sendo as componentes dadas em unidades arbitrárias. Determine: a) o vetor vetores, b) o produto escalar e c) o produto vetorial.

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1 INSTITUTO DE FÍSICA DA UFRGS 1 a Lista de FIS01038 Prof. Thomas Braun Vetores 1. Três vetores coplanares são expressos, em relação a um sistema de referência ortogonal, como: sendo as componentes dadas em unidades arbitrárias. Determine: a) o vetor vetores, b) o produto escalar. e c) o produto vetorial. R: r = ı 2ȷ ; b) -14; c) -12k, soma desses 2. Calcule as componentes escalares da soma dos vetores deslocamento e cujas componentes em metros, ao longo de três direções mutuamente perpendiculares, são: c x = 7,4; c y = -3,8; c z = -6,1; d x = 4,4; d y = -2,0; d z = 3,3. R: r x = 12 m; r y = -5,8 m; r z = -2,8 m. 3. Dois vetores e têm módulos iguais a 10,0 unidades. A orientação é indicada na figura. Se = +, calcule: a) as componentes x e y de, b) o módulo de e c) o ângulo que faz com o eixo dos x R: a) r x = 1,59; r y = 12,1; b) 12,2; c) 82, 5 o. Movimento em uma dimensão 1. O gráfico da figura abaixo descreve o movimento de um animal que corre para a esquerda (sentido decrescente de x) e para a direita ao longo do eixo x. a) Quando, se for o 1

2 caso, o animal está à esquerda da origem? Em que instante, se for o caso, a sua velocidade é: b) negativa, c) positiva ou d) nula? R: a) 2s < t < 4s; b) 0 < t < 3s; c) t > 3s; d) t=3s. 2. Um elétron, com velocidade inicial de 1, m/s, entra numa região de 1,0 cm de comprimento onde é acelerado eletricamente e sai com uma velocidade de 5, m/s. Supondo a aceleração constante, calcule-a. (Esse é o processo que ocorre no interior dos tubos de raios catódicos utilizados nos osciloscópios e receptores de televisão.) R: 1, m/s Um carro a uma velocidade constante de 30 m/s passa por um carro de polícia em repouso. Neste instante o policial coloca o seu carro em movimento, acelerando a uma taxa de 3,0 m/s 2 até emparelhar com o outro carro. Ache a) o tempo necessário para o policial alcançar o outro carro e b) a distância percorrida durante a perseguição. R: a) t = 20 s; b) x = 600m. 4. Um carro desacelera a 2,0 m/s 2 até atingir o repouso depois de percorrer 25 m. Determine a) a velocidade do carro no início da desaceleração e b) o tempo necessário para parar. R: a) v 0 = 10 m/s; b) t = 5s. 2

3 5. Uma pedra é jogada verticalmente para cima da borda de um edifício de 19,6 m de altura com uma velocidade inicial de 14,7 m/s. Quando cai, a pedra passa rente ao prédio. Ache a) o tempo de vôo e b) a velocidade da pedra no instante imediatamente anterior ao seu impacto com o chão. R: a) t = 4s; b) v = -24,5 m/s. 6. Um foguete, partindo do repouso, sobe com uma aceleração de 29,4 m/s 2 durante 4s. Neste instante acaba o seu combustível; qual é a altura máxima que ele atinge? R: 940,8 m. 7. Considere que a chuva cai de uma nuvem, 1700 m acima da superfície da Terra. Se desconsiderarmos a resistência do ar, com que velocidade as gotas de chuva atingiriam o solo? Nestas condições, seria seguro caminhar ao ar livre durante um temporal? R: 184 m/s. Movimento em duas dimensões 1. Um avião deixa cair uma caixa de suprimentos para um grupo de exploradores no solo. O avião se desloca horizontalmente a 40 m/s a uma altura de 100 m do solo. a) Onde a caixa vai tocar o solo em relação à posição de onde ela foi largada? b) Qual é a velocidade da caixa no instante que ela toca o chão? R: a) x = 180m; b) v = 59,5 m/s ( = 48 o ). 2. Um projétil é disparado, com uma velocidade inicial de 113 m/s, a um ângulo de 60 o com a horizontal, do topo de um rochedo de 49 m de altura. Em relação ao projétil, calcule a) o tempo para atingir a altura máxima, b) a altura máxima, c) o tempo total de permanência no ar, d) o alcance na horizontal e e) as componentes da velocidade final no instante em que atinge o solo. R: a) t hmax 9,99s; b) h max = 489m; c) t = 20,5 s; d) x = 1158 m; e) v x = 56,5 m/s, v y = -103 m/s. 3. Um projétil é disparado em direção a um alvo em queda livre. Os instantes em que o projétil é disparado e o alvo principia a cair do repouso são os mesmos. Assumindo que o projétil inicialmente está apontando para o alvo, mostre que o projétil vai atingir o alvo. 4. Uma simples montagem de laboratório para a determinação de g é mostrada na figura a seguir. Uma bola está se movendo horizontalmente com velocidade de 3 m/s quando sai da mesa. A altura da mesa é AB = 1 m e a distância da mesa até onde a bola cai é BC = 1,5 m. Determine o valor local de g utilizando estes dados. 3

