1. Calcule a derivada da função dada usando a definição. (c) f(x) = 2x + 1. (a) f(x) = 2. (b) f(x) = 5x. (d) f(x) = 2x 2 + x 1

Transcrição

1 Lista de Eercícios de Cálculo I para os cursos de Engenharia - Derivadas 1. Calcule a derivada da função dada usando a definição. (a) f() = (b) f() = 5 (c) f() = + 1 (d) f() = + 1. O limite abaio representa f (a) para alguma função e algum número a. Ache f() e a em cada caso. ( + h) 9 (a) lim h 0 h (b) lim 0 (c) lim h 0 cos(π + h) + 1 h. Mostre que f() = é contínua em = 0, mas não diferenciável em = Ache os pontos onde f() = não é diferenciável. Justifique a sua resposta. 5. Calcule a derivada da função dada. (a) f() = 1 7 (b) y = 5 () + sen (c) g() = 4 5 (d) f() = cos() sen() (e) f() = cos() (f) f() = sec() tg() (g) f() = sec()tg() cotg() (h) f() = 1 + cossec() sen() sec() (i) f() = 1 + tg() (j) f() = ( + ) 5 (k) f() = 1 ( 5 + 1) 9 (l) f() = + 5 (m) f() = sen( ) 1 (n) f() = cos ( ) +1 (o) f() = cos(5) (p) f() = 5 (q) f() = 1 (r) f() = ( 5)( + 4) (s) f() = ( 5 +1 ) 5 (t) y = ln( + ) (u) y = ln (v) y = ln 7 (w) y = () y = e 7 1+log (y) y = e e e + e (z) y = ln(1 e )

2 6. Usando a regra do quociente e do produto, ache dy/d =1. (a) y = 1 + (b) y = Determine d y/d. ( + (c) y = (d) y = ( 7 ) ) ( 5 + 1) ( ) (a) y = (b) y = (c) y = ( 4)( + ) 8. Ache: (a) a coordenada do ponto sobre o gráfico de y = no qual a reta tangente é paralela à reta secante que corta o curva em = 1 e =. (b) as coordenadas de todos os pontos sobre o gráfico de y = 1 nos quais a reta tangente passa pelo ponto (,0). 9. Ache a aproimação linear local de f() = + 1 em 0 = 0 e use-a para aproimar 0, 9 e 1, A aproimação (1 + ) k = 1 + k é freqüentemente usada por engenheiros para cálculos rápidos. (a) Deduza este resultado e use-o para fazer uma estimativa rudimentar de (1, 001) 7. (b) Usando um recurso computacional, mostre que esta fórmula produz uma estimativa muito ruim de (1, 1) 7, e eplique por que isso ocorre? 11. Ache dy/d diferenciando implicitamente. (a) + y = 1 (b) + y = 100 (c) y + y = (d) y = 1 (e) = + y y Roteiro Para Resolver Problemas de Taas Relacionadas Passo 1: Desenhe uma figura e classifique as quantidades que variam. Passo : Identifique as taas de variação que são conhecidas e a taa de variação que é para ser encontrada.

3 Passo : Ache uma equação que relacione a quantidade, cuja taa de variação é para ser encontrada com as quantidades cujas taas de variação são conhecidas. Passo 4: Diferencie implicitamente ambos os lados desta equação em relação ao tempo e resolva para a derivada que dará a taa de variação desconhecida. Passo 5: Calcule essa derivada em um ponto apropriado. 1. Para as funções a seguir, ache os pontos críticos de f (se houver), encontre o(s) intervalo(s) aberto(s) onde a função seja crescente ou decrescente e aplique o Teste da Primeira Derivada para identificar todos os etremos relativos. (a) f() = (b) f() = (c) f() = + 1 (d) f() = Encontre os pontos de infleão e discuta a concavidade do gráfico da função. (a) f() = (b) f() = ( 4) (c) f() = + 1 (d) f() = + cos() [0, π] 14. Nos ítens abaio, ache: (i) os intervalos nos quais f é crescente; (ii) os intervalos nos quais f é decrescente; (iii) os intervalos abertos nos quais f é côncava para cima; (iv) os intervalos abertos nos quais f é côncava para baio; (v) as coordenadas de todos os pontos de infleão e (vi) achar os etremos relativos dos itens b e d. (a) f() = (b) f() = + (c) f() = e (d) f() = ln( + 1) (e) f() = cos() [0, π] Roteiro Para Esboçar Gráficos de Funções Passo 1: Determine o domínio da função. Passo : Determine as intersecções com os eios. Passo : Determine as assíntotas verticais e horizontais. Passo 4: Determine os pontos críticos.

