade l(= dm 3 ). Determine a mínima área de folha necessária. ) Determine as dimensões do cilindro circular recto de maior volume que pode ser inscrito num cone circular com altura cm e raio da base 5cm. ) Pretende-se fabricar um recipiente cilíndrico, de base circular, aberto no topo, com capacidade de 4πcm 3. Se o custo do material usado para a fabricação da base é o triplo do custo do material da superfície lateral, e se não há perda de material, determine as dimensões que minimizam o custo.

18 Ciclo em Optometria Ficha Ano Lectivo / ) Estude as seguintes funções quanto a zeros, paridade, etremos locais, monotonia, conveidade, pontos de infleão e assímptotas e faça um esboço do seu gráfico: a) f() = 3 3 b) f() = 4 3; c) f() = ; d) f() = ++; e) f() = + f) f() = ; 5 g) f() = +4e h) f() = ln( ) i) f() = ln j) f() = arcsen ; k) f() = + + ; l) f() = ln ln ; ( )e se, ) Seja f: R R a função definida por f() = +arctg() se <. a) Estude a continuidade de f. b) Calcule lim f() e lim f(). + c) Estude f quanto à diferenciabilidade e determine a sua função derivada f. d) Determine os intervalos de monotonia e os etremos locais (se eistirem) de f. e) Estude f quanto à eistência de assímptotas. f) Prove que o gráfico de f não tem pontos de infleão. g) Calcule lim + (f())/. 3) Seja f: [,+ [ R a função definida por f() = a) Estude a continuidade de f para =. arcsen se, ( )ln( ) se >. b) Estude f quanto à diferenciabilidade e determine a sua função derivada f. c) Mostre que f tem um etremo em = +/e. Classifique-o e calcule-o. d) Determine, caso eistam, os pontos de infleão do gráfico de f. e) Estude f quanto à eistência de assímptotas. f) Prove que eiste ]+/e,+e[ tal que f() =. 4) Seja f: ],+ [ R a função definida por f() = ln. a) Estude a continuidade e a diferenciabilidade de f. b) Determine os etremos e os intervalos de monotonia de f. c) Calcule lim e lim +f() f(). + d) Conclua que eistem duas rectas assímptotas ao gráfico de f e indique-as. e) Prove que eiste c ],e[ tal que f (c) = e(e ).

19 Ciclo em Optometria Ficha 3 Ano Lectivo / ) Calcule as seguintes primitivas. a) (3 +5+)d b) ( )d c) ( +) 3 d d) d e) d f) d g) 3 d h) e +3 e / d i) + d ln j) e d k) d l) d ln m) ln d n) d o) + d + p) + d q) d r) + +4 d sen s) +cos + arctg sen d t) (cos +cos)send u) + d v) y) B) E) cos(ln) d 4 cos d d w) z) C) e +sen (+cos)d F) cos(ln ) H) d K) cos ( +) d N) d 9 Q) T) I) L) O) d R) +e cos (ln) d U) e +e d ) cos sen d cos( π 4 )d cos d tg d ++ d A) D) e + 3 d +3+e arcsen d senh() cosh() d sen(arctg) G) + d J) sen 3 cos 4 d M) 7 ( 4 +) d P) sen sen d e 9 e d S) V) sencos 3 d coscos()d +9+sen(5 4)d 5 d

20 W) ( +) 3 d X) e +e e d Y) ln sen(ln ) ) Calcule as seguintes primitivas utilizando o método de primitivação por partes. a) e d b) d c) lnd d) g) j) m) p) s) cos(3) d e) arc cos d h) e 3 d e cosd ln d e arcsen d k) sencosd arccotgd e 3 d f) i) l) arctgd sen(ln)d ( +)cosd ln(ln) n) 3 cosd o) d q) cos d r) sen d arctg arcsen t) (+ ) d u) d 3) Calcule as seguintes primitivas utilizando a substituição indicada. a) d, = 9 b) t d, = 3sent ln sen c) d, = et d) sen d, cos = t e) + d, = t f) ( ) d, = sen t d g) i) k) m) + + d, t = h) 3 d, = t ln ( ln d, ln = t. ) l) e d, = lnt n) + j) sen() d, t = sen +sen d, = sent 4 ( ) d, = sen t +e d, = t 4) Calcule as seguintes primitivas de funções racionais. a) d b) ( )(+)(+3) ( )(+) d d) g) j) d e) ( + )(+5) d h) 3+ ( 3 )(+5) d k) d 3 4 ( ) ( +4) d 4 4 d c) f) i) l) ( )( +) d ( ) 3 d 4 d d