4 R: 8 m/s Com que velocidade inicial um jogador de basquete deve lançar uma bola, num ângulo de 55 o acima da horizontal, de modo a fazer uma cesta, conforme o desenho? Considere que o atleta acerta a bola no centro da cesta. R: 7 m/s. 6. Uma partícula se move no plano xy com uma aceleração que só tem componente x igual a 4,0 m/s 2. A partícula sai da origem em t = 0, com velocidade inicial com componente x de 20,0 m/s e a componente y de -15,0 m/s. a) Escreva o vetor aceleração em termos dos vetores unitários i e j. b) Escreva o vetor velocidade inicial em termos dos vetores unitários e determine o seu módulo. c) Determinar o vetor velocidade em termos dos vetores i e j em t = 5 s. R: a) a = 4ı m s 2; b) v 0 = (20ı 15ȷ ) m, v s 0 = 25 m ; c) v (t = 5s) = (40ı 15ȷ ) m. s s 7. Numa sala de aula, considere a posição do professor coincidente com a origem. Há duas alunas, A e B, sentadas em torno de uma classe, com posições dadas por, respectivamente, r A = (10i + 0,5 j) m e r B = (10i 0,5 j) m e que estão jogando cartas. Como o professor acha essa atitude inadequada, resolve advertí-las, jogando um pedaço de giz de 0,005 kg que cai na classe exatamente à meia distância entre A e B. a) Determine a distância entre as duas alunas. O giz na mão do professor (ponto inicial do lançamento) e o giz na classe (ponto final do lançamento) estão afastados do chão por 0,75 m; o lançamento dura 1,3 s. b) Sendo que o giz é lançado pelo professor com uma velocidade V que forma um ângulo o θ = 40 com o plano horizontal, determine o valor de V. R: a) 1m; b) V 10 m. s 4

5 Força 1. Uma caixa com massa de 5,0 kg é puxada verticalmente para cima por uma força de 68 N aplicada a uma corda presa na caixa. Determine a) a aceleração da caixa e b) a velocidade vertical da caixa depois de 2s. R: a) a = 3,8 m/s 2 ; b) v = 7,6 m/s. 2. Uma massa de 0,5 kg desliza sobre uma superfície de modo que a sua velocidade inicial de 10 m/s se reduz a 2 m/s depois de percorrer 80 m. a) Qual é a força de atrito atuando nesta massa? b) Qual é o coeficiente de atrito cinético entre a massa e a superfície? R: a) F c = -0,3 N; b) c = 0, Um estudante com massa de 50 kg testa as leis de Newton ficando parado em cima de uma balança dentro de um elevador. Assuma que a balança dê a leitura em Newtons. Ache o valor indicado pela balança a) quando o elevador está acelerando para cima a 0,5 m/s 2, b) quando está subindo numa velocidade constante de 3,0 m/s e c) quando está subindo, porém desacelerando a 1,0 m/s 2. R: a) 515 N; b) 490 N; c) 440 N. 4. Uma prancha de madeira é levantada numa extremidade tal que faça um ângulo de 30 o com a horizontal. Uma caixa de 2,0 kg é colocada neste plano inclinado distando 1 m da sua extremidade inferior. Suponha que a massa recebeu um empurrãozinho suficiente apenas para vencer o atrito estático. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e a prancha é = 0, 2. a) Qual é a aceleração da caixa e b) qual é a velocidade da caixa ao alcançar a extremidade da prancha. Assuma que a velocidade inicial da caixa é zero. R: a) a = 3,20 m/s 2 ; b) v = 2,53 m/s. 5. Uma caixa de 10 kg, situada num plano horizontal, está atada por uma corda a uma caixa de 7 kg colocada num plano inclinado que faz um ângulo de 30 o com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre cada caixa e a superfície é = 0, 1. Determine a) a aceleração do sistema e b) a tensão na corda. R: a) a = 1,1 m/s 2 ; b) T = 20,8 N. 6. Uma força F = 12 N comprime um bloco pesando 5,0 N contra uma parede vertical (veja a figura). O coeficiente de atrito estático entre a parede e o bloco é 0,60 e o coeficiente de atrito cinético é 0,40. Suponha que inicialmente o bloco não esteja em movimento. a) O bloco se moverá? Justifique com cálculos. b) Qual a força exercida pela parede sobre o bloco? 5