4 Passo 5: Determine os intervalos de crescimento, decrescimento e os pontos etremos. Passo 6: Determine os intervalos em que a função é côncava para cima, para baio e os pontos de infleão. 15. Faça um esboço do gráfico das funções abaio: (a) f() = (b) y = (c) y = 1 (d) y = 1 4 (e) f() = + (f) f() = (g) f() = (h) f() = ( 4) (i) f() = Roteiro Para Resolver Problemas de Máimo e Mínimo: Passo 1: Faça uma figura apropriada e identifique as quantidades relevantes ao problema. Passo : Ache uma fórmula para a quantidade a ser maimizada ou minimizada. Passo : Use as condições dadas no problema para eliminar variáveis, epresse a quantidade a ser maimizada ou minimizada como função de uma variável. Passo 4: Ache o intervalo de valores possíveis para esta variável a partir das restrições físicas do problema. Passo 5: Se aplicável, use as técnicas estudadas para obter o máimo ou mínimo. 16. Ache os valores máimo e mínimo absoluto de f no intervalo dado e indique onde estes valores ocorrem. (a) f() = [0, 1] (b) f() = 4 +1 [ 1, 1] (c) f() = sen() cos() [0, π] (d) f() = (, + ) (e) f() = 4 4 (, + ) 17. Calcule os seguintes limites. Utilizado a regra de L Hospital. (a) lim

5 (b) lim 0 e + sen() 1 ln(1 + ) Teorema de Rolle: Seja f uma função tal que: i) ela seja contínua no intervalo fechado [a,b]; ii) ela seja derivável no intervalo aberto (a,b); iii) f(a)=0 e f(b)=0. Então eiste um número c no intervalo aberto (a,b), tal que f (c)= Dada f() = 4 9 comprove que as condições (i),(ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle estão satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos: [, 0], [0, ] e [, ]. Ache então um valor de c em cada um desses intervalos para os quais f (c)=0. Teorema do Valor Médio(TVM): Seja f uma função tal que: i) ela seja contínua no intervalo fechado [a,b]; ii) ela seja derivável no intervalo aberto (a,b); Então, eistirá um número c no intervalo aberto (a,b), tal que f (c) = f(b) f(a) b a 19. Resolva os seguintes problemas envolvendo o teorema do valor médio: (a) Dada f() = 5 comprove que as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para a=1 e b=.então, encontre todos os valores de c no intervalo aberto (1,), tais que f f() f(1) (c) =. 1 (b) Dada f() = () faça um esboço do gráfico de f. Mostre que não eiste nenhum número c no intervalo aberto (-,), tal que f f() f( ) (c) =. Que condições ( ) dentre as hipóteses do teorema do valor médio não está satisfeita para f quando a=- e b=? 0. Resolva os seguintes problemas: (a) Se um objeto é jogado para cima a 64 pés por segundo de uma altura de 0 pés, sua altura S depois de segundos é dado por S() = i. Qual a velocidade média nos dois primeiros segundos depois de a bola ser lançada? ii. Qual a velocidade eatamente em t =? 5