21 m) ( +) d n) ( ) d o) ( ++)( +4) d 5) Calcule as seguintes primitivas usando, sempre que indicada, a substituição sugerida. e e 6 + i) e 9 +e 6 d ii) d 8 e +e iii) e + d t = e 3 t = t = e iv) ln ( ) + ln d + v) d vi) d cos 3 vii) sen 4 d / +tg viii) d i) +/3 tg d t = sen = t 6 t = tg sen ) ( cos) 3 d e ( i) d ii) + ) 4 e 4 3 d ln 3 + iii) ln + d 3 /3 cotg+ iv) 3 / d v) +3/4 cotg d t = ln 3 = t t = cotg vi) d cos 3 4 vii) + arctgd viii) sen 5 d sen i) sen d +sen ) cos(+sen) d d i) 4 t = cos t = sen t 4 = ii) e 3 d iii) sen() cos(/) d iv) tg 4 sec 4 d v) viii) 5+ d = 5tgt ln ( + ) d + i) + d = t 6) Calcule f() sabendo que a) f () = vi) i) ii) 4 d = t 4 3 arctgd d = t + sen 3 ()+sen()cos() vii) d +cos() t = cos(); ) cos(ln) d sen iii) cos+cos d t = cos ( +) e f() = ; b) f () = ( +3)ln e f() = 7/8; 7) Seja P(t) a população de uma bactéria numa colónia no tempo t (em minutos). Supondo que P() = e que P(t) aumenta a uma taa (variável) de e 3t, quantas bactérias eistem ao fim de 5 dias? 8) Uma partícula parte da origem e movimenta-se sobre o eio das abcissas com uma velocidade (em centímetros por segundo) dada por v(t) = 7+4t 3 +6sen(πt). Encontre a distância percorrida em segundos. 9) A aceleração (no instante t) de um ponto em movimento sobre uma recta coordenada é dada por a(t) = sen tcost (em ms ). Em t = o ponto está na origem e a sua velocidade é m/s. Determine a sua posição no instante t. ) A velocidade (no instante t) de um ponto que se move ao longo de uma recta é v(t) = t/e t (em ms ). Se o ponto está na origem quando t =, encontre a sua posição no instante t.

22 Ciclo em Optometria Ficha 4 Ano Lectivo / ) Calcule os seguintes integrais. i) iii) v) vii) i) i) iii) v) vii) i) i) iii) v) vii) i) i) 3 π π 4 d / / 8 π 3 e 3 π/4 π/4 send e t+et dt arctg + d 3 d sec θdθ ii) iv) vi) viii) ) ii) π 4 π 4 3 d iv) 4 + ( ) d 6+8 d cos d (t = ) 5+3 d 4 + d 3 + d lnd d tg d vi) viii) ) ii) iv) vi) viii) ) ii) π 3 d sencosd arctgd sen 3 udu 3 d e d 4 d sen d +3 + d / arcsen d π/4 π/6 +3+ d +4+5 d sec tdt e (e ) e d (t = e ) + 4 d ( = sent) coshd

23 Ciclo em Optometria Ficha 5 Ano Lectivo / ) Calcule a área da região do plano limitada a) pela curva de equação y =, o eio das abcissas e as rectas de equação = e = 3; b) pelo sinusóide y = sen e o eio das abcissas quando π; c) pela parábola de equação y = +4 e o eio das abcissas; d) pelas curvas de equação y = e y = ; e) pela parábola de equação y = ++8, o eio das abcissas e as rectas de equação = e = 3; f) pelos gráficos das funções f() = arcsin e g() = arccos e pela recta =. g) pela parábola com vértice no ponto (,) e que passa pelos pontos (,) e (,) e o eio das abcissas; h) pelas circunferências de equação +y = e +y = 4 e pelas rectas de equação y = e y = ; i) pelas linhas de equação y = 3 e y + 4 = ; j) pelo gráfico da função y = arctan e pelas rectas de equação = e y =. ) Calcule a área das regiões sombreadas a) y y = + b) y y = y = y = + - c) y y = 5 d) y y = y = y =

24 3) Calcule os comprimentos das seguintes curvas planas. a) Curva C determinada pelo gráfico de função f: [,] R definida por f() = cosh. b) Arco da curva y = a (e/a +e /a ), com a >, de = a = a. c) Arco da curva = t, y = t 3, de t = a t = 4. 4) Calcule a área de superfície a) do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eio das abcissas da curva y = 3 entre = e = ; b) do cone de altura 3 e raio da base 4; c) do sólido de revolução gerado pela curva de equação y = a (e/a +e /a ), com a >, de = a = a. d) do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eio das abcissas, do domínio plano 5) Calcule os volumes dos seguintes sólidos. a) Uma esfera de raio. b) Um cilindro de raio da base 3 e altura 3. D = (,y) R : 3, y 4 }. c) Gerado pela rotação da área, no primeiro quadrante, limitada pela parábola y = 8 e pela recta =. i) Em torno do eio das abcissas; ii) Em torno da recta = ; iii) Em torno do eio das ordenadas. d) Gerado pela rotação da curva definida pelo gráfico da função f: [, ] R definida por f() = e +, em torno da recta y =. 6) Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao rodar em torno do eio dos a região do plano definida por +y 4 e y. 7) Seja D a região do plano definida por a) Calcule a área da região plana D. D = (,y) R : y e,y >, < }. b) Seja D a parte da região D que está no 3 quadrante. Calcule o volume do sólido de revolução que se obtém girando D em torno do eio dos yy.