6 R: a) Não, pois f emax = 7,2 N; b) 12 N. 7. Sobre uma partícula de massa 0,4 kg agem, simultaneamente, as forças F 1 = (2i 4 j) N e F 2 = (3i + 4 j) N. Se a partícula estiver em repouso na origem, no instante t = 0 s, determine, no instante t = 6 s : a) o vetor posição da partícula e b) o vetor velocidade da partícula. R: a) r (t = 6s) = 1 2 a t2 = 225ı m; b) v (t = 6s) = a t = 75ı m. s Trabalho e energia 1. Um carro de 2000 kg está viajando a 80 km/h; a) determine a energia cinética em Joules. O mesmo carro é erguido verticalmente e então solto em repouso. b) Determine a altura da qual ele é solto se ele atinge o solo a 80 km/h. Despreze o efeito da resistência do ar. R: a) K = 4, J; b) h = 25,5 m. 2. Um objeto com massa de 1 kg desliza com uma velocidade de 5,0 m/s ao penetrar uma superfície gelada onde o coeficiente de atrito cinético é 0,1. Use o teorema trabalho-energia para determinar a distância que o objeto percorre antes de atingir o repouso. R: 13m. 3. Uma criança com 30 kg deslizando num toboágua entra a 2,0 m/s na sua seção final que tem um comprimento de 5 m e o declive é dado elevando uma extremidade em relação à outra por 3,0 m. A força de atrito que se opõe ao movimento da criança é de 50 N. Calcule a) a perda de energia potencial, b) o trabalho realizado pelo atrito na seção final do toboágua e c) a velocidade da criança ao chegar no fim do toboágua (use considerações de energia). R: a) U = -882 J; b) W = -250 J; c) v f = 6,8 m/s. 4. Sobre uma superfície horizontal um bloco de madeira de 2 kg é segurado contra uma mola (k = 100 N/m), comprimindo-a por 0,1 m. Quando o bloco é liberado, ele é empurrado pela mola e desliza então sobre a superfície. O coeficiente de atrito entre o bloco 6

7 e a superfície é c = 0, 20. Calcule a) a velocidade do bloco quando ele se solta da mola e b) a distância percorrida pelo bloco depois que ele se soltou da mola. R: a) v f = 0,33 m/s; b) d = 0,028 m. 5. Um homem empurra uma caixa de 100 kg sobre um assoalho nivelado a uma velocidade constante de 2,0 m/s durante 10 s. Se o coeficiente de atrito entre a caixa e o assoalho é k = 0, 20, ache a potência média liberada pelo homem. R: P = 392 W. 6. Considere uma força F = ( 4i 2 j) N atuando sobre um corpo de massa 2 kg e que executa um deslocamento s = 10i m. Calcule o trabalho W = F s. R: W = 40J. 7. Um objeto de 2 kg é movimentado entre as posições a e c de duas formas (despreze os efeitos do atrito com o ar): 1) a c; 2) a b c; como mostra a figura. a) Calcule o trabalho realizado pela força peso nos dois percursos (a c e a b c). b) Qual trabalho ( W a c ou W a b c ) é maior? Justifique! c) O resultado anterior muda se os efeitos das resistência do ar não forem desprezados? Como muda? R: a) W a c = 58,8 J; W a b c = W a b + W b c = 58,8 + 0 = 58,8 J c) o trabalho realizado pela força peso continua o mesmo; o que muda é o trabalho feito pelo agente externo para movimentar o corpo. Devido à presença da força disispativa (atrito), o agente externo realiza um trabalho maior ao longo do percurso mais comprido. a 3 m b θ 4 m 5 m c 8. Empregando considerações de energia, calcule a altura máxima do chão que o giz atinge durante o lançamento no problema 7 da seção Movimento em duas dimensões. R: altura máxima = 0,75+2,11=2,86m. Momentum e colisões 1. Uma bola de baseball com 0,2 kg desloca-se com uma velocidade de 40 m/s. Após ser golpeada por um bastão, a velocidade da bola passa a ser 50 m/s em sentido contrário. Determine a) o impulso e b) a força média que o bastão exerce na bola se ambos permanecem em contato por 0,002 s. R: a) I = -18 kgm/s; b) = N. 2. Um carro de 1000 kg, a uma velocidade de 22 m/s, choca-se com uma mureta de concreto e chega ao repouso após 0,5 s. a) Calcule a força média que atua no carro. b) Se na 7

8 mureta de concreto havia uma barreira de pneus para amortecer o impacto de tal modo que o tempo para o carro atingir o repouso aumentou para 3 s, qual será então a força média? R: a) = -4, N; b) = -7, N. 3. Um objeto de 1,0 kg que se desloca a uma velocidade de 1,0 m/s colide frontalmente com um objeto de 2,0 kg inicialmente em repouso. Determine a velocidade de cada objeto após o impacto considerando a colisão ser perfeitamente elástica. R: v 1f = -1/3 m/s, v 2f = -2/3 m/s. 4. Suponha que a colisão no problema anterior era completamente inelástica. Calcule a) a velocidade dos objetos após o impacto e b) a fração de energia cinética perdida durante a colisão. R: a) v f = 1/3 m/s; b) 66%. 5. Considere um peixe que nada na direção de outro peixe menor e em repouso, o qual é devorado pelo maior. Se o peixe maior tem uma massa de 10 kg e nada com uma velocidade V = 0,1 m/s em direção ao peixe menor de 0,5 kg, qual será a velocidade do peixe maior logo após engolir o peixe menor? Desprezam-se os efeitos da resistência da água! R: V f = 0,095 m s. 8