6 (b) Coloca-se uma late de refrigerante em uma geladeira. A temperatura H, em Fahrenheit ( F), da lata em função do tempo t, em horas, é dada por H = e t i. Obtenha a taa segundo a qual a temperatura do refrigerante está variando ( F/hora). ii. Qual o sinal de dh/dt? Justifique a sua resposta. iii. Em que instante t 0 o módulo de dh/dt é o maior possível? resposta em termos do refrigerante. Eplique sua (c) O lado de um cubo mede 5cm, com erro possível de ±1cm. i. Use diferenciais para estimar o erro no volume calculado. ii. Estime os erros percentuais no lado e no volume. (d) O alcance R de um projétil é R = v 0 sen(θ) onde v 0 é a velocidade inicial em pés por segundo e θ é o ângulo de elevação com a horizontal. i. A aceleração da gravidade g equivale a. Se v 0 =.00 pés por segundo e θ varia de 10 para 11, use diferenciais para estimar a variação no alcance. ii. A aceleração da gravidade equivale a g. Ache o ângulo θ tal que o alcance seja máimo. (e) Um avião segue uma rota que passa diretamente sobre uma estação de rastreamento por radar. Considere s como sendo a distância (em milhas) do avião até a estação e a distância horizontal do avião à estação. Sabendo que s decresce a uma taa de 400 milhas por hora e que o avião está a uma altura de 6 milhas em relação ao solo e a 10 milhas em relação a estação, qual a velocidade do avião? (f) O lançamento de uma nave espacial está sendo filmado por uma câmera que se encontra no solo. A nave está se elevando na direção vertical e sua função posição é s = 50t, onde s é medido em pés e t é medido em segundos. A distância da câmera até a plataforma de lançamento é de.000 pés. Calcule a taa de variação do ângulo de elevação da câmera, após 10 segundos do lançamento. (g) Enche-se um balão esférico a uma taa de 4,5 pés cúbicos por minuto. Calcule a taa de variação do raio quando este medir pés. (h) i. Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel por a $100 por unidade. Se o custo de produção total diário em dólares para unidades for C() = , 005 e se a capacidade de produção diária for de, no máimo,

7 unidades, quantas unidades de ácido sulfúrico devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maimizar o lucro? ii. Beneficiaria ao industrial epandir a capacidade de produção diária? RESPOSTAS 1. (a) f () = 0 (b) f () = 5 (c) f () = (d) f () = (a) f() = e a =. (b) f() = e a = 1 (c) f() = cos() e a = π. É contínua pois lim f() = f(0). Não é diferenciável em = 0 pois f f(0 + h) f(0) (0) = lim 0 h 0 h + = f() f( 4. A função f não é diferenciável no ponto =, pois o limite lim ) (Verifique que os limites laterais são distintos). não eiste. 5. (a) f () = 7 8 (b) y = 15 () 4 + cos (c) g () = (d) f () = sen() cos() (e) f sen () cos () () = (f) f () = sin () + cos () cos () (g) f () = sec + tg sec (h) f 1 () = sen() + 1 (i) f 1 () = sen() cos() + 1 (j) f () = 5 ( + ) 4 ( + ) (k) f () = 9(5 4 1) ( 5 + 1) 10 (l) f () = + 5 (m) f () = cos ( ) ( cos (n) f () = 6. (a) y = 7 ( + ) + 1 ( + 1) (b) y = ( ) ( 5) ) sen61 ( ) +1 (o) f () = 5sen (5 ) cos (5 ) (p) f () = ( 10 + ) 5 (q) f () = 1 (1 ) (r) f () = ( + 4) +6 ( 5) ( + 4) (s) f () = 55 ( 5)4 ( + 1) 6 (t) y = 1 (+ ) (u) y = 1 (v) y = 14 7 (w) y = () y = 7e 7 (y) y = (z) y = 1 e 1+ln() (1+ln()) 4 (e + e ) ou y = 1 (e e ) (e + e ) (c) y = (d) y = ( ) ( + 1) 7

8 7. (a) y = 4 4 (b) y = 5 (c) y = (a) = 1 (b) = + e = , 9 0, 95 1, 1 1, (a) f() = (1 + ) k k + 1 (Aproimação linear local em torno do ponto 0 = 0) (1, 001) 7 0, = 1, 07 (b) 11. (a) + y (b) y (c) y y + 1 ( + 9 y ) (d) y (e) y + y + y 1. (a) Pontos Críticos: = 1; f é crescente em (, 1); f é decrescente em (1, ); = 1 é ponto de máimo. (b) Pontos Críticos: = 1 e = 1; f é crescente em (, 1) e (1, ); f é decrescente em ( 1, 1); = 1 é ponto de máimo relativo e = 1 é ponto de mínimo relativo. (c) Pontos Críticos: = 1, = 0 e = 1; f é crescente em (, 1) e (1, ); f é decrescente em ( 1, 0) e (0, 1); de mínimo relativo. = 1 é ponto de máimo relativo e = 1 é ponto (d) Pontos Críticos: =, = 1 e = 1; f é crescente em (, ) e (1, ); f é decrescente em (, 1); mínimo relativo. = é ponto de máimo relativo e = 1 é ponto de 1. (a) Ponto de Infleão: = ; f é côncava para cima (, ); f é côncava para baio em (, ). (b) Ponto de Infleão: = e = 4; f é côncava para cima (, ) e (4, ) ; f é côncava para baio em (, 4). (c) Ponto de Infleão: = 1; f é côncava para cima (, 1) ; f é côncava para baio em ( 1, ). (d) Ponto de Infleão: = π e = π; f é côncava para cima ( π, π ); f é côncava para baio em (0, π ) e ( π, π). 14. (a) f é crescente em ( 5, ); f é decrescente em (, 5 ); f é côncava para cima em (, ); Não há ponto de infleão. 8

9 (b) f é crescente em (0, ); f é decrescente em (, 0); f é côncava para cima em ( 6, 6 ); f é côncava para baio em (, 6 ) e ( 6, ); Ponto de infleão: = 6 e = 6; Ponto de mínimo: = 0. (c) f é crescente em (, ); f é côncava para cima em (0, ); f é côncava para baio em (, 0); Ponto de infleão: = 0. (d) f é crescente em (0, ); f é decrescente em (, 0); f é côncava para cima em ( 1, 1); f é côncava para baio em (, 1) e (1, ) Ponto de infleão: = 1 e = 1; Ponto de mínimo: = 0. (e) f é crescente em (π, π); f é decrescente em (0, π); f é côncava para cima em ( π, π ); f é côncava para baio em (0, π ) e ( π, π) Ponto de infleão: = π e = π (a) Valor máimo 1 em = 0 e valor mínimo 0 em = 1. (b) Valor máimo 5 em = 1 e valor mínimo 5 em = 1. (c) Valor máimo em = π e valor mínimo em = 7π 6 e = 11π 6. (d) Não máimo e nem mínimo. (e) Valor máimo 1 em = 1 e não há mínimo. 17. (a) 1 (b) 18. No intervalo [, 0], o valor de c = 1 intervalo [, 1 ], os valores de c = ; no intervalo [0, ], o valor de c = 1 ou c = (a) c = 7 (b) e no 0. (a) i. v m = s() s(0) 0 = pés/s ii. v = 0 (b) i. dh/dt = 60e t ii. O sinal de dh/dt é negativo, pois a temperatura irá diminuir com o passar do tempo. iii. No instante t = 0, ou seja, no momento que você coloca o refrigerante na geladeira. (c) i. V ±1875cm ii. 4% e 1% (d) i ii. (e) -500 milhas por hora 9

10 (f) 9 (g) 9 π radianos por segundo 0, 09 pés por minuto (h) i ii. Sim 10